沿河二中高三新课标考试(文)

沿河二中高三新课标考试 文科数学试卷一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、sin sin αβαβ≠≠是的A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 2、在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，3=⋅→→AC AB ，则ABC ∆的面积为A ．1B ．2C ．3D ．23 3、定义运算：2*b a b a +=，}{}{,3,,1,4,2==B A 且B b A a ∈∈,,则a*b=( )A. }{19,17,7,5B. }{49,25,9C. }{13,11,5,3D. }{7,5,3 4、下面四个命题：①若直线a ∥直线b ，则a 平行于b 所在的平面；②若直线l ⊥平面α内无数条直线，则l ⊥平面α； ③若直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交；④若α内存在不共线三点到β的距离相等，则平面α∥平面β； 其中错误．．的．命题有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．.2 D ．35、已知圆O 的方程为3)2()1(22=++-y x ,直线l 的方程为3=+y x ,则直线和圆的位置关系是（ ）A ．相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定 6、在正方体1111D CB A ABCD -中，二面角D ACD --1的正切值为A ．1B ．2C ．22D ．2． 7、函数1cos sin 2sin cos 22++-=x x x x y ，则该函数（ ） A ．最小正周期为π2 B ．最小值为-1 C ．是奇函数 D ．最大值为21+8、已知312.0=a ，32)51(=b ，313.0=c ，则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >> 9、已知数列)(12*N n a s n n ∈-=，则=5s ( )A. 31B. 30C. 28D. -31 10、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且3)1(=-f ,函数2)()(+=x f x g ,则)1(g 的值为（ ）A. 1B. 5C. -1D. -511、已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若021=⋅PF PF ，21tan 21=∠F PF ，则此椭圆的的离心率为A ．35B ．21C ．32D ．3112、按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是（ ）A ．6B ．21C ．156D ．231二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知i iz+=-221，则复数z 在复平面上对应的点在第 象限 14．已知点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，正OAB ∆图为'''O A B ∆，则点'B 到边''O A 的距离为 . 15. 已知)6,(),2,1(-==→→x b a ，则x 的值为16. 已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、已知等比数列{}n a ，22a =，5128a = （10分）（1）求通项n a ；（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且360n S =，求n 的值.18、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且3π=A ． （12分）（Ⅰ）求bca b c c b 2-+的值；（Ⅱ）当ABC ∆的面积为34，且48222=++c b a 时，求a ．19、某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （12分） （Ⅰ）请先求出频率分布表中x 、y 的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？20、黄岩岛（图2中O 点位置）是中国固有领土，是中国中沙群岛中惟一露出水面的岛礁，它在中沙环礁B 的南偏东60º方向，距中沙环礁约160海里．某日，在黄岩岛附近作业的中国渔船遭到菲编号分组 频数 频率 第1组 [160,165） 5 0.050 第2组 [165,170） x 0.350 第3组 [170,175） 30 y 第4组 [175,180） 20 0.200 第5组 [180,185） 10 0.100 合计 100 1.000律宾军舰的骚扰，通过北斗定位系统，渔船迅速将情况报告了在南海巡航的中国渔政310船，渔政310船决定迅速赶往出事地点进行执法．此时，某观测卫星A 在中沙环礁B 的正上方，测得黄岩岛O 的俯角为68.20º，测得渔政船C 的俯角为63.43º，并在黄岩岛O 的北偏东60º方向上． （12分） （Ⅰ）计算渔政船离中沙环礁的距离；（Ⅱ）渔政船以25海里/时的速度直线行驶，能否在3小时内 赶到出事地点？(参考数据：sin 68.200.93,tan 68.20 2.50,︒≈︒≈sin 63.43︒≈0.90,tan 63.43 2.00︒≈3.62≈3.61≈）21、已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+． （12分）（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．22、已知函数22()ln (0),f x x a x x x=++> （12分） （Ⅰ）若函数y =()f x 的图象在1x =处的切线l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；AOCB图2参考答案一、选择题：1-4 BDCD 5-8 CADC 9-12 ACAD 二、填空题 13、四 14、4615、-3 16、4 三、选择题：17、（1）212a a q == ，451128a a q ==31164,4,2q q a ∴=∴==112311422n n n n a a q ---∴==⋅= …………………………5分 （2）2322log log 223n n n b a n -===- 1[2(1)3](23)2n n b b n n +-=+---= {}n b ∴是以11b =-为首项，2为公差的等差数列，(123)3602n n nS -+-∴== 223600n n ∴--=，20n ∴=或18n =-（舍去） 20n ∴= (10)18、解：（Ⅰ）余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ………2分12222=-+=-+⇒bca cb bc a b c c b ………5分 (Ⅱ)由（1）知ac a c b =-+222又由ABC ∆面积为⇒31634sin 21=⇒=bc A bc ………6分故16222=-+a c b ① (9)又48222=++c b a ②由①、②两式得162=a ，又40=⇒>a a (12)19、解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数x =0.3510035⨯=人, …… 1分 第3组的频率为300.300100=, ……… 2分 频率分布直方图如下: ……… 5分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为：第3组:306360⨯=人, ……… 6分 第4组:206260⨯=人, … …… 7分 第5组:106160⨯=人, ……… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（Ⅲ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C …………… 10分第4组至少有一位同学入选的有:11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9种可能。

所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155=………… 12分 20、解：（1）依题意：160BO =海里，AB BOC ⊥平面，68.2063.436060120AOB ACB BOC ∠=︒∠=︒∠=︒+︒=︒，，. 2分 在Rt ABO ∆中，tan 68.201602.50400AB BO =⋅︒≈⋅=（海里）， 4分在Rt ABC ∆中，200tan 63.43ABBC =≈︒（海里），故渔政船离中沙环礁的距离约为200海里. 6分 （2）设OC x =（海里），在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos ,BO OC BO OC BOC BC +-⋅⋅∠=即22211602160()200,2x x +-⋅⋅-=化简得2160144000,x x +-= 10分解得：80x =-±，因为x >0，所以8040 3.618064.40x =≈⨯-=（海里）.64.425 2.5763÷=< ，故可以再3小时内赶到出事地点. 12分21、解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， 1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， 2分所以3a =，c =分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . 4分 （Ⅱ）不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， 5分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， 6分同理可得2219327nn x +-=， 7分 所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， 8分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， 9分 设21≥+=nn t ，则22236464899t S t t t==≤++， 11分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. 12分22、（Ⅰ）'22()2(0)a f x x x x x=-+> ， 1分()'122,1af a ∴=-+=又()13f =， 2分∴切线l 的方程为3(1),y a x -=-即3y ax a =-+. 3分 切线l 在两坐标轴上的截距相等，故①当直线l 过原点时，30,3;a a -+== 4分 ②当直线l 不过原点时， 1.a =-所以31a =-或． 5分(Ⅱ)由()22ln f x x a x x=++，得()'222a f x x x x =-+若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立. 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立 7分令22()2x x xϕ=-，上述问题等价于max ()a x ϕ≥. 10分而22()2x x xϕ=-为在[1,)+∞上的减函数，则max ()(1)0x ϕϕ==， 于是0a ≥为所求 12分。