§5-4无穷区间上的广义积分

§5—4 广义积分一、无穷区间上的广义积分例1 如图，若求以y =21x 为曲顶、[21，A ]为底的单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题，S (A )=⎰A dx x 2211=2－A 1． 现在若要求由x =21， y =21x和x 轴所“界定”的区域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[21，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ：S =)12(lim )(lim 1lim 221AA S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→⎰=2．定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即定积分⎰A adx x f )(存在)，称极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积分(简称无穷积分)，记作⎰∞+ )(adx x f ，即⎰∞+ )(adx x f =⎰+∞→AaA dx x f )(lim． (1)若(1)右边的极限存在，则称无穷积分⎰∞+ )(adx x f 收敛；否则就称为发散．例1的问题可以用无穷积分表示为S =⎰∞+ 2211dx x，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ⎰⎰-+∞→∞-=bAA bdx x f dx x f )(lim)( (极限号下的积分存在);⎰∞+∞- )(dx x f =⎰⎰+∞→-+∞→+BaB aA A dx x f dx x f )(lim)(lim(2)(两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))．他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．例2 计算无穷广义积分：(1)⎰∞+- 0 2dx xe x ；(2)⎰-∞-1 31dx x ；(3)⎰∞+∞-+ 211dx x ． 解 (1)⎰-A x dx xe 0 2=－21⎰--A x x d e 02)(2=－)1(212122 0 --=--A A x e e ，⎰∞+- 02dx xe x =+∞→A lim⎰-Ax dx xe 02=－21+∞→A lim )1(2--A e =21. (2)21 2132121211A x dx x AA +-=-=----⎰， 2⎰-∞-131dx x =+∞→A lim ⎰--1 31A dx x =+∞→A lim (22121A +-)=－21； (3)⎰⎰⎰+++=+--B A B A dx xdx x dx x 020 2 2111111=arctan A +arctan B ， ⎰∞+∞-+ 211dx x =+∞→A lim ⎰-+0 211A dx x ++∞→B lim ⎰+B dx x0 211=+∞→A lim arctan A ++∞→B lim arctan B =2π+2π=π．在(3)中我们取0来分割⎰-+B A x 211为两个积分，取任意a ∈(－∞，+∞)分割会改变结果吗？例3 证明：无穷积分⎰∞+ 1p x dx，(p >0)，当p >1时收敛；当0<p ≤1时发散．证明 （１）当p =1，⎰⎰==A AA px x dx x dx 1 1 1 ln =ln A ， ⎰∞+ 1 p xdx =+∞→A lim ⎰A x dx1 =+∞→A lim ln A =+∞， 所以⎰∞+ 1xdx 发散；（２）当p >0，p ≠1时，p p x x dx A p Ap-=-=-⎰11)1( 1 1 1(A 1－p －1)， （３）若0<p <1，则1－p >0，所以+∞→A lim ⎰Ap x dx 1=p -11+∞→A lim (A 1－p －1)= +∞，即⎰∞+ 1 px dx 发散；（４）若p >1，则1－p <0，所以+∞→A lim ⎰Ap x dx 1=p -11+∞→A lim (A 1－p －1)=11-p ，即⎰∞+ 1 px dx 收敛，且⎰∞+ 1p x dx =11-p ． 综合可知⎰∞+ 1p x dx当p >1时收敛于11-p ；当0<p ≤1时发散．二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y =x1为曲顶、[ε，2](ε>0)为底的单曲边梯形的面积S (ε)，这是一个典型的定积分问题，S (ε)=22 )2(1εεx dx x=⎰=2(ε-2)． 现在若要求由x =2， y =x 1，x 轴和y 轴所“界定”的区域的“面积”S ，则因为函数y =x1在x =0处无定义，且在(0，2)无界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S (ε)，即定积分的极限来得到S ：S =22)2(2lim )(lim 1lim00220=-==+++→→→⎰εεεεεεS dx x． 定义2 设函数f (x )在(a ，b ]上定义，+→ax lim f (x )=∞；对任意ε (b －a >ε>0)，f (x )在[a +ε， b ]上可积，即⎰+ba dx x f )(ε存在，则称极限+→0lim ε⎰+ba dx x f )(ε为无界函数f (x )在(a ，b ]上的广义积分，即⎰badx x f )(=+→0lim ε⎰+ba dx x f )(ε (3)若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分⎰b adx x f )(收敛，否则为发散．例4的“面积”S 可以表示成S =⎰20 21dx x，而且无界函数广义积分收敛于22． 无界函数广义积分⎰badx x f )(也称为暇积分，且称使f (x )的极限为无穷的那个点a 为暇点．暇点也可以是区间的右端点b 或[a ，b ]中间点，并且可以类似于(1)定义暇积分：⎰badx x f )(=+→0lim ε⎰ε- )(b a dx x f(b 为暇点，极限号下的积分存在)，⎰ba dx x f )(=+→01lim ε⎰1- )(εc adx x f ++→02lim ε⎰+bdx x f c 2)(ε(4)(c ∈(a ，b )为暇点，两个极限号下的积分都存在)．这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)⎰-121xdx ．解 这是一个以x =1为暇点的暇积分．εε--=-⎰101 02arcsin 1xx dx =arcsin(1－ε)，⎰-121x dx =+→0lim ε⎰--ε1 021x dx =+→0lim εarcsin(1－ε)=2π． 例6 当p >0时，⎰1px dx是以x =0为暇点的暇积分．证明它在0<p <1时收敛，在p ≥1时发散．证明 当p =1，⎰1εp xdx =1 1 )(ln εεx x dx =⎰=－ln ε(ε>0)，⎰1x dx=+→0lim ε⎰1 εx dx =+→0lim ε[－ln ε]=+∞.当p >0，p ≠1，⎰1εpxdx =pp x p-=--1111 1ε(1－ε 1－p ). 若p <1，则1－p >0，⎰10 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0lim εp -11(1－ε 1－p)=p -11； 若p ≥1，则1－p <0，⎰1 0 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0limεp-11(1－ε 1－p)= +∞． 所以⎰1 0 p x dx 当0<p <1时收敛于p-11，当p ≥1时发散练习5－41. 下面的运算对吗？ (1)因为f (x )=21xx +是(－∞，+∞)内的奇函数，所以dx xx ⎰∞+∞-+ 21=0；(2)[]2ln )1ln(21lim ln lim 11)11(21 2 1 1 2-+-=+-=+-+∞→+∞→∞+∞+∞+⎰⎰⎰B A dx x x dx x dx x x x B A ， 由于⎰∞+ 1 1dx x ， dx x x⎰∞++ 121均发散，所以dx x x x ⎰∞++- 1 2)11(发散； (3)23)1(2312 0 2 0 332=-=-⎰x x dx (1－1)=0． 2. 计算下列广义积分： (1)⎰∞+ 121dx x ； (2)dx x ⎰∞--0 11； (3)⎰∞+∞-++ 2221dx x x ．。