八年级数学下册18.1平行四边形的性质利用平行四边形的性质解(证)题华东师大版
华师大版初中数学八年级下册《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．42．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．44．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．86．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．67．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．59．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4④S=2S△OEF△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．416．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.517．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；④S=2S△EOF．△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．419．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．620．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A．50°B．40°C．80°D．100°21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．423．如图，F是▱ABCD的边AD上一点，连接BD，BF，BF的延长线与CD的延长线交于点E．若∠E=∠A，∠BDC=90°，则下列结论中不正确的是（）A．2DF=BC B．BE=BCC．∠ADE=∠CBE D．D是CE的中点二．填空题（共4小题）24．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF 与CE交于点Q，若S=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为△APDcm2．25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交边AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为20，则△ABE的周长等于．26．已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，AF⊥DC于F，则DF的长是．27．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，如果AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于．三．解答题（共23小题）28．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．（1）求证：BE=CD；（2）若点F是CD的中点．①求证BF⊥AE；②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．30．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．31．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．32．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF；（2）若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG=CG；AG⊥CG．33．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．（1）若EF=2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．34．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．35．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，BE=2，求AB的长．36．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．（1）求证：△ABF≌△DEF；（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的长．37．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC 于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．38．如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连结CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）猜想：四边形CDMN是什么特殊四边形？并证明你的猜想；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．39．已知如图，▱ABCD，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）求证：CG=CD；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．41．如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．42．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE=AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．43．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长．44．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：CF=CD；（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．45．如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF．求证：AE=AF．46．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．（1）求证：CF=FD；（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．47．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图 中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．（3）如图 ，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．48．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．49．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG 的度数．50．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．（1）求线段CF的长度；（2）求证：AB=DG+CE．华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=3，同理可证FD=3，继而可求得EF=AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S=S△CFM，△EFC∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．8【分析】作EN⊥AB，延长DC交EN与M，由S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC可求阴影部分面积．【解答】解：如图作EN⊥AB，延长DC交EN与M∵AB∥CD，AN⊥EN∴CM⊥EN∵AB∥CD∴且EC=AD=BC ∴EM=MN∵S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC=﹣EF×EM﹣AB×MN∴S阴影=（EF+AB）×EM﹣﹣EF×EM﹣AB×MN=EF×EM+AB×MN=S四边形EFGC +S四边形ABCD且S四边形EFGC=4，S四边形ABCD=10∴S阴影=7故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是作出平行四边形的高，用已知面积表示阴影部分面积．6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．6【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；【解答】解：连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=12，∴S△ACF=×12=3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=3，∴S阴=3．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°【分析】求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF可知选项C正确，由∠A=∠BCD=2∠FDC，可知选项A正确，由∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，推出∠GBC+∠GCB=90°，可知D正确；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠A=∠BCD，∴∠AEB=∠EBC，∠BCF=∠DFC，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∴∠BAD=2∠DFC，故A正确∴AB=AE，同理DF=CD，∴AE=DF，即AE﹣EF=DF﹣EF，∴AF=DE．故C正确∵∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°，故D正确，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，由此即可解决问题；出===，可得S△DEM【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AM=BM，∴===，=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，∴S△DEM=1，∵S△BEM=S△EBC=2，∴S△DEM=2+2=4，∴S阴故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BF=FC，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∠CEF=∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AEF=S△AFM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA=x，则∠FAE=x，∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，∴∠EFA=180°﹣2x，∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠CEF=90°﹣x，∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，=S△CFG，∵S△DFE=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4=2S△OEF④S△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③错误；根据相似三角形的性=2S△OEF；故④正确．质得到=2，求得S△OCF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=，∴OE：AC=：6；故③错误；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2：1，∴S△OCF ：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BC=2BF，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB，∴BF=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AFE=S△AFM，∴S△ABF ≤S△AEF，故③正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∵AF=DF，AD=2AB，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF=MF，∵EF=CF，∴CF=MF，∴∠FCD=∠M，∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，∴∠M=∠FCD=∠CFD，∵∠EFC=∠M +∠FCD=2∠CFD ；故②正确，∵EF=FM=CF ，∴∠ECM=90°，∵AB ∥CD ，∴∠BEC=∠ECM=90°，∴CE ⊥AB ，故③④正确，故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CEF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ．④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），=S△ABC，∴S△FCD又∵△AEC与△DEC同底等高，=S△DEC，∴S△AEC∴S=S△CEF；④正确．△ABE若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC即EC=CD=BE即BC=2CD，题中未限定这一条件∴③不一定正确；∴①②④正确，故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠E，∵点F恰好为边AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴BF=EF，BE=2BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵∠AFB=∠FBC，∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，∴∠ABF=∠FBC，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．∴BG==，∴BF=2，∴BE=2BF=4．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.5【分析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC﹣DE=8﹣5=3；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；=2S△EOF．④S△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明BE=CE，OA=OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB=x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF=2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=60°，∴∠ADC=120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=60°=∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD，∵BC=2CD，∴BE=CE，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，∵BE=EC=DE，∴∠DBC=∠BDE=30°，∴∠BDC=30°+60°=90°，∴BD⊥CD，∴S=BD•CD；平行四边形ABCD故②正确；③设AB=x，则AD=2x，则BD=x，∴OB=，由勾股定理得：AO==x，故③不正确；④∵AD∥EC，∴=，∴DF=2EF，=2S△EOF．∴S△DOF故④正确；故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，∵ABh1+CDh3=AB•h AB，BCh2+ADh4=C•h BC，又∵S=AB•h AB=BC•h BC平行四边形ABCD∴S2+S4=S1+S3，故①正确；根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；∵S1﹣S2=S3﹣S4，∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即P点一定在对角线BD上，∴④正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．19．如图，E 是平行四边形内任一点，若S 平行四边形ABCD =8，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影=S 四边形ABCD ．【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD ，CB ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2为平行四边形的高，∴S △EAD +S △ECB=AD•h 1+CB•h 2=AD （h 1+h 2）=S 四边形ABCD=4．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．20．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF=50°，则∠B=（ ）A ．50°B ．40°C ．80°D ．100°【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠ADC 的大小，进而可求解∠B 的度数．【解答】解：在Rt △ADF 中，∵∠DAF=50°，∴∠ADE=40°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=80°，∴∠B=∠ADC=80°．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．【解答】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③错误；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE，BD=BE，所以①正确；∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，所以②正确；在△BEH和△DEC中，∴△BEH≌△DEC，∴BH=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，所以③正确；∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠EBH，∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；故选：C．。
华东师大版八下数学1平行四边形的性质课件
4.如图，在□ ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□
ABCD的周长为（ ）
A.6
B.9
C.12
D.15
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠DAB=
∠DCB，AB∥CD，AB=CD,AD∥BC，AD=BC.
又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.
∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.又∵AB=3,
AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12. 答案：12
６.如图，在平面直角坐标系中，□ OBCD的顶点O,B,D
的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ C ）
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
y
D(2,3)
C
O (0,0) B(5,0) x
A
D
1、如图，在 ABCD中，
A:基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=__5_0_°__ 、∠C=__1_3_0_°_ 、
∠D=__5_0_°__.
B:变式训练： 若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°__ 、∠B=__8_0_°__.
２.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至点F，
延长CD至点E，连结EF，则∠E+∠F的值为（ ） A.110° B.30° C.50° D.70°
求证： ∠A＝ ∠C， ∠B＝ ∠D。 B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,
∴AB∥CD，AD∥BC（性质１）,
∴∠A+∠D＝180°， ∠A+∠B＝180°（两直线平行，同
旁内角互补）,
华东师大版八年级下册数学第18章平行四边形复习课件
变练演编，深化提高
1.（绍兴中考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成 如图所示的四块，为了能在商店配到一块与本来相同的 平行四边形玻璃，他带了两块玻璃，其编号应该是（ ） A ①② B ①④ C ③④ D ②③
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F 在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF； （2）四边形DEBF是平行四边形．
复习题
专题复习 平行四边形
平行四边形
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. 边
2.平行四边形的性质
角 对角线
对称性
A
D
O
B
C
3.平行四边形的判定
定义法 边
对角线
两组对边 一组对边
题组再现，巩固基础
1.已知：平行四边形ABCD中，∠A=100°，
则∠B=
, ∠C=.第2源自图ADOB
C
典型例题，示范讲授
例1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是OA 、OB、OC、OD的中点．请判断四边形EFGH 的形状?并说明为什么．
o
例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交 BC和AD于点E和F，若平行四边形ABCD的 面积为18，则图中阴影部分的面积是 ________.
2.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8cm， AB=6cm，DE平分∠ADC交BC于点E，则 BE=______________.
第1题图
3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC
、BD相交于点O，若AC＋BD=36，AB=10
，则△AOB的周长为
.
第3题图
华师大版八年级数学下册数学 第18章-平行四边形18.1 第4课时 平行四边形中周长与面积的相关计算课件
C F O B M
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB=1 S ABCD . 2 ∴S四边形ANMB=S四边形CMND, 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形 ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ D A F O E C D F C O B D A F
例3 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥ BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8,CD=AB=10. AC BC ，
ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 是直角三角形. B
A
D
O
C
根据勾股定理得 AC AB2 BC2 102 82 6. 又∵OA=OC, 1 OA AC 3, S ABCD BC AC 8 6 48. 2
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井， 为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路， 一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们， 你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？ D A
●
O
M
B
C
解：如图所示．
当堂练习
1.如图， □ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ B ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 D O
A
B
C
2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过 点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5， OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ C ） A.16 B.14 C.12 D.10
华东师大版初二下册数学 18.1 平行四边形的性质 教案(教学设计)
18.1.1平行四边形的性质(一)一、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、教学重点、难点重点：平行四边形的定义，平行四边形的对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，它的边和角之间有什么关系？测量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知的问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC.∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∵ ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形的性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形的性质2 平行四边形的对角相等．四、例习题分析例1（课本例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF.求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B，AD=BC，AB=CD.又因为AE=CF，根据等式的性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．五、随堂练习1．填空：50，则∠B=°，（1）在ABCD中，∠A=∠C=°，∠D=°．（2）如果ABCD中，∠A-∠B=240°，则∠A=°，∠B=°，∠C=°，∠D=°．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2：5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，AD= cm．2．如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：BE＝DF．六、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．360（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH 相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．18.1.1平行四边形的性质(二)一、教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决与平行四边形有关的计算问题和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点重点：平行四边形的对角线互相平分以及该性质的应用．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：360）．①具有一般四边形的性质（内角和是②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将180，观察它还和ABCD绕点O旋转EFGH重合吗？你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．四、例习题分析例1（补充）已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵ OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴ △AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴ AB-AE=CD-CF．即BE=FD．【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了）.五、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48.①已知一边长为12，求各边的长；②已知AB=2BC，求各边的长；③已知对角线AC、BD相交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长.2．如图，在ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD中一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm ．六、课后练习1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于点O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）2．在平行四边形 ABCD 中，AC ＝6，BD ＝4，则AB 的取值范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD 中，已知AB ，BC ，CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．。
《18.1平行四边形的性质》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级下册
《平行四边形的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实践操作和理论学习相结合的方式，使学生能够掌握平行四边形的定义、性质及基本定理，并能够运用所学知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 理论学习：学生需仔细阅读教材中关于平行四边形性质的相关内容，包括但不限于平行四边形的定义、对边平行且相等的性质、对角线互相平分的定理等。
要求学生在理解的基础上，尝试用自己的语言复述这些性质和定理。
2. 实践操作：（1）绘制平行四边形：学生需自行绘制至少三个不同大小的平行四边形，并标明各边的长度和各角的度数。
（2）探索性质：学生利用直尺和量角器等工具，测量所绘制的平行四边形的各边和各角，验证平行四边形性质和定理的正确性。
（3）证明定理：学生需尝试用教材中的定理证明方法，自行证明对角线互相平分的定理，并记录证明过程。
3. 应用练习：（1）基础题：选取几道关于平行四边形性质的简单题目进行练习，如判断给出的四边形是否为平行四边形、计算平行四边形的周长和面积等。
（2）进阶题：设计一些实际应用问题，如利用平行四边形的性质解决实际生活中的路径优化问题、建筑物的结构设计等。
三、作业要求1. 理论学习部分要求学生在教材上做好笔记，对不理解的地方做出标记，准备课堂提问。
2. 实践操作部分要求学生亲手完成，并保证测量的准确性和绘图的规范性。
3. 应用练习部分要求学生独立完成，进阶题可与同学进行讨论，但需独立完成为主。
4. 作业需按时提交，迟到或未交作业的同学需说明原因并补交作业。
四、作业评价教师将对每位学生的作业进行仔细评阅，从理论学习、实践操作和应用练习三个方面进行评价。
评价标准包括知识的准确性、操作的规范性、问题的解决能力等。
对优秀作业进行表扬，对存在问题的地方给出改进建议。
五、作业反馈教师将在课堂上对作业进行讲解和反馈，针对学生在作业中出现的共性问题进行重点讲解，对个别学生的问题进行单独辅导。
《18.1平行四边形的性质》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级下册
《平行四边形的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《平行四边形的性质》的学习，使学生能够掌握平行四边形的定义、性质和定理，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过作业的练习，巩固学生对平行四边形性质的理解，提高其空间想象能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础练习：（1）请列举平行四边形的定义及其基本性质。
（2）请画出几种不同类型的平行四边形，并标明其特点。
（3）根据平行四边形的性质，推导并证明对角线互相平分的定理。
2. 应用练习：（1）利用平行四边形的性质，解决生活中的实际问题，如篱笆墙的构建等。
（2）根据已知条件，判断一个四边形是否为平行四边形，并说明理由。
（3）利用平行四边形的性质，求解与平行四边形相关的几何图形问题。
3. 拓展提高：（1）探讨平行四边形与其他几何图形的联系与区别。
（2）通过实际问题，让学生尝试运用所学知识解决更为复杂的问题。
（3）引导学生进行小组合作，共同探讨平行四边形在实际生活中的应用。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重理解题目的意图和要求，准确把握题目的关键信息。
2. 学生在解题过程中，应注重思路的清晰和逻辑的严密，确保答案的准确性和完整性。
3. 学生在完成应用练习和拓展提高部分时，应注重理论与实践的结合，尝试将所学知识应用到实际问题中。
4. 学生在完成作业后，应进行自我检查和反思，发现并纠正错误，提高解题能力。
四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，进行综合评价，包括学生对知识的理解、解题思路的清晰程度、答案的准确性和完整性等方面。
2. 教师对学生的作业进行及时反馈，指出学生的优点和不足，鼓励学生发扬优点，改正不足。
3. 教师可根据学生的实际情况，给予适当的鼓励和激励，激发学生的学习兴趣和动力。
五、作业反馈1. 教师通过课堂讲解、个别辅导等方式，对学生完成的作业进行反馈和指导。
2. 学生根据教师的反馈和指导，及时改正错误，巩固所学知识。
华师版八年级数学下册作业课件 第18章 平行四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边角的性质
15．(2021·怀化)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形， 点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF. 求证：(1)△ADE≌△CBF； (2)ED∥BF.
证明：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴DA＝BC，DA∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， 则两平行直线AB，CD之间的距离是___3．
10．如图，l1∥l2，点D是BC的中点，S△ABC＝8 cm2，则S△BDE＝___4_c_m_.2
第9题图
第10题图
11．(2021·贵阳)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E， ∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( B) A．1 B．2 C．2.5 D．3 12．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°， 则∠B的度数为__1_1_4_°__．
第11题图
第12题图
13．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5， 0)，(2，3)，则顶点C的坐标是_(7_，__3_)__．
14．在▱ABCD中，若∠BAD的平分线把边BC分成长分别是3 cm和2 cm的两条线段， 则▱ABCD的周长是__1_6_c_m__或__1_4_cm_．
数学 八年级下册 华师版
第18章 平行Biblioteka 边形18．1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边角的性质
1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张， 重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是_平__行__四__边__形___．
第1题图
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利用平行四边形的性质解（证）题
平行四边形具有：对边平行、对角相等、对边相等、对角线互相平分等性质，因此这些性质为我们提供了证线段平行、相等，角相等，两线段互相平分的新方法，在证明这些问题时，可证他们所在的四边形是平行四边形．下面举例说明平行四边形的性质在解（证）题中的应用．
一、求角度
例1．平行四边形ABCD 中， ∠A -∠B=0
25，则∠A=_____;∠B=______; ∠C=_____;∠D=_____.
分析：设∠B 为x ，则∠A 为0
25+x. ∵ABCD 是平行四边形，∴∠A+∠B=0
180 即x+025+x=0180.∴x=0
5.77 ∴∠A=05.102，∠B=0
5.77.
由于平行四边形对角相等，所以∠C=05.102， ∠D=0
5.77.
评注：（1）在解决求平行四边形的内角的度数问题时，应注意抓住两个等量关系:①平行四边形对角相等②平行四边形邻角互补（2）当题目未明确等价角的度数，而是给了两个角的关系时，应注意运用方程来求解.
二、求线段长
例2．如图1，在平行四边形ABCD 中，如果AB ＝5，AD ＝9，∠ABC 的平
分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝_______.
分析：观察图形，容易看出DF ＝CF －CD.又，CD ＝AB ＝5，那么要求DF 的
长，应先确定CF 的长.
解：在平行四边形ABCD 中， 因为AB∥CF，所以∠ABE＝∠F.
因为BE 平分∠B＝∠ABC，所以∠CBF＝∠ABE＝∠F. 所以CF ＝BC ＝AD ＝9.所以DF ＝CF －CD ＝4.
评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对边平行和对边相等的性质. 三、求周长
例3．已知：如图2，在□ABCD 中，BE⊥CD，BF⊥AD， ∠EDF=0
30， BE=8，BF=14，求□ABCD 的周长.
分析：平行四边形的周长是相邻两边长度之和的2倍，因而只要利用平行四边形的性质求出相邻两边的长，问题即可解决.
解:∵ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB. ∵∠CDF=0
30， ∴∠A=∠CDF=0
30. ∵BF⊥AD，BF=14，∴AB=2BF=28.
∵∠A=∠C(平行四边形的对角相等)∴∠C =0
30. ∵BE⊥CD，BE=8，∴BC=2BE=16.
∴平行四边形ABCD 的周长为:2(AB+BC)=2(28+16)=88.
评注：在平行四边形的解题过程中，要善于联系以往学习的有关知识，如此题用到了在直角三角形中，0
30角所对的直角边是斜边的一半的知识.
四、求线段的取值范围
例4．如图3，平行四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12， BD ＝10， AB ＝m ，那么m 的取值范围是（ ）
（A ）10＜m ＜12 （B ）2＜m ＜22 （C ）1＜m ＜11 （D ）5＜m ＜6.
分析：要求m 的取值范围，应考虑与AB 有关的三角形的三边之间的不等关系.结合题中条件，应考虑△OAB 三边之间的不等关系.
解：在平行四边形ABCD 中， 因为对角线AC 和BD 相交于点O ， 所以OA ＝
12AC ＝6，OB ＝1
2
BD ＝5. 因为OA －OB ＜AB ＜OA ＋OB ，所以1＜m ＜11.
评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对角线互相平分的性质. 五、证明线段相等
C
图2
例5．如图4，已知AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AE ＝FE ．则BF ＝AC ．说明理由
分析：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，构造出平行四边形ABNC ．
证明：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，连结BN 、CN ，则四边形ABNC 为平行四边形． ∴BN ＝AC ，BN ∥AC ，∴∠1＝∠4． ∵AE ＝FE ，∴∠1＝∠2．
∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN ＝BF ，∴BF ＝AC ．
评注：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．
六、证明线段的不等关系
例6．如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，E 是AC 延长线上的一点，且DB=CE ，试说明DE>BC ．
解析：因为DE 、BC 不在同一三角形中，其大小不好比较，把DE 沿着AB 平移到BF ，连结CF 、EF ，则可得四边形BDEF 为平行四边形，从而得出∠BFE=∠BDE，EF=BD=CE ，∠CFE=∠FCE， 又因为∠BCF=∠BCE -∠FCE ，∠BFC=∠BFE -∠CFE ，而由∠ABC=∠ACB ，因∠ABC+∠CBF+∠BDE=∠BCE+∠ACB，
由此可得∠BCE>∠BDE ，所以∠BCF>∠BFC，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BF>BC ，即DE>BC ．
评注：
本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角
图4
形中，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证．
七、求面积
例7．如图6，平行四边形ABCD 中，点E 在AC 上，AE=2EC ，点F 在AB 上，BF=2AF.如果△BEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.
分析：根据等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比，求出△AEF 的面积和△BEF 的面积，再根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的两个三角形，从而求出平行四边形的面积.
解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线 ∴ABC S S ∆=2平行四边形∵点F 在AB 上，BF=2AF ，
∴△BEA 和△BEF 是过E 点的高相等的两个三角形，BEF BEA S S ∆∆=23
同理BEF BEA ABC S S S ∆∆∆==
4
9
23因此）（平行四边形2924
9
22cm S S ABC =⨯⨯==∆.
评注:本题考查面积问题中的面积变换，面积变换具有下列的特征:等底或同底且高相等的两个三角形的面积相等;等底或等高的两个三角形的面积比等于它们的高或底的比;此题将平行四边形的面积与三角形的面积进行了整合
.
图6。