第二节 整式的概念及其分类
整式全部的知识点总结
整式全部的知识点总结一、整式的定义整式是由变量、常数和运算符（加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
整式由多个单项式通过加法或减法连接而成，其中单项式又是由变量的某个非负整数次幂与一个系数相乘而成。
例如，3x^2 - 2xy + 5是一个整式，其中3x^2、-2xy和5都是单项式，它们通过加法连接而成。
二、整式的分类1. 单项式：只包含一个项的代数表达式，形如ax^n，其中a为常数，n为非负整数，a称为系数，n称为次数。
2. 多项式：由多个单项式通过加法或减法连接而成的代数表达式，形如anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0都是常数，n为非负整数。
3. 恒等式：左右两边完全一样的整式，如(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1就是一个恒等式。
4. 同类项：具有相同变量及其指数的项，可以合并的项。
三、整式的基本运算规则1. 加法：整式相加只需把同类项合并即可，如3x^2 - 2xy + 5和2x^2 - xy + 4相加得到5x^2 - 3xy + 9。
2. 减法：整式相减可以看作是整式相加的特殊情况，减去一个整式等于加上其相反数，如3x^2 - 2xy + 5减去2x^2 - xy + 4得到x^2 - xy + 1。
3. 乘法：整式相乘时，按照分配律和结合律进行展开和合并同类项，如(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd。
4. 除法：整式相除通常需要进行长除法或者因式分解等运算，以得到商和余数。
四、整式的化简化简整式是整式运算中的一个重要环节，可以减少计算的复杂性和提高表达式的简洁性。
化简整式的方法主要包括合并同类项、用分配律展开、因式分解等。
五、整式的应用整式在代数、初等数学、高等数学、物理学、化学等多个学科中都有着广泛的应用。
例如，在数学中，整式可以用来表示多项式函数、多项式方程等；在物理学中，整式可以用来表示物体的运动、力的计算等。
整式知识点分类归纳总结
整式知识点分类归纳总结整式的种类有多种，主要包括单项式、多项式、分式，以及它们的运算。
下面对整式相关的知识点进行分类归纳总结：一、整式的基本概念1. 代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的符合语法规则的表达式。
代数式可以表示数与数之间的关系，可以用来表示具有普遍性的数学规律。
2. 整式的定义整式是由字母和数以及加减乘除等运算符号组成的代数式。
整式中不包含分式以及根式等算术式。
整式通常由常数项、一次项、二次项、三次项等各种次数的项组成。
3. 单项式和多项式单项式是只包含一个变量的代数式，例如3x、-2y等。
多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，例如3x+2y、5x^2+3x-6等。
4. 整式的次数整式中的最高变量次数称为整式的次数。
例如5x^2+3x-6的次数为2，3x^4-2x^3+5x^2-3x+4的次数为4。
5. 整式的分类整式按照其结构特点和性质可以分为单项式、多项式和分式。
单项式是只包含一个变量的代数式，多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，分式是一个整式除以另一个整式所得到的代数式。
6. 整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整式的加法与减法是基于单项式和多项式的加减法运算规则，整式的乘法是基于分配律和乘法法则的运算，整式的除法则是利用多项式的因式分解和除法规则进行运算。
二、单项式与多项式的运算1. 单项式的加法与减法单项式的加法和减法是遵循着同类项相加减的原则，即变量的指数相等的项可以相加减，常数项也可以相加减。
2. 多项式的加法与减法多项式的加法和减法是将同类项进行合并，即对应位置的项进行加减操作，最终得到合并后的多项式。
3. 单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法是利用分配律，即将单项式的每一项分别与多项式进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
4. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个多项式中的项依次与另一个多项式中的项进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
整式的化简知识点总结
整式的化简知识点总结1. 整式的概念：由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式称为整式。
2. 整式的分类：-一次整式：次数为1 的整式，例如：3x + 2y - 5.-二次整式：次数为2 的整式，例如：x^2 + 3xy - 2y^2.-三次整式：次数为3 的整式，例如：x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3.-高次整式：次数大于3 的整式。
3. 整式的化简：通过加减运算、乘除运算，将整式中的项进行合并或消去，使整式变得更加简洁。
4. 整式的加减运算：-同类项：具有相同变量和相同次数的项称为同类项。
-合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
-运用加减法则：将整式中的同类项合并，不是同类项的一般不能合并。
5. 整式的乘除运算：-单项式乘以多项式：将单项式与多项式的每一项分别相乘，然后将结果相加。
-多项式乘以多项式：将多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将结果相加。
-整式的除法：将除数与被除数的每一项分别相除，然后将结果相加。
注意：除数不能为0.6. 整式的因式分解：将整式分解为若干个因式的乘积。
常见的因式分解方法有提公因式、运用公式等。
重难点精析1. 合并同类项：掌握同类项的定义，能够准确判断哪些项是同类项，哪些不是。
注意同类项的系数可以相加，字母和字母的指数不变。
2. 整式的乘除运算：掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算方法，注意运算顺序和运算法则。
在整式的除法中，注意除数不能为0.3. 因式分解：掌握常见的因式分解方法，如提公因式、运用公式等。
因式分解是整式化简的重要方法，需要熟练掌握。
整式的笔记
整式部分的笔记总结整式是数学中的一个重要概念，它包括单项式和多项式。
以下是关于整式的详细笔记：1.定义：整式是那些在数学中常见的整数或整数的有理表达式。
这些表达式不包含分数或未知数。
2.分类：(1)单项式：由一个数字或变量（带有系数）与一个字母（指数）的乘积组成的表达式。
例如：3x, 4y, 5z^2等。
(2)多项式：由几个单项式的和组成的表达式。
例如：3x + 4y + 5z^2等。
3.系数和指数：(1)系数：是指与一个字母（或一组字母）相乘的数字。
例如，在3x中，3是系数。
(2)指数：是指一个字母（或一组字母）的幂。
例如，在x^2中，2是指数。
4.运算规则：(1)加法：两个整式可以相加，结果仍然是一个整式。
(2)减法：两个整式可以相减，结果仍然是一个整式。
(3)乘法：两个整式可以相乘，结果仍然是一个整式。
乘法分配律适用，即a(b+c) = ab + ac。
(4)除法：除非两个整式是相同的，否则不能进行除法运算。
如果两个整式是相同的，结果是一个整数（1）。
5.与整数的区别：整式与整数的主要区别在于整式可以包含字母，而整数不能。
6.实际应用：整式在数学和其他科学领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和经济学。
它们也被用于解决实际问题，如计算面积、体积和速度等。
7.与分式的区别：整式与分式的区别在于分式包含分母，而整式不包含分母。
此外，分式可以包含未知数，而整式不能。
8.因式分解：整式的另一个重要应用是因式分解。
因式分解是将一个多项式分解成几个多项式的乘积。
这种技术常用于解决一些复杂的数学问题，如求解方程或简化表达式。
9.简化表达式：通过消除公因子、合并同类项和化简指数等方式，可以简化整式表达式。
这有助于使表达式更易于处理和理解。
10.在方程中的应用：在解方程时，整式常常出现。
例如，在解决一元一次方程或一元二次方程时，可能需要使用因式分解或配方等方法来找到解。
11.注意点：在学习整式时，需要注意一些常见错误，如混淆单项式和多项式的概念、误用乘法分配律以及在合并同类项时出错等。
七上数学第二章整式的加减
七上数学第二章整式的加减摘要：1.整式的概念及其分类2.整式的加减运算法则3.整式的加减运算实例分析4.整式的加减运算技巧和方法5.整式的加减在实际问题中的应用正文：七上数学第二章整式的加减一、整式的概念及其分类整式是指由常数、变量和它们的乘积以及它们的和差所组成的代数式。
整式可以分为单项式和多项式两大类。
单项式是只包含一个变量或常数的代数式，例如：3x、-2y等；多项式是由多个单项式通过加减运算组合而成的代数式，例如：x+3xy-2y等。
二、整式的加减运算法则整式的加减运算主要遵循以下法则：1.同类项相加减：同类项是指具有相同变量和相同次数的项，例如：3x 和4x 是同类项，而2x 和3y 不是同类项。
2.合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。
3.遵循交换律和结合律：整式的加减运算可以交换顺序，也可以先计算部分项的和差，再进行总的加减运算。
三、整式的加减运算实例分析例如：计算以下整式的和差。
(1) 5x + 3xy - 2y + 2x - xy首先合并同类项，得到：7x + 2xy - 2y。
(2) 4a - 2b + 3c - (2a - b + c)去括号后，合并同类项，得到：2a - b + c。
四、整式的加减运算技巧和方法1.观察运算符号，根据符号进行相应的加减运算。
2.利用分配律，将加减运算分解为多个简单的加减运算。
3.注意合并同类项，避免遗漏或重复计算。
4.可以使用括号改变运算顺序，简化计算过程。
五、整式的加减在实际问题中的应用整式的加减在解决实际问题中具有重要作用，例如：在几何中求解面积、周长等问题时，需要用到整式的加减运算；在代数方程中，整式的加减是求解方程的重要手段。
人教版数学整式知识点
人教版数学整式知识点
人教版数学整式知识点主要包括以下内容：
1. 整式的定义：整式是由常数、代数式的乘积及其和构成的式子。
2. 整式的分类：根据项的系数是否含有字母，整式分为常数项、单项式、多项式。
3. 单项式的定义：只含有一个代数式的乘积的整式，形如ax^n，其中a是系数，n是非负整数，称为单项式的次数。
4. 多项式的定义：有若干个单项式的和构成的整式，形如
a_1x^n_1+a_2x^n_2+...+a_nx^n_n，其中a_1、a_2、...、a_n是系数，n_1、
n_2、...、n_n是次数，称为多项式的次数。
5. 同类项的定义：具有相同字母部分并且次数相同的项，如3x^2和5x^2就是同类项。
6. 整式的运算：整式的加法和减法分别按照同类项进行合并，同时保留不同类项；整
式的乘法按照分配律进行展开运算，将每一项相乘后再合并同类项。
7. 整式的因式分解：通过提取公因式、分组公因式、平方差公式等方法将整式分解为
乘积形式。
8. 整式的值的计算：给定一个整式和与其中字母对应的值，通过代入计算得到整式的值。
9. 整式的应用：整式在代数方程的解法、函数的运算、图像的绘制等方面有广泛的应用。
整式知识点归纳
整式知识点归纳整式是代数式的一种形式，由常数项和单项式经过加法和减法运算得到。
在代数学中，整式是很重要的基础概念，掌握整式的知识点对于学习代数运算和解题非常关键。
本文将对整式的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解整式的概念和运算。
一、整式的定义整式是由常数项和单项式经过加法和减法运算得到的代数式。
常数项是只有常数的单项式，如2、-3等；单项式是只有一个字母幂乘以一个数的代数式，如3x、-5xy²等。
整式可以包含一个或多个单项式，通过加法和减法运算得到最终的整式。
二、整式的分类根据整式中单项式的次数，可以将整式分为以下几种形式：1. 零次整式：只包含常数项，没有字母，如7、-2等。
2. 一次整式：包含一次单项式，如3x、-5y等。
3. 二次整式：包含二次单项式，如4x²、-2xy²等。
4. 高次整式：包含高于二次的单项式，如2x³、-3xy²z³等。
三、整式的加法与减法整式的加法与减法遵循相同的规则，即将相同次数的单项式合并，并根据正负号进行运算。
例如，要计算(4x² - 3xy + 2) + (-2x² + 5xy + 3)，首先将相同次数的单项式合并，得到(4x² - 2x²) + (-3xy + 5xy) + (2 + 3)；然后再进行合并运算，最后得到2x² + 2xy + 5。
四、整式的乘法整式的乘法是将每个单项式相乘，然后根据指数幂次规则进行合并，并根据正负号进行运算。
例如，要计算(3x + 2y)(4x - 5y)，首先将每个单项式进行相乘，得到3x * 4x + 3x * (-5y) + 2y * 4x + 2y * (-5y)；然后根据指数幂次规则合并，最后得到12x² - 15xy + 8xy - 10y²，进一步简化为12x² - 7xy - 10y²。
整式的基础知识讲解
整式的基础知识讲解整式是数学中常见的概念，是代数式的一种，由常数、变量及其指数、系数分别相乘而得到的一种代数式。
整式在解题中应用广泛，所以了解整式的基础知识是非常必要的。
一、整式的定义整式是由若干个单项式通过加减运算连接而成的形式化代数式。
其中，每个单项式都由一个常数乘以一个或多个变量的正整数次幂，再加上一个系数构成。
整式的一般形式为：$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，其中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$为常数，$x$为变量。
在整式中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$称为系数，$x$的正整数次幂称为初等整式，组成式子的每一个初等整式的积称为单项式。
二、整式的分类根据单项式的个数，整式可以分为单项式、二项式、三项式和多项式。
其中，单项式是由一个变量的若干次幂及其系数组成的代数式，二项式是由两个单项式通过加减运算连接而成的式子，三项式是由三个单项式通过加减运算连接而成的式子，多项式是由多个单项式通过加减运算连接而成的式子。
三、整式的加减法整式的加减法是指将两个或多个整式通过加减运算相加或相减而得到一个新的整式的过程。
加减法的要点是首先对整式中的同类项进行合并，然后再按照系数的正负情况进行加减运算。
例如，对于多项式$3x^3+2x^2-5x+7$和$5x^2-2x+1$，将它们进行加法运算，应先按照同类项合并，即$3x^3+(2+5)x^2+(-5-2)x+7+1$，然后再按照系数的正负情况进行合并运算，即$3x^3+7x^2-7x+8$。
四、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式通过乘法运算相乘而得到一个新的整式的过程。
乘法的要点是将每个单项式的系数分别相乘，并将相同次数的变量的指数相加，再将相同次数的单项式相加得到一个新的整式。
例如，对于多项式$x+2$和$2x-1$，将它们进行乘法运算，应按照乘法分配律展开，即$(x+2)(2x-1)=x\times2x+x\times(-1)+2\times2x+2\times(-1)$，然后将同类项合并，得到$2x^2+x-2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 整式的概念及其分类
【知识点总结】 一、整式的概念
1、整式：单项式和多项式合称为整式，或者分母中不含有字母的代数式叫做整式。
二、整式的分类
1、单项式：由数和字母的积组成的代数式称为单项式。
①单独的一个数或者一个字母也称为单项式。
②单项式中不温岭的数字因数，叫做单项式的系数。
③单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
2、同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
3、多项式：几个单项式的和称为多项式
①多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项； ②多项式里，次数最高享的次数叫多项式的次数。
【典型例题】
考点一：整式的认识
1、（2016·编写）把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，21+x ，b a +2，()22r R -π，231x ，32-x ，yz x +-221，212
++a
a 。
单项式：{}
多项式：
{
}
整式：⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧ 2、（2016·编写）当4=a ，2-=b ，1-=c 时，求下列整式的值。
（1）bc ac ab c b a 2222
22+++++ （2）()2
c b a ++
3、（2015·绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律求c b a ++的值为 。
4、（2016·编写）某市区自今年1月起，居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）
（1）如果甲用户的月用水量为12吨，则甲用户需交的水费为 元； （2）如果乙用户交的水费为2.39元，则乙用户月用水量为 吨；
（3）如果丙用户的月用水量为a 吨，则丙用户该月应交水费多少元？（用含a 的代数式表示，并化简）
考点二：单项式和多项式
1、下列说法：①a 和0都是单项式；②多项式12732
22
+-+-ab b a b a 的次数是3；③单项式2
9
2xy -
的系数为2-；④222y xy x -+可以读作2x ，xy 2和2y -的和。
其中正确的个数为 个。
月用水量（吨） 水价（元/吨）
第一级 20吨以下（含20吨） 1.6 第二级 20吨~30吨（含30吨）
2.4 第三级
30吨以上
3.2
2、（2016·编写）（1）若y mx n
-是一个关于x ，y 的单项式，且系数是3，次数是4，则
=+n m 。
（2）若()a
y x x a 23+-是一个关于x ，y 的五次二项式，则=a 。
（3）如果多项式()35132
3
+--+x x m x 中不含二次项，那么=m 。
3、若单项式y x m 1
2+与单项式24y x -的次数相同，求122+-m m 的值。
4、已知多项式53314212--+-+x y x y x m 是五次四项式，单项式c b a m n -335
9
的次数与已知多项式的次数相同，求n 的值。
5、已知()1
22+-m b a m 是关于a 、b 的五次单项式，求代数式122
+-m m 的值。
6、已知关于x 、y 的多项式22++--x xy y x b
a 是五次四项式，求
()210
2-+++-
+b a b
a b a 的值。
考点三：同类项的认识与应用 1、已知代数式1
32+n b a 与2
23b a
m --是同类项，则=+n m 32 。
2、已知代数式1532622
2--+-+-+y x bx y ax x 的值与x 的取值无关，则代数式
=-23
23
1b a 。
3、若单项式b
a y x +22与4
3
1y x b a --
是同类项，则a 、b 的值分别为 。
4、如果单项式y mx a 2与y nx a 3
25--是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项。
（1）求()
2016
227-a 的值；
（2）若0523
2=+-y nx y mx a a
，求()
a n m 2522015
++的值。
5、化简关于x 、y 的多项式22
23
8
94bx a y axy ax xy --+++，发现不含二次项。
（1）求常数a 、b 的值；
（2）当2-=y 时，求多项式的值。
【能力提升】
一、选择题
1、下列式子是代数式的有（ ）个。
①53-x ；②
31
-x
；③523=-x ；④ab S =；⑤π；⑥m A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、在代数式 xy 5-，b a -2
，b
a
-
，5.2-，x 中，单项式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、上等米每千克售价为x 元，次等米每千克售价为y 元，取上等米a 千克和次等米b 千克，混合后的大米每千克的售价为（ ）元。
A 、
y x b a ++ B 、ab by ax + C 、b a by ax ++ D 、2
y
x + 4、已知b a 3=，2a c =
，则c
b a c
b a -+++的值为（ ） A 、511 B 、115 C 、611 D 、7
12
5、若某件商品的原价为a 元，提价%10后，欲恢复原价，应降价（ ） A 、
10010 B 、10011 C 、111 D 、11
10 二、填空题
6、一个三位数，百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，则这个三位数用代数式表示为 。
7、代数式x y x 54
23
22--
π第二项的系数与次数的和是 。
8、4
2
2
3
4
263y
y x y x x --+-按字母
y
的降幂排列
是 。
9、已知a 、b 、c 在数上的对应点如图所示，化简=++-++-c b a c b a a 。
10、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第n 个图形中所需要的黑色瓷砖为 。
（用含n 的代
数式表示）
11、除以3+y 的商是4余数是x 的数为 。
三、解答题
12、如图正方形的边长为a ，图中的阴影部分由两部分圆弧组成，用代数式表示图中阴影部分的面积。
13、已知单项式3
4
2
3y x -的次数与多项式2
2125b a b a a m +++的次数相同，求m 的值。
14、已知75352
=+-x x ，则求25
3
2
--x x 的值。
【课后练习】
1、比较下列数的大小：65- 8
7- 2、多项式
()742
1+--x m x m
是关于x 的四次三项式，则=m 。
3、多项式()()13512
3
4
-+-+--x b x x a x 中不含3
x 和x 的项，则=a ，=b 。
4、一个关于字母y 的二次三项式中，它的二次项系数是1-，一次项系数是2，常数项是9
7
，则这个二次三项式是 。
5、计算：（1）3981112+-+- （2）()()()3428102
-⨯---÷+-
6、如果多项式2
1442
4-+x x 与x x
n 5232
++-的次数相同，求n 的值。
7、关于x 的多项式()b x x x a b
-+--3
4的次数是2，求当2-=x 时，这个多项式的值。
8、如果关于字母x 的二次多项式332
2+-++-x nx mx x 的值与x 的值无关，求式子
67252322++-+-+n m n n m 的值。
9、若4y x a
与1
23
2--b y x 是同类项，且b a ＞，求22232212b ab a ab a ++--的值。
10、（2013•张家界）阅读材料：求2013
4
3
2
2...22221++++++的值。
解：设2013
4
3
2
2...22221++++++=S ，将等式两边同时乘以2得：
20142013
4
3
2
22
...22222++++++=S 将下式减去上式得1222014
-=-S S
即12
2014
-=S ，即122...2222120142013432-=++++++
请你仿照此法计算： （1）10
2
2...221++++；
（2）n
3 (3312)
++++（其中n 为正整数）。