九年级数学下册263实践与探索《最大面积是多少》典型例题素材(新版)华东师大版.docx
最新北师大版九年级数学下册《最大面积是多少》中考题例析
《最大面积是多少》中考题例析利用二次函数知识解决有关几何图形面积最大问题，已成为近年来中考的一个亮点．现例举亮例，供读者赏析．例1如图，要在底边BC = 10CM ，高AD = 120c M 的△ABC 铁皮余料上截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 和F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AD AM =BC HG ． （1）设矩形EFGH 的长HG = y ， 宽HE = x ，确定y 与x 的函数关系式．（2）当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ （3）以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶．怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由．（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另有材料配备）解析：（1）∵AD AM =BC HG ，即 120120x -=160y ， ∴y =－34x ＋160． （2）∵S = xy ， ∴S =x ·（－34x ＋160）=－34x 2＋160x =－34（x －60）2＋4800． 所以当x = 60时，矩形EFGH 的面积S 最大，即S = 4800cm 2．（3）围成圆柱形铁桶有两种情形：①以矩形EFGH 的宽HE = 60cm 作为铁桶的高，长HG = 80cm 作为铁桶的底面周长，则底面半径为R =802π． 故铁桶的体积为V 1 =л·（802π）2·60 =96000πcm 3． ②以矩形EFGH 的长HG = 80cm 作为铁桶的高，宽HE = 60cm 作为铁桶的底面周长，则底面半径为r =602π． 故铁桶的体积为V 2 =л·（602π）2·80 =72000πcm 3． 由V 1> V 2，所以以矩形EFGH 的宽HE = 60cm 作为铁桶的高，长HG = 80cm 作为铁桶的底面周长，围成的圆柱形铁桶的体积较大．例2 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长AB C E FG HD M方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．解析：（1）方案1：长为971米，宽为7米． 方案2：长为9米，宽为971米． 方案3：长=宽=8米．（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米．由题意得长方形长与宽的和为16米．设长方形花圃的长为x 米，则宽为（16-x ）米．S 长方形=x （16-x ）=-x 2+16x =-（x -8）2+64．∴在长方形花圃周长不变的情况下，长方形的最大面积为64平方米，因此不能增加2平方米．。
最新北师大版九年级数学下册《最大面积是多少》典型例题
《最大面积是多少》典型例题有许多面积的最大(小)值问题, 是中考的重点题型，常常是例用二次函数的最大(小)值来解决的,现举例说明这类问题的解法.例1.现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A .兰花；B .菊花；C .月季；D .牵牛花.(1)求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围.(2)当x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面积公式列出y 与x 之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.解：(1)由题意知，B 场地宽为(30)m x -，∴2(30)30y x x x x =-=-+， 自变量x 的取值范围为030x <<.(2)2230(15)225y x x x =-+=--+，当15m x =时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m 2.例 2.某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料,鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长),另外的部分用30米的竹篱笆围成,现在两种方案：①围成一个矩形(如图2)；②围成一个半圆形(如图3).设矩形的面积为1S 平方米,宽为x 米, 半圆形的面积为2S 平方米,半径为x 米,请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(3π≈).分析：这是一道实际应用问题，方案②中半圆的面积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案①中矩形面积的最大值，然后再比较.因此，对于方案①，需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决.图2 图3解: 方案①：221(302)2302(7.5)112.5S x x x x x =-=-+=--+当x=7.5米时，1S 取最大值112.5平方米.方案②：由30x π=得10x =米， 所以2211310015022S x π==⨯⨯=平方米. ∵112.5<150， ∵12S S <，∴应选方案②.例3.在某市开展的创城活动中，桃园小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图4所示).若设花园的BC 的边长为x (cm )，花园的面积为y (m 2).(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量是x 的取值范围；(2)满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；(3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？分析：(1)根据矩形的面积可以确定函数表达式,根据墙长可确定自变量的范围；(2)假设可到200m 2矩形,根据函数值构造方程,求出x 的值与墙长比较,从而判断是否面积可达到200m 2；(3)通过求二次函数的最值可求到花园的最大面积.解：(1)根据题意得：(40)2x y x -=, 所以y =－21x 2+20x (0< x ≤15)； (2)假设面积可以为200m 2,则y=200时，21202002x x -+=,2404000x x -+=,解得：x =20. 因为20m>15m,所以此花园的面积不能达到200m 2.(3)因为21202y x x =-+的图像是开中向下的抛物线，对称轴为x =20. 所以当0<x≤15时，y 随x 的增大而增大,所以当x =15时,y 有最大值.221152015187.5()2y m =-⨯+⨯=最大值. 即：当x=15时，花园面积最大，最大面积为187.5m 2.注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，结合函数的性质，进行具体分析，才能求出符合题意的最值.本题应在x的取值范围0<x≤15中确定函数最大值.。
专题26.3.2 几何图形面积最值问题-九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)
26.3.2 几何图形面积最值问题【同步测试】一．选择题（共2小题）1．用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为（）A．400m2B．300m2C．200m2D．100m2【答案】D【解析】解：设矩形的面积为S平方米，长为xm，由题意，得S＝x（20﹣x），s最大＝100．故选：D．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，矩形的面积公式，解答时求出矩形的面积表达式是关键．2．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则x10米，即x的长为10米．故选：A．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二．填空题（共3小题）3．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是________m2．【答案】50m2【解析】解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积x x2﹣10x，∴最大面积为50即最大面积是50m2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．4．周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为_____cm，长为____cm时，剩下的面积最大，这个最大面积是_________．【答案】见解析经整理，得：y x2x，当x4时，y取得最大值，y最大（4），此时长为（）．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是求最值问题．5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s．【答案】2∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．三．解答题（共3小题）6．一养鸡专业户计划用长116m的竹篱笆靠墙（如图）围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大面积为多少？【答案】见解析【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD．设BC＝xm，则AB＝CD（116﹣x）m，矩形的面积为S．由题意，得S＝x•x2+58x（x﹣58）2+1682．∴当x＝58m时，S最大＝1682m2．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用．解答时求出S与x之间的关系式是关键．7．如图等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CD＝x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1在Rt△ADE中，AD2＝5；（2）如图1∵CP＝x，h为PD边上的高，依题意，△PDQ的面积S可表示为：（x）2．（0≤x≤5）∴a0，∴当x时（满足0≤x≤5），S最大值．学科&网【点睛】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．8．如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm2（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）（2）若∠BAD＝60°，求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB＝CD＝x米，∴BC＝40﹣AB﹣CD＝（40﹣2x）米．（2）如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°∴AE x，BE x，∴S（40﹣2x+40﹣x）•x x（80﹣3x）（0＜x＜20），当S＝93时，，解得：x1＝6，x2＝20（舍去）．∴x＝6（3）由题意，得40﹣x≤24，解得x≥16，结合（2）得16≤x＜20．由（2），S∵a∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．其对称轴为x，∵16，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值162+2016＝128m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．。
苏科版九年级数学下册《最大面积是多少(第1课时)二次函数的应用例(练习)题》PPT课件
做一做
学了就用,别客气
(1)求这条抛物线的解析 式；
(2)在某次试跳中,测得 运动员在空中运动路线 是(1)中的抛物线,且运 动员在空中调整好入水 姿势时,距池边的水平 距离为18/5米,问此次 跳水会不会失误？并通 过计算说明理由.
做一做 何时窗户通过的光线最多
解 : 1.由4 y 7x x 15.
得, y 15 7x x .
4
做一做 何时窗户通过的光线最多
2.窗户面积S 2xy x2 2x15 7x x x2
2
4 2
7 x2 15 x 22
7 x 15 2 225 . 2 14 56
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩
形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上
(.2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y
的最大值是多少?
M
bc30cm
m
或用公式 :
D
C
当x b 20时, 2a
┐ xcm
A
B
N
40cm
4ac b2
y最大值 4a 300.
想一想P62
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩
的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲
乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,
学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米2.5
米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知
学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高？
丙
丁
甲
乙
做一做 跳水运动与抛物线
某跳水运动员进行10米 跳台跳水训练时,身体(看成 一点)在空中的运动路线是经 过原点O的一条抛物线.在跳 某规定动作时,正常情况下, 该运动员在空中的最高处距 水面32/3米,入水处距池边的 距离为4米,同时,运动员在距 水面高度为5米以前,必须完 成规定的翻腾动作,并调整好 入水姿势,否则就会出现失误.
北师大版九年级下册数学《最大面积是多少》二次函数说课教学课件复习指导
解：过点P作PH⊥MN于点H，
M C
H
30m
设BC=x m,
由勾股定理得MN 50m,
由们MN • PH PM • PN,
DG
B
P┐
A
N
40m
得PH 24m.
y AB • BC
在矩形ABCD中，AD//BC ∴∠PAD=∠N, 又∠P=∠P,
边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
值时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40m
解：在矩形ABCD中，DC//AN
M
30m
∴∠MDC=∠MAN, 又∠M=∠M,
D
C
∴△MDC∽△MAN
∴ MD DC 即 MA AN
AD 3 x 30.
∴
4
30 - AD x 30 40
No ┐ xm AIma4g0Bme N
自学检测：（共10分钟）此页4分钟
4 、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑 线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光 线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多 少?
提示：（1）y与x的关系式是
.
(2)设窗户面积为Sm2, 则S与x的关系式
DG
B
P┐
A
N
40m
解 : 1.由勾股定理可得MN 50m, PH 24m.
设AB bm,依题意及图形得b 12 x 24.
25
2. y xb x 12 x 24 12 x2 24x
25
25
数学九年级 下册：第二章 7.最大面积是多少 配套课件
2．如图 1，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm. 点 P 从点 A 开始，沿 AB 边向点 B 以每秒 1 cm 的速度移动；点 Q 从点 B 开始，沿着 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动．如 果 P、Q 同时出发，问经过几秒△PBQ 的面积最大？最大面积 是多少？
7．最大面积是多少
利用二次函数的性质求“最大面积”
周长为 16 cm 的矩形的最大面积为___1_6__c_m_2__，此时矩形 的边长为_____4_c_m_____，实际上此时矩形是___正__方__形___．
应用二次函数解决与图形有关的最值问题 1．小敏用一根长为 8 cm 的红铁丝围成矩形，则矩形的最 大面积是( A ) A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
图1
解：设第 t 秒时，△PBQ 的面积为 y cm2.
∴AP=t cm，PB=(6－t)·2t
∴y= 1 PB·BQ= 1 (6－t)·2t
22Biblioteka =(6－t)t=－t2+6t=－(t－3)2+9,
当 t=3 时，y 有最大值 9.
故第 3 秒钟时，△PBQ 的面积最大，最大值是 9 cm2.
北师大版九年级下册数学《最大面积是多少》二次函数说课教学课件复习提升
即△DEF为等腰三角形.m的值应为6或2.
5.（2010·河源中考）如图， 东梅中学要在教学楼后面的空地 上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边 用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为 y． （1） 求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2） 生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，
图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成 的图形的最大面积．
解析：
根据题意可得： 等腰三角形的直角边为 2xm， 矩形的一边
长是2xm,其相邻边长为 20 4 2 2 x 10 2 2 x 2
所以该金属框围成的面积S 2x • 10 2 2 x 1 2x • 2x 2
D
C
AD边的长度如何表示？
30cm
(2)设矩形的面积为ycm2,当x取
┐
何值时,y取最大值，y的最大
A
40cBm
N
值是多少?
解析：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上.
1.设AD bcm,易得b 3 x 30.
4
2.y xb x( 3 x 30) 3 x2 30x
【解（析1】）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20． （2）当y=210时，由（1）可得，2x2+40x=210．
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4 、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑 线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光 线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多 少?
初中九年级下册数学 《最大面积是多少》二次函数PPT优秀课件
30m
DG
B
P┐
A
N
40m
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8
解 : 1.由勾股定理可得MN 50m, PH 24m.
设AB bm,依题意及图形得b 12 x 24.
25
2. y xb x 12 x 24 12 x2 24x
25
25
12 x 252 300(0 x 50)
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4
注意：在求矩形ABCD的面积
y 3 x2 30x 4
的最大值时，也可以用公式法或图像法求解。
公式法：当x b 30 20时，
2a 2（ 3）
4ac b2 4
ymax
图像法：
4a
300
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5
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形
ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
所以：
40 30
P A
┐
xm
B
N
40m
3
AD b x 30
4
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2
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大? 最大值是多少?
析：因为ABCD为矩形，其中相
M
邻的边AB=xm,（0<x<40)
bm30m
D
C
3
AD b x 30
4
矩形的面积y=xb x( 3 x 30)
(1)如果设矩形的一边AD=xm, M
那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取 D
C
x 3m0m
何值时,y的最大值是多少?
A ┐ bm B
N
40m
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《最大面积是多少》典型例题
有许多面积的最大（小）值问题，是屮考的重点题型，常常是例用二次函数的最大（小）值来解决的，现举例说明这类问题的解法.
例1・现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m,宽为30m,要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；菊花；C.月季；D.牵牛花.
A
1 c 1
A
x—«
M— 4-J
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（1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自为量的取值范禺.
（2）当兀是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面枳公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
解：（1）由题意知，B场地宽为（30-x）m,
y = x（30-x） = -x2 + 30x ,自变量x的取值范围为0 vxv3O.
（2） y 二一F+30X =-（X-15）2+225,
当x = 15m时，种植菊米的面积最大，最大面积为225ml
例2.某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长）, 另外的部分用30米的竹篱笆围成，现在两种方案：①围成一个矩形（如图2）；②围成一个半圆形（如图3）.设矩形的面积为$平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为/米, 请你通过计算帮助农场主选择一个圉成区域而积最大的方案（龙= 3）.
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X Si
分析：这是一道实际应用问题，方案②中半圆的血积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案①中矩形而积的最大值，然后再比较•因此，对于方案①，需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决.
解：方案①：— x(30 ~ 2x) — —2x~ + 30x = —2(x — 7.5)~ + 112.5
当^7.5米时，§取最大值112.5平方米.
方案②：由30 = ;TA ■得兀=10米，
所以 S? =-TTX 2 = -X 3X 100 = 150 平方米. 2 2 2
V112. 5<150, TS1VS2，・•・应选方案②.
例3.在某市开展的创城活动屮，桃园小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一 个矩形花园/仇"花园的一边靠墙，另三边用总长为40/〃的栅栏围成(如图4所示).若设花 园的腮的边长为xS ,花园的面积为y G).
(1) 求y 与丸之间的函数关系式，并写出自变量是丸的取值范围；
(2) 满足条件的花园面积能达到200/7/吗？若能，求出此时”的值；若不能，说明理由；
(3) 根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当/取何值 时，花园的面积最大？最大面积为多少？
分析：(1)根据矩形的血积可以确定函数表达式，根据墙长可确定自变量的范围；(2)假 设可到200m 2矩形,根据函数值构造方程，求出x 的值与墙反比较，从而判断是否面积可达到 200m 2； (3)通过求二次函数的最值可求到花园的最大而积.
解：⑴根据题意得：少,=(40_
兀)
兀,所以 二—丄y +20x (0< A <15)；
2 2
(2)假设面积可以为200屏,则y 二200时，一丄兀2+20兀=200,兀？—40兀+ 400 = 0,解得：
2 圧20.
因为20m>15m,所以此花园的面积不能达到200m 2.
1 °
⑶因为y = -专F + 20%的图像是开屮向下的抛物线，对称轴为右20.
所以当0〈xW15时，y 随x 的增大而增大，所以当尸15时,y 有最大值.
TTYTTT
y最大值=-1X152+20X15=1 87.5（加 $）.
2
B|J：当x=15时,花园面积最大,最大面积为187. 5m2.
注意：顶点横坐标在自变量的取值范I詞内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在口变量的取值范圉内时，要根据题目条件，结合函数的性质，进行具体分析，才能求出符合题意的最值.本题应在x的取值范围0〈xW15中确定函数最大值.。