三角形内心与外心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的外心与内心的性质
三角形的外心与内心的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外心与内心则是三角形内外接圆的特殊点。
本文将重点讨论外心与内心的性质及其与三角形的关系。
一、外心的性质外心是三角形外接圆的圆心，也被称为三角形的Circumcenter。
对于任意的三角形ABC，我们可以通过以下性质来确定外心的位置：1. 外心是三角形三个垂直平分线的交点。
垂直平分线是指从三角形的各个顶点到对边中点的垂直平分线。
2. 外心到三角形的每条边的距离都相等，即OC=OA=OB。
其中，O 表示外心，A、B、C表示三角形ABC的顶点。
3. 三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边，即2R=BC，其中R 表示外接圆的半径，BC表示三角形的最长边。
二、内心的性质内心是三角形内切圆的圆心，也被称为三角形的Incenter。
内切圆是唯一与三角形的三个边相切的圆，因此内心也是三角形三个角的角平分线的交点。
对于任意的三角形ABC，我们可以通过以下性质来确定内心的位置：1. 内心是三角形三条角平分线的交点。
角平分线是指从三角形的各个顶点出发，将相邻两边的夹角平分的线。
2. 三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，即ID=IE=IF。
其中，I表示内心，D、E、F表示三角形ABC的顶点。
3. 内接圆的半径可以通过公式r = S / p来计算，其中r表示内接圆的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。
三、外心与内心之间的关系1. 外心、内心和重心共线。
重心是三角形三条中线的交点。
这条共线性质被称为欧拉线。
2. 外心到三个顶点的距离大于内心到三个顶点的距离，并且外心到顶点的距离之间存在大小关系。
3. 外心和内心的连线与三角形的三个角相对应。
四、实际应用外心和内心的性质在实际应用中有广泛的应用。
例如，在三角测量中，可以通过求解外心和内心的位置来计算三角形的形状和尺寸。
此外，在工程设计中，外心和内心的性质也被用于定位和计算结构的稳定性。
总结：三角形的外心与内心是三角形内外接圆的特殊点，它们具有一系列的性质。
三角形的内心和外心分别是什么(一)2024
三角形的内心和外心分别是什么（一）引言概述: 三角形是几何学中的基本图形之一，它有多个重要概念，其中包括内心和外心。
本文将通过五个大点来详细介绍三角形的内心和外心的定义、性质和计算方法。
正文内容:大点1: 内心的定义和性质- 内心是三角形内部的一个点，到三边距离的和与最短距离之差的绝对值最小。
- 内心是三角形的唯一一个共边接触圆心。
- 内心到三边的距离有特定的比例关系，即切线分割线段等分。
大点2: 内心的计算方法- 利用三角形的边长，可以通过海伦公式计算内心的坐标。
- 利用三角形的角度，可以通过垂心公式计算内心的坐标。
- 利用内切圆的半径和圆心角，可以计算内心到三边的距离。
大点3: 外心的定义和性质- 外心是三角形外接圆的圆心，即通过三个顶点的唯一圆心。
- 外心到三个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的线段相等。
- 外心与三个顶点的连线构成的角度为三角形的外角，即三个外角的平分线汇聚于外心。
大点4: 外心的计算方法- 利用三角形的边长和角度，可以通过外心公式计算外心的坐标。
- 利用三角形的中垂线，可以求出中垂线的交点坐标，即外心的坐标。
大点5: 内心和外心的应用- 内心可以用于构造三角形的内切圆，进行三角形内接圆问题的解决。
- 外心可以用于构造三角形的外接圆，进行三角形外接圆问题的解决。
- 内心和外心都是三角形重要的几何中心之一，对于三角形的性质研究、定理证明等具有重要意义。
总结: 本文通过介绍三角形的内心和外心的定义、性质和计算方法，以及它们的应用，让读者对三角形的内心和外心有了更深的了解。
通过理解和应用这些概念，读者可以更好地掌握三角形的性质和定理，深入研究三角形相关的几何问题。
三角形的内心和外心
三角形的内心和外心三角形是几何学中的基本概念，它有很多有趣的性质和特点。
其中，内心和外心是三角形中的两个重要元素，它们与三角形的关系密不可分。
一、内心的定义和性质内心，顾名思义，是指三角形内部与三边相切的唯一圆心。
内心的特征是到三角形的三条边距离之和最小。
对于任意一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，三个内角分别为A、B、C，三角形的内心为I。
根据内心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形内心所在的圆称为内切圆，它与三边分别相切于D、E、F三点。
2. 内角平分线经过内心，即角BIC、角CIA和角AIB的角平分线分别经过点I。
3. 内心到三边的距离分别是相等的，即ID = IE = IF = r，其中r为内切圆的半径。
二、外心的定义和性质外心是指能够同时与三角形的三个顶点相切的圆心，它也被称为三角形的外接圆心。
外心的特征是到三角形的三个顶点距离相等。
对于任意一个三角形ABC，设三个顶点分别为A、B、C，三个外角分别为α、β、γ，三角形的外心为O。
根据外心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形外心所在的圆称为外接圆，它的圆心为点O，半径为R。
2. 外接圆的直径等于三角形的边长中的最长边，即d = 2R。
3. 外心是三边的垂直平分线的交点，即AO、BO和CO是三边的垂直平分线。
4. 三个外角的平分线经过外心，即角BAC、角ABC和角BCA的平分线分别经过点O。
三、内心和外心的关系内心和外心是三角形中两个特殊点，它们之间存在一定的关系：1. 内心、外心和重心共线：三角形的内心、外心和重心这三个特殊点共线，共线的直线称为欧拉线。
2. 内切圆与外接圆：三角形的内心是内切圆的圆心，与外心的连线垂直于三角形的边。
3. 内心到三边的距离和外心到三边的距离的关系：内心到三边的距离之和等于外心到三边的距离之差。
四、应用举例内心和外心的概念和性质在实际中有许多应用，例如：1. 寻找三角形的内心和外心可以用于确定建筑物的重心和平衡点。
三角形的内心与外心的性质
三角形的内心与外心的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则是这个图形中具有重要性质的点。
本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。
一、三角形的内心内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距离之和最短。
我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。
内心具有以下性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心。
所谓内切圆，是指与三角形的三条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。
2. 内心到三角形的三条边的距离相等。
这是因为内切圆相切于三边的中点，所以到各边的距离相等。
3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。
因此，通过内心可以得到三角形内角平分线的重要性质。
二、三角形的外心外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。
我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。
外心具有以下性质：1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。
所谓垂直平分线，是指与三边垂直且通过三边中点的直线。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。
3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。
因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。
三、内心和外心的应用内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。
2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。
通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。
3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。
例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。
总结：三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。
它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是几何学中的基本概念之一，在平面几何中具有重要的地位。
其中，三角形的外心与内心是三角形内外切圆的圆心，对于三角形的性质和关系研究具有重要意义。
本文将探讨三角形的外心与内心的定义、性质以及如何求解它们的方法。
一、三角形的外心三角形的外心是可以通过三角形的三个顶点的垂直平分线相交而得到的圆心，它与三角形的顶点相连形成的三个外角都等于360度的平均值，也就是120度。
外心到三个顶点的距离都相等，这个距离也叫做外心到顶点的半径。
我们可以利用外心的性质来求解外心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的外心的坐标为O(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 直线AB的中垂线方程：x = (x1 + x2) / 22. 直线BC的中垂线方程：x = (x2 + x3) / 23. 直线CA的中垂线方程：(y - y1) / (x - x1) = (x3 - x1) / (y3 - y1)通过解这个方程组，我们可以求解出外心的坐标，从而确定三角形的外心位置。
二、三角形的内心三角形的内心是通过三角形的三个内角的平分线相交而得到的圆心，它与三角形的三边相切。
内心到三边的距离都相等，这个距离也叫做内心到边的半径。
我们可以利用内心的性质来求解内心的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的内心的坐标为I(x, y)。
那么，我们可以得到以下方程组：1. 角A的平分线方程：y = k1 * x + b12. 角B的平分线方程：y = k2 * x + b23. 角C的平分线方程：y = k3 * x + b3通过解这个方程组，我们可以求解出内心的坐标，从而确定三角形的内心位置。
三、三角形外心与内心的关系三角形的外心和内心有一定的关系。
根据性质可知，外心是垂直平分线的交点，而内心是角的平分线的交点。
三角形的内心与外心
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部
三角形为锐角三角形
三个角都小于90°；
②外心在三角Leabharlann 的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；
③外心在三角形的外部
三角形为钝角三角形
有一个角大于90°.
随堂练习
1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ B ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条内角平分线的交点
中考专题复习
三角形的内心与外心
中考要求
理解三角形的内心和外心.
1.三角形的内心 （1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆； （2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形三个内角平分线的交 点；
解题技巧
（3）见到三角形的内心就想以下两点： ①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
这个圆叫作三角形的外接圆； （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 三条边的垂直平分线 的 交点；
解题技巧
（3）见到三角形的外心就想以下两点： ①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边. 如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC， 必有AD=CD，BE=CE. ②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等. 如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC， 必有PA=PB=PC.
2. 如图，方格纸中，点A、B、C、D、O均为格点，点O是（ D ） A. △ABC的内心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ACD的外心
3. 点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数
为（ D ）
三角形的内心与外心
三角形的内心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，它有许多重要的性质和特征。
其中，内心和外心是三角形的两个重要点。
本文将探讨三角形的内心和外心，并介绍它们的定义、性质和应用。
一、内心内心是指三角形内切圆的圆心，也是三角形三条内角平分线的交点。
我们先来了解一下内心的定义和性质。
1. 定义对于任意一个三角形ABC，假设D、E、F分别是三角形ABC的三个顶点和内心I连线与三角形的三条边的交点。
此时，I点就是三角形ABC的内心。
2. 性质（1）内心到三角形的三条边的距离相等，即ID = IE = IF。
（2）内心是三角形内角平分线的交点。
（3）内心是三角形的重心和垂心的共轭点。
3. 应用内心在三角形的几何学中有着广泛的应用。
它与三角形的边、角等息息相关，在计算几何和三角函学习中起着重要的作用。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心。
下面我们来了解一下外心的定义、性质和应用。
1. 定义对于任意一个三角形ABC，假设D、E、F分别是三角形ABC的三个顶点与外心O连线与三角形的三条边的交点。
此时，O点就是三角形ABC的外心。
2. 性质（1）外心是三角形三条外角平分线的交点。
（2）外心到三角形的三个顶点距离相等，即OA = OB = OC。
3. 应用外心在几何学中也具有广泛的应用。
它与三角形的角度、面积、周长等有关，是解决各种三角形问题的基础。
总结三角形的内心和外心是三角形中的两个重要点。
内心与外心在三角形的内外切圆和角平分线等方面具有重要作用，它们在计算几何和三角函学习中有广泛的应用。
掌握了内心和外心的定义、性质和应用，能够帮助我们更好地理解和分析三角形问题，为解题提供指导和思路。
以上是对三角形内心和外心的介绍。
希望通过本文的阅读，能够对三角形的内心和外心有更深入的了解，并能够在解决三角形问题时灵活运用内心和外心的性质。
三角形作为几何学的基础，其性质和特征不仅具有理论意义，也有实际应用价值。
在实际生活和工作中，我们可以遇到许多与三角形有关的问题，掌握了内心和外心的相关知识，就能够更好地应对和解决这些问题，提高自己的数学素养和几何推理能力。
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连接BD、DC、EC，则图中与BD相等的线段分别是____________________
３、如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__________
４、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=___________
5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为_______________
6、如图，△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，若AC=9，BC=7，则AB=_______
课型：练习课
探
究
学
习
一．基本图形及基本结论。
２.（１）角度的转换。
（2）切线长与边长之间的转换。
（３）面积的转换（a、b、c为三边长，r是内切圆的半径）
（４）线段之间的关系。
二．当堂训练。
1、如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ）
A、EF＞AE+BF B、EF＜AE+BF C、EF=AE+BF D、EF≤AE+BF
7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的 上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，那么当点P在 上从点A运动到点B时，I所经过的路径长为_______________
当堂训练
三．综合应用
１.如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，连接PI交⊙O于点M，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB= IM；③∠BIM=∠BAP；
.ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，Ｉ为⊿ＡＢＣ的内心，
ＡＣ＝８，ＢＣ＝６．
（１）求ＩＣ的长。
（２）若弧ＡＤ＝弧ＢＤ，求ＩＤ的长。
（３）求ＯＩ的长。
当堂训练
三．综合应用
１.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）
A、 B、
C、 D、
２.如图，⊙Ｏ为⊿ＡＢＣ的外接圆，ＢＣ为直径，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，点Ｍ为
武汉市新洲思源实验学校导学案编号：２４１５
九年级数学教学案系列
授课累计：节
备课日期：2015年11月２６日
主备人：陶 鑫
审核人：
课题
内心与外心（一）
方法技巧
借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题关键
学习方式：自主合作探究
课型：练习课
探
究
学
习
一． 基本图形
1.概念：
外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点，三角形外接圆的圆心，外心到3个顶点的距离相等，它是的交点。外心在三角形的。
３、如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于D、E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连结FD，则下列结论：① ；②FD是⊙O的切线；③∠C=∠DFB；④E为△BDF的内心。其中一定成立的结论有_______________。
课后拓展
４、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④ 为定值，其中正确的结论有（ ）
⊿ＡＢＣ的内心
（1） 求证：ＢＣ＝ ＤＭ
（2）连ＯＭ，若ＤＭ＝ ，ＡＢ＝８，求ＯＭ的长。
（３）若Ｅ为劣弧ＡＢ的上一点，且弧ＡＣ＝弧ＡＥ，连ＢＥ，ＡＦ⊥ＢＥ于Ｆ，
求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线。
课后拓展
若ＡＦ＝４，ＥＦ＝２，求⊙Ｏ的半径与ＤＭ的长。
2. 如图，ＣＢ为⊙Ｏ的弦，Ｇ为弧ＡＢ的中点，且ＢＧ＝ＧＭ，ＡＭ的延长线交⊙Ｏ于Ｄ，连ＡＣ．
A、①③④B、①②③C、①②③④D、①②④
５、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线 上一点，过O、D两点的圆⊙ 分别交
轴、 轴于点A和B。
（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求 的坐标；
（2）在（1）的条件下，过点A作⊙ 的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；
（3）若点D的横坐标为 ，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙ 的大小发生变化时，其结论： 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；
④ = ；其中正确的个数有________________
２.如图，△ABC中，下面说法正确的是（）
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；
②若O是△ABC的，∠A=50°，则∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；
内心：圆在三角形内，与三边都相切，三角形内切圆的圆心，内心到三边的距离相等，它是的交点，内心在三角形的。
２.（１）角度的转换。
（2）切线长与边长之间的转换。
（３）面积的转换（a、b、c为三边长，r是内切圆的半径）
３.线段的转换。
⊙Ｏ为⊿ＡＢＣ的外接圆，点Ｉ为⊿ＡＢＣ的内心
则有：
二． 特殊图形中的应用。
（1）求证：弧ＢＤ＝弧ＤＣ．
（２）若ＣＢ为直径பைடு நூலகம்且ＣＢ＝１０，ＡＣ＝６，求Ｓ⊿ＡＣＭ．
武汉市新洲思源实验学校导学案编号：２４１６
九年级数学教学案系列
授课累计：节
备课日期：2015年11月２６日
主备人：陶 鑫
审核人：
课题
内心与外心（二）
方法技巧
借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题关键
学习方式：自主合作探究