2016秋季数学集训一队每周习题(3)
2013秋季数学集训队预科班每周习题(3)

2013秋季数学集训队预科班每周习题(3)星期一1. 用彩色笔涂色⑴把从左数数起第3朵花涂上红色。
⑵把从右数第6片叶子涂上绿色。
⑶把左边6只鸭子涂上黄色。
2. 看图填数。
⑴从左往右数,●是第个;从右往左数●是第个。
⑵从上往下数,●是第个;从下往上数●是第个。
3.看谁算得快。
1 + 2=2 + 3=3 - 1=4 - 2=5 - 3=1 + 4= 5 - 3= 4 - 3=2 + 2= 4 - 2=2 + 1= 4 - 1= 5 - 1=3 + 1= 3 + 2=星期二(1)一共有个(2)把左边的第4个涂上颜色。
(3)把右边的4个圈起来。
2.上图从左边数起,☆排在第位、第位、第位和第位。
还是从左边数起,△排在第位、第位、第位和第位。
3.涂一涂。
从右起,给第2棵、第5棵树涂上绿色。
星期三1.⑴水果一共有 个。
⑵从右边数起,将第4个涂上颜色。
⑶梨一共有 个,从左数,是从第 个到第 个。
⑴一共有张数字卡片。
在左边数起的第 张在右边数起的第 张。
⑶把左边3张卡片圈起来。
3.在下图中,从右往左数,★排在第6。
那么,★的右边还有几个☆?请把它们画出来。
星期四1.在左边的图形中圈一圈。
(1)把图中第一行左边的4个圈起来。
(2)把图中第二行右边的2个圈起来。
(3)把图中第三行的左起第2个到第4个圈起来。
2.⑴ 排在左边数起第 ,右边数起第 。
(2) 从 边数起是第四, 从 边数起是第五。
3.请你按要求在下面的横线上画一画。
从左往右数,△是第5个,△的左边有个○。
△星期五1.小朋友玩游戏,从前往后数丽丽排第2,从后往前数丽丽排第3。
这一排一共有多少个小朋友?解:画图示意:列式:(个)答:这一排一共有个小朋友。
2.在一队小朋友中,李锐前面有3人,他的后面有2人。
这一队共有多少人?解:画图示意:列式:(人)答:这一队共有人。
3.一队同学共有10人,小军前面有5人。
小军的后面有几人?解:画图示意:列式:(位)答:小军的后面有人。
2017秋季数学集训队预科班每周习题(3)参考答案

2017秋季数学集训队预科班每周习题(3)参考答案
星期一
1.分一分。
⑴
⑵
2.把下面每组物品中属于同一类的圈起来。
3.把下面两组图形中不同类的物品圈起来。
①②⑥
③⑧⑦⑨
⑤
④⑤⑥⑧⑨
星期二
4.把下面同类的物品用你喜欢的同一个符号表示。
5. 找出每组都有的水果,把它圈起来。
6.把下面同类的物品用你喜欢的同一个符号表示。
星期三
7.把下图的12件物品按要求分类。
服装类:①⑧⑩⑪ ;文具类: ③④⑥⑦⑨ ;玩具类: ②⑤⑫ 。
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
(12)
△ △ ○ △ ○
○ △ △
○ ○ ○
□ △
△
□ □ ☆ ☆ ☆
8.请把每行中不同类的物品用“○”圈起来。
星期四9.
⑴按大、中、小分:大:③⑥
;中:②⑤
;小:①④。
⑵按颜色分:黑:③④
;花纹:②⑤;白:①⑥。
⑶按形状分:正方形:①③⑤;圆形:②④⑥。
10.把下面的图形按要求分类,分别画在长方形里。
或
星期五
11.将下列算式按要求进行分类。
①2+7=9 ②2+4=6 ③9-3=
6 ①
②
③
④
⑤
⑥。
2016届新课标高三数学(文)一轮复习习题 §6.4数列求和、数列的综合应用 2年模拟

§ 6。
4 数列求和、数列的综合应用A 组 2014-2015年模拟·基础题组限时:35分钟1。
(2014河南安阳二模,6)已知数列{a n }中,a n =—4n+5,等比数列{b n }的公比q 满足q=a n —a n —1(n≥2)且b 1=a 2,则|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |=( )A.1-4n B 。
4n —1 C.1-4n3 D.4n-132。
(2014辽宁五校协作体联考,15)已知数列{a n }满足a n =1+2+3+…+nn,则数列{1a n a n+1}的前n 项和为 。
3.(2014广东揭阳3月模拟,13)对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99= 。
4。
(2015河北石家庄调研)在数列{a n }中,已知a 1=14,a n+1a n=14,b n +2=3lo g 14a n (n∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等差数列;(3)设数列{c n }满足c n =a n +b n ,求{c n }的前n 项和S n .5.(2014广东湛江二模,19)已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4。
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对任意正整数n均有c1b1+c2b2+…+c nb n=a n+1成立,求c1+c2+…+c2 014的值。
B组2014—2015年模拟·提升题组限时:50分钟1.(2015长春外国语学校期中)若数列{a n}满足1a n+1—pa n=0,n∈N*,p为非零常数,则称数列{a n}为“梦想数列”.已知正项数列{1b n}为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是()A。
【尚书堂】四年级秋季数学提高班作业答案(周周清1—4)

【尚书堂2016秋季班四年级数学提高作业】周周清一1、巧算下面各题。
57+35+143+165 276+347+582+418+724+53=(59+143)+(35+165)=(276+724)+(347+53)+(582+418)=200+200 =1000+400+1000=400 =24002、巧算下面各题。
29999+3999+499+59 398+270+499=(30000-1)+(4000-1)+(500-1)+(60-1)=(400-2)+(500-1)+270=34556 =11683、巧算:31+32+33+34+35+36+37=(31+37)+(32+36)+(33+35)+34=68×3+34=2384、巧算下面各题。
798+652 2787-397=(800-2)+652 =2787-(400-3)=1450 =23855、巧算78+77+81+82+79+78+81+75+84 1+3+5+……+95+97+99=80×9-2-3+1+2-1-2+1-5+4 =(1+99)×50÷2 =714 =25006、巧算下面各题。
4253-258-253 659-241-59=4253-253-258 =659-(241+59)=4000-258 =659-300=3742 =359526-37-63 3640-564-287-436-713 =526-(37+63)=3640-(564+436)-(287+713)=526-100 =3640-1000-1000=426 =16407、巧算下面各题。
864+(673+136)+227 3842―1567―433―842 =(864+136)+(673+227)=3842-842-(1567+433)=1000+1000 =3000-2000=2000 =10008、巧算下面各题。
7523+(653-1523)9375-(2103+3375)=7523-1523+653 =9375-3375-2103=7000+653 =9000-2103=7653 =6897657-(269+257)+169 874 -(457-126)=657-257+169-269 =874+126-457=300 =543周周清二1、你能在下面数中填上+、-、×、÷,使结果等于已知数吗?(1)9 + 9 + 9 - 9=18(2)5 + 5 + 5 - 5 = 102、巧添运算符号,使等式成立。
小学生奥数每周奥数集训

2019秋季数学集训一队每周习题(1)星期一1.一根拐杖天天用。
(猜一个数字) 答:是。
2.一对数字好兄弟,一个玩倒立,你就分不清哥哥和弟弟。
(猜两个数字)答:是和。
3.8的一半不是4。
(猜两个数)答:是和。
星期二4.看图写数。
有个有个有只5.在第二个长方形里画上你喜欢的图形,比第一幅图多,比第三幅图少。
6.在计数器上画珠子,表示对应的数。
381 672星期三7.第二行补画个“○”,使两行个数同样多。
第一行:○○○○○○○○○○○○第二行:○○○○8.第二行给第一行个“○”,两行个数同样多。
第一行:○○○第二行:○○○○○○○○○○○百十个百十个9.第一行给第二行两个“○”,两行个数同样多。
第二行原来有个。
第一行:○○○○○○○○○○第二行:星期四10.由5个一,7个十组成的数是。
11.83是由个十和个一组成。
12.最小的三位数比最大的两位数多。
星期五13.把27,30,41,39,34,23这组数按下面的要求排列。
(1)从大到小排列:(2)从小到大排列:14.数一数:☆○☆△☆□○△□□△☆□□□□○○○○☆□△△☆(1)○有个,△有个,□有个,☆有个。
(2)□比○多个,和一样多,四种图形一共有个。
15.合理计数,如右下图所示:(1)长方形中有( )个月牙形。
(2)圆中有( )个月牙形。
(3)只在长方形中的月牙形有( )个。
(4)只在圆中的月牙形有( )个。
(5)既在长方形中又在圆形中的月牙形有( )。
数学集训一队每周习题(6)

数学集训一队每周习题(6)本周的练习,出现了有规律的加法计数。
如:6个2相加的和为多少?在课堂讲解每份数和份数的意义后,要求同学们用乘法算式表示。
掌握:一个数里有几个几;平均分,能够用拆数法。
(除法,不要求列算式)锯木头,剪绳子思维引导:锯木头,剪绳子时,剪或锯的次数,与绳子(木头)的段数,有必然的联系。
在已知段数求次数时:次数=段数-1在已知次数求段数时:段数=次数+11.乐乐做手工,把一根绳子剪3次变成段,剪5次变成段。
如果要剪成3段需要剪次,剪成7段需要剪次。
2.乐乐要做一个七色圆形纸花瓶,瓶身每色之间用双面胶粘贴。
他要用条双面胶。
3.乐乐把一张纸同方向对折2次,从正中间剪开。
那么,纸被剪成段。
星期二锯木头总费用和总时间思维引导:锯木头的费用和时间只跟锯的次数相关系。
要先求次数,再用每次的费用(时间)×次数=总费用(总时间)。
4.乐乐做手工,想把一根玻璃棒平均分割成4段,每分割一次需要2分钟。
那么,分割成4段一共需要多少分钟?解:答:分成4段一共需要分钟。
5.一根木头锯成5段,每锯一次需要付5元钱。
一共要付费多少元钱?解:答:一共要付费元钱。
锯木头单次费用和单次时间思维引导:求单次费用或单次时间:要先求次数,再用“总费用÷次数=单次费用”或“总时间÷次数=单次时间”来解决问题。
6.爸爸去玻璃店,将一根玻璃棒分割成4段,共付了6元钱。
每分割一次要付多少元钱?解:答:每分割一次要付元钱。
7.陈叔叔把4根铁管焊接成一根长管用时12分钟,李叔叔把6根铁管焊接成一根长管用时15分钟。
李叔叔和陈叔叔比焊接速度,谁的速度快?本题引导:在比较时,要一对一地实行比较,分别求出李叔叔和陈叔叔焊一次所用的时间。
因为是单次时间的比较,所以单次时间越短的越快。
答:李叔叔和陈叔叔比,的速度快。
星期三楼梯问题思维引导:在楼梯问题中要注意,所在层数和走的层数是两个不同的概念。
所在层数=较低层数+走的层数=较高层数-走的层数8.乐乐家住在4楼,每上一层楼梯要走20级台阶。
数学集训一队每周习题(8)

数学集训一队每周习题(8)
数学谜语。
1.100-1。
(猜一个字) 答案:
2.一来就千。
(猜一个数) 答案:
3.泰山中无人,无水。
(猜一个数) 答案:
4.背着喇叭。
(猜一数学符号) 答案:
5.风筝跑了。
(猜一数学名词) 答案:
6.成绩是多少? (猜一数学名词) 答案:
7. 数独游戏。
要求:每一行,每一列1~9这九个数各出现一次。
每个小九宫格里(共有9个小九宫格)1~9这九个数各出现一次。
8.活泼又可爱的小鱼,你喜欢吗?快动手剪一剪,老师要用最漂亮的小鱼装饰教室。
2
5
5 2
6 1 9
3 2
4 6
4
4
星期三
9.小蚂蚁从A处回B处的家,它要在砖缝中走一条这样的路:每经过一块砖,左右两边砖块的颜色必需相同。
小朋友,请你带小蚂蚁回家吧。
3 4 2 2 3
3 5
3 4
4 2
10.请你从人口出发,走到出口。
可以横着走或竖着走。
要求你走过的线路,格子里的数之和为39。
(多解)
星期四
11.在下面的圆圈中填上运算符号使小牛回家的道路畅通,并使得最后的结果等于100。
入口
出口
星期五
3、4、5、6……的顺序从入口处进入,从出
口处出来。
(不能斜走)
入口。
2016年考研数学三试题解析(完整版)

2016年考研数学(三)试题及解析(完整版)一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ,则a =______,b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定,其中函数g (y )可微,且g (y )≠ 0,则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ,则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义,且a x f x =∞→)(lim , ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ,则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|,则(A) x = 0是f (x )的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题:(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ,则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛,则∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续,且0)(,0)(<'>'b f a f ,则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22,其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续,且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(,x ∈ [a , b ),⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明:⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ,其中价格P ∈ (0 , 20),Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0);(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益),并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时, 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求:(I) S (x )所满足的一阶微分方程; (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生,,发生,A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生,发生,B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,,,αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ,则a =1,b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ,且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ,所以0)(lim 0=-→a e x x ,得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ,得b = -4.因此,a = 1,b = -4. 【评注】一般地,已知)()(limx g x f = A , (1) 若g (x ) → 0,则f (x ) → 0;(2) 若f (x ) → 0,且A ≠ 0,则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定,其中函数g (y )可微,且g (y ) ≠ 0,则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y ),v = y ,可得到f (u , v )的表达式,再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y ),v = y ,则f (u , v ) =)()(v g v g u+,所以,)(1v g u f =∂∂,)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ,则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x - 1 = t ,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ,⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f=21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续,且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在,则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时,f (x )连续,而183sin )(lim 1-=+-→x f x ,42sin )(lim 0-=-→x f x ,42sin )(lim 0=+→x f x ,∞=→)(lim 1x f x ,∞=→)(lim 2x f x , 所以,函数f (x )在(-1 , 0)内有界,故选(A).【评注】一般地,如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续,则f (x )在闭区间[a , b ]上有界;如函数f (x )在开区间(a , b )内连续,且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在,则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义,且a x f x =∞→)(lim ,⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ,则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在,如存在,是否等于g (0)即可,通过换元x u 1=,可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=),又g (0) = 0,所以,当a = 0时,)0()(lim 0g x g x =→,即g (x )在点x = 0处连续,当a ≠ 0时,)0()(lim 0g x g x ≠→,即x = 0是g (x )的第一类间断点,因此,g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关,故选(D).【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|,则(A) x = 0是f (x )的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1,当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时,f (x ) > 0,而f (0) = 0,所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然,x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时,f (x ) = -x (1 - x ),02)(>=''x f ,当x ∈ (0 , δ)时,f (x ) = x (1 - x ),02)(<-=''x f ,所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况,也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题:(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ,则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛,则∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的,如令nn u )1(-=,显然,∑∞=1n n u 分散,而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性.(3)是正确的,因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞),所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的,如令n v n u n n 1,1-==,显然,∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续,且0)(,0)(<'>'b f a f ,则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项. 【详解】首先,由已知)(x f '在[a , b]上连续,且0)(,0)(<'>'b f a f ,则由介值定理,至少存在一点),(0b a x ∈,使得0)(0='x f ;另外,0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ,由极限的保号性,至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ,即)()(0a f x f >. 同理,至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以,(A) (B) (C)都正确,故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限,再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“0”型极限,应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22,其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先,将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ,再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ,由对称性,0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d . )23(916932316-=-=ππ所以,)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续,且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(,x ∈ [a , b ),⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明:⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x ),⎰=x a dt t F x G )()(,将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x ),⎰=xadt t F x G )()(, 由题设G (x ) ≥ 0,x ∈ [a , b ],G (a ) = G (b ) = 0,)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==bababa babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(, 由于 G (x ) ≥ 0,x ∈ [a , b ],故有0)(≤-⎰ba dx x G ,即 0)(≤⎰b adx x xF .因此 ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ,其中价格P ∈ (0 , 20),Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0);(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益),并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0,所以dP dQ Q P E d =;由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ,得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ,得P = 10. 当10 < P < 20时,d E > 1,于是0<dPdR,故当10 < P < 20时,降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时,需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:Qdp E dR d )1(-=,Q E dpdRd )1(-=,p E dQ dR d )11(-=, d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求:(I) S (x )所满足的一阶微分方程; (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导,可得到S (x )所满足的一阶微分方程,解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S , 易见 S (0) = 0,+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=,由初始条件y(0) = 0,得C = 1.故12222-+-=x e x y ,因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解: ak 111-=, a k 12=, 03=k .此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=.(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a , 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解, 其全部解为 a k 111-=, c ak +=12, c k =3, 其中c 为任意常数. β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=.【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时,111||---------=-λbbb λb b b λA E λ=1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=,b λλn -===12 . 对b n λ)1(11-+=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =,所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数). 对b λ-=12,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=,T ξ)0,,1,0,1(3 -=,T n ξ)1,,0,0,1(,-= .故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数).2 当0=b 时,n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ,任意非零列向量均为特征向量.(Ⅱ) 1当0≠b 时,A 有n 个线性无关的特征向量,令),,,(21n ξξξP =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时,E A =,对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1.【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生,,发生,A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生,发生,B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布,于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可.【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P , 于是 61)|()()(==B A P AB P B P , 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P , 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P , 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P , 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P , ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P ), 即),(Y X 的概率分布为:YX0 1 0 132 12161 121(Ⅱ) 方法一:因为 41)(==A P EX ,61)(==B P EY ,121)(=XY E , 41)(2==A P EX ,61)(2==B P EY ,163)(22=-=EX EX DX ,165)(22=-=EY EY DY ,241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ,所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY . 方法二: X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61则61,41==EY EX ,163=DX ,DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ,从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为:0,1,2 .32}0,0{}0{=====Y X P Z P ,41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P , 121}1,1{}2{=====Y X P Z P , 即Z 的概率分布为:Z0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布,数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题,属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,,,αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+,,,101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数,得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln , 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d , 解得 ∑==ni ixnβ1ln ,于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ.( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=,,,αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大,)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m i n {ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α .。
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2016秋季数学集训一队每周习题(3)
星期一
1.确定位置。
下图是教室的座位平面图:
①.已知小雨坐在2——3,那么小云坐在( —— ),小月坐在( —— )。
②.请在4——2的位置画个“○ ”,在5——7的位置画个“△”。
2.早晨起床,面向东方的太阳,后面是 ,左边是 ,右边是 。
3.同学们在餐厅吃饭,小阳在小雨的左边,小兵在小军的右边,小雨在小军的左边。
请你给这四个人排一排位置。
解:
星期二
基本计数法:大数-小数+1=个数
4.乐乐在作业本上从5开始写到16,一共写下 个数。
列式:
5.学校举行秋季运动会,编号1018~1034是一(2)班的运动员。
一(2)班一共有 人参加运动会。
列式:
6.国庆节,乐乐一家出去旅游。
回家后,乐乐把已经过去两天的日历撕下,撕下这两张日历上的日期之和是9。
则乐乐回家这天是 号。
列式:
星期三
7.乐乐从1开始写到30,一共写了个8,个0,个1。
写一写:
8.乐乐把一根绳子对折2次,从中间剪开。
绳子被剪成了段。
9.乐乐第一天写1个毛笔字,第二天写3个毛笔字,……以后每天都比前一天多写2个字。
那么乐乐第6天要写个毛笔字。
10.乐乐叠五角星,一张纸可以叠5个五角星。
那么3张纸可以叠个五角星。
11.乐乐收到了一盒巧克力,一共有10块,乐乐每天吃2块,可以吃天。
12.乐乐家的挂钟每逢几点敲几下(如6点就敲6下),半点时敲一下。
妈妈下班带乐乐回到家已经5:45,到8:20乐乐上床睡觉。
这段时间中,家里的挂钟一共敲了下。
列式:
星期四
13.小朋友排队等老师批改作业。
队伍中的乐乐数了数,他的前面有2人;他的后面有6人。
这排队伍中共有人等老师批改作业。
画图示意:列式:
14.有一队汽车正在十字路口等绿灯放行。
无论从前往后数;还是从后往前数;有一辆红色的汽车都是排在第6辆。
那么这队汽车共有辆。
画图示意:列式:
15.同学们排成一排在跑步。
从前往后数小雨排在第5;从后往前数小杰排在第6;小杰正好排在小雨的前面。
算一算,这排队伍一共有人在跑步。
画图示意:列式:
星期五
16.有12个小朋友排成一队,乐乐的前面有5人。
乐乐的后面还有人。
画图示意:列式:
17.有12个小朋友排成一队,从前往后数,乐乐排在第5。
从后往前数乐乐排在第。
画图示意:列式:
18.有10名同学排成一队去春游。
从前往后数,小红是第2个;从后往前数,小花是第3个。
问她们俩中间有人。
画图示意:列式:。