最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用
本章概览
内容提要
1.柯西不等式
(1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立⇔a 1b 2=a 2b 1.
(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立⇔α与β共线.
(3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥
222211)()(c a c a -+-,等号成立⇔存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2).
(4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立⇔2211b a b a ==…=n
n b a . 2.排序不等式
设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立⇔a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n .
3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a n
a a a ⋅⋅⋅≥+++......2121,等号成立⇔ a 1=a 2=…=a n .
4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值.
学法指导
根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.。
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》知识讲解
数学人教B 选修4-5第二章柯西不等式与排序不等式及其应用知识建构综合应用专题一 柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意并深刻体会．应用若n 是不小于2的正整数，试证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．专题二 排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以根据函数的单调性去寻找．应用设0＜a 1≤a 2≤…≤a n,0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一组排列．求证：112121121212n n n n b c b b b b c c bn n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅－.专题三 最值问题有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理，在这类问题中，利用柯西不等式或排序不等式求解较容易．但在求最值时，无论是应用柯西不等式，还是排序不等式，还是平均值不等式，都应该注意等号成立的条件．应用1设a i ∈(0，＋∞)(i ＝1,2，…，n )，且∑i ＝1n a i ＝1，求：S ＝a 11＋a 2＋…＋a n ＋a 21＋a 1＋a 3＋…＋a n ＋…＋a n 1＋a 1＋…＋a n －1的最小值．应用2已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求2222121231=n n n x x x x F x x x x -++++ 的最小值． 专题四求参数范围问题应用不等式的知识，可以十分巧妙地解决一类求参数的有关问题．应用1求使lg(xy )≤lg 2x ＋lg 2y lg a 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围． 提示：注意到已知不等式中含a 的式子仅一项，故应放在一侧，这是解该题的出发点． 应用2设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b＞0. (1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫x －14； (3)如果g (x )＝f (x －c )和h (x )＝f (x －c 2)这两个函数的定义域的交集为空集，求c 的取值范围．提示：本题的(1)(2)两问密切相关，都应由已知不等式推出函数的增减性，以便解决问题．答案：专题一应用：证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， 所以所求证不等式等价于证明47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2， 于是，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋ (2)＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47， 又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜(12＋12＋…＋12)⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2 ≤n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝22. 综上，可得47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 专题二应用：证明：∵0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，∴ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n .又∵0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，故由排序不等式可知b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n .于是得1212ln()n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅≥1212ln()n c c c n a a a ⋅⋅⋯⋅≥1112ln()n n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅－．又因为f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以12121212n n b cb bc c n n a a a a a a ⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅≥1112n n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅－.专题三应用1：解：由题意，得S ＝a 12－a 1＋a 22－a 2＋…＋a n 2－a n，且关于a 1，…，a n 对称，不妨设1＞a 1≥a 2≥……≥a n ＞0，则0＜2－a 1≤2－a 2≤…≤2－a n ，∴12－a 1≥12－a 2≥…≥12－a n＞0， ∴S ≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n ＝1n ⎝⎛⎭⎫12－a 1＋…＋12－a n . 又由柯西不等式，得[(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )]·⎝⎛⎭⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n ≥n 2， 而(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )＝2n －1，所以S ≥1n ×n 22n －1＝n 2n －1， 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1n 时，上面n 个不等式的等号成立，于是S 的最小值为n 2n －1. 应用2：解：不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n＞0， 且0＜x 12≤x 22≤…≤x n 2.∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝2222112231n n n x x x x x x x x -++++ ≥2221212111n nx x x x x x ⋅+⋅++⋅ ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时等号成立，∴F ＝2222112231n n n x x x x x x x x -++++ 的最小值为P . 专题四应用1：解：∵lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，∴原不等式可化为lg a ≥lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y. 令f (x ，y )＝lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y＝(lg x ＋lg y )2lg 2x ＋lg 2y＝1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y(lg x ＞0，lg y ＞0)． ∵lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0，∴0＜2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y≤1. ∴1＜f (x ，y )≤2，故lg a ≥ 2.∴a ≥102，即a 的取值范围是[102，＋∞)．应用2：解：(1)设x 1，x 2是[－1,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x )在[－1,1]上是增函数．∴当－1≤b ＜a ≤1时，f (a )＞f (b )．(2)∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫x －14⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤54. (3)设g (x )的定义域为P ，h (x )的定义域为Q ，则P ＝{x |－1≤x －c ≤1}＝{x |c －1≤x ≤1＋c }，Q ＝{x |－1≤x －c 2≤1}＝{x |c 2－1≤x ≤1＋c 2}．若P ∩Q ＝，必有c ＋1＜c 2－1或c 2＋1＜c －1，而c 2－c －2＞0c ＞2或c ＜－1，c 2－c ＋2＜0c ∈.故c ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．真题放送1．(2011·上海高考)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b ≥2 2．(2011·重庆高考)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72B ．4C ．92D ．5 3．(2010·四川高考)设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．2 5D ．54．(2010·重庆高考)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C ．92D ．1125．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为__________． 答案：1．D 由ab ＞0，可知a ，b 同号．当a ＜0，b ＜0时，选项B ，C 不成立；当a ＝b 时，选项A 不成立；由不等式的性质可知，选项D 成立．2．C 2y ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a .∵a ＞0，b ＞0，∴2y ≥5＋24a b ·b a＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝23，b ＝43时“＝”号成立． 3．B 因为a ＞b ＞c ＞0，所以2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝a 2＋a －b ＋b ab (a －b )＋(a －5c )2＝a 2＋1b (a －b )＋(a －5c )2≥a 2＋1⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＋(a －5c )2＝a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4.当且仅当a ＝2＝2b ＝5c ，即a ＝2，b ＝22，c ＝25时取等号． 4．B ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，∴(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22≥8，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立．解得x ＋2y ≥4. ∴x ＋2y 的最小值为4.5．9 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥5＋24x 2y 2×1x 2y2＝5＋4＝9.当且仅当x 2y 2＝12时等号成立．。
人教版高中数学选修4-5第3讲 柯西不等式与排序不等式2ppt课件
2．若 a21＋a22＋…a2n＝1，b21＋b21＋…＋b2n＝4，则 a1b1＋a2b2
＋…anbn 的最大值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案： C
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析： 3a＋ 2b＋ c
＝
3
a1·1a1＋
a2·1a2＋…＋
an·1an2＝n2.
于是a1＋a2n＋…an≥a11＋a12＋n …＋a1n.
②
由①，②知原不等式成立．
柯西不等式的几何背景
柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不 等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等 式．设 α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2，…bn)，由|α|·|β|≥|α·β|， 可得i∑＝n1a2i i∑＝n1b2i ≥(∑i＝n1aibi)2.
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2.
①
∵0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得
n(12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x)
≥(12 ＋ 12 ＋ … ＋ 12){(1x)2 ＋ (2x)2 ＋ … ＋ [(n － 1)x]2 ＋
(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
∴要证
f(2x)≥2f(x)，只要证
12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2x
lg
n
≥2lg1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx，
即证12x＋22x＋…＋nn－12x＋a·n2x
≥1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx2，
也即证 n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式》本章要览
第三讲柯西不等式与排序不等式
本章要览
知识概要
数学研究中,发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式,人们称它为经典不等式.柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式.通过本讲的学习,我们可以领会这些不等式的数学意义,几何背景,证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.
本讲的主要内容有:
1.柯西不等式的几种不同形式及几何意义.
2.用参数配方法讨论柯西不等式.
3.用向量递归解法讨论排序不等式.
4.利用柯西不等式求一些特殊函数的极值.
学法指导
在学习柯西不等式和排序不等式时,要注意体会它们的推导方法及其中蕴含的数学思想;在使用这两个不等式处理问题时,一要注意前提条件,特别是求极值时要注意“＝”成立的条件;二要注意这两个不等式的结构特点,很多不等式的证明可通过转化写成其中的一种形式,从而获得解决.。
最新人教版高中数学选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式整合2
-2-
1.1 DNA重组技术的基本工具
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 柯西不等式的应用
利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化. 应用 已知实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求 e 的取值范围. 提示:由 a2+b2+c2+d2+e2 联想到应用柯西不等式. 解:∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2, 即 4(16-e2)≥(8-e)2,64-4e2≥64-16e+e2, 即 5e2-16e≤0, ∴e(5e-16)≤0,∴0≤e≤ . 即 e 的取值范围是
-8-
1.1 DNA重组技术的基本工具
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
解:分别取 OA,OB 所在直线为 x 轴、y 轴,则 AB 的方程为 x+y=1, 记 P 点坐标 P(xP,yP),则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为
2 2 S= ������������ + ������������ + (1-xP-yP)2,
2
2
2
1 2 3
≥
3· ������ + 1· 2������ +
2 1 · 3������ 3
高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
2������
2
24
=
3������
+
1
=
3
+
1 ������
≥
3
+
1 2
=
7,
5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
+
1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
1
1
1
<
( 12 + 12 + … + 12 )
������ 个
(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
������1
+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
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知识建构
综合应用
真题放送
代数形式
柯西不等式 向量形式
柯西不等式与排序不等式
三角不等式 乱序和
排序不等式 反序和
顺序和
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 柯西不等式的应用 利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,
并向着柯西不等式的形式进行转化.
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
应用1已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16, 求e的取值范围.
提示：由a2+b2+c2+d2+e2联想到应用柯西不等式. 解:∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2, ∴4(16-e2)≥(8-e)2,64-4e2≥64-16e+e2,
当且仅当
������������ 1
=
������������ 1
=
1-������������-������������ 1
时,等号成立.
故当
xP=yP=
1 3
时,面积
S
最小,且最小值为
16.
12
知识建构
综合应用
真题放送
1(2018江苏,21D)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.
人教版-高中数学选修4-5-柯西不等式ppt课件
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
20
P41 6. 设x1, x2, xn R , 且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
a+b+c的最小值。
22
)2
( x1
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
21
1 x1 1 x2
1 xn n 1
达标检测
1．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。
2．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c = 9，求
3a 2b c 的最大值。
3．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求
19
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
人教版选修A4-5数学课件：第三讲 柯西不等式与排序不等式整合 (共15张PPT)
知识网络
专题归纳
高考体验
专题二:排序不等式的应用 1.在利用排序不等式证明相关不等式时,首先考虑构造出两个合 适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的 已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择. 2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式 问题,利用排序不等式解决往往有“化繁为简”的效果. 3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略.
-3-
本讲整合
专题一 专题二
知识网络
专题归纳
高考体验
例 1 已知 x,y,z 均为正数,求证
3 1 3 ������
+ +
������
1
1 ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
+
1 ������ 2
.
分析：根据柯西不等式,构造数组 1,1,1 和
1 1 1 , , 进行证明. ������2 ������2 ������2
即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥ .
������-1 3-������-������ 2������+������-6 当且仅当 = = , 1 2 1 5 5 即 x= ,y= 时,上式取等号. 2 6 5 5 故所求值为 x= ,y= . 2 6
1 6
-7-
本讲整合
专题一 专题二
3 1 1 1 即 + + 3 ������ ������ ������
≤
1 1 + ������2 ������2
1 + 2. ������
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明》知识讲解
数学人教B 选修4-5第二章2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1．认识一般形式的柯西不等式．2．理解一般形式的柯西不等式的几何意义．3．会用一般形式的柯西不等式求解一些简单问题．定理(柯西不等式的一般形式)(1)设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则11222222221212(+)(+)n n a a a b b b ++++ ≥____________________，其中等号成立____________________(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )． (2)柯西不等式的一般形式的证明方法是__________．记忆柯西不等式的一般形式，一是抓住其结构特点：左边是平方和再开方的积，右边是积的和的绝对值；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆．柯西不等式的变形和推广：变形(1) 设a i ，b i ∈R ，b i ＞0(i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1na i 2b i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1n b i，当且仅当a i ＝λb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．变形(2) 设a i ，b i (i ＝1,2，…，n )同号且不为零，则∑i ＝1na ib i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1na ib i，当且仅当b 1＝b 2＝…＝b n 时，等号成立．【做一做1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4C ．13D ．12【做一做2】若22212+=1n a a a ++ ，22212+=4n b b b ++ ，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：(1)|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(2)参数配方法【做一做1】C 由柯西不等式，知(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ×1＋b ×1＋c ×1)2，又a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．【做一做2】C 由柯西不等式，得2222221212()()n n a a a b b b ++++++≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4. ∴－2≤a 1b 1＋…＋a n b n ≤2. ∴所求的最大值为2.1．一般形式的柯西不等式如何应用？ 剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．2．如何利用“1”？剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式．题型一 利用柯西不等式证明不等式【例题1】已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：222212112231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++ .分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明．反思：通过以上不同的证明方法可以看出，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型二 利用柯西不等式求函数的最值【例题2】设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式求解． 反思：要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z )2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．题型三 易错辨析易错点：应用柯西不等式时，因忽略等号成立的条件而致误．【例题3】已知x ∈[2,3]，求f (x )＝1＋x ＋1x的最小值．错解：∵x ＞0，∴⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋x ＝⎣⎡⎦⎤12＋(x )2＋⎝⎛⎭⎫1x 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋(x )2≥⎣⎡1×1＋x ×1x ＋⎦⎤x ×1x 2＝9，∴1＋x ＋1x ≥3.∴f (x )的最小值为3.错因分析：上题在求解时，由于等号不成立，故求解过程错误，结果也不正确． 答案：【例题1】证明：证法一：根据柯西不等式，得左边＝2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n)2＋(a n ＋a 1)2]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12≥⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝右边．∴原不等式成立．证法二：∵a ∈(0，＋∞)，∴a ＋1a ≥2，∴a ≥2－1a.利用上面的结论，知2112a a a +＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12⎝⎛⎭⎫2－a 1＋a 22a 1＝a 1－a 1＋a 24. 同理，有2223a a a +≥a 2－a 2＋a 34，…211n n na a a --+≥a n －1－a n －1＋a n 4，21n n a a a +≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得2222112122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12. ∴原不等式成立．证法三：对于不等式左边的第一个分式2112a a a +，配制辅助式k (a 1＋a 2)，k 为待定的正数，这里取k ＝14，则2112a a a +＋14(a 1＋a 2)≥a 1. 同理，2223a a a +＋14(a 2＋a 3)≥a 2.…211n n n a a a --+＋14(a n －1＋a n )≥a n －1，21n n a a a +＋14(a n ＋a 1)≥a n .以上式子相加整理，得2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )． ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，∴2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12. 【例题2】解：根据柯西不等式，得 120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 即u ≤230.当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时，u max ＝230.【例题3】正解：应用函数单调性的定义(或导数)可证得f (x )在[2,3]上为增函数，故f (x )min＝f (2)＝1＋2＋12＝72.1若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．92设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q3已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ∈(0，＋∞)，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．94设a ，b ，c ，d 均为正实数，P ＝(a ＋b ＋c ＋d )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d ，则P 的最小值为__________．5已知x ＋4y ＋9z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________． 答案：1．D 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎣⎡⎝⎛⎭⎫ab ×b a ＋⎝⎛⎭⎫b c ×c b ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a ×a c 2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立． 2．B3．D ∵a ＋b ＋c ＝1，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．4．165．198(x 2＋y 2＋z 2)(12＋42＋92)≥(x ＋4y ＋9z )2＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，当且仅当x 1＝y 4＝z9，即x ＝198，y ＝249，z ＝998时等号成立．1n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2 D ．1n答案：C 设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )12111n x x x ⎛⎫+++⎪⎝⎭≥2⎫+++ ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＞0时等号成立．2若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D ．1611答案：D ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)11123⎛⎫++⎪⎝⎭≥21y ⨯＝(x ＋y ＋z )2＝1， 当且仅当3=11x ，6=11y ，2=11z 时等号成立．∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611.3设m ，n ，p ∈(0，＋∞)，且m 2＋n 2－p 2＝0，则pm n+的最小值为( )A ．0B ．3C ．1D ．2答案：D ∵m ，n ，p ∈(0，＋∞)，m 2＋n 2－p 2＝0， ∴2p 2＝2(m 2＋n 2)＝(12＋12)(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 当且仅当m ＝n 时等号成立．∴221()2p m n ≥+.∴2p m n ≥+. 4已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为__________．答案：13(x 2＋4y 2＋z 2)(12＋12＋12)≥(x ＋2y ＋z )2＝1， ∴x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即1=3x ，1=6y ，1=3z 时等号成立．5已知(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为__________．答案：设=yk x(k ≠0)，则kx －y ＝0，∴[(x －3)2＋(y －3)2][k 2＋(－1)2] ≥[k (x －3)－(y －3)]2＝(3－3k )2. 当且仅当331x y k --=-时等号成立， ∴6(k 2＋1)≥(3－3k )2，解得3-k ≤∴max k ＝yx的最大值为6求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 答案：解：由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16， 当且仅当1326121y x y x y ---+-==，即 5=2x ，5=6y 时，上式取等号． 故5=2x ，5=6y 时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．7设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：2221111003a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：证明：222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝13(12＋12＋12)·222111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥211111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝211111()3a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥22113⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ＝21100(1+9)33=， ∴原不等式成立．8如图所示，等腰直角△AOB 的直角边长1，在这个三角形内任取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形．求这三个三角形面积和的最小值，以及取得最小值时点P 的位置．答案：解：分别以OA ，OB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则AB 所在直线的方程为x ＋y ＝1，设点P 的坐标为(x ，y )，以点P 为顶点的三个三角形的面积和为S ，则S ＝12x 2＋12y 2＋12(1－x －y )2. 由于x ＋y ＋(1－x －y )＝1(定值)，故当且仅当x ＝y ＝1－x －y ， 即x ＝y ＝13时，x 2＋y 2＋(1－x －y )2有最小值13，从而面积S 有最小值16，此时点P 恰为△AOB 的重心．9设()12(1)lg x x x xn a n f x n+++-+⋅ ＝，若0≤a ≤1，n ∈N *，且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．答案：证明：∵f (2x )＝222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅ ，∴要证f (2x )≥2f (x )，只要证222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅≥212(1)2lg x x x n a n n+++-+⋅ ，即证222212(1)x x x xn a n n +++-+⋅≥212(1)x x x x n a n n ⎡⎤+++-+⋅⎢⎥⎣⎦，也即证n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2.(*)∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式，得 n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥222(1+11)n ++个{(1x )2＋(2x )2＋…＋[(n －1)x ]2＋(a ·n x )2}≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，即(*)式显然成立，故原不等式成立．。