第一章 线性规划+答案
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。
答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。
解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。
具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。
第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。
答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点 当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 点 ； 当 在 到 之间时最优解为图中的 c/d大于 且c大于等于 时最优解为图中的 点；当c/d 大于5/2且 大于等于 时最优解为图中的B点 大于等于0时最优解为图中的 大于 小于3/10且 d大于 时最优解为图中的 点 ； 当 c/d大于 大于0时最优解为图中的 小于 且 大于 时最优解为图中的C点 大于 5/2且c小于等于 时或当 小于 小于等于0时或当 小于3/10且d小于 时最优解 小于0时最优解 且 小于等于 时或当c/d小于 且 小于 为图中的原点。 为图中的原点。
page 7 14 March 2012
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
page 3 15 June 2013
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第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
《管理运筹学》第二版)课后习题参考答案
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
解题技巧
明确目标函数和约束条件 画出线性规划图找出可行域 利用单纯形法求解最优解 注意变量的取值范围和约束条件的有效性
ห้องสมุดไป่ตู้意事项
线性规划问题需要满足线性约束条件 单纯形法需要满足可行域条件 注意线性规划问题的最优解可能不存在 注意单纯形法的迭代次数和收敛速度
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汇报人：
判断是否达到最 优解
如果没有达到最 优解则进行迭代 计算直到达到最 优解
复杂线性规划问题的求解
线性规划问题的定 义和分类
单纯形法的基本原 理和步骤
单纯形法的应用实 例：求解复杂线性 规划问题
单纯形法的优缺点 和适用范围
线性规划问题的实际应用
资源分配：合理分配资源以 最大化收益或最小化成本
生产计划：确定最优的生产 计划以最小化成本或最大化 利润
线性约束条件：约束条件是线性的 即约束条件中的变量和常数的系数 都是常数。
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线性目标函数：目标函数是线性的 即目标函数中的变量和常数的系数 都是常数。
线性规划问题的解：线性规划问题 的解是满足所有约束条件的一组变 量值使得目标函数达到最大值或最 小值。
线性规划问题的几何解释
线性规划问题的标准形式
目标函数：线性 函数表示要最大 化或最小化的目 标
约束条件：线性 不等式或不等式 组表示决策变量 的取值范围
决策变量：表示 问题的未知数可 以是连续的或离 散的
线性规划问题的解： 满足所有约束条件 的最优解可以是唯 一的或无穷多个
单纯形法的基本原理
第三章
单纯形法的概念
单纯形法是一种解决线性规划 问题的方法
单纯形法的基本原 理是通过迭代求解 线性规划问题的最 优解
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
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有：4+Δb≥0；即 Δb≥‐4。故当约束 2 的常数项在[‐4，∞]变化时，其对偶价格不变。
从上表中看到，要使最优基保持不变，则有-1.5-Δc2/2≤0，且-1/8+Δc2/8≤0。由此可得‐3≤Δc2≤1 时，原最优解不变。 （2）设资源量 b 的变化量为 Δb，若 ∆ 0，则原解（基）仍为最优解（基） 。即： 0 4 4 + 2 2 1/2 1/4 0 0 1/2 1 0 1/8 0 ∆ 0
0 x3 1 -4 0 -2
0 x4 0 1 0 0
0 x5 - 1/2 2 1/4 1/4
b 2 8 3 13
进基 出基
x5 x4 min{8/2,3/1/4}
2 XB x1 x5 x2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 0 -2 1/2 -1.5
0 x4 1/4 1/2 - 1/8 - 1/8
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作 8h，问该公交线路怎样
安排司机和乘务人，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员。 （1）写出上述问题的数学模型。 （2）将所建的数学模型化为标准型。 （3）求解上述模型（可以采用软件） 。 解： 设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0 标准型：Max Z=-x1 - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 约束条件：s.t. x1 + x6 - x7= 60 x1 + x2- x8 = 70 x2 + x3 – x9 = 60 x3 + x4 – x10 = 50 x4 + x5 – x11 = 20 x5 + x6 – x12 = 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 , x7,x8,x9,x10,x11,x12≥ 0 解得：x1=40; x2=20; x3=30; x4=20; x5=0; x6=30;目标函数值为：140。 4、用单纯形法求解下面的线性规划问题
可行域无界，目标函数有无穷多个解。 （3）max z=x1+x2 2 , 4 2 0
可行解无界，目标函数无界 （4）max z=2x1+3x2 2 3 4 3
,
0
可行域为空集。 3、某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22： —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
（1 ） ）请建立该问 问题的数学模 模型。 （2 ） ）请用图解法 法进行求解。 （3 ） ）若项目Ⅰ的 的利润改为 3 元，解发生 生什么变化？
max z 2x 1 x 2 5x 2 15 解： （1）数学模 模型 6x 1 2x 2 24 s. t. x 1 x 2 5 x ,x 0 1 2
（2 ）
（3 ） ）若项目Ⅰ的 的利润改为 3 元，有无穷 穷多个解。 2、用 用图解法求解 解下列问题。 （1）max z=-3x1+2x2 2 , 0 4 5
可行域无界，目标函数有唯一解。 （2）max z=-2x1+x2 2 , 0 4 5
进基 出基
x2 x5 min{8/2,12/4}
0 3 σj
x4 x2
4 0 2
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 1/4 - 3/4
16 3 Z=9
第二次迭代 Cj CB 2 0 3 σj 第三次迭代 Cj CB 2 0 3 σj
T
2 XB x1 x4 x2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
请根据表中数据回答下列问题： （1）变量 x2 的系数在什么范围内变化，此问题最优解不变？ （2）约束条件 3 的常数项在什么范围内变化时，其对偶价格不改变？ 解： （1）考虑基变量系数 c2 发生变化，即由 3 变为 3+Δc2。将其放入单纯形表中有： Ci CB 2 0 3+Δc2 XB x1 x5 x2 σj b 4 4 2 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 -2 1/2 -1.5-Δc2/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8+Δc2/8 0 x5 0 1 0 0
第 一章 线性规 规划 1、美 美佳公司计划 划制造Ⅰ、Ⅱ Ⅱ两种家电产 产品。已知各 各制造一件时 时分别占用的 的设备 A，B 的台 时、 调 调试工序时间 间及每天可用 用于这两种家 家电的能力、 各售出一件时 各 时的获利情况 况， 如下表所 所示。 问该 该公司应制造 造两种家电各 各多少件，使 获取的利润为 为最大。 项目 目 设备 A（h） 设备 B（h） 序（h） 测试工序 利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天 天可用能力 15 24 5
max Z 2x 1 3x 2 0x 3 0x 4 0x 5 x 1 2x 2 x 3 8 4x 1 x 4 16 4x 2 x 5 12 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
Cj CB 0 0 0 σj 第一次迭代 Cj CB 0 XB x3 2 x1 1 3 x2 0 0 x3 1 0 x4 0 0 x5 - 1/2 b 2 进基 出基 x1 x3 min{2/1,16/4} XB x3 x4 x5 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 b 8 16 12 0
0 x5 0 1 0 0
b 4 4 2 14
所以，x =（4,2,0,0,4） ；Z=14 5、求解线性规划问题
min w 2x 1 3x 2 5x 3 2x 4 3x 5 x 1 x 2 2x 3 x 4 3x 5 4 2x 1 2x 2 3x 3 x 4 x 5 3 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
已知对偶问题的最优解为 y1=4/5，y2=3/5；试用互补松弛定理求出原问题的最优解。 解：对偶问题为 max 4 3 2 2 2 3 3 5 2 2 3 3 将 y1*=4/5, y2*=3/5 代入约束条件，得到第二、三、四个约束条件为严格不等式，亦即这些 约束中加入的松弛变量 yi 大于零。根据互补松弛性质 x*yi=0 可得： x2*=0; x3*=0; x4*=0 由于 y1*>0; y2*>0，根据互补松弛性 yi*xi=0 可得： x6=0;x7=0
故有：∗3ຫໍສະໝຸດ ∗∗ ∗2
4 3
求解后得到：x1*=1，x5*=1。故原问题的最优解为：X*=（1,0,0,0,1）T，w*=5 6、已知线性规划问题 max 2 3 2 4 4 , 其最终单纯形表为： Ci CB 2 0 3 XB x1 x5 x2 σj b 4 4 2 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0 0 x3 0 -2 1/2 -1.5 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 , , , 8 16 12 0