人教版八年级数学下册综合专题

人教版八年级数学下册综合专题

核心素养专题：古代问题中的勾股定理

◆类型一勾股定理应用中的实际问题

1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )

A．10尺B．11尺

C．12尺D．13尺

第1题图第2题图2．(2017·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．

注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．

解决下列问题：

(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；

(2)设户斜长x，则可列方程为________________．

3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．

4．(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．

◆类型二 勾股定理的证明问题

5．(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．

6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．

(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的

面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，求(a ＋b)2

的值；

(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法：第一步S

6＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘以k ，得三边长．当面积

S ＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．

参考答案与解析

1．D 2.(1)4 2 (2)(x －4)2＋(x －2)2＝x 2

3.1

4.5

4．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC ＝3尺，CD ＝205＝4(尺)，∴AD ＝32＋42

＝5(尺)，

∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．

5．10

6．解：(1)根据勾股定理可得a 2＋b 2

＝13，四个直角三角形的面积是12ab ×4＝13－1＝

12，即2ab ＝12，则(a ＋b )2

＝a 2

＋2ab ＋b 2

＝13＋12＝25，即(a ＋b )2

＝25.

(2)当S ＝150时，k ＝m ＝

S

6

＝

150

6

＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.

类比归纳专题：有关中点的证明与计算

——遇中点，定思路，一击即中

◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线

1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离( )

A ．变小

B ．不变

C ．变大

D ．无法判断

2．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，M ，N 分别是BC ，DE 的中点．求证：MN ⊥DE (提示：连接ME ，MD )．

◆类型二 结合或构造三角形的中位线解题

3．(2017·宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点，点M 在DE 上，且ME ＝1

3

DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．

4．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，若AB ＝10，CD ＝8，求MN 的取值范围．

5．如图，AD ，BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE 于点G ，AD ＝BE ＝6，求AC 的长．

◆类型三中点与特殊四边形

6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．

参考答案与解析

1．B

2．证明：连接ME ，MD .∵CE ⊥AB ，∴△BCE 为直角三角形．∵M 为BC 的中点，∴ME ＝

1

2

BC .同理可证MD ＝12

BC ，∴ME ＝MD .∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE .

3．8

4．解：取BD 的中点P ，连接PM ，PN .∵M 是AD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线，∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝1

2

CD ＝4.在△PMN 中，PM －PN ＜MN ＜PM ＋PN ，∴1＜MN ＜9. 5．解：过D 点作DF ∥BE ，交AC 于点F .∵AD 是△ABC 的中线，AD ⊥BE ，∴F 为CE 的中点，AD ⊥DF .∴DF 是△BCE 的中位线，∠ADF ＝90°.∵AD ＝BE ＝6，∴DF ＝1

2

BE ＝3，∴AF ＝

AD 2＋DF 2＝35.∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABG ＝∠DBG .∵AD ⊥BE ，∴AG ＝DG ，即G

为AD 的中点．∵BE ∥DF ，∴E 为AF 的中点，∴AE ＝EF ＝CF ＝12AF ，∴AC ＝32AF ＝32×35＝95

2

.

6．证明：∵BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的中线，∴AE ＝12AB ，AD ＝1

2AC ，ED 是△ABC 的

中位线，∴ED ∥BC ，ED ＝1

2

BC .∵点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，∴OM ＝BM ，ON ＝CN ，

MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC ，MN ＝12

BC ，∴ED ∥MN ，ED ＝MN ，∴四边形EDNM 是平行四边形，∴OE ＝ON ，OD ＝OM .∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD .在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，

AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，∴EO ＋ON ＋CN ＝BM ＋OM ＋OD ，∴3OE ＝3OM ，即OE ＝OM .又∵DM

＝2OM ，EN ＝2OE ，∴DM ＝EN ，∴四边形EDNM 是矩形．

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

◆类型一 特殊平行四边形的动态探究问题