二次函数交点式专题
《二次函数图像和性质(交点式)》专题
《二次函数与坐标轴交点》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。
1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________（2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x5.对比第3题各方程的解，你发现什么？一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）xy( , )( , )Oxy( , )xy二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）二次函数c bx ax y ++=2与 一元二次方程02=++c bx ax与x 轴有 个交点 ⇔=∆ac b 42- 0，方程有的实数根与x 轴有 个交点；这个交点是 点⇔ =∆ac b 42- 0，方程有实数根与x 轴有 个交点 ⇔=∆ac b 42- 0，方程实数根.二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .【当堂训练】1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。
初高中衔接二次函数专题
3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。
二次函数应用题专题(带答案)
二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。
4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。
三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。
2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。
3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。
XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。
2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。
3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。
评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。
练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。
在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。
二次函数解析式交点式
二次函数解析式交点式
一、表达式形式
二次函数的交点式解析式为：y = k（x-x1）（x-x2），其中（x1，0）和（x2，0）是二次函数与x轴的两个交点的坐标，k为常数。
二、交点坐标
当y=0时，二次函数与x轴交于两点，其横坐标为x1和x2。
三、确定系数
使用交点式时，需要先确定k、x1、x2的值。
通常情况下，可以先将已知的二次函数与x轴的交点坐标代入解析式中，解出k的值，再利用其他条件求出x1和x2的值。
四、适用范围
交点式适用于已知二次函数与x轴的交点坐标和对称轴的情况下，方便求解方程和计算函数值。
五、与一般式比较
二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c，交点式在形式上更加简洁，并且能够直接反映二次函数与x轴的交点情况。
相比之下，一般式在求解方程和计算函数值时需要先进行配方或者分解因式等计算步骤。
六、与顶点式比较
二次函数的顶点式为y=a（x-h）^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。
相比之下，交点式没有直接包含二次函数的顶点坐标，但可以通过解方程组得到顶点坐标。
同时，在某些情况下，使用交点式可以更加方便地求解方程和计算函数值。
七、应用领域
交点式在数学领域有着广泛的应用，如代数、几何、分析等。
在解决实际问题中，交点式也经常被用来建模和分析数据。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，交点式被用来描述实验结果、预测模型、分析数据等方面。
专题训练3 二次函数的顶点式、一般式和交点式
二次函数交点式
二次函数交点式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]。
设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0十字交叉相乘：1x -x11x -x2a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
解决二次函数，还有一般式和顶点式一般式：y=ax²+bx+c顶点式：y=a(x-h)²+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]一般的，如果a，b，c是常数(a≠0)，那么y叫做x的二次函数。
2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤ .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.四个象限位置图①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0 时，开口向上；当a<0 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作对称轴 .特别地，y轴记作直线 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中a 的作用（1）a决定抛物线的开口，a>0, 开口向上；a<0,开口向下。
二次函数解析式的确定-三点与交点式
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解即为二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
若一元二次方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有一个交点，即抛物线的顶点。
若一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1, x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有两个交点，且这两个交点关于对 称轴对称。
灵活选用方法
在求解二次函数解析式时，可以根据题目给出的条件灵活选用适当的方法。如果已知三个 点的坐标，则可以使用三点确定二次函数解析式的方法；如果已知与$x$轴的两个交点和 另外一点的坐标，则可以使用交点式确定二次函数解析式的方法。
注意方程组的解法
在使用三点确定二次函数解析式的方法时，需要解一个包含三个未知数的方程组。在解方 程组时，可以使用代入法或加减法等方法进行求解。
构造方程组求解系数
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。 将三个点的坐标分别代入解析式，得到如下方程组
构造方程组求解系数
$begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
构造方程组求解系数
• y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
设二次函数解析式为$y = a(x x_1)(x - x_2)$，将点$(x_0,
y_0)$代入解析式，得到一个方 程。
解这个方程，可以求得$a$的值， 从两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$，以及另一个不在 $x$轴上的点$(x_3, y_3)$。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：
y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-
b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：
y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a
0.说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线
a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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交点式专题
知识点；二次函«轴* y轴的交点的求法：分别令严①沪0；二次两離9—次及反比例甬数第的相交：赢立聘孑喙数表达式，脾方程.
制I、己期抛物钱y=J-2K TL
"｝求证’课抛物线与*轴-定有两个交点，并求⑷这两牛交点的坐标.
<2> Z'i^抛物线UK轴的两牛交点为九臥H它的顶总为H求ZUBF的而积
例2、如閤，肖建I经过A〔3, 0), B^O, 3)闫点，11与二次函数严F+l的I炖姒，在第一魏班内相空于点C求: (|^厶人*的唧积：
(2) 一次竭歡图會明点峪点A, B粗咸的三篇形的而和.
例3、・朗期抛物线>• = /十脈-c绘过血线y =文一3,崎坐林轴时朗牛交点A * B-此抛物纽崎戈轴的另希交恵为0抛物歿浚魚宵U.
(1)求此哋物线的解析成；
C2)点P为甩伽线上的卜初点.-我便吃】S^；ti= 5 ’ 4的点P的坐标.
D
M 4*已知抛物钱y■丄］［抵-?・
2 2
<1)用配方法求它的顶点唯标和对称轴”
(2)若该拋物线峙艾轴的烧个交点为九B，我缕段AB的I匕
例5、已知抛物线yW-F (3-2m) x+m-2 (m^0> Fjx轴冇時牛不同的交点.
(1) 求m的取就范帽：
(2) 料断点P (I, 1)是否在抛物线上；
C3)卅尸1时，求抛物线的顶点Q及卩点关于礎物线的对称轴对称的点P'的坐标■并过P' > 4卩二点.回出哋物级臥團■
例氐已知一次函数y・一57) x-mffj图邃址抛物线*如图2S-10.
<1)试求n为何愼时，抛物线与x轴的购牛交点阿的距离是3?
<2)当皿为何值时，方程忙一(D］-3> x-m-0的悶个根均为负数？
(3〕设抛物线的顶点为乩与x轴的交点卩、Q.余当PQ最短时AMPQ的而枳.
【巩固练习】
L 拋物线严&心一2）宀+“与x 轴的交点坐标为 ____________ •
2*己知拋物线的对称轴是沪一h 它与x 轴交点的#坦离答于4,它在y 轴上的襯建是一氐則它的表达式为
3. 若电〉Q ・h>0. c>0. A>Ot 那么抛物线厂阿”+bx 十c 经过 ____________ 尊甌
4. 抛物线y=5a -2x+3的顶点坐标是 ___________ .
乩 淮拋物线丫=2^一 5+3） LE +7的对称轴J£x=b 则庐 _________________ .
6.哋物线丫=2/+驱+皿叼孔轴貝封一个交点.!i>Jm= ________ ・
厂 匚知抛物钱尸ah+bx+t 的系敌有a-b+cP,则这岳抛物绽理址点. .
8. 二次密数尸kjM^x —4的图象与K 轴有曲个交点，则k 的取惯范围 __________ *
9. 抛物纽y=x !-2<^工+£的顶点任直罐 日 ±,则H 的仇是 ________________ .
10. 聽物线产3（+5）;与两坐标轴交点的个数为（
） A- 3 4" B. 2 牛 G 1个 D.无
a b c
- -- + ‘
LL 如图I 所肩（^^y=ax i -bx + c 的图象过（一1，Oh 则bx c + a a^b 的炕區f
13.已轨二次甫数产扌十阿+m —2.求证；无论円取何实敷’抛物线总与J （轴有两牛交点.
11.已知一次函数产T —2kM+k'+k —込
（!）当实数k 为何值时’图養经过原点F
（2）当实数k 锂何范圈瓏值时，南数圏彖的顶点崔第四毀限内？
图i
12. L1知二次隔数尸十衣十u 的图象如圏2所朮”则卜'列关奈心确的是
（:
二次函数解析式的求法例一、已術抛物红上任意三点时.还常设解析式九一般武尸酬‘怡汁g黙后解二尤方程组求解;
1.已知二钦歯救的斟粽经过A (0, 3X B CL 3人C (-L 1)三点*或该：次超数的解析式。
沢已知犯删线过A U. 0)和H(4* 0)两駄交y轴十(:直且BC=N求该一次曲数时堺析成*
例二•已知抛物线的顶点坐标•或施物戮上纵坐标相同的两点和拋物线匕另一点时■通苗设解析式为匝点武严刊心-h)T+k 求札
昭已知二秋閤数的阳銀的欣点坐标为"，一3,且经过点(占一旳，求该二次曲数的解析贰，
4,已切二次函数的图象的顶点唯标为"，一3人且経过点F(2. 0)点「求二次闲教的辭析式.
例二、MR抛物线打轴的变戊的覺标时，適粘设解析成为^fij£ y=a(j-xj (X-L).
5.-次诩数的图象经ilA (-1, OX R (氛0),歯数肓晟小侑一8,壤谊二次函戳的解析
鼠抛呦线尸2才十bits打孟轴交于⑵Q)、C-3, Q)f则该一机函数的綁析贰
例4、f 曲数产盘十篦与二次附数的国累交J： A （鼬5）和B⑶n）两点* II当沪3时, 抛物咸取得虽值为9.
（1）求二次常数的点达式】
（密在同坐标系中甌出两个曲数的圈歩；
（3）臥图彖上观察，孟角何储时.—欢苗数与—次函数的值郝開K的增人而壇大.
（4）肖x曲何值时* 淞船数值人尸二次雷数烦¥
例5.某蔬谑皐地种植酣【柿，由历年M场和恰得爲从二J1-日起的300天肉・雌I柿阳场世价与上市时何的黄系用附^中的一第忻缩表示，固红柿的冲欖底本勺匕右时间关系用圏询中的帥物绒表示.（门垢出絹越中表示的疽场皆价与时何的函甑表达賣P=f（T）＞丐出图②申表乐的种机成木勺时间曲敌表达式St；
（小认址疳场習俭减上种植成本戋纯收益，问何时上帀的莎红柿純收益量大？（注I时城皆价和种桓歳本的单血刼畑时间单也；犬〉
【练习】
1.柠抛靭线的顶点坐标为(1, 3),且与y=2f的开口大小相同，方向相反，则该一•次函数的解析式・
2-抛物线尸加萍血也与M轴交J：(-LOK (3.0),则b=________________ , c= _________ .
3・若她物统与x轴交于⑵0)心小・与y轴交孑臨一小则该二欲術fc的_________________________ ・4. m下列条件求茨丁n的二次甫数的解析武
(!)当焙3时，yM«=-l■且團象过(0, 7> <2)圏象过点(0. -2) C1. 2)旦对称轴为讥磯X』
(35图象经过(0. 1) (U 0)［玉小
<4)当al时・y=0w=0时•尸一2, x=2时，尸3
(55抛物线顶点坐标为(-1(一2)且通过血(L 10)
5. 艸二次雷数图彖与*轴交点的横坐标分别是K产一3,耳产1时.且与y紬交点为(％—2片求这个二次雷数的解折式
6, 已知二次酹数尸用代乂址的圈象与芷轴交尸吃・0)、4 0\血点到垃轴胸更离为备求函数前解折式*
九知二次国数用嫁照点坐标(一玉£ 1且閹療过点(2, * h求二抉的数解折式及图線与y轴的交点坐标•
»-己如二檢函数图彖丄八轴交点⑺叽(一1门山丫轴交点星他一"求辭柝式及顶点坐标.
9+杵二次厲数经过(E 0)H用彖关于直线* 时称.那么斛象还必定经过嘟一点？
10・>--x2+2(k~l)x+2k-k\它的用壕经过原点，求伽析武②勾久轴交点CK A及:顶点C用成的△OAC 而积亠11-抛物线尸(V—细备n—4匕的对称轴是11线口，且它的虽低点柱直线尸一令辭上，求稱数解析式*。