无穷区间广义积分的几种计算方法
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无穷限的广义积分.
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
时，图5－7中阴影部
1
y ex
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
t
ox
图5－7
例2 计算广义积分 sin xdx .
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
积分区间为无穷区间的广义积分
存在，
记作：
，
即：
=
此时也就是说广义积分
收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分
时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数 f(x)在区间(-∞，b]上连续，取 a<b.如果极限
. 发散，此
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，
存在，
此时也就是说广义积分
如果广义积分
广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的 积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数 f(x)在区间[a,+∞)上连续，取 b>a.如果极限
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，
和
(-∞,+∞)上的广义积分，
记作：
，
即：
=
收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分
. 发散。
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间
记作：
，
即：
=
上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
例题：计算广义பைடு நூலகம்分 解答：
无穷限的广义积分
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
无穷限的广义积分
a
F(x)bF(b)F(a). a
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为
例 7 判断
解 故积分收敛.
1 dx
0 1 x
1 dx 收 敛 性.
1 x 1
2 1x 2.
0
0
例 8 讨论广义积分
解 当 p = 1 时，
1 dx
0 xp
的 收 敛 性 .
e xln x
解 故该积分发散.
1
1 x p dx,
dx lnx
1x
1
例 6 证明广义积分 当 p > 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则 所以该广义积分发散.
当 p > 1 时， 综合上述，
该广义积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该广义积分发散. 1 时，则
a
c
都收敛， 则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区
间 [a, b] 上的广义积分，记作
b
f (x)dx,
即
a
b
c
b
af(x )d xaf(x )d x cf(x )d x .
这时也称广义积分收敛， 否则，称广义积分发散.
F(x) F(b)F(a) b
bcb
af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx
取实数 b
b
lim f(x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分， 记作
f(x)dx,
即
a
b
f(x)dxlim f(x)dx.
a
b a
这时也称广义积分收敛，
无穷区间上的广义积分.
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
5-5广义积分
lim 10
01 1
1 x2
d
x
lim
2 0
11 02 x2 d x
1 10
1
1
11
lim( x)
1
lim (
2 0
x)
lim (1
2 0
2
im0(1
1)
lim (1
2 0
2)
由于上面两个极限都不存在,所以
π 2
0
π， 2
所以，广义积分1
1 x2
dx
收敛，且
1
1 x
2
dx
π 2
π 2
π.
例3
证明广义积分
1
1 x p dx
当p 1收敛，当p 1时发散.
证明 当p 1时，则
lim 1 dx
1 xp
b
b 1
1dx x
lim
b
a
f
( x)dx，
若上述等式右端的极限存在,则称广义积分a f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分a f (x)dx
发散.
类似地，无穷区间 (,b]上的广义积分定义为
b
f
(x)dx
lim
a
b
a
f
(x)dx
(a b).
无穷区间 (,) 上的广义积分定义为
此时，如果上式右端两个广义积分 ac f (x)dx和cb f (x)dx
都收敛，则称广义积分ab f (x)dx 收敛，否则称广义积
分
b
a
11-1 广义积分
发散 ,
a
g ( x)dx
a
必定发散.
如果
g ( x)dx 收敛，由(1)知
解：
a
f ( x)dx 也收敛，论积分
e
1
x
x2
dx 的敛散性。
0e
x
2
e ,
x
x 1,
而由例2，积分
e
1
dx 收敛， 故积分
e
则
a
f ( x)dx 与
b a
b
f ( x)dx 有相同敛散性且有
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx.
此外，如同无穷级数一样有如下柯西收敛原理。
柯西收敛原理
无穷积分
0, 正数
A0 a, 只要 A A0 , A A0 , 便有
定义： 若无穷积分
a
f ( x) dx 收敛,则称无穷积分
a
f ( x)dx 绝对收敛。 若无穷积分 a f ( x)dx 收敛，
a
而无穷积分
f ( x) dx 发散,则称无穷积分
a
f ( x)dx 条件收敛。
绝对收敛的广义积分
例：
判别广义积分
e
ax
c
b
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
否则，就称瑕积分
a f ( x )dx
b
发散。
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
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广义积分在平常 的应用 中涉及面比较 广，但对其的 计算往往成为 个难点。在计算无穷区间的广义 积分的时候 ，我们发现有时候从定 义出发有一定的困难 。本文从基本积分方法 引入 ，结合 了分部积分和 换元积分法 ， 出了其他的几种积分方法 ，以供大家参考 。 给 方法一 ： 换元积分法 在解决 被积函数 中含有无理式 的定积分 的计算时 ，我们通常会用 到换 元法 ， 通过换元达到简化 被积 函数而求 出积分结果的 目的。而正 常积分的这种换元法对广义积分也适用 ，我们在进行求解时可以考虑
方法五 ： 利用级数理论计算广 义 积分
则 ｒ
孽
一 ）
…
ｎ，， Ｉｃ ｃｏ ｓ， ｃｌ －
器积’ 另 的级’ 出 数和 求 著性得 一 幂数 求新 的为 到新 再 级 所
例．算ｒ ｓ 计 －
分积 主是决积数几不 函 的分 部分要解被函是种同型数积鼢计 类函乘 的 计 积
作者简介
究。
李 坚 （１７ 一），讲 师 。研 究方 向 ：体 育教 育训 练 与研 ９１
（ 收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ） ００ ０－ ０
璺，
基 璺 Ｊ ０ 年第 期
高 校 论 坛
无 穷 区 间广 义 积 分 的 几 种计 算 方 法
李 志 军
（ 疆 轻 工 职 业 技 术 学 院 新 疆 师 范 大学 数理 信 息 学 院 ） 新
摘 要 利用概率统计、数学分析理论给 出无 穷限广义积分 的几种计算方 法，在教 学 中运用这几种方法开拓学生视 野。激发 学生 的学习兴趣 。 关键词 无穷限广义积分 正态分布 计算方法
（ ９ ） 接６ 页 合体 育文化实现培养全面发展 大学生的教育新 目标 ，才能 保证高校大学 生在新时期更具有竞争力 。
参考文献
【】 粱培根 ．林 虹． 代化校 园体育 文化 的理论 建ｅ ｆ． 海体 育 学院 １ ｌ 现 Ｊ上 ］ 学报 。２ ０ （ ： ￣ ５ ０８ ） ３８ ９８
一
例 ．算（） ｅ出 ４ 许 １ 一 （） 出 ２仁ｅ 解 （） 右 ， 出 ， ： 令 ｔ 则 １
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适当换 元，简化计算过程。
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（） 一 ＝ 亡 ２亡ｅ 出 √ ．
例１ ．计算 ｊ＝ ＿
报 ．２ ０ （２： ６ １ ０ ０ ６１） ３ ￣ ４ １ 【 李新 科． 学发展 观视 角下体育 文化发 展 的研究 Ⅱ． ６ 】 科 】玉林 师范 学院 学报 。２ ０ （） ４ ８ ０７ ： －６ ３８
【 俞 丽松 ． 体 育文化 建设 存在 问题及 发展 方 向探 析 Ⅱ． 都 体育 ２ 】 高校 ］成 学 院报 。２０ （ ） ８８ ０８１ ： ￣ ９ ０８ 【 付 奕 ， 于芳 ，刘莹 清． 国普 通 高校体 育 师资队 伍 结构现 状 与发 ３ 】 我
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ｆ 开 ．穷 广 积 的 种 算 法Ⅱ天 师 学 学 ４ １刘 生无 限 叉 分 几 计 方 】 米 范 院 报。 ．
２０ ０２
（ 日 ：０一 二９ 收 期 ２ ０ ｆｊ １ ７）
展 时策 Ⅱ． 】中国体 育科技 ， ０（）３ ２ ２ １ ： ￣５ ０ ７２ 【］ 毛 进 红 ，谢 雪玲 ． 高校 体 育 文 化 的 发展 方 向 与 对 策Ⅱ． 教 文 ４ 论 １ 科
汇 ．２ ０ （ ：０ ０ ８１ ４ ）
【】 潘建 华 ．赵 建林 ． 国 高校 体 育 改革 的发展 与 创新 Ｕ． 大 学学 ５ 中 】 重庆
解由 广 凼一 ：于 出 喜 Ｊ 乙 ：
被 数 上特时 可 甬 积法买 ３ 裹函满 述征 们以虑 部 解 则当 而 积 足 我 考用 分 决 Ｉ 吉等 蓑 。 分 Ｉ ＝ 一 台 喜
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