福建师范大学2020年8月课程考试《近世代数》作业考核试题参考答案
《近世代数》期末考试A卷
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要答案：wangjiaofudao
一、(共20分，5个小题，4分）
1. 剩余类环中没有非零的零因子。
（）
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群（）
3. 已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则不一定能整除（）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。
（）
5. 环中理想的乘积还是理想。
（）
二、计算证明题（共80分，4个小题，20分）
1. 设是整数集，规定，证明：关于所定义的
运算构成交换群
2. 在四元对称群中,设
(1) 写出的轮换分解式(即将写成一些互不相交的轮换的乘积);
(2) 设集合, 试写出中全部元素(用轮换分解式表示);
3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:
这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
4. 求出剩余类环的所有理想和所有极大理想。
《近世代数》作业参考答案
《近世代数》作业参考答案一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。
2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。
3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。
6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）N b a N b a ∈-⇒∈, （2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ: ，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。
若：b a b a ≠⇒≠。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。
（2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。
10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。
12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。
二．判断题1．×； 2．×；3． √；4．×；5．√；6．√ ；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√三．证明题1． 证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=⋅=B A AB ， 故G AB ∈，即G 对乘法封闭。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。
（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。
（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。
福师(2020-2021)《近世代数》在线作业一(5)答案
福师（2020-2021）《近世代数》在线作业一注：本科有多套试卷，请核实是否为您所需要资料，本资料只做参考学习使用！！！一、单选题（共5题，10分）1、AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：C2、最小的数域是（）A正整数集B整数集C有理数集D实数集提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：C3、题面见图片AABBCCDD提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B4、G是群，则G中每个元素的逆元等于自身是G为交换群的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A5、n阶方阵集合对于矩阵乘法构成（）A半群B群C环D域提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A二、判断题（共45题，90分）1、。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B2、A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A3、。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A4、。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B5、。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B6、。
A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B7、A错误B正确提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B。
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
福师《近世代数》20春在线作业1
1.n阶方阵集合对于矩阵加法构成（）。
A、半群B、群C、环D、域参考答案：B2.18阶循环群的生成元有（）个。
A、3B、4C、5D、6参考答案：C3.关于置换、循环置换和对换的说法错误的是（）。
A、置换一定能写成循环置换的乘积B、置换一定能写成对换的乘积C、循环置换一定能写成对换的乘积D、对换不改变置换的奇偶性参考答案：D4.设f：R₁→R₂是环同态满射，f(a)=b，那么下列错误的结论为（）。
A、若a是零元，则b是零元B、若a是单位元，则b是单位元C、若a不是零因子，则b不是零因子D、若R₂是不交换的，则R₁不交换参考答案：C5.设f：G₁→G₂是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）。
A、f的同态核是G₁的不变子群B、G₂的不变子群的逆象是G₁的不变子群C、G₁的子群的象是G₂的子群D、G₁的不变子群的象是G₂的不变子群参考答案：D6.只要f是A到【1】的一一映射，那么必有唯一的逆映射f⁻¹。
（）A、错误B、正确参考答案：B7.元素周期都为2的群是可换群。
（）A、错误B、正确参考答案：B8.在环Z₂₉中元素【2】。
（）A、错误B、正确参考答案：A9.S₃的乘法表为【3】。
（）A、错误B、正确参考答案：A10.A={0}表示一个集合。
（）A、错误B、正确参考答案：B11.设a=(1 2 3 4 5 6)，则a⁻³=(1 5 3)(2 6 4)。
（）A、错误B、正确参考答案：A12.A={1，2，3}有7个子集。
（）A、错误B、正确参考答案：A13.一般情况下，如果【4】是环同态，则有【5】。
（）A、错误B、正确参考答案：A14.在Z₂₃中，求【6】。
（）A、错误B、正确参考答案：A15.设A={2n|n∈Z}，B={2n+2|n∈Z}，因此，A≠B。
（）A、错误B、正确参考答案：A16.设A={x|x∈R，x²=-1}，因此，A为空集。
（）A、错误B、正确参考答案：B17.如果循环群G=（a）中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n，使得a^n=e，其中e是群的（）。
A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案：A2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A3. 向量空间V中，如果存在非零向量α，使得对于V中任意向量β，都有α⊥β，则称α是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：C4. 有限域F中，如果存在元素a∈F，使得a^p=a对于所有a∈F 成立，则称F是（）。
A. 素域B. 特征域C. 完全域答案：B5. 群G的一个子群H，如果对于任意的h∈H，g∈G，都有ghg^-1∈H，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案：A6. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A7. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A8. 群G的一个子群H，如果H=G，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案：C9. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a-b=b-a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案：A10. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得这些向量线性无关，并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A二、填空题（每题4分，共40分）1. 群G中，如果对于任意的a，b∈G，都有ab=ba，则称G是________。
答案：交换群2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=0，则称R是________。
近世代数期末考试试卷与答案
近世代数期末考试试卷与答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。
A、aB、 a , e33 C、 e, a D、 e, a , a2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=----- 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a 0 , a1 , , a n使得na 0 a 1 a n0 。
8、a是代数系统( A ,0 )的元素，对任何x A 均成立 x a x ，则称a 为---------。
福建师范大学智慧树知到“数学与应用数学”《近世代数》网课测试题答案4
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
住在富人区的她福建师范大学智慧树知到“数学与应用数学”《近世代数》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.当等价关系R=R₁∪R₂，其中R₁{(3，3)}，R₂={(1 1)，(2 2)，(1 2)}，可使A在关系R下的分类恰为S={{1，2}，{3}}。
()A、错误B、正确2.设R是交换环，则R中的可逆元与幂零元的和是可逆元。
()A、错误B、正确3.设G={(a，b)|a，b∈R，a≠0}，规定G中元素运算：(a，b)(c，d)=(ac，bc+d)是交换群。
()A、错误B、正确4.下列中1)设G=Z，G中运算“·”为a·b=a+b+4；2)G=R，“·”为a·b=2(a+b)；则{G；·}都是群。
()A、错误B、正确5.如果循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。
()A、错误B、正确6.A={1，2，3，4，5}，在2A中定义~：S~T⇔|S|=|T|，则~是等价关系。
()A、错误B、正确7.设G是一个群，则G的任意商群都是G的一个满同态像。
()A、错误B、正确8.设R′=Zn是模n的剩余类环，令，则f是Z到Zn的同态，且这个同态保持单位元不变。
()A、错误B、正确9.f：A→B，S⊆A，则f⁻¹[f(S)]=S成立。
()A、错误B、正确10.循环群Z₁₂的所有生成元为1，5，7，11，13。
()A、错误B、正确11.在Z₅₃中元素的逆元为。
()A、错误B、正确12.按数的通常运算，是一个域。
()A、错误B、正确13.设f：Z→Z：x→3x，g：Z→Z：x→3x+1，。
()A、错误B、正确14.18阶循环群的生成元有()个。
A、3B、4C、5D、615.若|a|=m，|b|=n，且ab=ba，(m，n)=1，则|ab|=mn。
()A、错误B、正确第2卷一.综合考核(共15题)1.R×{0}×R表示yz⁻平面。