高数-微分方程归纳
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程
即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
高数-全微分方程
)
ydx − xdy x = d arc tan 又 2 2 y x + y 1 , 取积分因子 µ ( x , y ) = 2 2 x + y
ydx − xdy dx + =0 2 2 x + y
则方程化为: 则方程化为
两边积分的方程的通解为: 两边积分的方程的通解为
H
y M A
O
• • •
T
θ
ρg s x
设A 到M 弧段长为 ， 弧段长为s， 绳索的线密度为ρ， 则该段绳索的重量为ρgs 绳索的线密度为 ， 则该段绳索的重量为 。 绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为H； 绳索在点 处的张力沿水平方向向左，其大小设为 ； 在点M 处的张力沿绳索斜向上, 并在M 点与绳索相切, 在点 处的张力沿绳索斜向上 并在 点与绳索相切 设其倾角为θ、大小为 设其倾角为 、大小为T 。
6
熟记一些简单常用的二元函数的全微分， 熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如
dx ± dy = d ( x ± y ) ydx &# y y − ydx + xdy y = d x2 x ydx − xdy x = d ln xy y ydx − xdy x = d arc tan 2 2 y x + y ydx − xdy 1 x − y = d ln 2 2 2 x + y x − y
x5 + 3 2 2 1 x y − xy 3 + y 3 = C . 2 3
2
注: 当条件
∂P ∂Q ≠ 不能满足时， 可引入积分因子 ∂y ∂x 不能满足时， 可引入积分因子
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
高数上——微分方程的基本概念
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2
k
2C1
cos
kt
k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
高中数学中的微分方程知识点总结
高中数学中的微分方程知识点总结微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的一种重要工具。
在高中数学课程中，微分方程也是一个重要的知识点。
本文将对高中数学中的微分方程知识点进行总结。
1. 微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$，其中 $y, y', y'', ..., y^{(n)}$ 分别表示未知函数及其各阶导数。
2. 微分方程的阶数微分方程的阶数由最高导数的阶数决定。
如 $y'' + y' - 2y = 0$ 是一个二阶微分方程。
3. 微分方程的解微分方程的解是使得方程成立的函数。
解可以分为通解和特解两种类型。
- 通解：包含任意常数的解，可以表示为 $y = F(x, C_1, C_2, ...,C_n)$，其中 $C_1, C_2, ..., C_n$ 是任意常数。
- 特解：满足特定条件的解，没有任意常数。
4. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指可以将原方程中的未知函数和自变量分离后，分别进行积分求解的微分方程。
一般形式可以表示为：$$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot f(y)$$，可通过分离变量，将方程化简为$$\frac{1}{f(y)} \cdot dy = g(x) \cdot dx$$，再对两边同时积分得到解。
5. 齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$ 的微分方程。
可以通过变量代换 $y = x \cdot v$，化简为可分离变量的形式求解。
6. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y =Q(x)$$ 的微分方程。
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分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法
待定系数法
作变换 非 非 变全 量微 可分 分方 离程
2
1、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
22
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
(2)
13
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭
复根 i
[(C0 C1x Ck1xk1)cos x (D0 D1x Dk1xk1)sin x]ex
17
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(4) 全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
其中 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
6
注意： 全微分方程 P Q y x
解法
x
y
u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
Q( x, y)dy
11
(3) F( y, y, y) 0 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y P( x), y P dp , dy
代入原方程, 得
F ( y, P, P dp) 0. dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
12
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
y0
x0 P( x, y0 )d x,
通解为 u( x, y) C .
用直接凑全微分的方法.
7
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解． (2) F ( x, y(n1) , y(n) ) 0 型 特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 F( x, P( x), P( x)) 0.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
而
y1*
与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
14
５、二阶常系数齐次线性方程解法 形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
（常数变易法） 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
5
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
y1n z
e (1n)P( x)dx ( Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
解法 作变量代换 u y x
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.全微分方程 5.线性方程 6.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
1
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
16
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
15
y py qy 0
特征方程为 r 2 prr1 r2