均值不等式
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
均值不等式所有公式
均值不等式所有公式
均值不等式（平均值不等式）是数学中的一种基本不等式，它表示对于两个数 a 和 b，它们的平均值不小于它们的几何平均值。
一般来说，均值不等式的公式可以表示为：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
当且仅当 a = b 时，等号成立。
这里列举一些常见的均值不等式：
1. 算术平均数（均值）不小于几何平均数：
(a + b) / 2 ≥√(ab)
2. 调和平均数不小于算术平均数：
(a + b) / (1/a + 1/b) ≥ 2√(ab)
3. 几何平均数不小于平方根平均数：
sqrt(ab) ≤ (a + b) / 2
4. 平方根平均数不小于算术平均数：
sqrt(a * b) ≤ (a + b) / 2
5. 三次方根平均数不小于算术平均数：
cube_root(a * b * c) ≤ (a + b + c) / 3
这些公式在不同情况下可以用来估计各种平均值之间的关系。
注意，这些不等式在 a 和 b 为正实数时成立。
对于负实数，需要对不等式进行适当调整。
均值不等式
均值不等式知识回顾：1．掌握几个重要不等式及取等号的条件，并会应用。
①均值不等式：a,b ∈R +，a b2+≥； 常用的变形不等式：②a,b ∈R ，ab 2a b ()2+≤； ③a,b ∈R ，22a b 2ab +≥ 以上三个不等式都是“当且仅当a=b 时，取等”。
2．利用均值不等式求最值的规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
热身练习：1． 已知,x y R +∈，①若x+y=2，则xy 有最大值为_____；②若xy=2，则x+y 有最小值为____。
2． 已知,x y R +∈，①若3x+2y=2，则xy 有最大值为_____；此时x=_____,y=______②若xy=2，则3x+2y 有最小值为_______；此时x=_____,y=______3．已知ab 同号,则a bb a+的最小值为_______________， 4．已知x>0,则2x+2x的最小值为________________,此时x=____________ 5．在面积为定值m 的矩形中，长、宽分别为多少时，矩形的周长最短？6．在周长为定值l 的矩形中，长、宽分别为多少时，矩形的面积最大？例题讲解：例1． 判断对错：(1) x+1x≥2 ( ) (2) 已知x>2,则 x+3x 2-的最小值为(3)函数的最小值为2。
( )(4) 函数2的最小值为2 ( )例2．(1)求函数y=(3-2x)(2x+1)(-13<x<22)的最大值及相应的x 的值。
(2) 求函数3(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 值；(3) 求函数y=2－4x (x 0)x->的最大值以及相应的x 值。
例3． (1)求函数f(x)=2x -2x+3(x>0)x的最小值及取得最小值时的x 的值。
(2)求函数y=2x -x+4(x>1)x-1的最小值及相应的x 的值。
高中数学公式(均值不等式)
高中数学公式(均值不等式)高中数学公式(均值不等式)公式的数学本质是用简洁的语言准确地描述数学问题。
在高中数学中，均值不等式是一个重要而又常用的工具。
它可以帮助我们证明和解决各种数学问题。
本文将介绍均值不等式的定义、性质和应用。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类重要的不等式。
它表述了若干个数的某种“平均值”与这些数之间的大小关系。
常见的均值不等式有算术平均不等式、几何平均不等式和平方平均不等式。
1. 算术平均不等式算术平均不等式是指若干个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有AM ≥ GM。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是指若干个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有GM ≤ AM。
3. 平方平均不等式平方平均不等式是指若干个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，平方平均值为QM，则有QM ≥ AM。
二、均值不等式的性质均值不等式有一些基本性质可以帮助我们进行各种推导。
1. 对称性均值不等式具有对称性，即对数x₁、x₂、...、xₙ的排列顺序不影响不等式的成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则交换任意两个数的位置，不等式仍然成立。
2. 反序性均值不等式具有反序性，即改变不等式中的不等号方向，不等式仍然成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则取倒数得到1/AM ≤ 1/GM，不等式仍然成立。
3. 结合性均值不等式具有结合性，即若AM₁ ≥ GM₁和AM₂ ≥ GM₂成立，则有AM₁ * AM₂ ≥ GM₁ * GM₂。
这一性质可以帮助我们将不等式进行合并和推导。
三、均值不等式的应用均值不等式具有广泛的应用场景，涉及各个数学领域。
1. 不等式证明均值不等式可以用于证明其他的数学不等式。
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式高中数学中的四个均值不等式是：算术平均数不小于几何平均数，几何平均数不小于调和平均数，调和平均数不小于平方平均数。
这些不等式在数学中有重要的应用，包括概率论、统计学、经济学和物理学。
一、算术平均数不小于几何平均数算术平均数和几何平均数是我们常见的两种平均数。
算术平均数是将一组数据中所有数值之和除以数据的总数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的算术平均数是（1+2+3+4+5）/5=3。
几何平均数则是一组数据中所有数的乘积的n次方根，其中n表示数据的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的几何平均数是（1x2x3x4x5）^(1/5)=2.605。
在一组非负数数据中，算术平均数和几何平均数有如下关系：算术平均数不小于几何平均数。
这个不等式的证明可以采用数学归纳法，对于两个数的情形容易证明。
对于任意个数的情况，则可以用调和平均数来证明。
这个不等式的重要性在于它可以用来证明其他重要的不等式。
二、几何平均数不小于调和平均数调和平均数的定义为n个非零实数的倒数之和再除以n，其中n表示这n个数的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的调和平均数为5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)=3.55。
在一组非负数数据中，几何平均数和调和平均数有如下关系：几何平均数不小于调和平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的几何平均数为2.605，调和平均数为3.55，显然2.605不小于3.55。
三、调和平均数不小于平方平均数平方平均数是一组数据中所有数的平方和的平均数的平方根。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的平方和为1+4+9+16+25=55，平方平均数为(1+4+9+16+25)/5=5.48。
在一组非负数数据中，调和平均数和平方平均数有如下关系：调和平均数不小于平方平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的调和平均数为3.55，平方平均数为5.48，显然3.55不小于5.48。
均值不等式类型总结
均值不等式类型总结1. 算术平均不等式算术平均不等式是最基本的均值不等式类型。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... \cdot a_n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是算术平均不等式的推广。
对于任意一组正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \geq \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
3. 平方均值不等式平方均值不等式是基于平方的均值不等式。
对于任意一组实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有以下不等式成立：$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n} \geq \left(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\right)^2$$其中，等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
4. 加权均值不等式加权均值不等式将不同权重的变量考虑在内。
对于任意一组非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和对应的正权重 $w_1, w_2, ..., w_n$，满足 $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$，有以下不等式成立：$$w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + ... + w_n \cdot a_n \geq\sqrt[n]{w_1 \cdot a_1^k \cdot w_2 \cdot a_2^k \cdot ... \cdot w_n \cdot a_n^k}$$其中，$k$ 为任意实数。
均值不等式的一般形式
均值不等式的一般形式1. 均值不等式的基本概念说到均值不等式，这个词听起来是不是有点儿高深莫测？其实它就是在数学里帮助我们理解平均数的一个小工具。
简单来说，均值不等式告诉我们，在一定条件下，平均数的大小会有所不同。
比如说，当你在班里考试时，有的人得了100分，有的人只得了60分，那么这时班级的平均分就会被这两极化的分数影响得很大。
这种情况就好比一场足球赛，球队的整体表现受到几个明星球员的影响，虽然整体实力可能参差不齐，但结果往往是“看谁表现好”。
1.1 为什么要关心均值不等式？那么，为什么我们要关心均值不等式呢？其实，它不光在数学里有用，生活中也处处可见。
想象一下，吃饭时如果你们几个朋友一起点菜，可能有的人爱吃辣，有的人偏爱清淡，最后一桌子的菜拼在一起，大家的口味都不一样，这就像是在演绎均值不等式，吃的结果就是大家都觉得好，但各自的喜好却千差万别。
就像“萝卜青菜，各有所爱”，这就是生活中均值不等式的真实写照。
1.2 实际例子说到实际例子，咱们再来个简单的。
假设你跟几个小伙伴一起去唱K，结果你高音一出，大家都被震惊了，纷纷让你继续唱。
这样一来，你的“表现”就提升了整体的“均值”。
而若是你旁边那位唱得不那么好，结果大家都默默低下头，不愿意点歌，这时候你们的整体表现就会受到影响。
这个现象不就是均值不等式在生活中的生动体现吗？2. 均值不等式的数学表达好啦，进入一些数学层面的东西，其实也没那么复杂。
均值不等式通常可以用一些公式来表示，比如算术均值、几何均值等。
我们常说的算术均值，就是把所有数字加起来再除以数量，这就是我们小时候学的“平均数”。
可是，你知道吗？在某些情况下，几何均值更能反映真实情况，比如在计算利率时，就不能只看简单的算术均值。
这就像是你不可能只看表面，要深入去“刨根问底”。
2.1 均值不等式的应用均值不等式的应用可真不少！在金融、统计学甚至是物理学中，它都能发挥大作用。
比如说，在投资时，大家总想找到最佳投资组合，而均值不等式就是帮助大家评估风险与收益的关键因素。
平均值不等式公式四个
平均值不等式公式四个
平均值不等式（AM-GM不等式）是常用的数学工具，是初等不等式中最重要的一组公式之一、它利用了算术平均数和几何平均数之间的关系。
平均值不等式经常被用于解决最优化问题，同时也在很多证明中有着重要的地位。
(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
其中，a1, a2, ..., an是n个正数，且n是一个正整数。
对于两个正数a和b，它们的算术平均数永远不会小于它们的几何平均数，即：
(a+b)/2≥√(a*b)
这个不等式可以通过平方差公式来证明：
(a-b)^2≥0
a ^ 2 +
b ^ 2 - 2ab ≥ 0
(a ^ 2 + b ^ 2) / 2 + (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 - 2ab ≥ 0
(a ^ 2 + b ^ 2) / 2 ≥ ab
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
其中最后一个不等式利用了均值不等式的定义。
(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ ∛(a1 * a2 * ... * an)
同样可以通过均值不等式的定义和数学归纳法来证明这个不等式。
总之，平均值不等式是数学中一组重要的不等式，它利用了算术平均数和几何平均数之间的关系。
它不仅是证明其他不等式的基础，还可以用于解决一些最优化问题。
平均值不等式在初等数学和其他学科中有着广泛的应用。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式四个式子
均值不等式四个式子均值不等式是初中数学中的基本不等式，它是由加权平均值的概念导出的。
具体来说，假设一组数据为 $a_1,a_2,...,a_n$，相应的权值为$w_1,w_2,...,w_n$，那么其加权平均值为：$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+...+w_na_n}{w_1+w_2+...+w_n}$$在任意非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和任意正实数 $w_1,w_2,...,w_n$ 的情况下，均值不等式总是成立的。
下面展示均值不等式的四个常见式子。
1. 算术平均数（AM）和几何平均数（GM）不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，其算术平均数为$$AM=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$其几何平均数为$$GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$则有$$AM\geq GM$$即算术平均数不小于几何平均数。
2. 平均数不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，则有$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$即算术平均数不小于几何平均数。
3. Cauchy不等式对于两组实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$，则有$$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$$即平方和的乘积不小于乘积的平方。
4. Jensen不等式设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的凸函数，$x_1,x_2,...,x_n$ 是 $[a,b]$ 中的任意数字，$w_1,w_2,...,w_n$ 是任意正数且满足 $w_1+w_2+...+w_n=1$，则$$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+...+w_nf(x_n)\geqf(w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n)$$即加权平均数在凸函数下大于等于函数的加权平均数。
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练 习 ： ( 1 ) 已 知 x 0, 求 函 数 f ( x ) x
( 2 ) 若 a 0, 则 当 a _ _ _ _ 时 ， a 4 9 a
1 x
的最大值
有 最 小 值 ___
(3)设0 x 1, 则函数y x(1 x)的最大值是 ____
例4.(1)设x 1, x
12 (4) x, y都为正数,f(x)＝ 2 y 4, 的最大值． 1.(1)若 x<0，求 且x x ＋3x 则xy有最__值是 ____ .
对应x, y的值是 ____________ .
1 1 (2)已知 0＜x＜2，求 y＝2x(1－2x)的最大值． 1 1 ◎已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，求 ＋ 的最小值． 5. x y x2 6. (3)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－1
练1.解决以下问题 :
(1)已知直角三角形的面积等于５０，两条直角边 各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多 少？
(2)用２０cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 应当怎样折？ ( )做一个体积为３２m ，高为２m的长方体纸盒 ３ ，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
3
例 3 .求 函 数 f ( x )
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
练习：
1 .若 x 0, 则 y 3 x
2 .若 x 3， 则 y x
2 x
1
有 最 __ 值 为 ___, 此 时 x ___ .
有 最 __ 值 为 ___ ， 此 时 x ___ .
x3
3 .若 正 实 数 m , n 满 足 m n 3, 则 m 3 n 有 最 _ _ 值 为 _ _ _ _ , 此 时 m ____, n ____ . 4 .若 正 实 数 m , n 满 足 m 3 n 2, 则 m n 有 最 _ _ 值 为 _ _ _ _ , 此 时 m ____, n ____ .
2 x x 3
2
( x 0 )的 最 大 值 ， 以 及 对 应 的 x 值
x
解： f ( x ) 1 ( 2 x
3 x3 xLeabharlann )，因为x>0，
所以 2 x
得
3 x
≥ 2 2x
2 6
(2 x
3 x
)≤ - 2 6
3 x
因此f(x)≤ 1 2 6
2
当且仅当
3.2均值不等式
1.均 值 定 理 ： 若 a, b R , 则 ab 2 当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 . ab
注意：
1.定 理 中 的 三 点 ； 2 . a , b的 任 意 性
2.我们称 2 为 a , b 的算术平均数，称 ab 为 a , b 的几何平 均数：两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数
5 .若 0 x
1 3
, 则 y 2 x (1 3 x ) 有 最 _ _ 值 为 _ _ _ , 此 时 x _ _ _ .
1 m + 1 n ) ( m + 3n )有 最 _ _ 值 为 _ _ _ _
6 .若 m , n 为 正 实 数 ， 则 (
1 9 例5.（1） 2.已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求 x＋y 的最小值．
(2) 求函数 y
x 2x 1
2
x2
x
2
的最大值
练习(1).设0 x
1 3
, y 4 x(1 3 x)最大值是 ____ .
对应x的值是_____
(2)若x 1, 则2 x 1 x 1 有最__值是 ___ ，对应x的值是 ______ .
(3) x, y都为正数, 且xy 2, 则x 2 y有最__值是 ____ . 对应x, y的值是 ____________ .
3 . 常 用 变 形 ： a b 2 a b； a b (
ab
ab 2
)
2
均值定理的应用
例1解决以下问题 : .
(1)面积为100cm 的矩形中, 哪个矩形的周长最小?
2
(2)周长为36cm的矩形中, 哪个矩形的面积最大 ?
b a 例2已知ab 0, 求证： 2，并指出等号成立的条件 . a b
2x
，即 x
x 6 2
3 2
时，式中等
号成立。 由于x>0，所以 因此
，式中等号成立， ，此时 x
6 2
f ( x ) m ax 1 2 6
。
以上结论成立的条件 : (一正, 二定, 三相等)
(1)两项都必须是正数; (2)两项的积或和必须是常数(定值); (3)等号成立的条件必须存在.
例6.
1.已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．
2.
3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下 边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学 生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
A B b a
P
H
小结:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
( 2 ).若 0 x 1 2
4 x 1
的最小值是 ____ .
, 则 y 3 x (1 2 x ) 有 最 _ _ 值 为 _ _ _ , 此 时 x _ _ _ .
(3) x, y都为正数, 且2 x y 2, xy的最大值是 ____ . 对应x, y的值是 ____________ .