流体动力学
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
化工原理——流体动力学
由于u1<<u2，可略去
所以 u2
2 p pa
u C0
2 p pa
此例说明压强能向动能转换。
→发动机汽化器/喷雾器
p1 u12 p2 u22
22
伯努利方程应用小结：
l 应用条件:连续不可压缩流体作定态流动； l伯努利方程反映了定态流动时，流体状态参数随 空间位置的变化规律，也反映了流动流体的能量转 换关系。 l 应用时注意事项： ① 选取考察截面：均匀流定态段，垂直流向，只有 一个未知数； ②位能：位能基准面的选取，管中心或容器液面； ③压强基准可取绝对真空也可取大气压，但方程两 边应统一； ④容器液面处动能项可忽略。
理想流体截面速度分布均匀（各流线动能相等）
所以上述方程由沿流线推广为理想流体管流机械能守恒
式。（1、2表示同一时间两均匀流截面）
实际流体管流的机械能衡算 a. 与理想流体的差别 •实际流体0，流动时为克服摩擦力要消耗机械能，故 机械能不再守恒。
•均匀流段截面上，各点的动能不等，u2 沿r方向有个分布。 2
无内摩擦， 无能量损失 实际流体： 粘性流体0，有速度分布， 有能量损失。
研究范围：整个流场（管流）
工程处理： 理想流体沿轨线伯努利方程 实际流体沿管流 修正： a. 引入定态流动条件：流线=轨线 b. 引入均匀流条件：均匀流段截面上各点的总势 能相等。 均匀流：各流线都是平行直线并与截面垂直,定态 条件下该截面上的流体没有加速度。
P1
u12 2
P2
u2 2 2
hf
不计阻力损失，u1A1=u2A2，u12<<u22 所以
u22 P1 P2 Rgi
2
u2
2Rgi
第03章流体动力学
Chapter 3 Hydrodynamics
流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究作用 在流体上的力与流体流动行为之间关系。 在流体静力学中，主要研究作用在静止或相对静止流体体系上 的质量力(体积力)与表面力的平衡关系。这种力是外界或通过外力场 作用在流体体系上的，所以称之为外力。 当流体体系处于任意的流动状态时，流体除了仍然受到以上提 到的力的作用外，根据牛顿粘性定律，处于不均匀流速流动状态的 流体内部会产生抵抗流动不均匀性的粘性力。当流动不稳定时，还 会产生惯性力。于是，外界作用力、粘性力和惯性力等力的平衡关 系共同决定了特定流体体系的流动行为。 流体动力学就是基于有关的物理定律，通过建立相应的平衡数 学方程，来定量描述流体的流动行为，如：流动方式，速度的方 向、大小和分布等。
四、流管、流束与流量
流管：在流场中作一本身不是流线又与流线相交 的封闭曲线，通过这一封闭曲线上各点的 流线所构成的管状表面； 流束：流管内部的流体； 有效截面：处处与流线相垂直的流束的截面积； 流量：单位时间内流过某一有效截面的流体量称 为流过该表面的流量 Q [m3/s]
数学上流量的表达式为： Qv
Vz max Vz ( r 0) R2 P 1 P 2 g 4 L (3 31)
如图所示有一垂直半径为R， 长度为L的直圆管，假定： ①圆管内为层流流动； ②流体的密度和粘度分别为 和 ③ 圆管上、下两端流体所受压力分 别为P1和P2 。 求：圆管内的速度分布？
[分析]：在稳定层流流动状态下，粘性流体中的速度 只沿径向r变化；取图示方向的柱面坐标系统，即： Vz=Vz(r)；为能描述圆管内沿r向变化的速度分布Vz(r)，应 取图示的微元体，厚r，长L，半径为r的薄筒，并建立该 微元题的动量平衡关系式。
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体动力学
流体动力学1. 引言流体动力学是研究流体运动和力学行为的学科。
流体动力学的研究对象包括液体和气体。
通过对流体的运动方程和力学行为的研究，可以揭示液体和气体在不同条件下的流动规律和特性。
流体动力学在许多领域都有着重要的应用，包括航空航天、水利工程、能源研究等。
2. 流体动力学基本概念2.1 流体的性质流体是一种无固定形状、能自由流动的物质。
流体的性质包括密度、压力、粘度等。
密度是指单位体积内的质量，常用符号为ρ。
压力是单位面积上的力的大小，常用符号为P。
粘度是流体内部分子间相互作用的程度，反映了流体的黏稠性。
2.2 流体的运动方程流体的运动方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
连续性方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的动量守恒，能量方程描述了流体的能量守恒。
这三个方程是研究流体运动和力学行为的基础。
3. 流体动力学的数学模型流体动力学的数学模型是通过对流体的物理特性进行描述和分析，从而得到流体运动和力学行为的定量表达式。
常用的数学模型包括导流方程、雷诺方程、纳维-斯托克斯方程等。
这些数学模型可以通过数值方法和实验手段进行求解和验证。
3.1 导流方程导流方程是一种描述多相流体运动行为的方程。
它可以描述流体的速度、密度、温度等物理量随时间和空间的变化规律。
导流方程的求解通常需要考虑流体的边界条件和初值条件。
3.2 雷诺方程雷诺方程是描述湍流流体运动的方程。
湍流是流体运动中的一种复杂状态，具有不规则、混乱和随机的特性。
雷诺方程可以描述湍流的动量传递和能量耗散过程，对于研究湍流的形成和演变具有重要意义。
3.3 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程。
它是一组偏微分方程，可以描述流体的速度、压力和粘度等变量的空间和时间变化规律。
纳维-斯托克斯方程在研究流体的各种流动行为和力学特性方面有着广泛的应用。
4. 流体动力学的应用流体动力学在许多领域都有着重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：4.1 航空航天工程流体动力学在航空航天工程中的应用主要包括飞行器气动性能分析、空气动力学设计和空气动力学试验等。
流体动力学基础理论
流体动力学基础理论流体动力学是研究流体运动规律及其物理现象的学科，其基础理论包括流体静力学和流体动力学两个部分。
本文将围绕流体动力学的基础理论展开论述，包括主要概念、基本方程和典型应用等内容。
一、流体动力学概述流体动力学是研究流体在受力作用下的运动规律的学科。
在研究流体动力学时，通常将流体视为连续分布的介质，分析其运动状态和受力情况。
流体动力学的研究对象包括气体、液体和等离子体等。
流体动力学的基本假设有两个，即连续介质假设和边界层假设。
连续介质假设认为流体可以被看作是连续分布的介质，从而可以用连续函数来描述其物理量。
边界层假设认为流体与物体表面之间存在一层边界层，该层内的流体性质发生较大变化，而在该层外的流体相对稳定。
二、基本方程流体动力学的基本方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三个方程。
这三个方程构成了描述流体运动规律的基本框架。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的变化情况，其数学表达式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度，∇·表示散度运算符。
质量守恒方程表明在流体中，质量的增减与流体的速度有关，通过质量守恒方程可以研究流体的质量流动和密度分布情况。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学规律，其数学表达式为：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p表示流体的压力，τ表示流体的黏性应力，g表示重力加速度。
动量守恒方程表明流体的运动受到压力、黏性应力和重力的综合作用，通过动量守恒方程可以研究流体的速度场和受力情况。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的变化情况，其数学表达式为：ρCv(∂T/∂t + v·∇T) = ∇·(κ∇T) + Q其中，Cv表示流体的定压比热容，T表示流体的温度，κ表示流体的热导率，Q表示流体受到的热源项。
流体动力学基础
市政工程中的雨水排放系统需要考虑 流体动力学原理，以确保在暴雨等极 端天气条件下，雨水能够快速、顺畅 地排出城市区域，防止内涝现象的发 生。
03
污水处理
污水处理厂的设计和运行中，流体动 力学知识有助于优化处理工艺流程， 提高污水处理的效率和效果，减少对 环境的不良影响。
THANKS
感谢观看
规律2
在同一水平面上，流体的 静压力相等，与深度成正 比。
规律3
在垂直方向上，流体静压 力随深度线性增加，即符 合帕斯卡定律。
压力的测定及表示方法
测定方法1
液柱法，通过测量液柱的高度 来计算压力。
测定方法2
弹性法，利用弹性元件的变形 来测量压力。
表示方法1
绝对压力，以绝对真空为基准 表示的压力。
表示方法2
一维、二维与三维流动
根据流动的空间维度，流动可分为一维（如管道流动）、 二维（如平板间的流动）和三维（如绕物体的流动）流动 。高维流动通常更难以分析和计算。
恒定流连续性方程
质量守恒
恒定流连续性方程基于质量守恒 原理，即单位时间内流入和流出
控制体的流体质量相等。
方程的表述
在不可压缩流体中，恒定流的连续 性方程可表述为流速的散度为零（ 即流入和流出某点的流体体积流量 相等）。
应用场景
恒定流连续性方程在管道流动、水 坝设计、风洞实验等方面有广泛应 用，可用于分析流体在复杂几何形 状中的流动行为。
恒定流能量方程及其应用
伯努利定理
恒定流能量方程，又称伯努利定理，描述了不可压缩流体在恒定流动过程中压力、位能和 动能之间的关系。
方程表述
在不可压缩、无粘性流体的恒定流动中，单位体积流体的压力能、位能和动能之和保持不 变。
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
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1.2 流体动力学本节重点：连续性方程与柏努利方程。
难点：柏努利方程应用：正确选取截面及基准面，解决流体流动问题。
1.2.1 流体的流量与流速 1．流量体积流量 单位时间内流经管道任意截面的流体体积，称为体积流量，以V S 表示，单位为m 3/s 或m 3/h 。
质量流量 单位时间内流经管道任意截面的流体质量，称为质量流量，以m S 表示，单位为kg/s 或kg/h 。
体积流量与质量流量的关系为ρs s V m = （1-15） 2．流速平均流速 流速是指单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离。
实验发现，流体质点在管道截面上各点的流速并不一致，而是形成某种分布。
在工程计算中，为简便起见，常常希望用平均流速表征流体在该截面的流速。
定义平均流速为流体的体积流量与管道截面积之比，即AV u s=(1-16) 单位为m/ s 。
习惯上，平均流速简称为流速。
质量流速 单位时间内流经管道单位截面积的流体质量，称为质量流速，以G 表示，单位为kg/（m 2·s ）。
质量流速与流速的关系为ρρu AV A m G s s ===（1-17） 流量与流速的关系为GA uA V m s s ===ρρ (1-18)3.管径的估算一般化工管道为圆形，若以d 表示管道的内径，则式（1-16）可写成24dV u sπ=则 uV d sπ4=(1-19) 式中，流量一般由生产任务决定，选定流速u 后可用上式估算出管径，再圆整到标准规格。
适宜流速的选择应根据经济核算确定，通常可选用经验数据。
通常水及低粘度液体的流速为1～3m/s ，一般常压气体流速为10饱和蒸汽流速为20～40 m/s 等。
一般，密度大或粘度大的流体，流速取小一些；对于含有固体杂质的流体，流速宜取得大一些，以避免固体杂质沉积在管道中。
例 某厂要求安装一根输水量为30m 3/h 的管道，试选择一合适的管子。
解：取水在管内的流速为1.8m/s ，由式（1-19）得mm 77m 077.08.114.33600/3044==⨯⨯==u V d sπ查附录低压流体输送用焊接钢管规格，选用公称直径Dg80（英制3″）的管子，或表示为φ88.5×4mm ，该管子外径为88.5mm ，壁厚为4mm ，则内径为mm 5.80425.88=⨯-=d 水在管中的实际流速为 m/s 63.10805.0785.03600/30422=⨯==d V u Sπ在适宜流速范围内，所以该管子合适。
1.2.2 定态流动与非定态流动流体流动系统中，若各截面上的温度、压力、流速等物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种流动称之为定态流动；若流体在各截面上的有关物理量既随位置变化，也随时间变化，则称为非定态流动。
如图1-11所示，（a ）装置液位恒定，因而流速不随时间变化，为定态流动；（b ）装置流动过程中液位不断下降，流速随时间而递减，为非定态流动。
在化工厂中，连续生产的开、停车阶段，属于非定态流动，而正常连续生产时，均属于定态流动。
本章重点讨论定态流动问题。
1.2.3 定态流体系统的质量守恒——连续性方程如图1-12所示的定态流动系统，流体连续地从1-1′截面进入，2-2′截面流出，且充满全部管道。
以1-1′、2-2′截面以及管内壁为衡算范围，在管路中流体没有增加和漏失的情况下，根据物料衡算，单位时间进入截面1-1′的流体质量与单位时间流出截面2-2′的流体质量必然相等，即21s s m m = (1-20)或 222111A u A u ρρ= (1-20a)推广至任意截面 常数=====uA A u A u m s ρρρ 222111 (1-20b)式（1-20）～式(1-20b)均称为连续性方程，表明在定态流动系统中，流体流经各截面时的质量流量恒定。
对不可压缩流体，ρ＝常数，连续性方程可写为常数=====uA A u A u V s 2211 (1-20c)式（1-20c ）表明不可压缩性流体流经各截面时的体积流量也不变，流速u 与管截面积成反比，截面积越小，流速越大；反之，截面积越大，流速越小。
对于圆形管道，式（1-20c ）可变形为2121221⎪⎪⎭⎫⎝⎛==d d A A u u （1-20d ） 上式说明不可压缩流体在圆形管道中，任意截面的流速与管内径的平方成反比。
例 如附图所示，管路由一段φ89×4mm 的管1、一段φ108×4mm 的管2和两段φ57×3.5mm 的分支管3a 及3b 连接而成。
若水以9×10－3m/s 的体积流量流动，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管内的速度。
解： 管1的内径为m m 8142891=⨯-=d 则水在管1中的流速为m/s 75.1081.0785.0109423211=⨯⨯==-d V u Sπ管2的内径为m m 100421082=⨯-=d由式（1-20d ），则水在管2中的流速为 m/s 15.1)10081(75.1)(222112=⨯==d d u u 管3a 及3b 的内径为m m 505.32573=⨯-=d 又水在分支管路3a 、3b 中的流量相等，则有 33222A u A u = 即水在管3a 和3b 中的流速为 m/s 30.2)50100(215.1)(2223223===d d u u 1.2.4 定态流动系统的机械能守恒——柏努利方程柏努利方程反映了流体在流动过程中，各种形式机械能的相互转换关系。
柏努利方程的推导方法有多种，以下介绍较简便的机械能衡算法。
3b3a附图,ρ2p 1'1． 总能量衡算如图1-13所示的定态流动系统中，流体从1-1′截面流入，2-2′截面流出。
衡算范围：1-1′、2-2′截面以及管内壁所围成的空间衡算基准：1kg 流体 基准水平面：0-0′水平面 流体的机械能有以下几种形式：（1） 内能贮存于物质内部的能量。
设1kg 流体具有的内能为U ，其单位为J/kg 。
（2）位能流体受重力作用在不同高度所具有的能量称为位能。
将质量为m kg 的流体自基准水平面0-0′升举到z 处所做的功，即为位能位能=mgz1kg 的流体所具有的位能为zg ，其单位为J/kg 。
（3）动能流体以一定速度流动，便具有动能。
动能=221mu1kg 的流体所具有的动能为221u ，其单位为J/kg 。
（4）静压能在静止流体内部，任一处都有静压力，同样，在流动着的流体内部，任一处也有静压力。
如果在一内部有液体流动的管壁面上开一小孔，并在小孔处装一根垂直的细玻璃管，液体便会在玻璃管内上升，上升的液柱高度即是管内该截面处液体静压力的表现，如图1-14所示。
对于图1-13的流动系统，由于在1-1′截面处流体具有一定的静压力，流体要通过该截面进入系统，就需要对流体做一定的功，以克服这个静压力。
换句话说，进入截面后的流体，也就具有与此功相当的能量，这种能量称为静压能或流动功。
质量为m 、体积为V 1的流体，通过1-1′截面所需的作用力F 1=p 1A 1，流体推入管内所走的距离V 1/A 1，故与此功相当的静压能静压能= 111111V p A V A p = 1kg 的流体所具有的静压能为1111ρp m V p =，其单位为J/kg 。
以上三种能量均为流体在截面处所具有的机械能，三者之和称为某截面上的总机械能。
此外，流体在流动过程中，还有通过其它外界条件与衡算系统交换的能量： （5）热若管路中有加热器、冷却器等，流体通过时必与之换热。
设换热器向1kg 流体提供的热量为e q ，其单位为J/kg 。
（6）外功在图1-13的流动系统中，还有流体输送机械（泵或风机）向流体作功，1kg 流体从流体输送机械所获得的能量称为外功或有效功，用W e 表示，其单位为J/kg 。
根据能量守恒原则，对于划定的流动范围，其输入的总能量必等于输出的总能量。
在图1-13中，在1-1′截面与2-2′截面之间的衡算范围内，有2222221121112121v p u g z U q W v p u g z U e e +++=+++++ （1-21）或 pv u zg U q W e e Λ+Λ+Λ+Λ=+221（1-21a ）在以上能量形式中，可分为两类：● 机械能，即位能、动能、静压能及外功，可用于输送流体； ● 内能与热：不能直接转变为输送流体的机械能。
2．实际流体的机械能衡算 （1）以单位质量流体为基准 假设流体不可压缩，则ρ121==v v ；流动系统无热交换，则0=e q ；流体温度不变，则21U U =。
因实际流体具有粘性，在流动过程中必消耗一定的能量。
根据能量守恒原则，能量不可能消失，只能从一种形式转变为另一种形式，这些消耗的机械能转变成热能，此热能不能再转变为用于流体输送的机械能，只能使流体的温度升高。
从流体输送角度来看，这些能量是“损失”掉了。
将1kg 流体损失的能量用ΣW f 表示，其单位为J/kg 。
式（1-21）可简化为f e W pu g z W p u g z ∑+++=+++ρρ222212112121 （1-22）式（1-22）即为不可压缩实际流体的机械能衡算式，其中每项的单位均为J/kg 。
（2）以单位重量流体为基准将式（1-22）各项同除重力加速度g gW g p u g z g W g p u g z f e ∑+++=+++ρρ222212112121 令 g W H e e =， gW h f f ∑=∑则 f e h gp u g z H g p u g z ∑+++=+++ρρ222212112121 （1-22a ）上式中各项的单位均为m N J kg N kg J ==//，表示单位重量（1N ）流体所具有的能量。
虽然各项的单位为m ，与长度的单位相同，但在这里应理解为m 液柱，其物理意义是指单位重量的流体所具有的机械能。
习惯上将z 、gu 22、g p ρ分别称为位压头、动压头和静压头，三者之和称为总压头，Σh f 称为压头损失，H e 为单位重量的流体从流体输送机械所获得的能量，称为外加压头或有效压头。
3．理想流体的机械能衡算理想流体是指没有粘性（即流动中没有摩擦阻力）的不可压缩流体。
这种流体实际上并不存在，是一种假想的流体，但这种假想对解决工程实际问题具有重要意义。
对于理想流体又无外功加入时，式（1-22）、式（1-22a ）可分别简化为ρρ222212112121pu g z p u g z ++=++ （1-23）gp u g z g p u g z ρρ222212112121++=++（1-23a ） 通常式（1-23）、（1-23a ）称为柏努利方程式，式（1-22）、（1-22a ）是柏努利方程的引申，习惯上也称为柏努利方程式。