高中数学_正弦定理和余弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思

《正弦定理和余弦定理》教学设计

【课型】高三第一轮复习课

【课时安排】 1个课时

【教学目标】

1.理解正弦定理和余弦定理的适用范围；

2.会正确选择正弦定理或余弦定理，求有关三角形的边和角的问题；

3.能够使用定理的变形，解决一些与三角形的计算有关的度量问题。

【教学重点】

1.会根据不同已知条件选择恰当的定理解决问题；

2.熟练解决三角形中的边角互化、恒等变换问题．

【教学难点】

1.熟练运用正弦定理、余弦定理的变化形式；

2.能够综合分析题目条件，结合正弦定理和余弦定理进行化简。

【教学设计理念】

本节主要体现了“分析、类比”的数学思想，以近几年高考题为依托，结合前面所学三角函数知识的进行解题，通过多让学生参与，发展每个学生的潜能，使学生在具体解题过程中感受正弦定理、余弦定理的适用条件和特点，能够不拘一格，发散学生的思维。

【考纲要求】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2.总结近五年高考题发现，2014及2015两年在解答题第一题中考察过；近三年均在客观题中考察，题目难度多为中等.

【考向预测】

1.直接使用正余弦定理解三角形

2.正余弦定理及面积公式与三角函数相结合，体现正余弦定理的工具性作用

3.正余弦定理与函数、不等式等知识的综合应用。

【教学策略】讲练结合法，类比分析法

【教学过程】

一、考情分析

通过课件向同学们展示近五年高考全国1、2、3卷对于正余弦定理的考察，确定考点、考向以及题目难度，确定本节课复习目标。

二、知识梳理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.三角形的面积公式：=

?ABC

S_________________________________________．三、双基自测

1．判断题

(1)在△ABC中，

a

sin A＝

a＋b－c

sin A＋sin B－sin C

.()

(2)在△ABC中，若A>B，则必有sin A>sin B．()

(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．() 2. 填空题

(1)在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝1 2，C

＝π

6，则b＝________.

(3)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2，

且

A ＝75°，则b ＝________.

四、考点突破

考点1 利用正弦定理解三角形

例1.（1）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π

6，B ＝π

4，a ＝1，

则 b ＝( )

A ．2

B ．1 C.3 D.2

（2）（2015北京高考）在C ?AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3a =，6b =，23

π

A =，则

B = ．

练习： 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32， A ＝30°，则B ＝ ．

小结①：利用正弦定理可以解决哪些有关三角形的问题？ （１）已知三角形的两个角和任一边，求其它的边和角；

（２）已知三角形的两边以及其中一边的对角，求其它的边和角。

考点2 利用余弦定理解三角形

例 2 （1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,

.______,7,3,5大小为则A a b c ===

（2）（2018年全国2卷）在△ABC 中，为则AB AC BC C ,5,1,5

5

2cos ===（ ）

A.24

B.30

C.29

D.52

小结②：利用余弦定理可以解决哪些有关三角形的问题？ （１）已知三角形的两边以及这两边的夹角，求其它的边和角； （２）已知三角形的三边，求它的三个角。

考点3 正余弦定理的综合应用

分析题目条件，师生共同板演解题步骤：

例3（1）（2015全国1卷）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，

2sin 2sin sin B A C =.

（I ）若a b =，求cos ;B

（II ）若B=90°，且2=a ，求△ABC 的面积.

学生练习解题步骤，一位同学板演过程：

（2）(2016全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . （I ）求C ；

（II ）若c ＝7，△ABC 的面积为33

2，求△ABC 的周长． 小结③：

观察下面题目的特点，根据我们的总结，能否迅速找到所用定理？

思考题：（2018年全国1卷）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

_________,8,sin sin 4sin sin 222的面积为则且ABC a c b C B a B c C b ?=-+=+.

【课堂小结】本节课你收获了什么？ 【课后巩固】

1）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4

cos 5

A =-，求sin

B ＝ ．

2） 在ABC ?中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos A

B

b a =

则ABC ?的形状是 ．

3）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b 3， A ＋C ＝2B ， 则sin C ＝ .

4） 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2

DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为

33∠BAC ＝______ _ ．

5） 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．

6）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若22

a b

-=，sin C

＝sin B，

则A＝．

7）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝

6 3，B

＝A＋π2.

(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．

学情分析

学生是学习的主体，每当我们向自己的学生教授知识的时候，自然要考虑到我们的教学对象在学习本课时的原有基础、现有困难及学习心理特征，从而有针对性地确定学习的重点、难点及教法学法。

我的教学对象是高三文科普通班的学生，大部分学生的数学基础比较一般。他们在高一阶段学习了解三角形部分的新课，在高三一轮复习阶段，他们对这一部分知识点有遗忘，

正余弦定理的公式以及变形应用不熟练，对知识的总结不到位，并且尤其对高考的考点、难度等都不太明确。

《正弦定理和余弦定理》效果分析

一、教学设计方面

本节课为高三一轮复习课，结合学情，本节课的教学设计由浅入深，由实际例题升华到方法总结，这一设计符合学生的认知规律，由学生总结思想方法，实际效果较好。

二、教学过程方面

教学过程分为五个部分，先从多媒体展示高考考情开始，这样学生比较清晰的了解了考情，明确了目标，在接下来的学习中有的放矢；基本知识的复习对基础较差的同学来说是非常必要的，通过课下完成的双基自测，方便老师进一步了解学情，但让学生自己来说错误点，有些学生不敢于发言，导致被动。例题方面，学生当堂完成，学生代表回答，这样提高了同学的思维速度，集中了注意力，效果较好；让学生参与黑板板演，也更直观的加强了师生互动，并且比较容易分析学生的问题。最后学生总结本节课内容，思想方法得到了升华。

三、需要改进的地方

学生在有些题目做错后，不能主动提出自己的问题，主动性较差，教师还应该多观察课堂学生的表现，让所有的学生参与进来，在调动他们的积极性。

教材分析

本节内容是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用.

测评练习

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形

1．(2018·安徽合肥一模)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝7

8，c

－a ＝2，b ＝3，则a ＝( )

A ．2 B.52 C ．3

D.72

2．(2018·湖北黄冈质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝52

b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )

A.53

B.54

C.55

D.56

3．(2018·包头学业水平测试)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝1

4

，则a c ＝( )

A ．2 B.3

2 C ．3

D ．4

4．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a

b

＝( )

A ．2

B ．3 C.2

D.3

5．(2018·兰州一模)△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝1

2

a sin C ，则sin B 的值为( )

A.223

B.34

C.74

D.13

对点练(二) 正、余弦定理的综合应用

1．(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c

b

则△ABC 为( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．等边三角形

2．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知三个向量m ＝????a ，cos A 2，n ＝????b ，cos B 2，p ＝?

???c ，cos C

2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形

3．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三

斜求积”公式为S ＝

14????a 2c 2－????a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用

“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )

A.3 B ．2 C ．3

D.6

4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B

cos A .若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，如图所示，则四边形OACB 面积的最大值是( )

A.4＋534

B.8＋534

C ．3

D.4＋52

5．(2018·广东揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，3

2B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积

为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．

6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．

[大题综合练]

1．(2018·湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足cos(A －B )＝2sin A sin B .

(1)判断△ABC 的形状；

(2)若a ＝3，c ＝6，CD 为角C 的平分线，求CD 的长．

2．(2017·云南昆明二模)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－1

3

，AB ＝32，BD ＝ 3.

(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．

3．(2018·河南郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ????π3＋C ·sin ???

?π

3－C . (1)求角A 的值；

(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．

《正弦定理和余弦定理》课后反思

在教学过程中，第一步通过课件向同学们展示近五年高考全国1、2、3卷对于正余弦定理的考察，确定考点、考向以及题目难度，确定本节课复习目标。这个过程是必要的，主要针对学生对高考考点陌生，总结不到位这一现实情况，课堂中发现学生通过这一过程，对本节课目标渐渐明确，在总结方面也逐渐清晰起来。

学生对这部分知识有遗忘，所以第二个过程知识梳理部分，还应该再强调一下每个公式及其变形形式，这样更能够加深学生的印象。

第三部分双基自测是学生课下完成的，有些同学完成情况不是太好，对重点公式应该再强调。

第四部分是突破考点，主要以高考题为依托，全面向学生展示这两个定理应用的情况，及时总结方法，板演解题步骤，这一过程完成的教好，学生也渐渐进入状态。

总体来说，这节课达到了我的预期目标，还有一些地方需要改进，在以后的教学过程中还应该再多一些了解学情，更好更快的让学生融入课堂。

课标分析

根据高中新课标标准、教材内容、《考试大纲》以及学

生的实际状况，确定以下教学目标：

1.理解正弦定理和余弦定理的适用范围；

2.会正确选择正弦定理或余弦定理，求有关三角形的边和角的问

题；

3.能用定理的变形，解决一些与三角形的计算有关的度量问题。教学重点：

3.会根据不同已知条件选择恰当的定理解决问题；

4.熟练解决三角形中的边角互化、恒等变换问题．

教学难点：

3.熟练运用正弦定理、余弦定理的变化形式；

4.能够综合分析题目条件，结合正弦定理和余弦定理进行化简。