正弦定理、余弦定理单元测试及答案

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正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理，得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°）＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

正弦定理余弦定理单元测试及答案

答案：sinA = a/c 答案：sinB = b/c 答案：sinC = a/b 答案：cosA = b² + c² - a² / 2bc
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
余弦定理是描述三角形任意两边和其夹角余弦值的关系
余弦定理公式： c^2=a^2+b^2-
2ab*cos(C)
余弦定理的应用：求解三角形的边长、角
度等
余弦定理的证明方法：向量法、几何法等
解三角形：已知三角形的两边和夹角，求第三边和第三角的大小解四边形：已知四边形的两边和夹角，求其他边和角的大小解多边形：已知多边形的边和角，求其他边和角的大小解立体几何：已知立体几何体的边和角，求其他边和角的大小
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正弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的正弦值成正比余弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的余弦值成正比正弦定理的应用：求解三角形的边长和角度余弦定理的应用：求解三角形的边长和角度
答案：cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
总正确率：80% 各题型正确率：选择题75%，填空题85%，解答题90% 各知识点正确率：正弦定理70%，余弦定理80% 错误原因分析：知识点掌握不牢固，解题技巧不足

正弦定理、余弦定理精选测试题带解析答案

正余弦定理精选测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A . π6B . π3C . π6或5π6D . π3或2π32．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A . 518 B . 34 C . 32 D . 785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 大小不能确定二、填空题6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ________．三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .（1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝34，判断△ABC 的形状．11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．12在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=3π.(Ⅰ)若ABC ∆a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.答案及解析1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B ＝π6.【答案】A2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】B 3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13. ∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为 22＋22－122×2×2＝78. 【答案】D 5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝ (a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b . 【答案】A 6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°. 【答案】30°7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝12，A ＝π6.【答案】π68．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12BC ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.【答案】 39．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4.法二由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin Bsin C＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②解①②得b ＝4.10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B ＝34，∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)，∵C ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，3sin(A ＋π6)取最大值 3. ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.12解析:（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ···················· 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ················································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，··················································································· 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ·························································· 12分。

高中数学：正弦定理和余弦定理练习及答案

高中数学：正弦定理和余弦定理练习一、选择题1．在△ABC 中，已知b ＝4，c ＝2，∠A ＝120°，则a 等于……………….( )A ．2B ．6C ．2或6D ．2 2．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于…..( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知在△ABC 中，sin A △sin B △sin C ＝3△5△7，那么这个三角形的最大角是…( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则△C 等于………………….( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60°5．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )6*．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则的值为……………………( )A ．79B ．69C ．5D ．-5二、填空题7．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是________．3321213615+⋅14139．在△ABC 中，△C ＝60°，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，则＝________．10*．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．三、解答题11．已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12．在△ABC 中，cos2，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径．13．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 和面积S 满足S ＝a 2-(b -c )2，且b ＋c ＝8，求S 的最大值．ca b c b a +++5109310922=+=c c b A14*．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题A D C D D D二、填空题7． 8．- 9．1 10．4或5三、解答题11．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49． △ b ＝7，S △＝ac sin B ＝×3×2×＝．12．解：△ c ＝5，，△ b ＝4 又cos 2 △ cos A ＝又cos A ＝△△ b 2＋c 2-a 2＝2b 2△ a 2＋b 2＝c 2 5771332321213212331092=+c c b c c b A A 22cos 12+=+=c b bc a c b 2222-+c b bc a c b =-+2222△ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝＝3△ △ABC 的内切圆半径r ＝(b ＋a -c )＝1．13．解：△ S ＝a 2-(b -c )2 又S ＝bc sin A △ bc sin A ＝a 2-(b -c )2△ (4-sin A )△ cos A ＝(4-sin A )△ sin A ＝4(1-cos A )△ 2sin △ tan △ sin A＝△ c ＝b ＝4时，S 最大为 14．解：△ a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0由上述两式相加，相减可得c ＝(a 2＋3)，b ＝(a -3)(a ＋1)△ c -b ＝(a ＋3)△ a ＋3＞0，△ c ＞bc -a ＝(a 2＋3)-a ＝(a 2-4a ＋3)＝(a -3)(a -1)△ b ＝(a -3)(a ＋1)＞0，△ a ＞3△ (a -3)(a -1)＞0△ c ＞a△ c 边最大，C 为最大角 22b c -212121412222=-+bc a c b 412sin 82cos 22A A A =2A 41=178)41(14122tan 12tan 222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bcA bC S Θ17644141214141414141△ cos C ＝△ △ABC 的最大角C 为120°ab c b a 2222-+21)1)(3(412)3(161)1()3(16122222-=+-⋅+-+-+=a a a a a a a。

3.正弦定理和余弦定理含答案

2
即 a b c bc ，由余弦定理得 a b c 2bc cos A
2 2 2 2 2 2
故 cos A
1 2 . ,A 2 3
2 2 2
（2）由（1）得 sin A sin B sin C sin B sin C. 又 sin B sin C 1 ，得 sin B sin C
2 ，则 a＝________. 3
13．在△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．答案 15 3 4
14．若 AB＝2，AC＝ 2 BC，则 S△ABC 的最大值________．答案 2 2
15．锐角△ABC 中，若答案 4
b a tan C tan C 的值是________． 6 cos C ，则 a b tan A tan B
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝ 900t2－600t＋400＝ 10 3 1 故当 t＝时，Smin＝10 3(海里)，此时 v＝ 1 ＝30 3(海里/时)． 3 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小． 900 t－ 1 3 2＋300.
cos A 2 cos C 2c a . cos B b
(1)求
sin C 1 的值；(2)若 cos B＝，△ABC 的周长为 5，求 b 的长． sinA 4
2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A a b c 解:(1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝， sin A sin B sin C b ksin B sin B 所以 cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ .即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， cos B sin B

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题1.若△ABC 的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D.232．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( )A ．0<a <4 3B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤43或a ＝6(理)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)3．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12C. －1D. 1(理)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 25．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．(文)(在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( )A ．5B.1132C.41 D ．25(理)在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( ) A.817 B.1517 C.1315D.13177．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．8．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3，则△ABC 的面积为________．(理)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．9．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值围是________．10．(文)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．(理)△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos2B2－1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．11.(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形(理)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形12．(文)已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34(理)△ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°13．(文)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)(理)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 214．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________． ①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°； ③a ＝6，b ＝20，A ＝30°； ④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.15．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A.455 B.355 C.255D.555.、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36C.63D.666．△ABC 的三个角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．7．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，且△ABC 的面积S ＝a sin C ，则a ＋c 的值为________．8．(2011·月考)在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.正弦定理和余弦定理参考答案1、[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A.2、(文）[答案] C[解析] ∵b ·sin A ＝43·sin60°＝6，∴要使△ABC 只有一解，应满足a ＝6或a ≥4 3. 如图顶点B 可以是B 1、B 2或B 3.（理）[答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.3、[答案] D[解析] 由正弦定理得asin A＝bsin B，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.4、（文）[答案] D[解析] 由a cos A ＝b sin B 可得，sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B 所以sin A cos A＋cos 2B ＝1.（理）[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a＝ 2.5、（文）[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又c sin C ＝bsin B，所以sin C＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B（理）[答案] C[解析]12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.6、（文）[答案] A[解析] 由于S ＝12ac sin B ＝2，c ＝42，B ＝45°，可解得a ＝1，根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25，所以b ＝5，故选A. （理）[答案] B[解析] S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.7、[答案] 2[解析] 由S ＝12BC ·AC sin C 知3＝12×2×AC sin60°＝32AC ，∴AC ＝2，∴AB 2＝28、（文）[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝22＋22－2×2×2cos60°＝4，∴AB ＝2.（理）[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin Csin B ＝BC ＋BAAC＝2. 9、（文）[答案]π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12，∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. （理）[答案]3<c <5[解析] 边c 最长时(c ≥2)：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0，∴c 2<5.∴2≤c < 5.边b 最长时(c <2)：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0，∴c 2>3.∴3<c <2.综上，3<c < 5.10、（文）[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2(π4＋B 2)＋cos2B －2＝0，2sin B [1－cos(π2＋B )]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，∴sin B ＝12.∵0<B <π，∴B＝π6或56π. (2)∵a ＝3>b ，∴此时B ＝π6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.（理）[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得，a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．11、（文）[答案] C[解析] 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评] 也可以先由正弦定理，将a ＝2b cos C 化为sin A ＝2sin B cos C ，利用sin A ＝sin(B ＋C )代入展开求解．（理）[答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A. 12、（文）[答案] D[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，3sin C＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D.（理）[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.13（文）[答案] C[解析] 根据正弦定理，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 得a 2≤b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴0<A ≤π3，故选C.（理）[答案] A[解析] 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x②，将②代入①得，S △ABC ＝x1－4－x24x2＝128－x 2－12216，由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A. 14、[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解．②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解；③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．15、（文）[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. （理）[解析](1)由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R 知cos A －2cos Ccos B＝2·2R sin C －2R sin A2R sin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2cos B sin C －cos B sin A ，即sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又由A ＋B ＋C ＝π知，sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，∴c ＝2a ，则由余弦定理得b 2＝a 2＋(2a )2－2·a ·2a cos B ＝4a 2∴b ＝2a ，∴a ＋2a ＋2a ＝5，∴a ＝1，∴b ＝2.1、[答案] A[解析] 由条件知b s in A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.2、[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a－b ＝aba ＋b>0，所以a >b .3、[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A. 4、[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角，∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32，∴0<B <π6，∴C 为最大角，由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边，由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22，由正弦定理，b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝555、.[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4.在△ABC 中，由正弦定理：3sin C ＝4sin A- .- -.可修编- 在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3×2234＝66，故选D. 6、[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3. 7、[答案] 48、[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.。

正弦定理与余弦定理【参考答案】

正弦定理、余弦定理《参考答案》【1】 a = b = c = 2Rsinsin C sin A B【2】 2 2 - 2bc cos Ab + c【3】 b 2 + c 2 - a 22bc【4】 sin C 【5】 -cos C 【6】 - tan C【7】 cosC2【8】 sinC2【9】 60︒ 【10】 tan A ⋅ tan B ⋅ tan C 【11】c【12】 1ab sin C2 【13】 1xv - yu2【14】一解【15】正弦定理【16】一解【17】余弦定理【18】讨论【19】正、余弦定理【20】一解或无解【21】余弦定理【22】无解【23】无解【24】一解【25】无解【26】无解【27】一解【28】两解【29】一解【30】无解【31】一解【32】一解【33】相等【34】相反数【35】边角互换【第 1 题】【答案】D【解析】5∵tanA ＝－12＜0，A 是△ABC 的内角，π∴2＜A ＜π.∴cosA ＜0.∵sin A ＝tanA ＝－ 5 ，cos A12 且 sin 2A ＋cos 2A ＝1，12∴cosA ＝－13. 【第 2 题】【答案】B【解析】∵C ＞90°，∴A ＋B ＜90°， ∴tan (A ＋B )＞0，tanA ＋tanB ＞0， ∴1－tanAtanB ＞0，即 tanA ·tanB ＜1. 【第 3 题】【答案】B【解析】∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又 c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2.a 2＋c 2－b2∴cosB ＝2aca 2＋4a 2－2a2＝4a23＝4.【第 4 题】【答案】C【解析】若 a 为最大边，则 b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5， ∴a < 5，若 c 为最大边，则 a 2＋b 2－c 2>0，即 a 2>3， ∴a > 3，故3<a < 5.另法：【第 5 题】【答案】C 【解析】由正弦定理得a ＝b ，sin B sin 30° 3∴sinB ＝ 2 ，又∵B 为锐角， ∴B ＝60°， ∴C ＝90°，即 C >B > A ．【第 6 题】【答案】C 【解析】由 sinB ·sinC ＝cos 2A2，得2sinB ·sinC ＝2cos 2A2＝1＋cosA ，即 2sinB ·sinC ＝1－cos (B ＋C )＝1－cosBcosC ＋sinBsinC ，∴sinB ·sinC ＋cosBcosC ＝1，即 cos (B －C )＝1，又－π<B －C <π. ∴B －C ＝0，即 B ＝C ．∴△ABC 为等腰三角形.【第 7 题】【答案】A【解析】正弦定理sin A sin 750sin(3045 )sin 30 0cos 45 0cos 30 0sin 451 2 3 2 2 2 2 226 .4由a c ，得C A 75 0 .∴ B30 0 ， sin B1 .2又a 6 2 ，由正弦定理得basin Bsin A6212 .26 24故选 A ．另法：余弦定理另法：射影定理b a cos Cc cos A .另法：作高，简单【第 8 题】π【答案】3【解析】由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . b 2＋c 2－a 2 1∴2bc＝2，1 ∴cosA ＝2， π∴A ＝3.【第 9 题】【答案】5 2【解析】1S △ABC ＝2ac ·sinB1·c ·sin 45°＝ 2 c ，＝2 4又因为 S △ABC ＝2，所以 c ＝4 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB2＝1＋32－2×1×4 2× 2＝25，∴b ＝5，b所以△ABC 外接圆的直径 2R ＝sin B＝5 2.【第 10 题】【答案】1【解析】由 A C 2B 及 A B C 180 ，得 B 60 .由正弦定理，得13 sin A ，即sin 60sin A1 .2由a b ，得 A B ，∴ A30 ， C180 A B180 306090 ，sin Csin 901.【第 11 题】【答案】2【解析】解：(余弦定理) 由b 2 a 2 c 22ac cos B ，得6 a 22 2 2a cos120 ， a 22a4 0 .12 2 1 2∴a 2 .另法：(正弦定理)b c， sin Bsin C sin Cc sin Bb2 sin1206 12∵c b ，∴C B ， ∴C 是锐角， C 30 ， A 30a c2 .【第 12 题】【答案】 2113【解析】 ∵ cos A = 4 ，cos C = 5，且 A , C 为三角形内角，5 13 ∴ sin A = 3 ， sin C = 12， 5 13∴ sin B = sin ( A + C )= sin A cos C + cos A sin C= 6563，由正弦定理得， sin b B = sin aA解得 b 21.13【第 13 题】【答案】【解析】证：a 2b 2c 2 a ∵cos C ， cos C ,2b2aba 2b 2c 2 a∴.2ab 2b化简后得b 2 2.c∴b c .∴△ABC 是等腰三角形.另证：∵a2b cos C，由正弦定理，得2R sin A22R sin B cos C∴ 2 sin B cos C sin Asin B Csin B cos C cos B sin C.∴ sin B cos C cos B sin C 0 ，即sin B C 0 ，∴ B C k k Z.∵ B,C 是三角形的内角，∴ B C ，即三角形为等腰三角形. 另证：根据射影定理，有a b cos C c cos B ，又∵a 2b cos C，∴ 2b cos C b cos C c cos B ，∴b cos C c cos B ，即b cos B .c cos C又∵b sin B，c sin C∴sin B cos B ,即sin C cos Ctan B tan C，∴ B C k k Z .∵ B,C 是三角形的内角，∴ B C ，即三角形为等腰三角形.欲证△ABC 为等腰三角形，可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只含角的三角函数.【第 14 题】【答案】【解析】解：∵ cos A3，50 A 180 ，∴ sin A4.5∵ sin B5 4sin A ，13 5A, B 为三角形的内角，∴ B A ，∴ B 为锐角，∴ cos B12.13∴ cos A Bcos A cos B sin A sin B3 124 55 13 5 131665.又 cos C cos 180 A B∴cos C cos A B16.65点评：此题要求在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值确定角的范围，以便对正负进行取舍.【第 15 题】【答案】【解析】解：(1)∵cos C cos 180 A B∴ cos C cos A B 1 . 2∴C 120 .(2)由题设，得a b 2 3 ab 2∴c 2 a 2 b 2 2ab cos 120a 2b 2 ab(a2ab b )(222 3)10 ，即AB 10 .(3)S1ab sin C ABC 221ab sin 1201 322 23.2【第 16 题】【答案】【解析】解：(1)由题设及 A+B+C=π得sin B= 8 sin 2B2= 8 ⋅1 - cos B= 4(1 - cos B) .2上式两边平方，得16(1 - cos B )2 2B= sin2 2B =1 ，又 sin B +cos∴16(1 - cos B )2 2B =1 ，+ cos∴(17 cos B- 15)(cos B- 1) = 0 ，∴cos B= 15 ，或 cos B=1(舍去)． 17(2)由(1)可知sin B=8.17∵S△ABC=2，∴1 ac sin B =2，2∴1 ac ⋅ 8 = 2，2 17∴ac =17，2∵cos B=15 ，17∴a 2+ c 2- b2 = 15，2 ac 17∴a 2+ c 2- b2=15，∴( a+c ) 2- 2 ac-b2=15 ，又a + c =6，∴36 - 17 -b2=15 ，∴b =2.。

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正弦定理、余弦定理
一、选择题
1．在△ABC 中，已知,30,10,25︒===A c a 则B=
（）
（A ）105° （B ）60°
（C ）15°
（D ）105°或15°
2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是
（）
（A ）
7
21 （B ）
19
57 （C ）
383 （D ）19
57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是
（）
（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）锐角三角形
（D ）以上都有可能
4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是
（）
（A ）一解（B ）二解
（C ）无解
（D ）无法确定
5．在△ABC 中，中，若2
cos
sin sin 2
A
C B =，则△ABC 是（）
（A ）等边三角形（B ）等腰三角形
（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形
6．在△ABC 中，已知13
5
cos ,53sin ==
B A ，则
C cos 等于（）
（A ）
6556
（B ）
65
16 （C ）
6516或65
56 （D ）
65
33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是
（）
（A ）2 （B ）1
（C ）
2
2
（D ）12-
8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2
2
2
2
2
2
c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图
象是
（）
（A ）在x 轴的上方（B ）在x 轴的下方（C ）与x 轴相切（D ）与x 轴交于两点
二、填空题
9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ．
10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形
面积为．
11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为．
三、解答题
13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足
).13(2
1
)2cos 1)(2cos 1(-=
++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小；（2）c
b
a 2+的值．
14．在△ABC 中，已知,27
7cos 2cos ,251sin 2sin =--=-B A B A 求)tan(C A -的值．
15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边．
（Ⅰ）若△ABC 面积为
,60,2,2
3
︒==A c 求a ，b 的值；（Ⅱ）若acosa=bcosB ，试判断△ABC 的形状．
单元十二正弦定理、余弦定理
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．D 8．A 6．提示：,13
12sin ,135cos ,53sin =∴==B B A Θ则
A B A B >⇒>sin sin 则A 一定是锐角，从而65
16cos =C
7．提示：在Rt △ABC 中，有题意22cot 2cot =+B r A r )
2
sin(2sin 2sin
22cot 2cot 2B
A B A B A r +=
+=∴ 又,90︒=+B A Θ
]2cos 2[cos 22sin 2sin 222
2
2sin 2sin
2B A B A B A B
A r +--===
∴
12)2
2
1(2]222[cos
2-=-≤--=B A 8．提示：222224)(c b a c b --+=∆Θ而A bc a c b cos 2222=-+
0sin 44cos 422222222<-=-=∆A c b c b A c b 而02>b )(x f ∴恒大于0
二、填空题
9．45°或75° 10．340 11．192或72 12．3
212
三、解答题
13．解：（1）由)13(2
1
)2cos 1)(2cos 1(-=
++C A 得)13(21|cos cos |2-=C A
即2
13|)cos()cos(|-=
-++C A C A 而
︒=-︒=+120180B C A 及△ABC 为锐角三角形
2
3)cos(=
-∴C A 又︒=-∴<<30A C C B A 且C+A=120°∴C=75°，B=60°，A=45°
（2）由（1）及正弦定理得
.275sin 60sin 245sin sin sin 2sin 2=︒
︒
+︒=+=+C B A c b a 14．解：由251
sin 2sin -
=-B A 得25
122sin 22cos 2-=-+B A B A ① 由257cos 2cos =
-B A 得25
722sin 22sin 2=-+-B A B A ②
②÷①得72
2tan =+B A 又A+B=π－C ∴2A+B=A+A+B=π+A －C
则72
tan
=-+C
A π即712tan 72cot =-∴=-C A C A 则.24
72
2tan
12tan 2)tan(=---=-C A C A C A
15．解：（I ）23sin 21==A bc S Θ2
360sin 221=︒⋅∴b 得b=1。

由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=
360cos 2122122
=︒⋅⋅-+=∴a
则3=a ．
（Ⅱ）由正弦定理及acosA=bcosB 得sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A=π－2B 即A=B 或A+B=
2
π
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。