九年级数学：三角形的内心和外心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的内心和外心
三角形的内心和外心三角形是几何学中的基本概念，它有很多有趣的性质和特点。
其中，内心和外心是三角形中的两个重要元素，它们与三角形的关系密不可分。
一、内心的定义和性质内心，顾名思义，是指三角形内部与三边相切的唯一圆心。
内心的特征是到三角形的三条边距离之和最小。
对于任意一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，三个内角分别为A、B、C，三角形的内心为I。
根据内心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形内心所在的圆称为内切圆，它与三边分别相切于D、E、F三点。
2. 内角平分线经过内心，即角BIC、角CIA和角AIB的角平分线分别经过点I。
3. 内心到三边的距离分别是相等的，即ID = IE = IF = r，其中r为内切圆的半径。
二、外心的定义和性质外心是指能够同时与三角形的三个顶点相切的圆心，它也被称为三角形的外接圆心。
外心的特征是到三角形的三个顶点距离相等。
对于任意一个三角形ABC，设三个顶点分别为A、B、C，三个外角分别为α、β、γ，三角形的外心为O。
根据外心的定义，我们可以得到以下性质：1. 三角形外心所在的圆称为外接圆，它的圆心为点O，半径为R。
2. 外接圆的直径等于三角形的边长中的最长边，即d = 2R。
3. 外心是三边的垂直平分线的交点，即AO、BO和CO是三边的垂直平分线。
4. 三个外角的平分线经过外心，即角BAC、角ABC和角BCA的平分线分别经过点O。
三、内心和外心的关系内心和外心是三角形中两个特殊点，它们之间存在一定的关系：1. 内心、外心和重心共线：三角形的内心、外心和重心这三个特殊点共线，共线的直线称为欧拉线。
2. 内切圆与外接圆：三角形的内心是内切圆的圆心，与外心的连线垂直于三角形的边。
3. 内心到三边的距离和外心到三边的距离的关系：内心到三边的距离之和等于外心到三边的距离之差。
四、应用举例内心和外心的概念和性质在实际中有许多应用，例如：1. 寻找三角形的内心和外心可以用于确定建筑物的重心和平衡点。
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心三角形是初中数学中常见的一个图形，它有着许多重要的性质和定理。
在本文中，我们将重点介绍三角形的重心、外心和内心，并归纳总结相关的知识点。
一、重心重心是指三角形三条中线交点的位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的中线交点为G，则点G即为三角形的重心。
重心有以下性质：1. 重心与三角形的三个顶点的连线重合，即GA = GB = GC。
2. 重心到三角形三边的距离满足以下关系：GA : GD = GB : GE =GC : GF，其中D、E、F是三角形的三边上的点，与重心G连线垂直。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的外接圆圆心为O，则点O即为三角形的外心。
外心有以下性质：1. 外心是三角形三条垂直平分线的交点，即OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
三、内心内心是指三角形内切圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的内切圆圆心为I，则点I即为三角形的内心。
内心有以下性质：1. 内心是三角形三条角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI = ∠ABI。
2. 由内心出发，分别到三角形的三条边的距离相等，即ID ⊥ AB，IE ⊥ BC，IF ⊥ AC。
综上所述，三角形的重心、外心和内心都是三角形内部的一个点，分别具有不同的性质和特点。
它们在三角形的构造和性质研究中扮演着重要的角色。
理解和掌握这些点以及与它们相关的性质，对于解决三角形相关的问题和定理证明都是非常有帮助的。
在实际应用中，重心、外心和内心的位置和性质可以用于解决各种与三角形相关的几何问题。
比如，可以利用重心的性质证明中线长等分重心的角，可以利用外心的性质判断三角形的形状（是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），可以利用内心的性质求解三角形的面积等。
三角形的内心与外心的性质
三角形的内心与外心的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则是这个图形中具有重要性质的点。
本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。
一、三角形的内心内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距离之和最短。
我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。
内心具有以下性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心。
所谓内切圆，是指与三角形的三条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。
2. 内心到三角形的三条边的距离相等。
这是因为内切圆相切于三边的中点，所以到各边的距离相等。
3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。
因此，通过内心可以得到三角形内角平分线的重要性质。
二、三角形的外心外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。
我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。
外心具有以下性质：1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。
所谓垂直平分线，是指与三边垂直且通过三边中点的直线。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。
3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。
因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。
三、内心和外心的应用内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。
2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。
通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。
3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。
例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。
总结：三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。
它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。
三角形的内心与外心
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部
三角形为锐角三角形
三个角都小于90°；
②外心在三角Leabharlann 的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；
③外心在三角形的外部
三角形为钝角三角形
有一个角大于90°.
随堂练习
1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ B ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条内角平分线的交点
中考专题复习
三角形的内心与外心
中考要求
理解三角形的内心和外心.
1.三角形的内心 （1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆； （2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形三个内角平分线的交 点；
解题技巧
（3）见到三角形的内心就想以下两点： ①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
这个圆叫作三角形的外接圆； （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 三条边的垂直平分线 的 交点；
解题技巧
（3）见到三角形的外心就想以下两点： ①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边. 如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC， 必有AD=CD，BE=CE. ②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等. 如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC， 必有PA=PB=PC.
2. 如图，方格纸中，点A、B、C、D、O均为格点，点O是（ D ） A. △ABC的内心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ACD的外心
3. 点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数
为（ D ）
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是数学中一个重要的几何图形，它由三边和三个内角组成，拥有丰富的性质和特点。
在研究三角形的过程中，人们发现了两个与三角形有着密切关系的特殊点，即外心和内心。
本文将详细介绍三角形的外心与内心，并讨论它们在三角形性质研究中的应用。
一、三角形的外心三角形的外心是与三个顶点相离最远的点，它可以通过三角形的三条垂直平分线的交点来确定。
设三角形ABC的三边分别为a、b、c，三边对应的角分别为A、B、C，三角形的外心为O。
根据垂直平分线的性质，我们可以得到以下定理：定理1：三条垂直平分线的交点即为三角形外心。
在证明定理1的过程中，我们可以利用垂直平分线相交于一点的性质，推导出外心到三个顶点的距离相等的结论。
这个距离又被称为三角形的外接圆半径，用R表示。
定理2：三条垂直平分线交于一点的充要条件是三角形的三个顶点都在同一条直线上。
利用定理2可以判断一个三角形是否为等腰三角形或等边三角形，只需判断垂直平分线是否交于一点即可。
二、三角形的内心三角形的内心是三条角平分线的交点，它可以通过三角形的三个内角的平分线来确定。
设三角形ABC的三边分别为a、b、c，三边对应的角分别为A、B、C，三角形的内心为I。
根据角平分线的性质，我们可以得到以下定理：定理3：三条角平分线的交点即为三角形内心。
根据三角形的内心到三个顶点的距离相等的性质，我们可以得到内心到三边的距离分别为d1、d2、d3，其中d1、d2、d3满足以下关系：d1 : d2 : d3 = a : b : c这个关系可以用来证明一个三角形是否为等角三角形。
三、外心与内心的应用外心和内心是三角形研究中的两个重要概念，它们在三角形的性质推导和问题求解中具有广泛的应用。
1. 定理的应用利用外心和内心的性质，我们可以证明一些重要的定理，例如：a) 某个点为等边三角形外心的充要条件是该点到三个顶点的距离相等。
b) 某个点为等角三角形内心的充要条件是该点到三边的距离满足一定的比例关系。
三角形的内心与外心
三角形的内心与外心三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，内心和外心是两个重要的概念。
本文将介绍三角形的内心和外心的定义、性质以及它们在三角形中的应用。
一、内心的定义与性质内心通常被定义为三角形内部到三边距离之和最小的点。
具体而言，设三角形的三边分别为a、b、c，内心的坐标为（x，y），内心到三边的距离分别为d1、d2、d3。
则内心满足以下性质：1. 内心到三边的距离相等：d1 = d2 = d3 = r，其中r为内切圆的半径。
2. 内心是三角形的角平分线的交点：内心到三个角的距离相等，即∠AIB = ∠BIC = ∠CIA = π/2，其中I为内心。
3. 内心到三角形边上的点的连线上的冲心：内心到三角形边上的点的距离之和最小。
内心作为三角形的一个重要特点，具有许多应用。
其中最常见的是与三角形的面积有关。
根据欧几里得几何的知识，三角形的面积可以用海伦公式表示：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a+b+c)/2是半周长。
利用内心的性质，可以得到另外一个表示三角形面积的公式：S = r * s，其中r为内切圆的半径。
这个公式更加简洁，且容易推广到其他几何形状。
二、外心的定义与性质外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在外接圆上。
设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），外心坐标为（x，y）。
外心满足以下性质：1. 外心到三个顶点的距离相等：AO = BO = CO = R，其中R为外接圆的半径。
2. 外心是三角形边的垂直平分线的交点：外心到三边的距离相等，即∠AOC = ∠BOA = ∠COB = π/2，其中O为外心。
3. 外心是三角形的三条中垂线的交点：三角形的中垂线经过外心。
外心也具有许多应用，特别是在三角形的外接圆和直角三角形的性质中。
利用外心的性质，可以求解三角形的面积、高、周长等问题。
此外，在航空、建筑、地理等领域中，外心的位置和特性有时也被广泛应用。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
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课标分析课程标准对本节内容的要求是：探索并了解点与圆的位置关系，知道三角形的内心和外心，会过不在同一直线上的三点作圆。
通过点与圆的位置关系的探索，使学生了解数形结合的思想和方法。
根据新课程标准的要求和教材的特点，并结合我所任教学生已具备的知识基础、逻辑思维能力，我确定本节课的教学目标如下：
知识与技能（1）知道并会用点和圆的三种位置关系及数量间的关系解决有关问题。
（2）通过探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。
过程与方法通过生活中实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想。
情感、态度与价值观通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣。
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