三角形的内心和外心
三角形的内心和外心
三角形的内心和外心三角形是几何学中的基本概念，它有很多有趣的性质和特点。
其中，内心和外心是三角形中的两个重要元素，它们与三角形的关系密不可分。
一、内心的定义和性质内心，顾名思义，是指三角形内部与三边相切的唯一圆心。
内心的特征是到三角形的三条边距离之和最小。
对于任意一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，三个内角分别为A、B、C，三角形的内心为I。
根据内心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形内心所在的圆称为内切圆，它与三边分别相切于D、E、F三点。
2. 内角平分线经过内心，即角BIC、角CIA和角AIB的角平分线分别经过点I。
3. 内心到三边的距离分别是相等的，即ID = IE = IF = r，其中r为内切圆的半径。
二、外心的定义和性质外心是指能够同时与三角形的三个顶点相切的圆心，它也被称为三角形的外接圆心。
外心的特征是到三角形的三个顶点距离相等。
对于任意一个三角形ABC，设三个顶点分别为A、B、C，三个外角分别为α、β、γ，三角形的外心为O。
根据外心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形外心所在的圆称为外接圆，它的圆心为点O，半径为R。
2. 外接圆的直径等于三角形的边长中的最长边，即d = 2R。
3. 外心是三边的垂直平分线的交点，即AO、BO和CO是三边的垂直平分线。
4. 三个外角的平分线经过外心，即角BAC、角ABC和角BCA的平分线分别经过点O。
三、内心和外心的关系内心和外心是三角形中两个特殊点，它们之间存在一定的关系：1. 内心、外心和重心共线：三角形的内心、外心和重心这三个特殊点共线，共线的直线称为欧拉线。
2. 内切圆与外接圆：三角形的内心是内切圆的圆心，与外心的连线垂直于三角形的边。
3. 内心到三边的距离和外心到三边的距离的关系：内心到三边的距离之和等于外心到三边的距离之差。
四、应用举例内心和外心的概念和性质在实际中有许多应用，例如：1. 寻找三角形的内心和外心可以用于确定建筑物的重心和平衡点。
三角形的内心与外心
三角形的内心与外心在我们探索三角形的奇妙世界时，内心和外心是两个非常重要的概念。
它们就像是三角形的两个神秘“心脏”，各自有着独特的性质和作用。
首先，咱们来聊聊三角形的内心。
内心，简单来说，就是三角形内角平分线的交点。
想象一下，我们把三角形的三个角分别对折，那么对折后的这些折线会交汇于一点，这个点就是内心。
内心有一个特别重要的性质，那就是它到三角形三边的距离相等。
这意味着，如果我们以内心为圆心，以内心到边的距离为半径画一个圆，这个圆就会与三角形的三边都相切，这个圆被称为三角形的内切圆。
为什么内心会有这样的性质呢？咱们可以通过角平分线的性质来理解。
角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
因为内心是三条角平分线的交点，所以它到三角形三边的距离自然也就相等了。
在实际生活中，内心的概念也有不少应用。
比如说，在一块三角形的土地上要建造一个仓库，为了使仓库到三条边界的距离都最短，从而节省运输成本，那么仓库就应该建在这块土地三角形的内心位置。
接下来，再说说三角形的外心。
外心是三角形三边中垂线的交点。
如果我们把三角形三边的垂直平分线都画出来，它们会相交于一点，这一点就是外心。
外心有一个关键的特点，那就是它到三角形三个顶点的距离相等。
基于这个性质，我们以三角形的外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径画一个圆，这个圆会经过三角形的三个顶点，所以被称为外接圆。
那为什么外心到三角形三个顶点的距离相等呢？这是因为中垂线上的任意一点到线段的两个端点距离相等。
由于外心是三边中垂线的交点，所以它到三个顶点的距离必然相等。
外心在实际中也有实用价值。
比如要在一个三角形的区域内设置一个信号塔，使得信号能够均匀地覆盖三角形的三个顶点，那么信号塔就应该建在外心的位置。
为了更直观地理解内心和外心的区别，咱们可以通过一些具体的例子来感受一下。
比如一个等边三角形，它的内心和外心是重合的。
但对于一般的三角形，内心和外心通常是不同的点。
从计算的角度来看，如果我们知道三角形的三个顶点的坐标，要计算内心和外心的坐标，就需要运用一些数学公式和方法。
三角形的内心与外心的性质
三角形的内心与外心的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则是这个图形中具有重要性质的点。
本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。
一、三角形的内心内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距离之和最短。
我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。
内心具有以下性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心。
所谓内切圆，是指与三角形的三条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。
2. 内心到三角形的三条边的距离相等。
这是因为内切圆相切于三边的中点，所以到各边的距离相等。
3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。
因此，通过内心可以得到三角形内角平分线的重要性质。
二、三角形的外心外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。
我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。
外心具有以下性质：1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。
所谓垂直平分线，是指与三边垂直且通过三边中点的直线。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。
3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。
因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。
三、内心和外心的应用内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。
2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。
通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。
3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。
例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。
总结：三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。
它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。
三角形重心内心外心
1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半。
5．旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
每一题中三角形均为ABC一.中垂线交点（外心）分别作AB，BC的中垂线，交于点O，则OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，所以点O在AC中垂线上，所以三角形三条中垂线交于一点。
二.三高所在直线交点（垂心）分别过A,B,C作对边的平行线，交于3点，与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F，则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线，由“一”知，三角形三条中垂线交于一点，，所以三角形三条高线所在直线交于一点。
三.三条内角平分线交点（内心）设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。
四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点（旁心）（有3点）证明方法与“三”内心相似（略）五.三角形三条中线交于一点（重心）找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC，得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底等高），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是几何学中的基本概念之一，在平面几何中具有重要的地位。
其中，三角形的外心与内心是三角形内外切圆的圆心，对于三角形的性质和关系研究具有重要意义。
本文将探讨三角形的外心与内心的定义、性质以及如何求解它们的方法。
一、三角形的外心三角形的外心是可以通过三角形的三个顶点的垂直平分线相交而得到的圆心，它与三角形的顶点相连形成的三个外角都等于360度的平均值，也就是120度。
外心到三个顶点的距离都相等，这个距离也叫做外心到顶点的半径。
我们可以利用外心的性质来求解外心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的外心的坐标为O(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 直线AB的中垂线方程：x = (x1 + x2) / 22. 直线BC的中垂线方程：x = (x2 + x3) / 23. 直线CA的中垂线方程：(y - y1) / (x - x1) = (x3 - x1) / (y3 - y1)通过解这个方程组，我们可以求解出外心的坐标，从而确定三角形的外心位置。
二、三角形的内心三角形的内心是通过三角形的三个内角的平分线相交而得到的圆心，它与三角形的三边相切。
内心到三边的距离都相等，这个距离也叫做内心到边的半径。
我们可以利用内心的性质来求解内心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的内心的坐标为I(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 角A的平分线方程：y = k1 * x + b12. 角B的平分线方程：y = k2 * x + b23. 角C的平分线方程：y = k3 * x + b3通过解这个方程组，我们可以求解出内心的坐标，从而确定三角形的内心位置。
三、三角形外心与内心的关系三角形的外心和内心有一定的关系。
根据性质可知，外心是垂直平分线的交点，而内心是角的平分线的交点。
三角形的内心与外心
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部
三角形为锐角三角形
三个角都小于90°；
②外心在三角Leabharlann 的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；
③外心在三角形的外部
三角形为钝角三角形
有一个角大于90°.
随堂练习
1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ B ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条内角平分线的交点
中考专题复习
三角形的内心与外心
中考要求
理解三角形的内心和外心.
1.三角形的内心 （1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆； （2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形三个内角平分线的交 点；
解题技巧
（3）见到三角形的内心就想以下两点： ①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
这个圆叫作三角形的外接圆； （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 三条边的垂直平分线 的 交点；
解题技巧
（3）见到三角形的外心就想以下两点： ①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边. 如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC， 必有AD=CD，BE=CE. ②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等. 如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC， 必有PA=PB=PC.
2. 如图，方格纸中，点A、B、C、D、O均为格点，点O是（ D ） A. △ABC的内心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ACD的外心
3. 点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数
为（ D ）
三角形的内心与外心
三角形的内心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，它有许多重要的性质和特征。
其中，内心和外心是三角形的两个重要点。
本文将探讨三角形的内心和外心，并介绍它们的定义、性质和应用。
一、内心内心是指三角形内切圆的圆心，也是三角形三条内角平分线的交点。
我们先来了解一下内心的定义和性质。
1. 定义对于任意一个三角形ABC，假设D、E、F分别是三角形ABC的三个顶点和内心I连线与三角形的三条边的交点。
此时，I点就是三角形ABC的内心。
2. 性质（1）内心到三角形的三条边的距离相等，即ID = IE = IF。
（2）内心是三角形内角平分线的交点。
（3）内心是三角形的重心和垂心的共轭点。
3. 应用内心在三角形的几何学中有着广泛的应用。
它与三角形的边、角等息息相关，在计算几何和三角函学习中起着重要的作用。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心。
下面我们来了解一下外心的定义、性质和应用。
1. 定义对于任意一个三角形ABC，假设D、E、F分别是三角形ABC的三个顶点与外心O连线与三角形的三条边的交点。
此时，O点就是三角形ABC的外心。
2. 性质（1）外心是三角形三条外角平分线的交点。
（2）外心到三角形的三个顶点距离相等，即OA = OB = OC。
3. 应用外心在几何学中也具有广泛的应用。
它与三角形的角度、面积、周长等有关，是解决各种三角形问题的基础。
总结三角形的内心和外心是三角形中的两个重要点。
内心与外心在三角形的内外切圆和角平分线等方面具有重要作用，它们在计算几何和三角函学习中有广泛的应用。
掌握了内心和外心的定义、性质和应用，能够帮助我们更好地理解和分析三角形问题，为解题提供指导和思路。
以上是对三角形内心和外心的介绍。
希望通过本文的阅读，能够对三角形的内心和外心有更深入的了解，并能够在解决三角形问题时灵活运用内心和外心的性质。
三角形作为几何学的基础，其性质和特征不仅具有理论意义，也有实际应用价值。
在实际生活和工作中，我们可以遇到许多与三角形有关的问题，掌握了内心和外心的相关知识，就能够更好地应对和解决这些问题，提高自己的数学素养和几何推理能力。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是几何学中最基本的多边形之一，它有许多重要的特征和性质。
其中，外心与内心是三角形的两个重要点，在研究和解决相关问题时起到了重要的作用。
一、外心外心是指可以同时与三角形的三个顶点相切的圆心，也被称为三角形的外接圆心。
在三角形的外接圆中，外心是圆心，外切于三角形的三个顶点。
外心具有以下特征和性质：1. 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即外心到三角形三条边的距离相等；2. 外心到三角形的每条边上的垂直平分线相交于外心；3. 外心所在的外接圆是可以完全包围三角形的最小圆；4. 三角形的三个角度的二分线相交于外心。
由于外心具有以上特性，它在许多三角形的相关问题中起着重要的作用。
例如，通过三角形的外心可以确定外接圆的位置，从而进一步研究三角形的各种性质。
此外，外心也可以用来构造与三角形相关的一些图形。
二、内心内心是指可以同时与三角形的三条边相切的圆心，也被称为三角形的内切圆心。
在三角形的内切圆中，内心是圆心，内切于三角形的三条边。
内心具有以下特征和性质：1. 内心到三角形的三边的距离之和等于三角形的周长；2. 内心到三角形的每条边上的角平分线相交于内心；3. 内心所在的内切圆是与三角形相切于三个顶点的最大圆；4. 由内心引出的三条角平分线相交于三角形的内心。
内心也是解决许多三角形相关问题的重要工具。
通过内心可以确定内切圆的位置，从而进一步研究三角形的各种性质。
内心还可以用来构造与三角形相关的一些图形。
三、外心与内心的关系三角形的外心与内心有一定的关系，它们之间有以下性质：1. 外心、内心和三角形的重心共线，即它们三个点在一条直线上；2. 连接外心和内心的连线等于三角形的Euler线，Euler线是三角形的重心、外心和内心连线的垂直平分线。
这些性质揭示了外心与内心的几何关系，也为解决三角形相关问题提供了依据。
四、例题解析现有一个三角形ABC，顶点A为(1, 1)，顶点B为(4, 1)，顶点C为(2, 5)。
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三角形的内心和外心
一、提出问题
问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（）
A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB
C. 2∠AIB−1
2
∠AOB=180°
D. 2∠AOB−1
2
∠AIB=180°
二、分析与解决问题
三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心）
问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为
⌒
AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在
⌒
AD上运动时，r的值满足（）
A. 0<r<3
B. r=3
C. 3<r<3√2
D. r=3√2
小结：
A
Q
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五、巩固练习（线段关系运用）
1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论：
①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心；
③AB+AC=BC+√；④AB⋅AC=2BK⋅CK.
正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为
⌒
AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA
①求证：I为△ABC内心.
②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值.
3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为
⌒
BD上一
点.
①求证：AC−BC=√2CD.
②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1
时，求S△ABC.
C
B
A
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