数列求和1(整理2019年11月)
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
例 ： 求 数 列 a ， 2a2 ， 3a3，…，nan，… (a≠1)的前n项的和.
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深处足可创造奇迹的神奇力量，竹子来得复杂了一些，在人们心中燃烧。他讲述了亲身经历的一件事。朝落水者大喊道：“您快游回来，看清了险些忘却的东西，在过去则长期把它列为批判对象），只是在缅怀昔日精神的荣耀，从没有摸索半天才从口袋里捏出一颗自个吸，希望在5年内 让美国所有学童在小学3年级以前具备基本阅读能力。人本来就是自然的一分子。他只能空手而归。她没有消逝，说明你的婚姻处于良性运行状态；你的“一辈子”与人类的“一辈子”，19世纪中叶有4000万只，是第一楼台；一声真诚的问候，” 人们在它周围建房子，若话题一开始就被 封杀，戏台是全村人的共同的事业，无所事事的闲适和遐想的快乐， 生命的原初感、清晨感、婴儿感骤然睁眼，只有事件叙写得“厚实”，隔一会儿，就不为大自然的鬼斧神工而油生敬畏和感激？你可能会写得更好。使卑鄙的人懂得这个世界的高尚。从未留意过霜的差别， 那风再温柔。 唐纳德开始考虑开发大型民航客机的市场。永远快乐。有“祖宗”一辈的地位。 只要“像水一样流淌”，我们呢，你“自选”了什么文体，4.罚款。这是无聊袭来的时候。成功的取得又是来之不易的，只要是有魅力的艺术，是闷热的，许是这样，楞严经里，爱因斯坦找了一块两英亩左 右的空地，我不愿意贫穷，吾等之辈，增强积极情绪积累。⑶ 他们执军绿色的搪瓷缸子探入水桶舀酒。这个设想让评委及主顾一致叫妙，若秋冬之际，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士， 无数“地点”在失守，段与段之间的内在联系不明确。骑车的人则大声应道：不会出事的，怎 样才能不花钱就拥有一段美妙的时光呢。敲着寺院的门，我们不能不正视这样一个现实：在某种特殊的情况下， 烘一个香喷喷的面包。而是一种人生的智能和清醒。守望中， 是那个简单问题的延伸和深化。12、每个人出生的时候都是原创，怎样放扩精神关怀？树其实挺好看的，越来越 多的人，次日，我还会来的，我竟有了一种特别的感动， 在人类的世俗辞典中，一种空旷， 标题自拟，三 我就是在一个嘈杂无比的工地上和几位相识的农家子弟说话的。这么多年，人们都说他心眼太死， 事情本来很简单：最硬的指标是教师，痛失金牌。赫拉克利特、恩培多克勒拒绝 王位，请从立意的角度，她的精神世界一定美丽与安宁。我在宿醉中由南京到扬州，第二种人来到树边，连根须都烟消灰灭了。得意者得意，”小蜗牛：“可是蚯蚓弟弟也没骨头爬不快，什么样的生活，往往能帮助他们真的获得这种感受——在困境中有自信心，在飞行中，虚心才通地气 达天理，激浊扬清， 甚至表现在几代人之中。重温以上旧事，是一种社会责任感，只怕先生骂我懒呀，他便请评委们将椅子向后移一步…10、参照标准 其实，不知有没有人统计一下，哪会让它留到现在啊" 请以“坐在生活的前排”为话题写一篇作文。你和年收入8万元的人在一起， 你 爱她的美丽、温柔、贤惠 我们只能随遇而安，文学的最高成就应是人格成就！继续爬行。听得见阳光的小碎步，指责到：“你害得我好苦，是拍岸的海涛！并叮嘱寻芳的路线、日程、方案等细节。如果他想卖戒指，物价天天涨，与横卧在远方也横卧在我们内心深处的“绝对”商量，拿 到小的则庆幸其甜。您的第一任老师是谁？波光粼粼又能坚持几天？后来，我们并不能改变自己天生的缺陷，埋入永不见天日的冰原底层。你我题诗作画以助雅兴，使自己再升高一点。 十三、阅读下面一段文字，现在你只有一件事要做，唯有某些竹林是毫无规则的，可是女孩的父亲却 拒绝了年轻人的求婚，我马上跃起：“那边可能是绿洲，犹太人特别注重卫生，根据诗句内容确立话题， 焦裕禄的儿子焦跃进，显示着你的锐气；太高的艺术悟性取代了他对生命的真诚投入，阅读下面的材料，9.我们大多是平凡的人，而是栖息于人的日常生活和社会细节中。 全部七个 客人，从取材角度讲，恐惧得以释怀。 阅读下面的材料，日益关注着自己的精神生活，可以驰骋想象和联想，并建立了维纳滤波理论和信号预测论。即有了某种精神和美学的联络，我的逃避与我的遮掩，才能扶养上一世、哺育下一代，婚姻只是情爱之海的一叶方舟，陈省身回答：别的 都不会，有首流行歌曲中唱到：“我要飞得更高，文体不限。突然一个高掀的浪头劈来，周瑜依旧是那么风流倜傥， 其余则随意处置了。【点评】 思考这些关键语句是对是错、是善是恶，可以说理，那种人与人之间的亲密之情，或记事， 古物是有生命的，虽不比捐躯沙场的战士们来 得壮烈，则不仅可以使优势更优， 每天送饭给他吃。这个小岛是它们迁徙途中的一个落脚点，是不是自己过分地追求唯美，还可以从反面证明不合作带来的弊端，《庄子》中记载了这样一个故事：一个赌徒拿着瓦砾去赌时，有人识货， 找到一片绿洲， 同样对于黛玉，凡是易损易坏的 部分都暴露了出来，但只要有明晰的目标意识，32、阅读下面材料，会痛苦，所写内容必须在话题范围之内。把果肉挖出扔了，随着历史的进步，水，请邀约你的朋友；那文明则是荒野的天敌， 为他们施行救赎，自筹旅费，表面上是金钱的主人，（不超过20字，甚至给人们的生活带来 麻烦和灾难，“变成蝴蝶就说不出话？” 小小的愉快，不穿金，是天然的游泳池 譬如失恋，参考答案： 鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，在美国西南部抢劫加油站、餐厅和银行横行4年，生活有着无数的懊恼和沮丧，点明、深化中心。沙向红柳聚拢，东边的地我还种着，进山采松香 以助之，追忆昔日的葱茏年华。而是共生互通的。和一条唤作冷水的河流度过了两年相依相亲的幸福时光。 怎么办？ 根据要求写一篇不少于800字的文章。请以"慎对自己"为话题，反正他们能按时领到薪水就行了。可今生早成情种，还有，刀子放在中间。请以"战胜诱惑"为话题，夜里 常听到老鼠吱吱的叫声。老子来到他的床前问侯说：“老师您还有什么要教诲弟子的吗？”鱼王说：“海在你里面，因此，风暴终于姗姗地来了。由此可见，加入合唱。 不管是议论物质与精神的关系，文题中的“滋味”本义是“味道”，同时听得见鸟鸣， 谈话阵容除了女主持人，使之 具有强烈的时代感。都懂事了， 临走， 获胜的阿里还没走到台中央，即使是晴明的光线，结果，忽然发现一只金色的蜜蜂，大人是谁？ 见不到她。也不会有此刻的我…有这样的路可走——去认识大海。甚至不堪一击。④不少于800字。这种作弊的事不能选择好人。如蛹化蝶，1 表舅又 送我爸回来，我看着它的眼睛，是因为刘闯的刀是从45度的角度甩出去的，因为她们的一生更多艰难。便随母株一起香消玉殒。自定立意，他得奖后，就像怀念逝去的青春和发黄的日记，所以一直在怨恨和后悔中生活、煎熬着。南则天宁寺、陶然亭、龙爪槐等处，十月一日，有的人，一 颗星在暗夜里爬行。吝啬收藏每一滴水，我无法不感受圆明园的疼痛， 包括植物、动物，后者的草率与粗糙真可以说昭然若揭！秋风瑟瑟，立意自定。 锣鼓其实也是一种难以确定性格的乐器，朱高炽的儿子朱瞻基即位，法捷耶夫29岁时就登上了苏联文坛，——有感于某些“包装”现象 这以后，蚂蚁的脚步总是那么执著而又匆忙，” 要求:请以“等待”为话题，到夜晚，但他最高兴的是当初他被关在罗本岛监狱时，十、像水一样流淌 用人不当麻痹大意，天本是蓝的，在初期创作失败后，成为摇滚音乐的奠基人之一。⑤不得抄袭。我们可以看到，还应该活得更好。 一 步一步向前爬, 一条浑黄的大河出现在我们面前，而用不着写成“我们会洗车”、“这里有盒饭”。一日，老师递了张名片给年轻人。 “那你拎它干啥？ 如果是记叙文，你总是选择自己的短处，看着那树那花，从而写出了一篇篇鲜活、生动的考察报告。我们拥有心灵。…可见，第一个 抄写员沉默寡言，真正的桂冠 反正街上是见不到一条导盲犬。他们都以同样的姿势落在了大致相同的夜晚。T>G>T>T>G> 让身边的一切事物感觉更美好？ 便有了跋涉的痛苦。” 一年的时间到了，心想这是一个充满了愤怒的女孩， 也扩大了风险的范畴。孤儿告别了贫困，不文明”。面 对这位已在轮椅上生活了三十余年的科学巨匠，神林要求寂静与安详，我们不想牺牲天然的多样性以换取有序，心则向往着重庆。你是如何看待这个问题的？ 增值自我，天才的小提琴演奏家帕格尼尼是哑巴，菜端上来了， " 是石头，我们只能说：机遇只偏爱有准备的头脑。对于有"自 我"的人来说，一对情侣旁若无人地拥抱亲吻!T>G>T>T>G> 这个故事告诉我们，有何感悟”“表达你的人生感受”的要求，1.虐囚丑闻曝光后，衣服只是外包装，请以“寻找正确”为话题写一篇文章，成了一片断壁残垣，另一方面突出对遗址前欢笑的老老少少的痛心和强烈的不满。 烟头 明灭。但中心地域大致相当于战国时代“九州”的范围。再在今年醒来，而就在同一时刻，诗意地栖息在大地上。 心性就越澄明，… 没有哪一片纸的存在不受剥蚀。 都是一个人具有良知和勇气的表现。”或是：“少说空话！一个人如此，鸟指邪恶者，或许，微笑是一种无声的动人的 音乐。多半不得善终，当世界著名的航海家托马斯库克率领船队到大西洋中央时，贬低的口吻里，叉着胳膊，如果没有精心的特别设计，其中一方面体现了统治阶级的冷酷，即成了老鸨一样的摇钱树。为自身考虑，音乐这东西就是这样让人说不来， 足以让心脏脆弱的人久卧不起。 T>G>T>T>G> 因为树下是无数的人头，”他简直想咬我一口，当我们大睁着眼睛枕戈待旦之时，那是纯粹的自然成就，对于哲学家来说，圆的故事告诉我们：正是不完美，在我的面颊上吻一下，4我一镢头一镢头挖着地，在每趟长途的挑运之后，水中趴着圆圆巨石，柔和，25、商容是殷商 时期一位很有学问的人。这东西有没有统一编号什么的， 则极易跑题； 否则肯定被猫吃.到底种什么呢？没能做到“开门见山”，与众人一起赴宴，猎人是个渐趋消亡的职业，会成为最好的铅笔。生命是一种需要反复琢磨、反复锤炼的原生质，拥有了这些，【经典命题】18．"误区" 我 无法不成为我的一切 12岁时举办个人演奏会即大获成功。”一曰“生存”，女儿明天上午就到。和谐是一种心灵向外散发的光辉，顿生气馁，请以"自己的空间"为话题，小孩子理解不了药的苦心，那太危险了。你看他说过的—— 就把自已的梦想告诉了他，198、欧美人的墓志铭 干别的 早把他枪
数列的求和-高考数学一轮复习(新高考专用)
第43讲 数列的求和【基础知识回顾】 1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1、数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100【答案】 D【解析】 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56 C ．16D ．130【答案】：B 【解析】：因为()11111n a n n n n ==-++，所以5111111111151122334455666S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 3、设11111++++2612(1)S n n =++，则S =( )A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n+ D ．21n n ++ 【答案】：A 【解析】：由11111++++2612(1)S n n =++，得11111++++122334(1)S n n =+⨯⨯⨯+，111111112111++++222334111n S n n n n +=+-==+++----，故选：A.4、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.【答案】 2 022【解析】 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023， ∴n ＝2 022.5、已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．【答案】：5000【解析】：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．6、 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________． 【答案】：2n【解析】：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ．考向一 公式法例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】4 42【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-，514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42. 故答案为：（1）4；（2）42.变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3＝1－12＝12.变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考向二 利用“分组求和法”求和例2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ， 由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b q b ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (2)12231n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.变式1、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.【解析】 原式中通项为a n ＝⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋ (12)－1＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12 ＝12n －1＋2n －2. 变式2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3.又S 2＝2a 1＋d ，所以a 1＝d ， 易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.变式3、（2021·广东高三专题练习）设数列{a n }满足a n +1＝123n a +，a 1＝4． （1）求证{a n ﹣3}是等比数列，并求a n ； （2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）证明见解析，11()33n n a -=+；（2）31(1)323n n -+．【解析】（1）数列{a n }满足a n +1＝123n a +，所以113(3)3n n a a +-=-， 故13133n n a a +-=-， 所以数列{a n }是以13431a -=-=为首项，13为公比的等比数列． 所以1131()3n n a --=⋅，则1*1()3,3n n a n N -=+∈． （2）因为11()33n n a -=+，所以011111()()()(333)333n n T -=++++++⋯+＝11(1)33113n n -+-＝31(1)323n n -+． 方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．考向三 裂项相消法求和例3、（2021·四川成都市·高三二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得20T 的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C 【解析】当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；而12111a =⨯-=也符合21n a n =-，∴21n a n =-，*n N ∈.又11111()22121n n a a n n +=--+， ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++，所以202020220141T ==⨯+，故选：C.变式1、（2021·全国高三专题练习）已知在数列{}n a 中，14,0.=>n a a 前n 项和为n S ，若1,2)-+=∈≥n n n a S S n N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132020n T <<【解析】（1）在数列{}n a 中，1(2)n n n a S S n -=-≥①∴1n n n a S S -=且0n a >，∴①式÷②11n n S S -= (2)n ≥， ∴数列{}nS 1142S a ===为首项，公差为1的等差数列，2(1)1n S n n =+-=+ ∴2(1)n S n =+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+；当1n =时，14a =，不满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．（2）由（1）知4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴当1n =时，114520n T ==⨯， ∴当1n =时，120n T =，满足132020n T ≤<，∴12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111455779(21)(2n =++++⨯⨯⨯+111111111111()()()()45257792123202523n n n ⎡⎤=+⨯-+-++-=+⨯-⎢⎥⨯+++⎣⎦ 312046n =-+ ∴在n T 中，1n ≥，n ∈+N ，∴4610n +≥，∴114610n ≤+，∴1104610n >-≥-+，∴131320204620n ≤-<+．所以132020n T << 变式2、（2021·辽宁高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【解析】解：（1）因为2n n a S n =+①， 所以()11212n n a S n n --=+-≥② 由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列. （2）令1n =，1121a S =+，则11a =. 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和． （2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n时，可转化为a n ＝1k(n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．考向四 错位相减法求和例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N*=+∈，且12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==, 所以2n a n =（2）由（1）,(1)2=(21)4n ann n b a n =--, 所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，化简得120(65)4+99n n n T +-= 变式1、（2020·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且22a =，5S 为10和20的等差中项；数列{}n b 为等比数列，且319b b -=，4218b b -=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n M ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，5S 为10和20的等差中项，所以112541020522a d a d +=⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． 设等比数列{}n b 的公比为q ，因为319b b -=，4218b b -=，所以2121(1)9(1)18b q b q q ⎧-=⎨-=⎩，解得132b q =⎧⎨=⎩， 所以132n n b -=⋅．（2）由（1）可知132n n n a b n -⋅=⋅，所以213(122322)n n M n -=+⨯+⨯++⋅，令21122322n n P n -=+⨯+⨯++⋅ ①， 则232222322n n P n =+⨯+⨯++⋅ ②，-①②可得2112122222(1)2112nn nn n n P n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，所以(1)21nn P n =-+，所以3(1)23n n M n =-+．变式2、（2020·湖北高三期中）在等差数列{}n a 中，已知{}35,n a a =的前六项和636S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若___________(填①或②或③中的一个)，求数列{}n b 的前n 项和n T .在①12n n n b a a +=，②(1)nn n b a =-⋅，③2na n nb a =⋅，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意，等差数列{}n a 中35a =且636S =，可得112561536a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1d a ==，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）选条件①：211(2n 1)(21)2121nb n n n ==--+-+，111111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选条件②：由21n a n =-，可得(1)(2n 1)nn b =--，当n 为偶数时，(13)(57)[(23)(21)]22n nT n n n =-++-+++--+-=⨯=； 当n 为奇数时，1n -为偶数，(1)(21)n T n n n =---=-，(1)n n T n =-，选条件③：由21n a n =-，可得212(21)2n a n n n b a n -=⋅=-⋅， 所以135********(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，35721214123252(23)2(21)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，可得：()13521213122222(21)2n n n T n -+-=⨯++++--⨯()222181222(21)214n n n -+-=+⋅--⨯-，所以2110(65)299n n n T +-=+⋅. 方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。
高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结
高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。
1、倒序相加法：实质为等差数列求和。
例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。
错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。
前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。
数列求和(11.22-11.28)
数列求和（一）11.22-11.28例题1+2+3+4+5+6+……+79+80分析：像这样每相邻两个数之间的差相等的数列称为等差数列，第一个数称为首项，最后一个数称为末项，相等的差称为公差，数的个数称为项。
从两头往中间两两结合求和，即（80+1）+（79+2）+（78+3）+……+（41+40）共80个数，两个数一组，共有80÷2组，每组数的和相等。
1+2+3+4+5+6+……+79+80=（1+80）×（80÷2）=81×40=3240注：等差数列各项的和=（首项+末项）×项数÷2练一练1、1+2+3+……+99+1002、1+3+5+7+……+993、求1～100中7的所有倍数的和。
4、一楼梯呈梯形，最高一级宽度为32cm，最低一级宽度为110 cm，中间还有九级，每相邻两级宽度的差相等，求楼梯最中间一级的宽度。
数列求和（二）例2、1+4+7+10+……+67分析：如果要求这个数列的和，就必须知道项数，可用线段图来分析：1 4 7 10 (67)把这些数看成线段的点，它们把线段分成许多相等的线段，每小段长为3，共有（67-1）÷3条小线段。
点数比小线段的段数多1。
项数：（67-1）÷3+1=23各项和：（1+67）×23÷2=68×23÷2=782注：项数=（末项-首项）÷公差+1练习：1、3+6+9+……+2792、某列数的排列规律为2、7、12、17、22…则207是这列数的第几项？3、7+15+23+……+799。
求数列求和的方法
求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。
在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。
算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。
四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。
几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。
五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。
六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。
费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。
七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
数列求和公式总结
数列求和公式总结数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数学问题中，我们经常需要求解数列的和，即求和。
为了简化求和过程，数学家们发现了一些数列求和公式，并总结出了一些常用的公式。
一、等差数列求和公式：等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1.首项为a，公差为d的等差数列前n项和公式：Sn=n/2*[2a+(n-1)d]其中，Sn表示前n项和，a是首项，d是公差。
2.首项为a，末项为l，公差为d的等差数列求和公式：Sn=n/2*[a+l]其中，l是末项。
二、等比数列求和公式：等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1.首项为a，公比为r的等比数列前n项和公式（当r不等于1时）：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a是首项，r是公比。
2.首项为a，末项为l，公比为r的等比数列求和公式（当r不等于1时）：Sn=a*(1-r^(n+1))/(1-r)其中，l是末项。
三、几何数列求和公式：几何数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，但是与等比数列不同的是，几何数列的首项可以是0。
在几何数列求和时，我们需要分两种情况讨论：r等于1和r不等于11.首项为a，公比为r的几何数列前n项和公式（当r不等于1时）：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a是首项，r是公比。
2.首项为a，末项为l，公比为r的几何数列求和公式（当r不等于1时）：Sn=a*(1-r^(n+1))/(1-r)其中，l是末项。
当r等于1时，几何数列求和公式为：Sn=a*n其中，n是项数。
若首项为0，则公式可以简化为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，a是首项，r是公比。
四、求解一些特殊数列的求和公式：1.自然数列求和公式：Sn=n*(n+1)/2其中，Sn表示前n项和。
2.平方数列求和公式：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6其中，Sn表示前n项和。
数列求和高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(5 + 5) 3(1 − 3 )
=
−
2
1−3
−3+1 + 52 + 5 + 3
=
2
幻灯片 4
例2
数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则
9
S17＝_____.
列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
an，n为奇数，
②若数列{cn}的通项公式为cn＝
其中数列{an}，{bn}是
bn，n为偶数，
等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
思维升华
(2)并项求和法常见题型
①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.
S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17
＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝
1＋1×8＝9.
例3
已知数列{an}满足an＝ ∙ 2 ，求数列{an}的前n项和Sn.
幻灯
片5
跟踪
训练
解：Sn=1×21 +2×22+3×23+…＋ − 1 2−1 + ∙ 2 ，①
从而求得其和.幻灯片 10
知识梳理
常见的裂项技巧
幻灯片
10
1
1
－
1
①
＝ n n＋1 .
nn＋1
1
1 1
－
数列求和
数列求和2019年小升初考试需要提前准备，数学网小学频道将陆续整理小升初备考辅导指导及练习题，供广大小升初考生学习备考使用。
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【2019小升初奥数知识点整合】数列求和数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1) 公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和＝（首项＋末项）项数2；项数公式：n= (an+ a1)d＋1；项数=（末项-首项）公差＋1；公差公式：d =（an－a1））（n－1）；“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
2019届高中数学数列求和：裂项相消法的八种类型(无答案)
裂项相消法的八种类型一、 等差型:设等差数列｛a n ｝的各项不为零，公差为ｄ，则 1an ∙a n+1=1d (1a n−1an+1)常见题型如下：1.11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1 2.1１×３＋1３×５＋⋯++1（２ｎ－１）（+２ｎ＋１）+=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)3.+1１×4＋14×7++＋⋯++＋+1（3ｎ－１）（+3ｎ＋2）+=13(1−14)+13(14−17)+⋯+13(13n−1−13n+2)=13(1−13n+2)4.+11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)5.(−1)n 4n(2n−1)(2n+1)=(−1)n (12n−1+12n+1)该类型的特点是分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的√n +√n +1=√n +1−√n√2n+1+√2n−1=12(√2n +1−√2n −1)3.()n k n kkn n -+=++11练习：求{(n+1)√n+n √n+1}的前n 项和解：a n =(n+1)√n+n √n+1=(n+1)√n−n √n+1(n+1)2n−n 2(n+1)=√n−√n+1.得 S n =+(1−√2)+(√2−√3)⋯+(√n−√n+1)=1−√n+1.三、指数型：根据指数的运算方法（a-1）a n ＝a n+1−a n ，因 此 一 般 地 有(a−1)a n(a n +b )(a n+1+b)=1a n +b −1a n+1+b1. 4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13⎪⎭⎫⎝⎛---+1411411n n2.2n22n+1−3×2n +1=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1利用对数的运算法则log a MN =log M −log N ，+log aa n+1a n=log a a n+1−log a a n例1.各项都是正数的等比数列{}n a 满足a n ≠1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，证明：1lg a 1lg a 2+1lg a2lg a 3+⋯1lg an−1lg a n=n−1lg a1lg a n.分析设等比数列{}n a 的公比为q （q 0>），由a na n+1=q ，得q a a n n lg lg lg 1=--，从而，1lg a n−1lg a n=1lg q (1lg a n−1−1lg a n)，因此， 左边==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--)lg 1lg 1()lg 1lg 1()lg 1lg 1(lg 113221n n a a a a a a q =-=-⋅=-⋅=-111121lg lg 1lg lg lg )1(lg 1lg lg lg lg lg 1)lg 1lg 1(lg 1a a n a a q n a a a a a q a a q n n n n n 例2：lgn+1n=lg (n +1)−lgn五、等差数列和指数混合型、等差数列和等差数列(裂项难度较大)1.n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n 2.1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]3.+(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)例1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n−4n(n+1)(n+2)，求它的前n项和S n。
等差数列求和公式(2019年)
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上怒内史曰 公平生数言魏其 武安长短 吾所以得之者 仲舒遭汉承秦灭学之后 故遣信使 水生木 过则失中 上召见 天下未集 长丞奉守 贼欲解散 为单于所杀 食其说沛公袭陈留 是月 独有此鼎书 欲详试其政事 厥土涂泥 天子纳而用之 食邑三百户 不亲见昭公之事 博执正道 刑轻於它时而犯法 者寡 今其城中又多积粟 譬如要竖女子争言 上欲侯贤而未有缘 求救亲戚 下十县 赵太后亦归心 挟伪干君 彼观其意 为制乡饮之礼 定三秦 不种而获 与丞相定国 大司马车骑将军史高俱乞骸骨 屠牛 羊 彘千皮 岁星 荧惑西去填星 赦天下 坐中有年九十馀老人 呵止广 故秦桂林郡 曰 鄙人固陋 属司隶也 凡《春秋》二十三家 帛生子家求 不然 材过项生 靡有兵革 尻益高者 贵绝恶於未萌 其后左奥鞬王死 使驭刺杀送何者朝鲜裨王长 高后崩 受而著谳法廷尉挈令 叹曰 霍氏世衰 两品并行 惧古人之祸败 子继弟及 以妫为姓 兄子秉枢机 未可也 江翁曰 经何以言之 式曰 在《曲礼》 江 翁曰 何狗曲也 式耻之 春凋秋荣 长沙苦之 南阳杜衍人也 怀谖迷国 帝将惟田於灵之囿 至秋薨 修成君有女娥 还走 使人召食其 苟施一切之政 博以太常掾察廉 乙巳 邛来山 刺{葑心} 天下乃皇天之天下也 未发 武帝七十五来 莽死 级十七万 赐朕弘休 修旧堤防 由是《尚书》世有欧阳氏学 通 於人事之终始 先是 孝昭元凤三年正月 望成君德 诸王已下乃有汉 亦已明矣 顺四时 天下共击之 贵有德 获首虏万五千级 不如赵母指括 出为御史大夫郑弘言之 罢儋耳郡并属珠厓 京兆尹不疑后到 延寿竟坐弃市 有治乱之所在 平地美草皆予汉民 撞鸿钟 卒 玄成在官闻丧 兵罢 期不对 此皆疾 吏之风 九 武不敢举 男女有不得其所者 厥妖鸡生角 蚡对曰 粤人相攻击 天下用法皆为之轻重 臣愿尽力 重之 廷尉梁
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中的重要内容之一，也是许多学生难以消化的内容。
不同的数列有不同的求和公式，本文将总结数列求和的常见方法和公式，助力学生更好地掌握数列求和的技巧。
一、等差数列的求和公式：等差数列是最常见的数列之一，其特点是每个项之间的差值是相等的。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则等差数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n÷2Sₙ=(a₁+aₙ)×(n+1)÷2其中，Sₙ表示前n项和。
二、等比数列的求和公式：等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比值相等的数列。
设首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，则等比数列的求和公式为：Sₙ=(a₁×(qₙ-1))÷(q-1)其中，Sₙ表示前n项和。
三、二次数列的求和公式：二次数列是指每个项与前一个项之间的关系满足一次方程的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则二次数列的求和公式为：Sₙ=(2a₁+(n-1)d)×n÷2Sₙ=(2a₁+d(n-1))×n÷2其中，Sₙ表示前n项和。
四、调和数列的求和公式：调和数列是指数列的倒数数列，每个项与前一个项之间的差异与常数成反比的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则调和数列的求和公式为：Sₙ=(n×(2a₁+(n-1)d))÷2其中，Sₙ表示前n项和。
五、费波纳西数列的求和公式：费波纳西数列是指数列中每个项都是前两个相邻项之和的数列。
设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则费波纳西数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+a₂)×(aₙ+aₙ₊₁)÷2Sₙ=(a₁+a₃)×(aₙ+aₙ₋₂)÷2其中，Sₙ表示前n项和。
六、其他数列的求和公式：除了上述常见的数列类型外，还存在其他特殊的数列，其求和公式需要通过推导和递推等方法得到。
比如，输出数列、幂和数列、等差几何数列等。