四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题含答案
,1
B． ,1
C． 2, ）
D． 2,
3.命题“ x 0 ， ln x 1 A． x 0 ， ln x 1
1 ”的否定是（ x
1 x
B． x0 0 ， ln x0 1
1 x0
1 x
）
C． x0 0 ， ln x0 1
．
15. 已 知 直 三 棱 柱 A B C
1
A1 B1 C6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 若 的
．
AB 3,AC 4,AB AC, AA1 12,则球 O 的直径为
16.函数 f ( x) 3 sin x 2cos 2 围为 .
x
2
( 0) ，已知 f ( x) 在区间 (
足分别为 C , D ,则 CD 的最小值为（ A．4 B．6 ） C．8 D．10
| a | 4 ， 11.向量 a, b, c 满足： 则bc | b | 4 2 ，b 在 a 上的投影为 4，(a c) (b c) 0 ，
的最大值是 A. 24 B. 24 8 2 C. 24 8 2 D. 8 2
1 x0
D． x 0 ， ln x 1
4.在如图的程序框图中，若输入 m 77, n 33 ，则输出的 n 的值是（ A．3 B．7 C．11 D．33
5.在区间[0，2]上随机取一个数 x，使 sin
2
x
3 的概率为（ 2
D．
）
A．
1 3
B．
1 2
C．
2 3
3 4
6. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑
C． 2n 1
）
D． 2n 1
8. 已 知 函 数 f x 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ， f x 1 f x 1 ， 且 当 0 x 1 时 ，
f x
1 1 ，则下列结论正确的是（ cosx
1 9 f 3 f 2 2 9 1 f 2 2
13.若 ( x ) 的展开式中第 3 项和第 5 项的二项式系数相等， 则展开式中的常数项为
n
1 x
．
14. 直线 l : y 2( x 5) 过双曲线 C : 只有一个公共点，则 C 的离心率为
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点 F 且与双曲线 C a 2 b2
12． 已知函数 f ( x) m( x 1) ( x 2)e x e ， 若关于 x 的不等式 f ( x) 0 有且只有一个正整 数解，则实数 m 的最大值为 A．
e3 e 2
B．
e2 e 2
C．
e3 e 2
D．
e2 e 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的 面积，则该 “堑堵”的体积为（
A. 2 B. ） D. 4 6 2
2 3
C. 1
7.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1 a3 A． 4n 1 B． 4 n 1
Sn 5 5 （ 且 a2 a4 ，则 an 2 4
）
A. f
B. f
1 9 f f 3 2 2 1 9 f 2 2
C. f 3 f
D. f 3 f
3x 2 y 4 0 9． 已知约束条件为 x y 2 0 ， 若目标函数 z kx y 取最大值时的最优解有无数多个, x y20
则 k 的值为（ A. 1 ） B. 1 C.
3 2
D. 1 或 1
10.已知抛物线 y 2 4 x 的一条弦 AB 经过焦点 F , O 为坐标原点，点 M 在线段 OB 上，且
OB 3 OM ，点 N 在射线 OA 上，且 ON 3 OA ，过 M , N 向抛物线的准线作垂线，垂
频率 组距
0.068
频率 组距 0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012
0.046 0.044
0.020
0 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
实体店销售量（单位：件）
0.010 0.008 0.004
35 40 45 50 55 60 65 70 网店销售量（单位：件）
石室中学高 2019 届 2018~2019 学年上期入学考试 数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | （ 1 i
B．
）
1 log 2 (2 x) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B （ A．
（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于 50 件可盈利，网店每天销 量不低于 45 件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率； （Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到 0.01）． （Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于 40 件的天数为
X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
18.（本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知
2 , ) 恰有三个零点，则 的范 3 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17－21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答．
（一）必考题：共 60 分
17.（本小题满分 12 分） 某服装店对过去 100 天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频 率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.
四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学(理)试题及答案及解析
四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (3,−2)2.已知集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}，B={y|y=22−x2}，则A∪B=（）A. (−4,4]B. (0,1)C. (−∞,4]D. (−4,+∞)3.设命题p：∀x≤0，√x2=-x，则￢p为（）A. ∀x≤0，√x2≠−xB. ∃x0≤0，√x02=−x0C. ∀x>0，√x2=−xD. ∃x0≤0，√x02≠−x04.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）A. 220平方米B. 246平方米C. 223平方米D. 250平方米5.已知双曲线8x2-8y2=-1有一个焦点在抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A. 2B. 1C. 12D. 146.已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7=20，a4•a7=64，则S6S9=（）A. 313B. 521C. 14D. 157.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. P=3N1000B. P=3M1000C. P=3M2000D. P=3N20008. 已知√2sin （θ-π4）cos （π+θ）=cos2θ，且sinθ≠0，则tan （θ+π6）的值为（ ）A. √3B. √33C. 2−√3D. 2+√39. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1=λS 2，则λ=（ ）A. 1B. 23C. 32D. 4310. 已知AB 是半径为2的圆M 的一条直径，四边形ABCD 是圆M 内接四边形，∠CMD =120°，若P 在线段CD 上（端点C 、D 除外）运动，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围（ ）A. (0,3)B. (1,3)C. [−3,0)D. (−3,3)11. 已知椭圆C 1：x 2a2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），双曲线C 2：x 2b2-y 2a 2−2b 2=1，F 1，F 2分别为C 2的左、右焦点，P 为C 1和C 2在第一象限内的交点，若△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2，C 1和C 2的离心率之积为32，则该内切圆的半径为（ ）A. 4√2−2√6B. 4√2+2√6C. 4√3−2√6D. 4√6−2√312. 已知函数f （x ）=xe x +lnx+1x，若关于x 的方程f 2（x ）-mf （x ）+m 2-1=0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（ ）A. (1,1e +1)B. (0,1e +1)C. (1,2√33)D. (0,2√33)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，动点P （x ，y ）在平行四边形ABCD 内部（含边界）运动，则z =2x -4y的最小值为______． 14. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有______种放法．（用数字作答）15. 已知函数f （x ）={13x 3−ax +1，0≤x ＜1alnx ，x ≥1，若f （x ）≥f （1）恒成立，则正实数a 的取值范围是______．16. 已知f （x ）=m sinωx -cosωx （m ＞0，ω＞0），g （x ）=e x ，若对∀x 1∈R ，∃x 2∈[0，ln2]，使得f （x 1）≤g（x 2）成立，若f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，√2]，则实数ω的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．（1）设b n =a n +1-a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列． （2）若a 2=5，c n ={2a n −1,为偶数a n ,n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和S 2n ．18. 某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y 表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为14，获得“二等奖”的概率为12，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据：∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57． 参考公式：相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−219. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =√2，F 为棱PA 上一点，且AF =λAP （0＜λ＜1），M 为AD 的中点，四棱锥P -ABCD 的体积为2√63．（1）若无λ=12，N 是PB 的中点，求证：平面MNF ∥平面PCD ，（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311？20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任意一点到其两个焦点F 1，F 2的距离之和等于2√5，焦距为2c ，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，四边形A 1AA 2B 面积的最大值为2√5．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线l 1与l 2平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于l 1的同侧），求直线l 1、l 2距离d 的取值范围．21. 已知函数f （x ）=12x 2+m ln （1-x ），其中m ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＞14-14ln4．22. 在平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{y =2sinθx=3cosθ，（θ为参数），P （x 0，y 0）是曲线C 上的任意一点，动点Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0，记Q （x ，y ）轨迹为E ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），A 点的极坐标为（5，0）． （1）求E 的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；23.已知函数f（x）=|x|．（1）求不等式f（x-1）+f（2x-1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且1a +4b+9c=1，证明：f（x+a）+f（x-b-c）≥36．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==，∴在复平面内，复数z=对应的点的坐标为（3，-2）．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}={x|-4＜x＜1}，B={y|y=2}={x|0＜y≤4}，∴A∪B={x|-4＜x≤4}=（-4，4]．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠-x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×20=10，可得：矢=20-10=10，由AD=AO•sin=20×=10，可得：弦=2AD=2×10=20，所以：弧田面积=（弦+矢）×矢=（20+10）×10≈223平方米．故选：C．在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线8x2-8y2=-1即为-=1，∴c2=+=，∴c=，∵抛物线C：x2=2py（p＞0）准线为y=-，∴-=-，即p=1，故选：B．根据双曲线的方程可得c=，再求出抛物线的准线方程，即可求出p的值．本题考查了双曲线的抛物线的方程和简单性质，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7=20，a4•a7=64，∴a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，∴，解得a1=1，q3=4，∴====．故选：B．推导出a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，列方程组求出a1=1，q3=4，由此能求出的值．本题考查等比数列的前6项和与前9项和的比值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积=，即=，解得：π=，（π的估计值），即执行框内计算的是P=．故选：B．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：∵sin（θ-）cos（π+θ）=（sinθ-cosθ）•（-cosθ）=cos2θ-sinθcosθ，∵cos2θ=cos2θ-sin2θ，而已知sin（θ-）cos（π+θ）=cos2θ，∴cos2θ-sinθcosθ=cos2θ-sin2θ，即sinθcosθ=sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ=2，则tan（θ+）===2+，故选：D．由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得tanθ=2，从而求得tan（θ+）的值．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1=2πR2+2πR•2R=6πR2，其内切球的表面积为S2=4πR2，又S1=λS2，则λ===．故选：C．由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算λ的值即可．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，也考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB=4，∠CMD=120°，得M（0，0），A（-2，0），B（2，0），C（，1），D（-，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（-，）；则=（-2-x，-1），=（2-x，-1），所以•=（-2-x）（2-x）+1=x2-3；又x∈（-，），所以γx2-3∈[-3，0），即•的取值范围是[-3，0）．故选：C．根据题意，建立平面直角坐标系，不妨设CD∥AB，设出点P的坐标，用坐标表示向量，即可求出•的取值范围．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆与三角形的应用问题，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|=|PN|，|F2N|=|F2K|，|MF1|=|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2b，即有|F1K|-|F2K|=2b，又|F2K|+|F1K|=2c，可得|F1K|=c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b=2，C1和C2的离心率之积为，可得•=，解得a=4，可得椭圆方程为+=1，即有|PF1|-|PF2|=4，|PF1|+|PF2|=8，解得|PF2|=2，可得4-x P=2，解得x P=，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=•4•，即r==4-2．故选：A．设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为b，运用离心率公式，可得a=4，运用椭圆的焦半径公式可得P的坐标，再由三角形的等积法，解方程可得所求内切圆的半径．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率公式和三角形的内切圆的切线性质，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：因为f（x）=+，所以f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t=f（x），则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0可化为t2-mt+m2-1=0，设关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两根t=t1，t=t2，则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2位置关系如图，得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，故选：C．由方程解的个数与函数图象的交点个数的关系可得：关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，利用导数研究函数的图象t=f（x）的图象，再利用二次方程区间根问题可得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，得解本题考查了方程解的个数与函数图象的交点个数的转化，利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题13.【答案】-12【解析】解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，==（1，0）+（-1，2）+（3，2）=（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z=2x-4y的最小值为×2-4×4=-12．故答案为：-12．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】10【解析】解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53=10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．根据题意，用挡板法分析，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在其中任选3个插入挡板即可，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意用挡板法分析，属于基础题．15.【答案】（0，4]3【解析】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）=alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）=0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）=x2-a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0，即函数f（x）在0≤x＜1和x≥1时f（x）≥0恒成立．本题考查分段函数最值得求法、导数在求解函数最值中的应用，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：已知f（x）=msinωx-cosωx=sin（ωx+θ），其中tanθ=；可得f（x）的最大值为，由g（x）=e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤1．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上单调性．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[-1，]，可得（0＜m≤1）∴m=1，那么θ=或，当θ=时，则=，k∈Z；∴ω=．ω最大值为．当θ=时则=，k∈Z；∴ω=-．可得ω最大值为．故答案为：．由题意，求解f （x 1）的最大值和），g （x ）=e x 在x ∈[0，ln2]的最大值，结合f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，2]，即可求解实数ω的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，恒成立问题的转化思想，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．所以：a n +2-a n +1=a n +1-a n ，所以：数列{a n }的公差为0时，b n +1=b n =0， 所以：数列{b n }是等差数列，不是等比数列． 当数列{a n }的公差不为0时，b n +1=b n ≠0，所以：数列{b n }既是等差数列，又是等比数列． （2）若a 2=5，由（1）知：a n +1-a n =a 2-a 1=2， 所以：a n =2n +1．则：c n ={2n +1(n =2k −1)4n (n =2k)，则：S 2n =S 奇+S 偶，=（3+7+11+…+2n +1）+（42+44+…+42n ）， =2n 2+n +16(16n −1)15．【解析】（1）首先利用分类讨论思想的应用，求出数列的通项公式． （2）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列的求和中项的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.【答案】解：（1）由题意，计算x −=4.5，y −=21，又∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57；所以相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−2=850−8×4.5×21√204−8×452⋅√3776−8×212=94√42×√248=944×4.58×5.57≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x 、y 线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元， 计算P （X =0）=14×14=116， P （X =3）=2×12×14=14， P （X =5）=2×14×14=18， P （X =6）=12×12=14，P （X =8）=2×12×14=14，P （X =10）=14×14=116； 所以随机变量X 的分布列为： X 0 3 5 6 8 10 P116 14 18 14 14 116数学期望为E （X ）=0×116+3×14+5×18+6×14+8×14+10×116=5.5（千元）． 【解析】（1）由题意计算、，求出相关系数r ，判断变量x 、y 线性相关性的强弱情况， 以及是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望． 本题考查了利用相关系数判断线性相关性问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．19.【答案】证明：（1）∵λ=12，∴F 是A 的中点，∵N 是PB 的中点，∴FN ∥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，故FN ∥CD ， ∵CD ⊂平面PCD ，FN ⊄平面PCD ， ∴FN ∥平面PCD ，FM ∥DP ，DP ⊂平面PCD ，FM ⊄平面PCD ， ∴FM ∥平面PCD ，FM ∩FN =F ，FM ，FN ⊂平面FMN ， ∴平面FMN ∥平面PCD ．解：（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ， 由△PAD 是等边三角形，得PM ⊥AD ，面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，PM ⊥AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈（0，1）， 则A （1，0，0），P （0，0，√3），B （1，√2，0），M （0，0，0），MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√2，0），AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，0，√3λ）， 则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ，0，√3λ）， 设面FMN 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√2y =0(1−λ)x +√3λz =0， 取y =-√2，得m⃗⃗⃗ =（2，-√2，2λ−2√3λ），取PAD 的法向量n⃗ =（0，1，0）， 由题知|cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|−√2|√6+(2λ−2√3λ)2=√3311，解得λ=12， ∴存在λ=12，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311．【解析】（1）由，推导出四边形ABCD 是矩形，从而AB ∥CD ，FN ∥CD ，进而FN ∥平面PCD ，同理FM ∥平面PCD ，由此能证明平面FMN ∥平面PCD ．（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为．本题考查面面平行的证明，考查满足二面角的余弦值的实数值是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）中，2a =2√5，解得a =√5； 又圆的直径AB ⊥x 轴时四边形A 1AA 2B 的面积最大，最大为2ac =2√5，解得c =1，所以b 2=a 2-c 2=4， 所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1；（2）由直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切， 得√k 2+1=1，即|m |=√k 2+1；再设直线l 2：y =kx +n ，联立{x 25+y 24=1y =kx +n ，消去y 得（5k 2+4）x 2+10knx +5n 2-20=0；所以△=（10kn ）2-4（5k 2+4）（5n 2-20）=0，化简得n 2=5k 2+4； 因为d =√k 2+1=|m−n||m|=|1-n m |， 且(nm )2=5k 2+4k 2+1=5-1k 2+1；由k 2≥0，得0＜1k 2+1≤1，所以4≤(nm )2＜5；由O 、P 两点位于l 1的同侧，m 、n 异号，所以-√5＜nm ≤-2； 所以d =1-nm ∈[3，1+√5），即直线l 1、l 2距离d 的取值范围是[3，1+√5）． 【解析】（1）根据题意求出a 、a 和b 2，即可写出椭圆C 的方程； （2）由直线l 1与圆O 相切，得出d=r ，列出方程|m|=；再由直线l 2与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程； 再结合椭圆，从而求出直线l 1、l 2距离d 的取值范围．本题考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了直线与圆方程的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m1−x，1-x ＞0， 令-x 2+x -m =0，判别式△=1-4m ，当△≤0，则f ′（x ）≤0恒成立，即f （x ）在（-∞，1）上是减函数， 当△＞0，即m ＜14时，由x 2-x +m =0，得x 1=1−√1−4m2，x 2=1+√1−4m2，若0＜m ＜14，则x 1＜x 2＜1，则当x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x 1＜x ＜x 2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x 2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减．若m ≤0，则x 1＜1≤x 2，则x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， x 1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增 综上m ≤0时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m2），单调递增区间为（1−√1−4m2，1）．0＜m ＜14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m 2），（1+√1−4m 2，1），单调递增区间为（1−√1−4m 2，1+√1−4m2），m ≥14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）．（2）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m 1−x，若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∴f ′（x ）=0在（-∞，1）上有两个不同的根x 1，x 2，设g （x ）=-x 2+x -m ，则{△=1−4m ＞0−12×(−1)＜1g(1)＜0，得0＜m ＜14，从而{x 1x 2=m x 1+x 2=1，且x 1＜x 2，得0＜x 1＜12，0＜x 2＜12，f （x 1）+f （x 2）=12x 12+m ln （1-x 1）+12x 22+m ln （1-x 2）=12（x 12+x 22）+m ln （1-x 1）（1-x 2）] =12[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+m ln[（1-（x 1+x 2）+x 1x 2]=12（1-2m ）+m lnm ， 构造函数h （x ）=x lnx-x +12，0＜x ＜14， 则h ′（x ）=ln x ＜0，即h （x ）在0＜x ＜14上单调递减， ∴h （x ）＞h （14）=14-14ln4．即证． 【解析】（1）求函数的导数，结合一元二次方程根与判别式△的关系进行判断即可．（2）根据函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，得到f′（x ）=0有两个不同的根x 1，x 2，利用根与系数之间的关系转化证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，不等式与导数之间的关系，进行转化为一元二次方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（1）由已知Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0及{y 0=2sinθx 0=3cosθ得{y =3sinθx=3cosθ， ∴曲线E ：x 2+y 2=9，（2）由于l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），即为y =x ，A （5，0）∵|MN |=6，d =5√2，S =12⋅6⋅5√2=15√22．【解析】（1）由已知Q （x ，y ）满足及得，消去θ可得E 的普通方程，（2）l 的极坐标方程化为直角坐标方程为y=x ，MN 为圆的直径，点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x -1）+f （2x -1）=|x -1|+|2x -1|，当x ＞1时，|x -1|+|2x -1|=3x -2≤2x ，解得：x ≤1，故1＜x ≤2， 当12≤x ≤1时，|x -1|+|2x -1|=x ≤2x ，解得：x ≥0，故12≤x ≤1， 当x ＜12时，|x -1|+|2x -1|=2-3x ≤2x ，解得：x ≥25，故25≤x ＜12， 综上，不等式的解集是{x |25≤x ≤2}； （2）由绝对值不等式的性质得： f （x +a ）+f （x -b -c ）=|x +a |+|x -b -c |≥|x +a -x +b +c |=a +b +c ， ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且1a +4b +9c =1， ∴a +b +c=（a +b +c ）（1a +4b +9c ） =1+4+9+b+c a+4a+4c b+9a+9b c≥14+2√b a⋅4a b+2√c a⋅9a c+2√4c b⋅9b c=36，当且仅当b =2a ，c =3a 时“=”成立， 故原命题成立． 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值，从而证明结论．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
石室中学高2020届2019-2020学年度上期入学考试数学试题(理)
成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3.下列判断正确的是（ ）A.命题“0,201920190xx ∀>+>”的否定是“000,201920190x x ∃≤+≤”B.函数()f x =的最小值为2C.“2x =”是“2x -=D.若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4.对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（ ）A.在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B.图像关于y 轴对称 C.最小正周期为2π D.值域为[]1,1-5.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是（ ） A.3 B.7C.11D.336.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且21S S λ=，则（ ） A.1 B.C. D. 7.高三某6个班级从“青城山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“青城山”的不同的安排方式有多少种（ ） A.2454C A B.2456CC.2454A AD.2456A8.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若{}{}222ln(34),2xA x y x xB y y -==--+==A B =U (0,1)(4,4]-(,4]-∞(4,)-+∞=λ3234233AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（ ）239.定义在R 上的函数满足()()2f x f x -=，且[)121+x x ∈∞、，有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则的最小值为（ ）A.B. C. D. 10.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),P x y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 0x y αα-=的概率为（ ）A.316π B.3116π- C.434π- D.116π-11.ABC ∆中,已知7AB BC AC ===,D 是边AC 上一点,将ABD ∆沿BD 折起,得到三棱锥A BCD -.若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上,设BM x =,则x 的取值范围为（ ）A.(B.C.(D.(12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A B 、，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A.12+B.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14.已知圆()()222:42C x y r -+-= 截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A B 、两点，若AB ，则k = ．15.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且()f x a 1213223OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M N 、向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C D 、,则CD 的最小值为 ．16.已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.第组 [160,165)第组 [165,170)第组 [170,175)第组 [175,180)第组 [180,185] （Ⅰ）求频率分布表中,n p 的值，并估计该组数据的中位数（保留1位小数）；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足111,0a b ==，11434,434n n n n n n a a b b b a ++=-+=--. （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，四边形ABCD是矩形，2=CD ，F 为棱PA 上一点，且)10(<<=λλAP AF ，M 为AD的中点，四棱锥P ABCD -的体积为362. （Ⅰ）若21=λ，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ； （Ⅱ）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为1133?20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：上任意一点到其两个焦点的距离之和等于，焦距为，圆，是椭圆的左、右顶点，是圆的任意一条直径，四边形面积的最大值为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，直线与平行且与椭圆相切于（两点位于的同侧），求直线，距离的取值范围.21.（本小题满分12分），其中0mn ≠.（Ⅱ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明： 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （Ⅱ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 52c 2222:c y x O =+21,A A AB O B AA A 21)0(:1≠+=m m kx y l O N M ,2l 1l P P O ,1l 1l 2l d成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学（理科）参考答案一、选择题：1—5：ABCCC 6—10：DDAAB 11—12：BD 二、填空题：13.-20 14.3415.4 16.32e e e a +<≤三、解答题：17. 解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，∴35,0.300n p ==，中位数估计值为171.7………4分（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。
2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷(理科)Word版含解析
2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U=R ，若集合A={x ∈N||x ﹣2|＜3}，B={x|y=lg （9﹣x 2）}，则A ∩∁R B （ ） A ．{x|﹣1＜x ＜3} B ．{x|3≤x ＜5} C ．{0，1，2} D ．{3，4}2．已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ），且有=1+yi ，是z 的共轭复数，则的虚部为（ ）A ．B ． iC ．D ．i3．已知x ，y画散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归直线方程=x+1，则实数m 的值为（ ）A ．1.426B ．1.514C ．1.675D ．1.7324．已知函数f （x ）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f （x ）dx 的值约为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知点P （3，3），Q （3，﹣3），O 为坐标原点，动点M （x ，y ）满足，则点M 所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=AD=，若∠A 1AD=∠A 1AB=45°，∠BAD=60°，则点A 1到平面ABCD 的距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．7．在△ABC 中，若4（sin 2A+sin 2B ﹣sin 2C ）=3sinA •sinB ，则sin 2的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若直线xcos θ+ysin θ﹣1=0与圆（x ﹣cos θ）2+（y ﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ﹣2）=﹣f （x ），且在区间[0，1]上是增函数，又函数f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若方程f （x ）=m 在区间[﹣4，4]上有4个不同的根，则这些根之和为（ ） A ．﹣3 B ．±3 C ．4 D ．±4 10．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λ•μ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）=，g （x ）=，则函数h （x ）=g （f （x ））﹣1的零点个数为（ ）个．A ．7B ．8C ．9D ．1012．若对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e x2成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[，e+1]B ．（e+﹣2，e]C ．[e ﹣2，）D ．（，2e ﹣2]二、填空题13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x 2+y 1y 2值为 ．14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x i （i=1，2，3，4）（单位：立方米）．根据如图所示的程序框图，若知x 1，x 2，x 3，x 4分别为1，1.5，1.5，3，则输出的结果S 为 ．15．已知a ＜b ，二次不等式ax 2+bx+c ≥0对任意实数x 恒成立，则M=的最小值为 ．16．设x ∈R ，定义[x]表示不超过x 的最大整数，如[]=0，[﹣3.1415926]=﹣4等，则称y=[x]为高斯函数，又称取整函数．现令{x}=x ﹣[x]，设函数f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1（0≤x ≤100）的零点个数为m ，函数g （x ）=[x]•{x}﹣﹣1（0≤x ≤100）的零点个数为n ，则m+n 的和为 ．三、解答题17．设函数f （x ）=x 2+mx ﹣，已知不论α，β为何实数时，恒有f （sin α）≤0且f （2+cos β）≥0，对于正项数列{a n }，其前n 项和S n =f （a n ）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若=，n ∈N +，且数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小并证明之．18．2016年7月23日至24日，本年度第三次二十国集团（G20）财长和央行行长会议在四川省省会成都举行，业内调查机构i Research （艾瑞咨询）在成都市对[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次“消费”生活习惯是否符合理财观念的调查，若消费习惯符合理财观念的称为“经纪人”，否则则称为“非经纪（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n ，a ，p 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计众数、中位数和平均数（结果保留三位有效数字）；（Ⅲ）从年龄在[40，55]的三组“经纪人”中采用分层抽样法抽取7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，则有多少种不同的站法？请用数字作答．19．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2． （1）请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图； （2）求证：BE ∥平面PDA ．（3）求二面角A ﹣PB ﹣E 的余弦值．20．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，左、右焦点分别是P和Q ，以P 为圆心，以3为半径的圆与以Q 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 1上． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 2：+=1的左、右焦点分别为F 1和F 2，若动直线l ：y=kx+m （k ，m ∈R ）与椭圆C 2有且仅有一个公共点，且F 1M ⊥l 于M ，F 2N ⊥l 于N ，设S 为四边形F 1MNF 2的面积，请求出S 的最大值，并说明此时直线l 的位置；若S 无最大值，请说明理由．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ），设函数零点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，设f ′（x ）是f （x ）的导函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：f ′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 分别交于M 1，M 2，若|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若函数f （x ）=x 2﹣x+c ，满足|x ﹣a|＜1． （Ⅰ）若x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，求实数a 的取值范围构成的集合； （Ⅱ）求证：|f （x ）﹣f （a ）|＜2|a|+2．2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，若集合A={x∈N||x﹣2|＜3}，B={x|y=lg（9﹣x2）}，则A∩∁RB（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|3≤x＜5} C．{0，1，2} D．{3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】确定集合A，B，求出∁R B，再根据集合的基本运算即可求A∩∁RB【解答】解：由题意：全集U=R，集合A={x∈N||x﹣2|＜3}={0，1，2，3，4}，B={x|y=lg（9﹣x2）}={x|﹣3＜x＜3}，则∁RB={x|x≥3或x≤﹣3}，那么：A∩∁RB={3，4}故选D2．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有=1+yi，是z的共轭复数，则的虚部为（）A．B． i C．D． i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求出实数x、y的值，得到复数z，求出，再由复数求模公式得到|z|，代入，然后运用复数的除法运算化简即可得答案．【解答】解：∵复数z=x+yi（x、y∈R），且有=1+yi，∴．∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2．解得：y=1，x=2．则z=2+i，|z|=|2+i|=，．∴==．则的虚部为：．故选：C．画散点图分析可知，y与x线性相关，且回归直线方程=x+1，则实数m的值为（）A．1.426 B．1.514 C．1.675 D．1.732【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程求出a．【解答】解：∵=3.2， =，回归直线方程=x+1．∴=3.2+1，解得m=1.675．故选：C．4．已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x）dx的值约为（）A． B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．5．已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据向量数量积化简约束条件，画出可行域，数形结合得答案．【解答】解：∵P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，∴，又动点M（x，y），即，∴由，得，画出可行域如图，由点到直线的距离公式可得O 到直线x+y ﹣3=0的距离d=．∴点M 所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为=．故选：A ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=AD=，若∠A 1AD=∠A 1AB=45°，∠BAD=60°，则点A 1到平面ABCD 的距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】记A 1在面ABCD 内的射影为O ，O 在∠BAD 的平分线上，说明∠BAD 的平分线即菱形ABCD 的对角线AC ，在三角形AA 1O 中，求出A 1O 即为高． 【解答】解：记A 1在面ABCD 内的射影为O ， ∵∠A 1AB=∠A 1AD ，∴O 在∠BAD 的平分线上， 又AB=AD ，∴∠BAD 的平分线即菱形ABCD 的 对角线AC ，故O 在AC 上；∵cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ×cos ∠OAB∴cos ∠A 1AO=，∴sin ∠A 1AO=，在△A 1AO 中，AA 1=∴点A 1到平面ABCD 的距离为A 1O=1． 故选：A ．7．在△ABC中，若4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB，则sin2的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而利用二倍角公式化简所求得到答案．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB．∴4（k2a2+k2b2﹣k2c2）=3ka•kb，即：a2+b2﹣c2=a•b，∴由余弦定理cosC===．∴sin2====．故选：D．8．若直线xcosθ+ysinθ﹣1=0与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率﹣的值．【解答】解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ﹣sin2θ|=，即 sinθ﹣sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率为﹣=﹣，故选：A．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在区间[0，1]上是增函数，又函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根，则这些根之和为（）A．﹣3 B．±3 C．4 D．±4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的周期及对称中心，作出f（x）的函数图象草图，利用对称性得出四个根之和．【解答】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）的周期为4．又f（x﹣1）关于（1，0）对称，∴f（x）的图象关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数．作出f（x）的大致函数图象如图所示：设方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根从小到大依次为a，b，c，d，当m＞0，a+b=﹣6，c+d=2，∴a+b+c+d=﹣4，当m＜0时，a+b=﹣2，c+d=6，∴a+b+c+d=4．故选：D．10．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ•μ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λ•μ=得： =，解得：b2=c2，所以a2=c2，所以，e=．故选：A．11．已知函数f（x）=，g（x）=，则函数h（x）=g（f（x））﹣1的零点个数为（）个．A．7 B．8 C．9 D．10【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=0得出g（f（x））=1，设g（t）=1的解，作出f（x）的函数图象，根据图象判断f（x）=t的解得个数．【解答】解：令h（x）=0得g（f（x））=1，令g（x）=1得或，解得x=0或x=e或x=．∴f（x）=0或f（x）=e或f（x）=．作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）=0有4个解，f （x ）=e 有两个解，f （x ）=有4个解，∴h （x ）共有10个零点．故选：D ．12．若对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e x2成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[，e+1]B ．（e+﹣2，e]C ．[e ﹣2，）D ．（，2e ﹣2]【考点】函数恒成立问题．【分析】设f （x ）=lnx ﹣x+1+a ，g （x ）=x 2e x ，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．【解答】解：设f （x ）=lnx ﹣x+1+a ，f ′（x ）=，当x ∈[e ﹣1，1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，e]时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在[e ﹣1，1）上是增函数，在x ∈（1，e]上是减函数，∴f （x ）max =a ，又f （e ﹣1）=a ﹣，f （e ）=2+a ﹣e ，∴f （x ）∈[a+2﹣e ，a]，设g （x ）=x 2e x ，∵对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e 成立，∴[a+2﹣e ，a]是g （x ）的不含极值点的单值区间的子集，∵g ′（x ）=x （2+x ）e x ，∴x ∈[﹣1，0）时，g ′（x ）＜0，g （x ）=x 2e x 是减函数，当x ∈（0，1]，g ′（x ）＞0，g （x ）=x 2e x 是增函数，∵g （﹣1）=＜e=g （1），∴[a+2﹣e ，a]⊆（，e]，∴，解得．故选：B ．二、填空题13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x 1x 2+y 1y 2值为 ﹣ ． 【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由条件求得cos （）的值，可得cos θ 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得 x 1x 2+y 1y 2的值．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin （）=＞0，∴还是钝角，∴cos （）=﹣，∴，∴cos θ=﹣．∴•=x 1•x 2+y 1•y 2=||•||cos θ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x i （i=1，2，3，4）（单位：立方米）．根据如图所示的程序框图，若知x 1，x 2，x 3，x 4分别为1，1.5，1.5，3，则输出的结果S 为 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+xi=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+xi=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+xi=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+xi=4+3=7，s=×7=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=．故答案为：．15．已知a＜b，二次不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立，则M=的最小值为8 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得 b＞a＞0，再由△≤0，得到c≥，把c代入M，将关于a，b的不等式利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：∵a＜b，二次函数y=ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立．∴△≤0，解得：c≥，a＞0，b﹣a＞0，∴M=≥==≥=8．当且仅当2a=b﹣a，取得等号．∴M的最小值是8，故答案为：816．设x∈R，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[﹣3.1415926]=﹣4等，则称y=[x]为高斯函数，又称取整函数．现令{x}=x﹣[x]，设函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1（0≤x≤100）的零点个数为m，函数g（x）=[x]•{x}﹣﹣1（0≤x≤100）的零点个数为n，则m+n的和为127 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据定义分别求出f （x ）=0和g （x ）=0，将函数方程转化为sin 2[x]+sin 2{x}﹣1=0和[x]•{x}=+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．【解答】解：由f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1=0得sin 2{x}=1﹣sin 2[x]=cos 2[x]．则{x}=+2k π+[x]或{x}=﹣+2k π+[x]，即{x}﹣[x]=+2k π或{x}﹣[x]=﹣+2k π． 即x=+2k π或x=﹣+2k π． 若x=+2k π，∵0≤x ≤100，∴当k=0时，x=，由x=+2k π≤100，解得k ≤15.68，即k ≤15，此时有15个零点， 若x=﹣+2k π，∵0≤x ≤100，∴当k=0时，x=﹣不成立，由x=﹣+2k π≤100，解得k ≤16.28，此时有15个零点， 综上f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1的零点个数为15+15=30个．∵{x}=，∴[x]•{x}=，由g （x ）=0得[x]•{x}=+1，分别作出函数h （x ）=[x]{x}和y=+1的图象如图：由图象可知当0≤x ＜1和1≤x ＜2时，函数h （x ）=[x]{x}和y=+1没有交点，但2≤x ＜3时，函数h （x ）=[x]{x}和y=+1在每一个区间上只有一个交点，∵0≤x ＜100，∴g （x ）=[x]•{x}﹣﹣1的零点个数为100﹣2﹣1=97个．故m=30，n=97．m+n=127．故答案为：127．三、解答题17．设函数f （x ）=x 2+mx ﹣，已知不论α，β为何实数时，恒有f （sin α）≤0且f （2+cos β）≥0，对于正项数列{a n }，其前n 项和S n =f （a n ）（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若=，n ∈N +，且数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小并证明之．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）令α=0，β=，根据f （cos α）≤0，f （2﹣sin β）≥0化简后，列出方程求出m ，根据函数解析式和条件表示出S n 和S n+1，根据a n+1=S n+1﹣S n 化简后，由等差数列的定义判断出{a n }是等差数列，求得a 1利用等差数列的通项公式求出a n ；（Ⅱ）把a n 代入中求得b n ，利用裂项法求出T n ，即可证明T n ＜．【解答】解：（Ⅰ）∵对任意实数α、β，恒有f （cos α）≤0，f （2﹣sin β）≥0，∴f （cos0）=f （1）≤0，且f （2﹣sin）=f （1）≥0，即f （1）=0，则=0，解得m=，∴f （x ）=x 2+x ﹣，∴S n =f （a n ）=a n 2+a n ﹣（n ∈N +），可得S n+1=a n+12+a n+1﹣，故a n+1=S n+1﹣S n =（a n+12﹣a n 2）+（a n+1﹣a n ），即（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ﹣2）=0，∵{a n }是正数数列，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，即数列{a n }是等差数列，又a 1=a 12+a 1﹣，且a 1＞0，可得a 1=3，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， =，则bn=＜==（）∴Tn＜，证明如下：T n =b1+b2+…+bn= [（）+（）+…+（）]=（）=＜．18．2016年7月23日至24日，本年度第三次二十国集团（G20）财长和央行行长会议在四川省省会成都举行，业内调查机构i Research （艾瑞咨询）在成都市对[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次“消费”生活习惯是否符合理财观念的调查，若消费习惯符合理财观念的称为“经纪人”，否则则称为“非经纪（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计众数、中位数和平均数（结果保留三位有效数字）；（Ⅲ）从年龄在[40，55]的三组“经纪人”中采用分层抽样法抽取7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，则有多少种不同的站法？请用数字作答．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表，结合频率分布直方图，即可求出n、p和a的值；再补全频率分布直方图即可；（Ⅱ）根据频率分布直方图，求出众数、中位数和平均数；（Ⅲ）求出年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量以及采用分层抽样法抽取7的人数，利用排列组合法求出不同的站法即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以样本容量为n==1000；由题可知，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65；第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知，众数为最高小矩形的底边中点坐标，是=32.5；又0.2+0.3=0.5，所以中位数为35；平均数为=27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.5；（Ⅲ）年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有••=288种不同站法．19．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；（2）求证：BE∥平面PDA．（3）求二面角A﹣PB﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．（2）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同时，有BC∥平面PDA，因为EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，进而有BE∥平面PDA．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣PB﹣E的余弦值．【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA，又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA．解：（3）∵底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PC，且PD=AD=2EC=2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PBE的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣PB﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PB﹣E的余弦值为．20．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，左、右焦点分别是P 和Q ，以P 为圆心，以3为半径的圆与以Q 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 1上． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 2： +=1的左、右焦点分别为F 1和F 2，若动直线l ：y=kx+m （k ，m ∈R ）与椭圆C 2有且仅有一个公共点，且F 1M ⊥l 于M ，F 2N ⊥l 于N ，设S 为四边形F 1MNF 2的面积，请求出S 的最大值，并说明此时直线l 的位置；若S 无最大值，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程； （Ⅱ）将直线l 的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M|，d 2=|F 2N|．当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN|×|tan θ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S 的最大值【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|PF 1|+|PF 2=|2a=4，可得a=2，又=，a 2﹣c 2=b 2，可得b=1，即有椭圆C 1的方程为+y 2=1； （Ⅱ）椭圆C 2： +=1．将直线l 的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0． 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）=0，化简得：m 2=4k 2+3．设d 1=|F 1M|=，d 2=|F 2M|=当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN|×|tan θ|，∴S=••|d 1﹣d 2|•（d 1+d 2）==，∵m 2=4k 2+3，∴当k ≠0时，|m|＞，∴|m|+，∴S ＜2．当k=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S=2．所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ），设函数零点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，设f ′（x ）是f （x ）的导函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：f ′（）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f （x ）=e x ﹣ax+a ，知f ′（x ）=e x ﹣a ，再由a 的符号进行分类讨论，能求出f （x ）的单调区间，然后根据交点求出a 的取值范围；（2）由x 1、x 2的关系，求出＜0，然后再根据f ′（x ）=e x ﹣a 的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明．【解答】（1）解：f'（x ）=e x ﹣a ．若a ≤0，则f'（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a ＞0，令f'（x ）=0，则x=lna ．当x ＜lna 时，f'（x ）＜0，f （x ）是单调减函数；x ＞lna 时，f'（x ）＞0，f （x ）是单调增函数； 于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值．∵函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），∴f （lna ）=a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2．此时，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0；存在3lna ＞lna ，f （3lna ）=a 3﹣3alna+a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0， 又f （x ）在R 上连续，故a ＞e 2为所求取值范围．（2）证明：∵，两式相减得a=．记=t ，则=﹣= [2t ﹣（e t ﹣e ﹣t ）]，设g （t ）=2t ﹣（e t ﹣e ﹣t ），则g ′（t ）=2﹣（e t +e ﹣t ）＜0，∴g （t ）是单调减函数，则有g （t ）＜g （0）=0，而＞0，∴＜0．又f'（x ）=e x ﹣a 是单调增函数，且＞，∴f ′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 分别交于M 1，M 2，若|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得普通方程．利用点斜式可得直线l 的参数方程．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p+32=0，可得t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p+32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1=．由于|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，可得=|AM 1|×|AM 2|．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得：y 2=2px ．直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为，可得参数方程为：．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p+32=0，∴t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p+32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1===．∵|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，∴=|AM 1|×|AM 2|， ∴8p 2+32p=8p+32，化为p 2+3p ﹣4=0，p ＞0．解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．若函数f （x ）=x 2﹣x+c ，满足|x ﹣a|＜1．（Ⅰ）若x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，求实数a 的取值范围构成的集合；（Ⅱ）求证：|f （x ）﹣f （a ）|＜2|a|+2．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先解绝对值不等式，再根据集合之间的关系即可求出a 的范围（Ⅱ）化简|f （x ）﹣f （a ）|为|x ﹣a||x+a ﹣1|，小于|x+a ﹣1|即|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|．再由|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a|+|2a ﹣1|＜1+2|a|+1，从而证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵|x ﹣a|＜1，∴a ﹣1＜x ＜a+1，∵x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，∴，解得a=0，∴实数a 的取值范围构成的集合{0}（Ⅱ）证明：∵函数f （x ）=x 2﹣x+c ，实数a 满足|x ﹣a|＜1，∴|f （x ）﹣f （a ）|=|x 2﹣x+c ﹣（a 2﹣a+c ）|=|x ﹣a||x+a ﹣1|＜|x+a ﹣1|=|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a|+|2a ﹣1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），即|f （x ）﹣f （a ）|＜2（|a|+1）成立．。
精选2019届高三数学上学期入学考试试题文(2)
四川省成都石室中学2019届高三数学上学期入学考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足z +i =3﹣i ，则=-zA ．﹣1+2iB ．1﹣2iC ．3+2iD ．3﹣2i2.已知全集U =R ，集合A={x |x ＜﹣1或x ＞1}，则=A C UA.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞）C ．（﹣1，1） D ．[﹣1，1]3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<- B ．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <- D ．0x ∀>，1ln 1x x≤-4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的的值是A ．3B ．7C ．11D ．335. 在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m （m ＞0）的 概率为，则m 的值等于 A ． B ．3 C ．4 D ．﹣26. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 4+7.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，则数列{a n }前8项的和S n 为 A ．510B ．126C ．256D ．5128. 已知函数()f x 是定义域为的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()tan f x x =，则下列结论正确的是9．已知0>a ，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=3取最小值为1,则的值为或10.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点在线段OB 上，且3OB OM =，点在射线上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011.向量c b,a,满足：)0,4(=a ，)4,4(=b ，0)()(=-⋅-c b c a ，则c b ⋅的最大值是 A. 24 B. 2824- C. 2824+ D. 2812．若关于的不等式12e e 2e 2x x m x +-+>+（其中为自然对数的底数，0,x m >∈Z ）恒成立，则的最大值为A ．4B ．5C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.5log =.14. 直线:2(l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知直三棱柱111A B C A B C -的6个顶点都在球的球面上，若134,12A B A C A BA C A A ==⊥=,,,则球O 的直径为．16. 函数2()2cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则的范围为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． (I)求角的大小；(II)若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD ABC ∆的面积．19. （本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：实体店销售量（单位：件）0网店销售量（单位：件）（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；（Ⅱ）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；（Ⅲ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．20.（本小题满分12分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为),(),,(0202B A- ，焦点在 x 轴上，离心率为23. （I ）求椭圆 C 的方程（II ）设21F F ,为C 的左、右焦点，Q 为C 上的一个动点，且Q 在轴的上方，过作直线Q F l 1//，记与C 的交点为P 、R ，求三角形PQR 面积的最大值.21. （本小题满分12分），()()1g x n x =-+，其中0mn ≠ （I ）若1m n ==，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：。
四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A. 1B. −1C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，故选：B．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为PA⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
精品解析：四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
1.已知 为虚数单位，集合
，
.若
，则复数 等于（ ）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 由复数的概念得到集合 Q ，计算集合 P 与集合 Q 的补集，即可确定出复数 z.
【详解】
,
,则
，
即 zi=-1,z=
,
故选： C
【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题
.
2.已知 为第二象限角，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 【分析】 将
平方得到 cos sin ，再将所求
平方， 结合 为第二象限角即可得到答案 .
1
【详解】 ∵
，平方得
，
∴ 2cos sin ＝﹣
∴
，
∵ 为第二象限角，
∴
故选： B． 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查
础题 .
之间关系的应用，属于基
3.已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 ，则
”成立不能得到“
”成立，反之，当“
”成立时，“
”
成立，所以“
”是“
”的必要不充分条件，所以 B 符合题意；
选项 C 中，“
”是“
”的既不充分也不必要条件，所以 C 不符合题意；
选项 D 中，“
”是“
”的充分不必要条件，所以 D不符合题意．
故选 B．
【点睛】解题的关键是正确理解 “ 使
成立的必要不充分条件”的含义，即由
的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果
四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷(解析版)
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，集合，那么集合A. [0,1）B.C.D.【答案】C【解析】解：解得，；；；；；；．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3.已知等差数列中，前n项和，满足，则A. 54B. 63C. 72D. 81【答案】B【解析】解：等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．5.下列结论正确的是A. 当且时，B. 当时，C. 当时，无最小值D. 当时，【答案】B【解析】解：当时，，可得；当时，，，故A 错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6.的展开式中，常数项为14，则A. B. 14 C. D. 2【答案】D【解析】解：的展开式的通项为．取，得．则，即．故选：D．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，再由常数项为14求得a值．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8.已知，则的面积为【答案】A【解析】解：根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．根据向量数量积和面积公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．10.已知函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为【答案】B【解析】解：函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象．已知分别在，处取得最大值和最小值，，．则，故当时，取得最小值为，故选：B．利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的最值条件求得的最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：物线C：的焦点坐标为，，，抛物线C：，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，，，，，点Q到直线AB的距离当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和弦长公式求出AB，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12.已知函数，，且，则方程的实数根的个数不可能为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，且，，不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极小值，在处取得极大值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有5个不同的解，当，时，方程，有4个不同的解，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为______．【答案】【解析】解：由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是______；该几何体外接球的表面积为；若G为EC中点，则平面AEF；的最小值为3．【答案】【解析】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得0，，0，，1，，1，，1，，0，，即有1，，1，，由，可得，故正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为，即有该几何体外接球的表面积为，故正确；若G为EC中点，可得1，，0，，0，，1，，设平面AEF的法向量为y，，可得，且，可设，可得一个法向量为，由，可得则平面AEF，故正确；设t，，，当时，取得最小值，故错误．故答案为：．以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得D，A，B，C，F，E的坐标，由，的坐标表示，可判断；确定球心为矩形BDEF的对角线交点，求得半径，可判断；求得G的坐标，求得平面AEF的法向量，计算可判断；设出G的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断．本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】本题满分为12分解：，，的面积为，解得：，分由余弦定理可得：，分由可得，，，分在中，由正弦定理，可得：，，，分，，分分【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，．求证：平面平面ABCD；求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．【答案】证明：如图，过D作，连结EO，，，，≌，，，，，由勾股定理逆定理得，，，，面ABE，面ABE，面ABE，面ABCD，平面平面ABCD．解：由知，，，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得0，，，0，，2，，，，，设面CED的法向量y，，则，取，得0，，设直线AE与平面CED所成角为，则，直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD．由，，，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面CED的所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】解：散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；求出分布列，求出数学期望比较即可判断．本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．20.已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线OC上，且满足，，点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】解：由，可得，则点P的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，，则曲线E的方程为，设，，则，消y可得，，，当时，，当时，，由于对任意k恒成立，则，，，综上所述．【解析】由题意可得点P的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出曲线E的方程，设，根据韦达定理结合斜率公式，以及，可得，再分类讨论，根据判别式即可求出的取值范围本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题．21.已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，对任意的实数，若存在正实数，，使得，求的最小正整数值．【答案】解：的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，设，对恒成立，令，，在递减，可得，可得舍去，由n为正整数，可得n的最小值为4，即的最小值为4．【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，再由不等式恒成立和一次函数的单调性，解不等式可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】解：曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值．将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】解：当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
2018-2019学年四川省成都市石室中学高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年四川省成都市石室中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）设集合，A＝{x|y＝log2（2﹣x）}若全集U＝A，B＝{x|1＜x＜2}，则∁U B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）3．（5分）命题“∀x＞0，lnx≥1﹣”的否定是（）A．∀x＞0，lnx＜1﹣B．∃x0＞0，lnx0＜1﹣C．∃x0≤0，lnx0＜1﹣D．∀x＞0，lnx4．（5分）在如图的程序框图中，若输入m＝77，n＝33，则输出的n的值是（）A．3B．7C．11D．335．（5分）在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（）A．2B．C．1D．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3＝，且a2+a4＝，则＝（）A．4n﹣1B．4n﹣1C．2n﹣1D．2n﹣18．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x+1）＝f（﹣x+1），且当0≤x≤1时，f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（﹣）＜f（3）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（3）C．f（3）＜f（）＜f（﹣）D．f（3）＜f（﹣）＜f（）9．（5分）已知约束条件为，若目标函数z＝kx+y取最大值时的最优解有无数多个，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣1或110．（5分）已知抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB 上，且|OB|＝3|OM|，点N在射线OA上，且|ON|＝3|OA|，过M，N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，则|CD|的最小值为（）A．4B．6C．8D．1011．（5分）向量，，满足：||＝4，||＝4，在上的投影为4，（）•（）＝0，则的最大值是（）A．24B．24﹣8C．24+8D．812．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e（e为自然对数底数），若关于x 的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14．（5分）直线l：y＝2（x﹣）过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为．16．（5分）函数f（x）＝sinωx+2cos2（ω＞0），已知f（x）在区间（）恰有三个零点，则ω的范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立．（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天，实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．19．（12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金．随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：（Ⅰ）根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？（Ⅱ）随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次．已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项．求该网友本场答题个数X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率．参考公式：K2＝．临界值表：20．（12分）如图O为坐标原点，圆O：x2+y2＝4点F1（），F2（），以线段F1M为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）证明：|F1M|+|F2M|为定值，并求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过F2作直线l∥F1Q，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形RQF1F2面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣n（x+1），其中mn≠0．（Ⅰ）若m＝n＝1，求h（x）＝f（x）+g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）+g（x）＝0的两根为x1，x2，且x1＞x2，证明：＜0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线l：θ＝α（）分别交C1，C2于M，N两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤x+1；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为c，实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求证：．2018-2019学年四川省成都市石室中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．2．【解答】解：A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，∵B＝{x|1＜x＜2}，∴∁U B＝{x|x≤1}，故选：B．3．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞0，lnx≥1﹣”的否定是∃x0＞0，lnx0＜1﹣；故选：B．4．【解答】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．∵77÷33＝2 (11)33÷11＝3 0∴m＝77，n＝33的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．5．【解答】解：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，∴≤≤，即≤x≤，∴P＝＝．故选：A．6．【解答】解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边为＝，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的体积为V＝Sh＝×××2＝2．故选：A．7．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q＝＝，∴a1+a3＝a1（1+q2）＝a1（1+）＝，解得：a1＝2，∴a n＝2×（）n﹣1＝（）n﹣2，S n＝，∴＝＝2n﹣1，故选：D．8．【解答】解：f（x）是R上的奇函数；又f（x+1）＝f（﹣x+1）；∴f（﹣x）＝f（x+2）；∴f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4）；即f（x）＝f（x+4）；∴f（x）的周期为4，且0≤x≤1时，f（x）＝；∴f（x）在[0，1]上单调递增；∴f（3）＝f（﹣1+4）＝﹣f（1），＞0，f（）＝＜0；∵；∴；∴；∴．故选：D．9．【解答】解：由约束条件为作出可行域如图，化目标函数z＝kx+y为y＝﹣kx+z，若k＞0，则﹣k＜0，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为（8，10），不合题意；若k≤0，则﹣k≥0，要使目标函数z＝kx+y取最大值时的最优解有无数多个，则直线y ＝﹣kx+z与直线x﹣y＝﹣2重合，此时k＝﹣1．故选：B．10．【解答】解：设直线AB的方程为x＝my+1，代入抛物线y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∵|OB|＝3|OM|，∴C点的纵坐标为y2，∵|ON|＝3|OA|，∴D点的纵坐标为3y1，∴|CD|＝y2﹣3y1＝y2+≥2＝4，当且仅当y2＝6 时，取等号，即|CD|的最小值为4，故选：A．11．【解答】解：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，∵||＝4，||＝4，在上的投影为4，设的夹角为θ，∴||cosθ＝＝4，∴＝16，．∴＝（4，0），＝（4，4），设＝（x，y），又＝（4﹣x，﹣y），＝（4﹣x，4﹣y），∵（）•（）＝0，∴（4﹣x）2+（﹣y）（4﹣y）＝0，整理可得，（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，法一：令x＝4+2cosθ，y＝2+2sinθ，则＝4x+4y＝24+8cosθ+8sinθ＝24+8sin（），根据正弦函数的性质可知，最大值是24+8，法二：设x+y＝b，当直线与圆的相切时，b取最值，此时由点到直线的距离公式可得，，∴b＝6±，∴＝4x+4y的最大值24+8故选：C．12．【解答】解：f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e＞0，∴m（x﹣1）＞（x﹣2）e x+e＝0，设y＝g（x）＝（x﹣2）e x+e，∴g′（x）＝（x﹣1）e x，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）≥g（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞，f（x）→e，函数y＝m（x﹣1）恒过点（1，0），分别画出y＝g（x）与y＝m（x﹣1）的图象，如图所示，，若不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则y＝m（x﹣1）的图象在y＝g（x）图象的上方只有一个正整数值，∴2m≤g（3）＝e3+e，∴m≤，故实数m的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，∴＝，∴n＝6，∴＝，它的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为﹣＝﹣20，故答案为：﹣20．14．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，因为线l：y＝2（x﹣）过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，所以＝2，又因为a2+b2＝c2，解得，e＝＞1．e＝，故答案为：8，2．15．【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC ＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝＝13，所以球的直径为：13．故答案为：1316．【解答】解：根据题意f（x）＝sinωx+2cos2＝sinωx+2×＝sinωx+cosωx+1＝2sin（ωx+）+1，令f（x）＝0可得sin（ωx+）＝﹣；∴x∈（）恰有三个交点，那么：+2kπ＞ω+，且＜ω+，解得：1﹣6k＜ω≤3﹣6k，且∵ω＞0∴当k＝0时，可得．．故答案为：（2.5，3]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【解答】解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率P1＝（0.032+0.020+0.012×2）×5＝0.38，网店盈利的概率P2＝1﹣（0.004+0.020）×5＝0.88，由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天，实体店和网店都盈利的概率P＝0.38×0.88＝0.3344．…………（3分）（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34＜0.5，销售量低于55的直方图面积为（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5．故网店销售量的中位数的估计值为50+≈52.35（件）…………（6分）（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率P＝1﹣（0.012+0.014+0.024）×5＝．……（7分）故X～B（3，），X的可能取值为0，1，2，3．相应的概率为：P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：…………（11分）因为X～，B（3，），所以期望为E（X）＝3×．…………（12分）18．【解答】解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2c cos C＝b，则cos C＝＝；又由cos C＝＝＝，解可得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos C＝6，则AD＝；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cos C＝，则sin C＝＝，S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝×2×2×﹣×2××＝．19．【解答】解：（I）依题意，K2的观测值k＝＝＞7.879，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………（5分）（Ⅱ）由题意X的取值为10，11，12，且后四个题每个题答对的概率为；………………（6分）P（X＝10）＝×＝；P（X＝11）××+××＝；P（X＝12）＝××+×＝；故X的分布列为…………………………………………（9分）记该网友当期可平分奖金为事件A，则P（A）＝××+×＝；故该网友当期可平分奖金的概率为．………………………（12分）20．【解答】（Ⅰ）证明：由题知：O，P，N三点共线，连接MF2，则|MF1|+|MF2|＝2|MN|+2|ON|＝2|NP|+2|ON|＝4，∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，a＝2，c＝，则b＝1，则动点M的轨迹方程是；（Ⅱ）解：如图：．设l：x＝ty+，R（x1，y1），G（x2，y2），联立，消去x有：．∴，．由弦长公式可得：|RG|＝＝．又∵点F1到直线l的距离d＝．∴S＝（当且仅当t＝等号成立）．∴四边形RQF1F2面积的取值范围是（0，2]．21．【解答】解：（Ⅰ）由已知得h（x）＝f（x）+g（x）＝﹣x﹣1，所以h′（x）＝﹣1＝（1﹣x2﹣lnx），当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，即h′（x）＞0，当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，即h′（x）＜0．故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），（Ⅱ）依题意m＝n（x1+1），∴mlnx1＝n（x12+x1），①，同理，mlnx2＝n（x22+x2），②，由①﹣②得，mln＝n（x12+x1﹣x22﹣x2）＝n（x1﹣x2）（x1+x2+1），∴n（x1+x2+1）＝﹣，∴＝＝﹣，要证+＜0，即证：﹣+＜0，即证：ln+＞0，令t＝＞1，即证p（t）＝lnt+＞0，t＞1，∴p′（t）＝﹣＝＞0，∴p（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴p（t）＞p（1）＝0，t＞1成立．故原命题得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，所以C1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，因为C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ，（2）因为射线l：θ＝α（ρ≥0，0），则M（ρ1，α），N（ρ2，α），则ρ1＝，ρ2＝2sinα，所以＝＝sinα（sinα+cosα）＝sin（2α﹣）+，又，0＜α，2α﹣∈（﹣，），所以当2α﹣＝，即α＝时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解：f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．①当x＜1时，不等式可化为4﹣2x≤x+1，x≥1．又∵x＜1，∴x∈∅；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1．又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．③当x＞3时，不等式可化为2x﹣4≤x+1，x≤5．又∵x＞3，∴3＜x≤5．综上所得，1≤x≤3，或3＜x≤5，即1≤x≤5．∴原不等式的解集为[1，5]．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|＝2，∴c＝2，即a+b＝2．令a+1＝m，b+1＝n，则m＞1，n＞1，a＝m﹣1，b＝n﹣1，m+n＝4，，原不等式得证．…………………（10分）。
【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．
2
k0
0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分） 如图 O 为坐标原点， 圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)， 内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程； （II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人 罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生 中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径 优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续 认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别 有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默 认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答 题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该 网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：