电路 第12章习题1 三相电路

第12章三相电路

第一节内容提要

一、对称三相电源

1.对称三相电源

按照正弦规律变化且同频率的三相电源，其电压的有效值相等、相位依次相差120时，称为对称三相电源。对称三相电源电压的瞬时值表示为

u A=2U sin(ωt + 0）

u B =2U sin(ωt - 120）

u C =2U sin(ωt - 240）=2U sin(ωt + 120）

对称三相电源电压用相量表示为

U

= U P∠0

A

U

= U P∠-120

B

U

= U P∠-240= U P∠+120

C

U P为相电压的有效值。对称三相电源的特点是u A+ u B+ u C = 0或 U A+ U B+ U C= 0 。

发电机的每个绕组构成的一个电压源称为电源的一相。三相电源中，各相电压从同一方向经过同一值的先后次序称为三相电源的相序。如果A相超前于B相，B相超前于C相，这种相序称为正序或顺序，即A-B-C。如果B相超前于A相，C相超前于B相，这种相序称为负序或逆序，即C-B-A。如无特别说明，三相电源电压的相序均指正序。

2. 三相电源的连接方式

三相电路中的电源有两种基本的连接方式，即星形连接和三角形连接。

（1）星形连接

星形电源线电压与相电压的关系为：

U

= U A- U B =3 U A∠300

AB

U

= U B - U C =3 U B∠300

BC

U

= U C - U A =3 U C∠300

CA

即

U =3U p

U 为线电压的有效值。电源的星形连接及电压相量图如图 1 所示。

（2）三角形连接

三角形电源线电压与相电压的关系为

(a)(b)

图1 电源的星形连接及其电压相量图

U

= U A， U BC= U B， U CA= U C

AB

即：U = U p。电源的三角形连接如图 2 所示。

图2 三相电源的三角形连接图3 三相负载的星形连接

二、对称三相负载

1. 对称三相负载

三相负载的三个阻抗相等时，称为对称三相负载。

2. 三相负载的连接方式

（1）星形连接

三相负载星形连接如图3 所示。当星形负载与电源连接时，电路中就有电流。星形负载中相电流等于线电流，即I =I p。

（2）三角形连接

三相负载三角形连接如图4（a）所示。

三角形负载的线电流用 I A、 I B、 I C表示，相电流用 I AB、 I BC、 I CA表示，线电流与相电流的关系为：

I

= I AB- I CA =3 I AB∠-300

A

I

= I BC- I AB =3 I BC∠-300

B

I

= I CA- I BC =3 I CA∠-300

C

即：I =3I p

(a)(b)

图4 对称负载的三角形连接和电流相量图

三、三相电路的连接方式

三相电源和三相负载连接在一起就构成三相电路。其接线方式有以下几种：Y0 - Y0连接、Y - Y连接、Y - ?连接、? - Y连接、? - ?连接及其它复杂三相电路。

四、对称三相电路的计算

当三相电路中的三相电源对称、三相负载对称、三条输电线阻抗相等的电路就是对称三相电路。针对三相电路对称这一特殊性，可以简化三相电路的分析计算。不管是哪一种连接方式，都可以化为Y - Y连接的电路。由于电源的中性点与负载中性点是等电位点，可用一短接线将它们连接，即将三相电路计算变成三个单相电路计算。一般是画出A相电路计算，其余两相的响应可根据对称关系写出结果。

五、不对称三相电路的计算

在三相电路中，当电源不对称或者负载不对称时，就成为不对称三相电路。如果不对称三相电路是三相电源对称而三相负载不对称时，用结点电压法计算出电源的中性点与负载中性点之间的电位，然后再计算各相负载的电压和电流；还可以利用电路的特点进行计算。由于不对称三相电路中的各相电流一般是不对称的，所以不对称三相电路的计算不能简化为单相电路计算。如果不对称三相电路是三相电源和三相负载都不对称时，也可以利用电路的特点进行计算。

六、对称三相电路的功率

在对称三相电路中，三相电路的有功功率、无功功率、视在功率等于一相功率的三倍。三相电路的功率可以用相电压、相电流计算；也可以用线电压、线电流计算。设相电压有效值为U P，相电流有效值为I P，相电压与相电流的相位差为?；设线电压有效值为U ，线相电流有效值为I 。则

P = 3 U p I p cos?= 3U I cos?

Q = 3 U p I p sin?= 3U I sin?

S = 3U p I p =3U I

七、三相电路功率的测量

1、三相四线制电路

在三相四线制电路中，当负载不对称时须用三个单相功率表测量三相负载的功率，如图5 所示。这种测量方法称为三表法。

图5 三相四线制功率测量图6 三相三线制功率测量

在三相四线制电路中，当负载对称时只须用一个单相功率表测量三相负载的功率，如图 5 中的任意一个表都可以。

P=3P A=3P B=3P C

即任意一个表的读数乘以3就是三相负载的功率。这种测量方法称为一表法。

2、三相三线制电路

对于三相三线制电路，不管负载对称还是不对称，也不管负载是星形还是三角形连接，可以用两个单相功率表测量三相负载的功率，如图6所示。这种测量方法称为两表法。

三相负载的有功率功率为

P = P1 + P2

在对称三相电路中，P1= U AC I A cos(300 - ?)，P2= U BC I B cos(300 + ?)。式中?为负载的阻抗角（也是相电压与相电流的相位差角）。P1是电压线圈跨接的相序为逆相序的功率表的读数，P2是电压线圈跨接的相序为顺相序的功率表的读数。当?大于600 时，功率表W2出现反转，可将功率表的“极性旋钮”旋至“- ”位置，此时P2的读数应取负值，即P = P1 - P2。

第二节题解与答案

12 - 1对称三相负载作星形联接，负载阻抗Z=78+j 67 Ω，输电线阻抗Z l=2+j 3 Ω，对称电源线电压U =380 V。求负载的电流、负载的线电压和相电压。

解：画出三相电路的电路图，如图7所示。由对称三相电源线电压求对称三相电源相电压

U p=U

3

l=380

3

=220V

选择A相电压为参考相量，即令

U

A=220∠0

0V

采用一相计算方法，画出A相的计算电路如图8所示。

图7 图8

I

A= U

A÷（Z l + Z）= 220∠0?÷（2+ j 3 + 78+ j 67）= 2.07∠- 41.19?（A）

由对称性可得

I

B= I

A∠ - 120? = 2.07∠- 161.19?（A）

I

C= I

A∠ 120? = 2.07∠ 78.81?（A）

A相负载电压

U

A O''= I

A Z = 2.07∠- 41.19??（78 + j67）

= 212.86∠- 0.53?（V）由对称性可得

U

B O''= U

A O''∠ - 120? = 212.86∠- 120.53?（V）

U

C O''= U

A O''∠ 120? = 212.86∠119.47?（V）

负载线电压

U

A B''= 3 U

A O''∠30?=368.68∠29.47?（V）

U

B C''= 3 U

B O''∠30?= 368.68∠- 90.53?（V）

U

C A''= 3 U

C O''∠30?= 368.68∠149.47?（V）

12 - 2 (1) 220 V, 13.80 A；(2) 15.94 Ω；(3) 23.90 A, 41.40 A。

12 - 3 1.1 A, 377.5 V

12 - 4 3.23 A, 1.87 A, 369.5 V

12- 5三相四线电路中，对称电源线电压U =380 V，不对称星形负载分别为Z A =3+ j 4Ω，Z B = 5+j 5 Ω，Z C = 5+j 8.66 Ω，设A相电压为参考相量。求：

（1）中线阻抗Z0 = 0 时的线电流和中线电流；

（2）中线阻抗Z0 = 4+j 3 Ω时的中性电压、线电流和中线电流；

（3）中线阻抗Z0 = 0，A相负载开路及短路时的线电流和中线电流；

（4）中线阻抗Z0 =∞，A相负载开路及短路时的线电流和中性点电压；

解：画出三相电路的电路图，如图9所示。由对称三相电源线电压求对称三相电源相电压

U p=U

3

l=380

3

=220V

选择A相电压为参考相量，即令： U A=220∠00V。

(1) 中线阻抗Z0 = 0 时，电路分为三个单相电路计算。

I

A= U

A÷ Z A = 220∠ 0?÷ (3+ j 4) = 44∠- 53.13?( A)

图9

I

B= U

B÷ Z B = 220∠ -120?÷ (5+j 5) = 31.11∠- 165?(A)

I

C= U

C÷ Z C = 220∠120?÷ (5+j 8.66) = 22∠60?(A)

I

0= I

A+

I

B+

I

C= 25.3∠- 73?(A)

U

00'= 0 (V)

(2) 中线阻抗Z0 = 0 时，由于Z A、Z B、Z C不相等，就构成了不对称的Y - Y电路。该电路的节点电压方程为：

U

O O'（

111

Z Z Z

A B C

+++

1

Z0

）=

U

Z

A

A

+

U

Z

B

B

+

U

Z

C

C

U

O O'=（ U

Z

A

A

+

U

Z

B

B

+

U

Z

C

C

）÷（

111

Z Z Z

A B C

+++

1

Z0

）=39.85∠- 25.67?(V)

负载相电压

U

AO'= U

A-

U

O O'= 220∠0? - 39.85∠- 25.67?= 184.89∠-5.36?(V)

U

BO'= U

B-

U

O O'= 220∠-120? - 39.85∠- 25.67?= 226.53∠- 130.1?(V)

U

CO'= U

C-

U

O O'= 220∠120? - 39.85∠- 25.67? = 253.91∠- 125.1?(V)

负载线电流和中线电流

I

A= U

AO'÷Z A=184.89∠-5.36?÷(3+j4)=36.98∠-47.77?(A)

I

B= U

BO'÷Z B = 226.53∠- 130.1?÷(5+ j5) =32∠-175.1?(A)

I

C= U

CO'÷Z C = 253.91∠- 125.1?÷(5+ j8.66)= 25.4∠65.1?(A)

I

0= I

A+

I

B+

I

C= 7.97∠- 62.54?(A)

（3）中线阻抗Z 0 = 0，A 相负载开路时的线电流、中线电流、中点电压：由于A 相负载开路，故 I A = 0 A 。

I B

= U

B

÷ Z B = 220∠ -120?÷ (5+j 5) = 31.11∠- 165? (A) I C =

U C

÷ Z C = 220∠120? ÷ (5+j 8.66) = 22∠60? (A) I 0

=

I B

+ I C

= 21.95∠149.9? (A)

U 00

'= 0 (V) 中线阻抗Z 0 = 0，A 相负载短路时的线电流、中线电流、中点电压：由于A 相负载短路，故 I A = ∞。

I B

= U

B

÷ Z B = 220∠ -120?÷ (5+j 5) = 31.11∠- 165? (A) I C =

U C

÷ Z C = 220∠120? ÷ (5+j 8.66) = 22∠60? (A) I 0

=

I A

+ I B

+ I C

= ∞。

U 00

'= 0 (V) （4）中线阻抗Z 0 =∞，A 相负载开路时的线电流和中性点电压：由于A 相负载开路，故 I A = 0 A 。

I B

= U

BC

÷（Z B + Z C ）= 380∠-90? ÷（10+j8.66)= 22.45∠-143.8? （A ） I C = - I B = 22.45∠36.2? （A ）

I 0= 0 （A ）

U 00

'= - I B

Z B + U

B

= 92.1∠-158.57? （V ） A 相负载短路时的线电流和中性点电压：由于A 相负载短路，故 U 00'= U A

。 I B

= U

BA

÷ Z B = 380∠-150? ÷（5+j5)= 76∠156.87? （A ） I C = U CA ÷ Z C = 380∠150? ÷（5+j8.66) = 38∠90? （A ）

I A

= -（ I B

+ I C

）= 97.41∠- 44.15? （A ）

12 - 6 0. 40U p ∠221.5? V, 1.50U p ∠101.6? V

12 - 7 电路如图10所示。三相对称电源线电压U = 380 V 。Z= 50+j 50 Ω，Z l =100+j 100Ω。试求：

（1）开关K 断开时的线电流； （2）开关K 闭合时的线电流；

（3）当开关K 闭合时，如果用两表法测量电源端三相功率，试画出接线图并求两 个功率表的读数。

解：（1）开关K 断开时为对称三相电路。选择A 相电压为参考相量，即令： U

A

=220∠00V 。 I A = U A ÷ Z = 220∠ 0?÷ (50+ j50) =3.11∠- 45? ( A) 由对称性得出

图10 图11

I

B= 3.11∠- 165?A， I

C= 3.11∠75?A。

（2）开关K闭合时，由于加在三相负载Z上的电压和开关K断开时一样，故流过三相负载Z上的电的线电流不变。

I

K= U

AB÷ Z l =380∠30?÷（100+j 100）= 2.69∠- 15?（A）

I

A= 3.11∠- 45? +2.69∠- 15?= 5.60∠- 31.1?（A）

I

B= 3.11∠- 165? - 2.69∠- 15?= 5.60∠- 178.9?（A）

I

C= 3.11∠75?A。

（3）当开关K闭合时，画出用两表法测量电源端三相功率的接线图如图11所示。两个功率表的读数分别为：

P1= U AB I A cos[30?- (-31.1?)] = 380 ? 5.60 ? cos61.1?=1028.4 (W)

P2= U I

CB C cos(90?- 75?) = 380 ? 3.11 ? cos15?= 1141.5 (W)

验证：P = P1+ P2= 1028.4 + 1141.5 = 2169.9 （W）

P = 3380 ? 3.11 ? cos45?+2.692?100 = 1445.7 + 723.6 = 2169.3 （W）

12 - 8画相量图可证

12 - 90.4

12- 10 4.42 A

12 - 11图12所示电路中的一个功率表可以测出三相负载的无功功率。已知功率表的读数为5kW，求负载吸收的无功功率。

图12 图13

解：功率表的读数为

P = U BC I A cos（- 90?- ?）= U BC I A sin ? = U I sin ? = 5000

Q= 3U I sin ? = 35000 = 8660 (var)。

12 - 12图13所示电路中当K1、K2闭合时，各电流表的读数都是10A，求

（1）K1闭合，K2断开时各电流表读数；

（2）K1断开，K2闭合时各电流表读数。

解：（1）K1闭合，K2断开时各电流表读数：由于电路中当K1、K2闭合时，各电流表的读数都是10A，设线电流

I

A= 10∠0?A，则 I

B= 10∠-120?A，

I

C= 10∠120?A。

由此可得到负载相电流

I

AB=（10/3）∠30?= 5.77∠30?A， I

BC=5.77∠- 90?A ，

I

CA=5.77∠150?A。

当K2断开时， I A= I AB= 5.77∠30?A， I C= - I BC=5.77∠90?A ；

I

B= I

BC-

I

AB= 5.77∠-90? - 5.77∠30? = 10∠-120?（A）

故三个表的读数分别为：5.77A；10A；5.77A。

（2）K1断开，K2闭合时各电流表读数：K1断开后， I B= 0， I CA=5.77∠150?A；

I

AB= I

BC= - 0.5

I

CA= 0.5 ? 5.77∠- 30?= 2.885∠- 30?（A）

I

A= I

AB-

I

CA= 2.885∠- 30? - 5.77∠150?= 8.66∠- 30?（A）

I

C= - I

A= - 8.66∠- 90?= 8.66∠ 90?（A）

故三个表的读数分别为：8.66A；0A；8.66A。

12-13 图14所示电路为单相电源变三相电源的移相电路。已知负载电阻R= 20Ω，电源频率f = 50 Hz，要使负载电阻R获得对称三相电压，L、C应取何值？

图14 图15 相量图

解：要使负载电阻R获得对称三相电压，画出其负载的电压相量图如图15 所示。设 U AC= U∠0?V，由相量图可以得出： U AB= U∠60?V， U BC= U∠- 60?V， U BO'= （U/3）∠- 90? V。在节点B有： I L= I C+ I R。即

U

AB÷j X L= U

BC÷(- j X C) +

U

BO'÷R

代入电压值

U∠60?÷j X L= U∠- 60?÷(- j X C) + （U/3）∠- 90?÷R

1 X L （

3

2

- j

1

2

）=

1

X C

（

3

2

+ j

1

2

）- j

1

3R

令实部与虚部分别相等

X L= X C；-

1

X L

=

1

X C

- 2

1

3R

解得：X L= X C= 3R

L = 3R÷ω = 110.3 (mH) ;

C = 1

3R

÷ω = 91.9 (μF)

12 - 14(1) 65.82 A, 0 A, 25.6 kW；(2) 65.82 A, 40.5 A

图16所示三相电路中，对称电源线电压U =380 V，对称星形负载为Z1 =10+ j 16Ω，对称三角形负载分别为Z2 = 2+j 3 Ω，Z3 = 3+j 21 Ω。设电压表的内阻抗为无穷大，求电压表的读数。

图16

解：由对称三相电源线电压求对称三相电源相电压，U p =U

3

l=380

3

=220V。选择A

相电压为参考相量，即令： U A=220∠0?V，则 U AB= 380∠30? V， U BC= 380∠- 90? V， U CA= 380∠150? V， U AC= 380∠- 30? V 。对称三角形负载的相电流

I

AC= U

AC/（Z2 + Z3）= 380∠- 30?÷（2+ j 3 +3+j 21）= 15.5∠- 108.2?（A）

U

AN= I

AC Z2 = 15.5∠- 108.2??（2+ j 3 ）= 55.8∠- 51.9?（V）

电压表的端电压

U

O N'

= U AN- U AO'= 55.8∠- 51.9?- 220∠0?= 190.7∠- 166.7?（V）

所以，电压表的读数为190.7V。

12-15 图17所示三相电路中，对称电源线电压U =380 V，对称星形负载为Z ，不对称星形负载分别为Z A = 10Ω，Z B = j 10 Ω，Z C= - j 10 Ω。设电压表的内阻抗为无穷大，求电压表的读数。

图17 图18

解：由对称三相电源线电压求对称三相电源相电压：U p =U

3

l=380

3

=220V。选择A

相电压为参考相量，即令 U A=220∠0?V，则： U B= 220∠- 120?V， U C= 220∠ 120?V。因为电源中点与对称负载中点等电位，故可以作为电位参考点。这样便可以不考虑对称负载，而将原电路简化为图18所示电路来分析。以电源中点O为参考点，列出节点电压方程

U

O O'（

111

Z Z Z

A B C

++）=

U

Z

A

A

+

U

Z

B

B

+

U

Z

C

C

U

O O'=（ U

Z

A

A

+

U

Z

B

B

+

U

Z

C

C

）÷（

111

Z Z Z

A B C

++）

= [(220∠0?/10)+(220∠-120?/ j10)+(220∠120?/ -j10)]÷[(1/10)+(1/ j10)+(1/ - j10)]

= 220∠0?- j220∠- 120? +j220∠120?

= - 161.05 (V)

所以，电压表的读数为161.05V。