完整版多项式除以单项式典型例题
第2课时 多项式除以单项式
探究点二:整式的混合运算 【例2】 计算:(1)[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)]÷2b; (2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y. 【导学探究】 应先计算 括号内 的,再算除法.
解:(1)原式=(4a2+12ab+9b2-4a2+b2)÷2b=(12ab+10b2)÷2b =12ab÷2b+10b2÷2b =6a+5b.
(2)原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y =(2x3y2-2x2y)÷x2y =2xy-2.
整式混合运算有三个易错点 (1)运算顺序. (2)同底数幂乘、除、乘方运算中指数的变化规律. (3)运算过程中的符号问题.
1.计算(14a3b2-21ab2)÷7ab2等于( A )
(A)2a2-3
第2课时 多项式除以单项式
1.法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以 单项式 ,再 把所得的商相 加 . 2.符号表示:(a+b+c)÷m= a÷m+b÷m+c÷m (其中a,b,c,m都是单项式) 3.实质:多项式除以单项式法则的实质是将多项式除以单项式转化为
单项式除以单项式 的除法运算.
须是2xy,则小亮报的一个除式是
1 x2 y 2
.
9
4
解:(1)原式=25x2÷5x+(-10xy)÷5x+15x÷5x =5x-2y+3.
(4)[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x.
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(B)2a-3
(C)2a2-3b
(D)2a2b-3
2.[(a2)4+a3·a-(ab)2]÷a的结果为( B )
多项式除以单项式
练一练：填空
(1) ( 21s2t 2 14st 3 ) (7st 2 ) 3s 2t
(2) ( 3a2 2ab ) (a) 3a 2b
(3) ( 3 x 1 7 x2 ) 2x 3x2 2x 7 x3
2
2
课堂练习
（1）(9x2 y 6xy2) (3xy)；
（2）(3x2 y xy2 1 xy) ( 1 xy)。
2
2
(3)(12a3-8a2-3a)÷4a
(4)(6a2b-2ab2-b3)÷(-3b)
继续努力!
（1）(5ax2 15x) 5x
（2）(12m2n 15mn2) 6mn
(3) (4a3b3 6a2b3c 2ab5) (2ab2 )
(4)(x2 y3 1 x3 y2 2x2 y2 ) 1 xy2
课前练习 1.计算： (1)3a2b3+5a2b3=8a2b3
(2)3a2b3×5a2b3 =15a4b6
(3)3a2b3 ÷5a2b3
=3 5
(4)(2x2-3x-1)•3x2= 6x4-9x3-3x2
单项式与多项式相乘的法则是什么？
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的 每一项，再把所得的 积 相加 。
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm
反之(am+bm+cm)÷m
=am÷m+bm÷m+cm÷m =a+b+c
请说出多项式除以单项 式的运算法则
你能计算下列各题？说说你的理由。
（1）(ad+bd)÷d=_____a_+b____ （2）(a2b+3ab)÷a=___a_b_+_3_b__ （3）(xy3-2xy)÷(xy)=__y2_-_2___
【推荐】《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例 1 计算：（1）36 x 44 39x2 9x 2；（ ）3 214a 51 4 30.5a 3 b2 ．x20.25a ba6 a b32例 2 计算：（1） 3an 16an 29an3an 1；（2） 2 a b53 a b4a b3a ab 3．例 3 （1）已知一多项式与单项式54的积为 21x 5y 728x 6y 57 y 2x 3y 2 37 x y，求这个多项式．（ 2）已知一多项除以多项式 a24a 3所得的商是 2a1，余式是 2a 8 ，求这个多项式．例 45ab2a32a 2 5ab23 1 b 5a 2b 2 ．2例 5 计算题：（1） (16 x 48x34x)4 x ； （ 2） ( 4a 312a 2b 7a 3b 2 ) ( 4a 2) ；（3） (4a m 18am 212a m) 4am 1．例 6化简：（1） [( 2x y) 2y( y4x) 8x] 2x ；（2） 4( 4x22x 1)(x1) (4x 6 x 3 ) ( 1 x 3 )24 4例 7计算 [( p q)32( p q)22( p q)][ 1( p q)].33参考答案例 1分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式36x49x24 x 3 9x 2 9x 2 9x 234x24x 127（2）原式0.25a3b20.5a 3b21 a 4b 5 0.5a 3b21 a 4b 3 0.5a 3 b2261 ab31ab 2 3ab31 ab 132说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例 2 分析：（1）题利用法则直接计算 . （2）题把 ab 看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式 3an 13an 16an 23an 19an3an 1a22a33a2a3a23a（ 2）原式 = 2 a b53 a b4a b3a a b3ab23 a b 122a22ab b23 a 3 a 12 2 2例 3 解：（1）所求的多项为 21x 5y 728x 6y57y 2x 3 y2 37x 5 y421x 5 y 728x 6 y556 x 9 y77x 5 y43 y34 xy 8x 4y3（2）所求多项式为a 24a 3 2a1 2a 82a 3 8a 2 6a a 24a 3 2a 8 2a 39a25说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1)— 36x4+4x3+9x2〕+9x2; (2) 0.25a3b2—1a4a5—1a4b3L(—0.5a3b2). I 3 丿2 6 丿例2 计算：(2)2(a + b 5 -3(a +(-a-b j»a(a + b 3】.3 例3 (1)已知一多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7一28x6y5• 7y 2x3y2, 求这个多项式.(2)已知一多项除以多项式a24a - 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,求这个多项式.例5计算题：(1) (16x4_8x3—4x)“4x ；(2) (-4a312a2b-7a3b2) “(-4a2);(3)(4a m18a m 2-12a m)，4a m」.例6 化简：(1)[(2x y)2-y(y 4x)-8x]」2x ；(2)4(4x2-2x 1)(； * (4X6-X3)“(-*X3)3 22 1例7 计算[(p q) -2(p q) --(p q)?: [-(p q)]-3 3参考答案例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式(1) 3a n16a n2-9a「3a n」除以单项式的运算，进而求出最后的结果.解：（1）原式--36x4-〉9x2• 4 x^ 9x29x29x2 3=-4x2x 127（2）原式= 0.25a3b2*（—0.5a3b2）十—1 a4b54 （—0.5a3b2片〔丄a4b3h（—0.5a3b2）I 2 丿I 6 丿---ab3-ab2 3= ab3 -ab」3 2说明：运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：（1）原式=3a n1'3a n」-6a n3a n4 -9a^:'3a n4二a22a3-3a= 2a3a2-3a（2）原式=2（a + b 5—3（a + b f +（—a —b『卜a（a + b 3】= （a+bi -^（a+b）-£2 22 23 3 1=a 2ab b a a --2 2 2例 3 解：（1）所求的多项为21x5y7-28x6y5+7y（2x3y2 3哄—7x5y4）二21x5y7-28x6y556x9y7亠-7x5y4--3y34xy -8x4y3(2)所求多项式为a24a -3 2a 1 2a 8= 2a‘ 8a2-6a a24a -3 2a 83 2=2a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式,先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所 得的商相加.
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
解： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a
= 28a3÷7a-14a2÷7a+7a÷7a = 4a2-2a+1
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
4)-[(-2a2)2]÷[-(-a3)] -4a
5)[a4·am· (a3)2]÷am-1 a11
6)-12(a2b3)3÷( 1 ab2)2 -48a4b5
2
4.叙述单项式与多项式相乘的法则：
单项式与多项式相乘,就是用单项式乘 多项式的每一项，再把所得的积相加.
5.计算：
1)m·(a+b+c) =am+bm+cm ; 2)(am+bm+cm)÷m = a+b+c .
• (3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量 写出表现法则的那一步
例2，化简： [(2x+y)2-y(y+4x`)-8x)]÷2x
解： 原式=(4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x)÷2x
完整版多项式除以单项式典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1) 4 4 3 2 2 ；(2) 3 2 14 51 4 3336x x 9x 9x 0.25a b a aa b0.5a b32 6例2 计算:(1) n 13a6a n29a n n 13a(2) 2 a b53 a b 4a b 2 3 a a b 3求这个多项式.求这个多项式.例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5y 4 的积为 21x 5y 76 5 3 2 328x y 7y 2x y ，(2)已知一多项除以多项式a 24a 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,例45ab 23a2a 2 ； 5ab 2 3 1 b 2例5 计算题：(1) (16x 48x 34x)4x；(2)((3) (4a m 1 8a 1 m 212a m )4a mi 1例6化简：(1) [(2x y)2 y(y 4x) 8x] 2x -(2) 4(4x 22xDG1)(4x 63、5a 2b 2.…3 2 3 22.4a 12a b 7a b )( 4a );13) (;x)参考答案例1 分析: 此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算, 解：（1）原式进而求出最后的结果.4x39x29x29x2 3 36x49x24x2Ax27（2）原式3 20.25a b 3 20.5a b 4b5 3 20.5a b *4b3品21 2 ab3ab3lab312〔ab3运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.说明:例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：(1)原式3a n 1 3a n1 6a n 2n 1 n n 13a 9a 3a2 3 八a 2a 3a2a3 a2 3a, , 5 4(2)原式=2 a b 3 a ba22ab 3a2.2 3b a2123 1a -2 2例3解：（1）所求的多项为 5 721x y 28x6y52 37y 2x3y27x5y45 76 5 9 721x y 28x y 56 x y 7x5y43y3 4xy 8x4y3（2）所求多项式为2a 4a 3 2a 1 2a 82a3 8a2 6a a2 4a 3 2a 83 22a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式例题
多项式除以单项式例题
摘要：
1.引言：介绍多项式除以单项式的概念和基本方法
2.例题分析：详细解析多项式除以单项式的步骤和方法
3.结论：总结多项式除以单项式的要点和技巧
4.练习题：提供多项式除以单项式的练习题以供读者自行尝试
正文：
一、引言
多项式除以单项式是代数学中的一种基本运算，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用。
对于初学者来说，掌握多项式除以单项式的方法和技巧是学习代数学的重要基础。
本文将通过一个例题来详细解析多项式除以单项式的步骤和方法。
二、例题分析
例题：计算多项式3x^2 - 9x + 6 除以单项式2x。
步骤1：将多项式的每一项分别除以单项式2x。
- 3x^2 ÷ 2x = 3/2 * x
- -9x ÷ 2x = -9/2
- 6 ÷ 2x = 3/x
步骤2：将所得的商相加。
- 3/2 * x - 9/2 + 3/x
步骤3：化简结果。
- 3/2 * x - 9/2 + 3/x = (3x - 9) / 2 + 3/x
因此，多项式3x^2 - 9x + 6 除以单项式2x 的结果为(3x - 9) / 2 + 3/x。
三、结论
通过以上例题，我们可以总结出多项式除以单项式的要点和技巧：
1.将多项式的每一项分别除以单项式。
2.将所得的商相加。
3.化简结果。
《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
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《多项式除以单项式》典型例题
例1 计算：
(1)
36 x 4
_
4 3
9x 2
9x 2 ； ( 2 ) 0.25a 3b 2
a 1 a 0 丄 a i
b s
0.5a 3b 2 ・
3
2
6
例2 计算：
(1) 3a n 1 6a n 2
9a n
3a n 1 ；
(2) 2 a b 5
3 a b 4
a b 3
a a
b 3
・
求这个多项式.
求这个多项式.
例4
5ab
2
3
a
2a 2
5ab 2 3 _J b
5a
2, 2 ，b .
2
例5 计算题：
(1) (16 x 4 8x 3
4x)
4
x ；
(2)(
:4a 3 12a 2b
7a 3b 2 ) ( 4a 2
)；
(3)
(4a m 1 8a m
2
12a ra ) 4a m 1 .
例6
化简：
(1) [(2x
y)2
y(y 4x) 8x] 2x ；
()
2
4(4x 2
2x
1)伫 1
‘ (4x 6 x 3> 1 (— 3
)
X
2
4
4
例7 计算Kp
q )3
2(p
Q )2
2
q)] 丄(p
例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5 y 4 的积为 2lx 5 y 7 28x 6 y 5
7 y 2x 3 y 2 3
(2)已知一多项除以多项式a 2
4a
3所得的商是2a 1,余式是2a 8 ,
3 3
参考答案
例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果.
解：(1)原式36x°9X24 X3 9x29x29x2
3
4x2Ax 1
27
(2)原式
0.25a3b2 0.5a3b2
1 1a ib s
2
0.5a3b21 a ib 3
6
0.5a3 b2
ab3_ ab
2 3
ab3Lab -1
3 2
说明：运算结果，应当按某一字母的降幕(或升幕)排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.
例2分析：(1)题利用法则直接计算・(2)题把a b看作一个整体，就
是多项式除以单项式.
解：(1)原式1 3a11 1 6a n 2 3a11 1 9a n 3a
a2 2a3 3a
2a3 a 2 3a
(2)原式=2 a b 5 3 a b4 a b 3 a a b 3
a b2 3. a
b i
2 2
a 2 2a
b b22a 3a J
2 2 2
例 3 解：(1)所求的多项为21x5y 7 28x6 y5 7 y 2x3 y2 37x5 y4
21x5 y7 28x6 y5 56 x9 y7 7x5 y4
3 y3
4 xy 8x4 y3
(2)所求多项式为
a2 4a 3 2a 1 2a 8
2a38 a2 6a a2 4a 3 2a 8
2a39a2 5
说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
根据是“被除式二除式X
商式+余式”・
例4 分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算.
解：原式25a2b2 a3 2a2 125a3b6 2b 25a 4b2
2
25a5b2125a5b725a4b2
a 5a
b 0
例5分析：此三题均是多项式除以单项式，应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果.
解：(1)原式16x°4x 8x3 4 x 4x 4x
4x32x2 1
(2 )原式=(4a3 ) ( 4a2 ) 12a2b ( 4a2 ) 7a3b2( 4a2 )
7 2
=a 3b — ab ・
4
(3)原式二4a "I 4a m 1 8a m 2 4a m 1 12 a m 4a m 1
=a2 2a3 3a 2a3 a2 3a ・
说明：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，要注意各项的符号.
例6分析：题(1)不能先用2x去除各项，应先对括号内进行化简；题(2)则体现了对知识的综合运用.
解：(1)原式二(4x24xy y2y24xy 8x) 2x
=(4x2 8x) 2x 8x 2x 2x 4.
•c « c ■ JL o 、
(2)原式二(lx22 x l)(2x 1) 4x6U X3 ) x3 ( -X3 )
4 4
=8x3 1 16 x3 48x3 5 ・
例7 分析：把p q当成单项式，运用多项式除以单项式的法则.
・1 1
解：原式二（p Q）J _ （P q) 2 (p q)* (p q) -2 (p q) -（P Q）
3 3 3 3
3(p qF 6(p q) 2
3(p22 pq q2 ) 6 p 6q 2
3 p 2 6 pq 3q26p 6q 2.
说明：经题表面看来是多项式除以多项式，但观察后发现每个在底数均为（p q），所以可把P q当作单项式，再进行计算，这种换元的思想希望同学们掌握.。