重积分的换元法
高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
6重积分的换元法-DrHuang
.
f ( x, y, z)dxdydz
xyz
f (r cos ,r sin , z)rdrddz
r z
d
r2 ( ) rdr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz
r1 ( )
z1 (r , )
若变换T为球坐标:
r r cos
D f ( x, y)d x d y D f (r cos ,r sin ) r d r d
y x
例1 计算 e y xdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．
例2 求 ( x a)2 y2 dxdy,其中D {( x, y) | x2 y2 a2 }. D
D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2 },
J ( x, y) abr.
(r, )
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
例6 试计算椭球体
的体积V.
解
取
D:
x2 a2
y2 b2
o
u
x y 2 v 2.
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1 2
,
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
Dபைடு நூலகம்
D
2
1
三二重积分的换元法
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
重积分换元法与分部积分法
重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。
在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。
重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。
在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。
重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。
对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。
通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。
分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。
在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。
分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。
对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。
通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。
综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。
通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。
重积分的换元法
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
二、三重积分的换元法
定理 设 f (x, y, z) 在 空间区域 上 连续，变换 T : x x(u, v, w), y y(u, v, w) z z(u, v, w)将 ouvw空间的闭区域 变为Oxyz 空间的闭区域，且满足
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
21 1 v
3
y x
例2 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D,即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D u v
x y 2 v 2.
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
说明: 通过换元可将较复杂的被积函数形式化简
例3
计算
D
1
三重积分换元法
三重积分换元法三重积分是数学中的一个重要概念，它与物理、工程等领域密切相关。
三重积分中的换元法是其中一个非常重要的技巧，能够帮助我们更加高效地求解三重积分问题。
下面，我们将详细介绍三重积分换元法的相关知识。
1. 三重积分介绍三重积分是指对三维立体空间中的某一区域进行积分，其结果通常为一个实数或者也可能是一个向量值函数。
在三重积分中，我们通常会用到三个自变量，这三个自变量通常被称为 $x, y, z$。
对于三重积分问题，我们通常需要先确定被积函数和积分区域，然后再进行求解。
在实际应用中，三重积分通常被用来求解物理、工程等领域的问题。
2. 三重积分换元法的基本原理在求解三重积分时，有时候我们会发现积分区域的形状比较复杂，这时候我们可以使用换元法来简化计算。
三重积分换元法的基本原理是将三重积分中的自变量替换为新的自变量，使得积分区域转化为简单的坐标轴画图形式，从而将原积分区域直接变换为新的积分区域。
具体来说，我们通常会选取满足一定条件的替换，使得其中至少一个自变量的下限和上限随着新的自变量而发生变化，从而简化原有的计算问题。
3. 三重积分换元法的常用技巧在实际计算中，三重积分换元法有多种常用技巧。
下面我们就来分别介绍一下。
（1）圆柱换元法当积分区域为旋转体时，我们可以使用圆柱换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为极坐标系中的角度和半径，从而将积分区域转化为一个简单得多的圆柱体积分。
（2）球面换元法当积分区域为球体时，我们可以使用球面换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为球面坐标系中的极角、方位角和距离，从而将积分区域转化为一个简单得多的球体积分。
（3）柱坐标换元法当积分区域为柱体时，我们可以使用柱坐标换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为柱坐标系中的高度、极径和极角，从而将积分区域转化为一个简单得多的柱体积分。
4. 总结三重积分是数学中的一个重要概念，而三重积分换元法则是其中的一个重要技巧。
三重积分的换元法(北工大)
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
y则 区 域 D变 换 为 D,如 图 所 示 4 v
xy=2
于是 x1(uv), y1(2uv),
3
3
z 1(u2v)
3
.
1 11
3 33 J (x, y, z) (x, y, z) 2 1 1 1
(u,v,) 3 3 3 3
1 2 1 3 33
于是
I
2
cos()
(x, y, z)
(u,v,)
dudvd
1 3
2
cos() dudvd
.
再 用 u,v,表 示 ,得 {(u,v,)|0u1,0v1,01 }
D
线xy2所围成的闭y区域．
解 令 u y x , v y x ,
则 xvu, yvu.
2
2
DD,即 x 0 u v;
xy2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D uv
x y 2 v 2.
o
u
.
J
(x, y) (u,v)
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
abc
2
d
sin d
1 4d
0
0
0
4 abc
5
该题所用到的变换称为广义球坐标变换.
.
二、小结
1．作什么变换 于主 积要 分取 D区 ,决 的 域形 同时也兼顾f被 (x,y积 ),f(函 x,y,数 z)的形式
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2. J((xu,,vy))(u1,v). (x, y)
.
二、三重积分的换元法
定理设f(x,y,z)在空间区域 上 连续，变T换 : xx(u,v,w), yy(u,v,w) zz(u,v,w)将ouv空 w 间的闭 区 变域为 Oxyz 空间的闭 区 ，域 且满足
(1) x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在上具有一阶 连续偏导数； (2)在 上雅可比J式 (u,v,w)(x,y,z) 0;
(u,v,w)
.
(3)变换 T:是一对一的，则
f(x,y,z)dxdydz
f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]J(u,v,w)dudvd
.
例1 计 算 I(xyz)cos(xyz)2dv,其 中
={(x,y,z)|0xy1,0xz1,0xyz1 }.
解 : 为 了 使 积 分 区 域 变 得 简 单 ， 我 们 作 坐 标 变 换 ： x y u , x z v , x y z ,
.
思考题
计 算 Dx yye(xy)2d， 其 中 D： xy1，
1
xy=1
o 12
u
o
x.
而
T
:
x
u, v
y
uv,
1 1 u
故 J(u,v) (x, y) 2 uv 2 v3 1 ,
(u,v) 1 v 1 u 2v
2u 2v
x2y2dxdy u2 1dudv
D
D 2v
1 2 4u2
7
du dv ln2
21
v 1 .
3
yx
例2 计算 eyxdxd,其 y 中 D由x轴、 y轴和直
其 a 0 ,b 中 0 ,r 0 ,0 2 .
在这 D D 变 {r , ( ) 0 换 r 1 ,0 下 2 },
.
J ((xr,,y)) ab.r
J 在D内仅当 r 0处为零， 故换元公式仍成立，
D1a x2 2b y2 2dxd D y1r2ad b rd32 ab .
sin
z c
cos
x a sin cos
即
y
b
sin
sin
z c co s
.
于是
J(x, y,z) (x, y,z)
(,,)
asincos acoscos asinsin
bsinsin bcossin bsincos
ccos
csin
0
abc2 sin
因此
.
I abc 4 sin d dd
e yxdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1 2(ee1)vdvee1.
v
20
说明 :通过换元可将被 较积 复函 杂数 的形式
.
例3
计算
D
1ax22 by22dxd,y其中D为
椭
圆x2 a2y2 b2来自1所围成的闭区域
．
解 作广义极 坐 xy b a标 rsrcio变 n ,s, 换
因此
I1d u1d v11 co s()2d 1sin1 .
0 0 03
6
.
例2
求
x2 a2
by22
cz22
dv, 其中为椭球体
x2 y2 z2 1. a2 b2 c2
解 把分式看作一个整体,那么积分区域就可以
看成一个球面,因此我们做如下的坐标变换
x a
sin
cos
y b
sin