截断切割的优化设计
优化方法PPT课件
无约束优化 m in f ( x ) x n
F(x)
Xl Xg
最优解都是局部最 优解,全局最优解只 能从局部最优解的 X 比较中得到.
梯 度 : f(x ) ( f, f, x 1 x 2
, x fn ) T ,H e s s ia n 矩 阵 : 2 f(x ) ( x i2 fx j)m n
必 要 条 件 :若 x * 为 的 极 小 点 , 则 f(x * ) 0
充 要 条 件 :若 f(x * ) 0 , 2f(x * )正 定 , 则 x * 是 极 小 点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f( x 1x 2 ) 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3 x 1 x 2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
步长的选择:搜索方向 d k 确定后,求步长实际上是一个一维d k
优化问题 m ifn(xk dk)
称为一维搜索
成功-失败法 黄金分割法(0.618法)
停 止 迭 代 ,X *X k. 否 则 ,转 向 ( 3 ) ；
⑷ 令Sk f Xk ，从 Xk 出发，沿Sk 进行一维搜索， 基
即求k使得：
minf Xk Sk
0
f
Xk kSk
；
本 算
⑸ 令Xk1Xk kSk，k=k+1返回⑵.
法
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最
速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛
线材切割问题最优设计方案探讨讲解
数学建模论文题目：线材切割问题最优化方案探讨院系:数理学院专业：数学与应用数学班级：数学091姓名：姜奎学号：30908011322011/5/20本文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。
首先，我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案，遵循“全部用完，没有剩余”的原则，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。
其次，我们采取了三种模型：1.某根线材的切割方案模型。
确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最佳优化。
2.实行切割方案的模型。
要求花费原材料最少，即要求做到方案组合的最佳优化。
3.多线材切割方案的一般模型。
通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析，建立线材切割的一般模型，得到最优化设计方案。
最后，我们对所设计的模型进行了讨论。
关键词语：多线材切割整数规划数学模型最优化方案一、问题重述 (3)二、问题假设 (4)三、符号说明 (4)四、建立模型 (4)4.1某根线材的切割方案模型 (4)4.2实行切割方案的模型 (6)4.3 实行切割方案模型的求解 (6)4.4 结果分析 (7)4.5 多线材切割一般模型的建立 (7)五、模型的分析与讨论 (8)六、线材切割问题的几点建议 (9)七、参考文献 (10)八、附录 (11)在很多工程领域，都有线材切割问题。
这一问题可表述为:设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为L1,...,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。
某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,...,n(这里 li < 所有Li)，对应数量分别为Ni,i=1,2,...,n。
设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。
现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。
1996年全国大学生数学建模竞赛题目A题最优捕鱼策略B题节水
1996年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题最优捕鱼策略.............................................................................................. 错误！未定义书签。
B题节水洗衣机................................................................................................ 错误！未定义书签。
1997年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题零件的参数设计........................................................................................ 错误！未定义书签。
B题截断切割.................................................................................................... 错误！未定义书签。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题投资的收益和风险...................................................................................... 错误！未定义书签。
优化设计黄金分割法试验报告
机械优化设计黄金分割法实验报告1、黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于［a , b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a，b］内适当插入两点al, a2,并计算其函数值。
a1, a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
2黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
rl=a+O 382(Js-a)r2=a+0.618(b-a)如图所農新区间为［si, r2］以再新区间，继续求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间［a,b］内搜索极小点a *的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数⑹，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间⑺。
具体步骤是：在区间［a,b］内取点：al，a2把［a,b］分为三段。
如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a仁a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2, a2=a1,a1=b-r*(b-a), 如果 | (b-a)/b | 和 | (y1-y2)/y2 | 都大于收敛精度£重新开始。
运筹学的优化算法
数学建模竞赛常用算法(1)
1. 蒙特卡罗方法(Monte-Carlo方法, MC)
该算法又称计算机随机性模拟方法，也称统计试验 方法。MC方法是一种基于“随机数”的计算方法，能够 比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些 数值方法难以解决的问题。 MC方法的雏型可以追溯到十九世纪后期的蒲丰随机 投针试验，即著名的蒲丰问题。 MC方法通过计算机仿 真(模拟)解决问题，同时也可以通过模拟来检验自己 模型的正确性，是比赛中经常使用的方法。
98 年B 题、00年B 题、95 年锁具装箱等问题体 现了图论问题的重要性。
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数学建模竞赛常用算法(5)
5. 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜 索、分治算法、分枝定界等计算机算法.
92 年B 题用分枝定界法 97 年B 题是典型的动态规划问题 98 年B 题体现了分治算法
这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
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分枝定界法
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
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去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
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数学建模竞赛常用算法
97年的A题 每个零件都有自己的标定值，也都有自
己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一 个极其复杂的公式和108种容差选取方案，根本不可能去求 解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最 优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按 照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为 一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从 中选取一个最佳的。 02年的B题 关于彩票第二问，要求设计一种更好的方 案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能 刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
矩形件的“一刀切”排样优化设计
Ｃ ｕ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ ） ，该 种 切 割 方 式 适 用 于 原 材 料 宽 度 固 定
但 长 度 无 限 的 情 况 ，如 图 １（ ａ ）所 示 ；２）一 刀 切 （ Ｇｕ ｉ ｌ ｌ ｏ ｔ ｉ ｎ ｅ Ｃｕ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ ） 方 式 ， 该切 割 方 式 的特 点
王桂兰，朱志松 ，朱龙彪 ，王 杰
Ｗ ＡＮＧ Ｇｕ ｉ － ｌ ａ ｎ ，ＺＨＵ Ｚｈ ｉ ． ｓ ｏｎ ｇ，ＺＨＵ Ｌ ｏ ｎ ｇ ． ｂ ｉ ａ ｏ，Ｗ ＡＮＧ Ｊ ｉ ｅ
（ 南通 大学 机械 工程 学院，南通 ２ ２ ６ ０ １ ９ ）
摘
要 ：采 用 遗传 算法 对矩形 件进 行排 样 优化 ，迭 代搜 索最优 解 ，以 提高板 材 利用率 ，降低生 产成 本 。应用 基 于指 数变 换的 非线 性动 态适 应度 函数 ，引进精 英保 护策 略 ，使用 部分 匹配 交叉 （ Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｌ ｙ Ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｅ ｄ Ｃ ｒ ｏ ｓ ｓ ｏ ｖ ｅ ｒ ）算 子 ，以提高算法的优化精度。结合最低水平线搜索算法 对遗传 种群进 行解码 ，并搜索最 佳吻合矩 形 ，减 少排样 空隙。排样结 果满足 “ 一刀切 ”工艺
要求 ，板材利用率达 ９ ７ ％。
关键词 ：矩形 ；遗传算法 ； “ 一刀切 ” ； 排样优 化 中图分类号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ １ 文献标识码 ：Ｂ
Ｏ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ － ０ １ ３ ４ ． ２ ０ １ ４ ． ０ １ （Ｅ ） ． Ｏ １
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匐 似
数学建模历年题目分析方法
建模更是一种精神】数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. “彩票中的数学”问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平；赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。
纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。
一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)一、CUMCM历年赛题的简析一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。
数学建模经典案例最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。
且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。
二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。
1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。
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长方
摘要
本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。
当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,
最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域
关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径
一、问题的重述与分析
在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。
通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.
对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式
二、模型假设
1、机器切割与刀具无任何误差
2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确
3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形
4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合
5、切割刀具为一个且水平放置
6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动
三、符号说明
A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cm
a，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm
毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下
表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面
下表面（为方便做题，分别记为253614）
r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比
e 调整一次垂直刀具的额外费用
p 垂直切割单位面积费用
ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面
wi 第i 次切割的切割费用单位:元
vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米
di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6
其它变量如果出现则在使用时另行说明
四、模型建立
模型一：
1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意
每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，
再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式
A
1
C 6
2 a b C5 B
3 A 4
模型二：
根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能
1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面
2、5面
3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。
并对其进行排列组合一共有6种情况。
根据每个截面积给其赋予相应的权重，
V11 v14 v22 v25 v33 v36
2、E=4次的情形就是首先选一对互相平行的平面切割，再在剩下的任一对平行面中选取一个平面进行切割，剩余3个平面任意切割，共有12种情况。
分别为：（142356）（142653）（143265）（143562）
（253164）（253461）（251346）（254316）
（361245）（364215）（362451）（362154）
同理，将此12种情况，用Dijkstra算法求出最短路径即此种情况下最小费用的最优切割反方式
3、与1、2同理，当E=5次时，求出此种情况下最小费用的最优切割方式。
五、模型求解
在以上模型建立中所得出当E=3、4、5、6次时各种情况下最小费用的最优切割方式的基础上，分析费用e对最优切割方式的影响如下表：
e取值最少费用最优切割方案
e=2
e=2.1
e=2.2
e=2.3
e=2.4
e=2.5
e=3
e=3.5
e=4
e=4.5
e=5
e=5.5
e=6
e=6.5
e=7
e=7.5
e=8
e=8.5
e=9
e=9.5
e=10
e=10.5
e=11
e=11.5
e=12
总结规律，画出切割方式与e的变化图像，列出其表格，求出当e等于？时的唯一最优切割方式，即所求
六模型的分析和检验
由以上的计算与分析可知，r以及e是在毛坯与成品要求已固定情况下影响费用和切割方式的重要因素，当e=3时，根据优化准则，可以找到最优的切割方式当e大于3时求出各种情况下的最优解，再在e的影响下对其各最解进行比较得出所求
七、模型的评价与推广
对于成品位置不固定，成品表面可以无限靠近毛坯表面这个模型，则可以将此问题看做为选择毛坯的八个角中的一个，也即选择普通模型的六刀中的前三刀的费用，成品未切割的也即靠近毛坯表面的三个面的补刀费用，以及换刀的费用，三者之和就是总费用。
此模型亦可以用最优准则及实用准则来取得较好的优化效果评价，由于时间急迫，加上第一次学写论文有很多的漏洞，在模型的求解中没有算出结果。