9-弹性力学-第6章6-7至6-11
弹性力学-06温度应力
T W 2 a T t c
a —— 称为导温系数。
T 2 a T t t
a c
—— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
§6-3
热传导微分方程：
温度场的边值条件
或
T 2 W T t c c
1. 初始条件
一般形式：
T W 2 a T t c
(t )
( C )
绝热温升率： t
—— 绝热温升 关于时间的变化率 混凝土硬化发热期热传导方程的简化： 由于混凝土试块不大，且处于绝热 情况下，所以可近似认为试块内的温度 分布是均匀的，即温度只随时间而变化， 而不随坐标而变化，即
2T 2T 2T 2T 2 2 2 0 x y z
用
dQ dt
表示。
热流密度或热通量： 通过等温面单位面积的热流速度，用 q 表 示热流密度的大小，则有
dQ q /S dt
热流密度的矢量表示：
dQ q n0 /S dt
n0 为温度梯度方向的单位矢量。
“－”表示热流密度的矢量表示q 的方向 总是与温度梯度的方向相反。即：热量 总是由高温面传到低温面。
弹性力学与有限元完整版
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x
y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。
2－14 见教科书。
2－15 2－16 见教科书。
见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学第6章
Because of the complexity of the elasticity field equations, analytical closed-form solutions to fully three-dimensional problems are very difficult to accomplish. Thus, most solutions are developed for reduced problems that typically include axisymmetry or two-dimensionality to simplify particular aspects of the formulation and solution. We now wish to examine in detail the formulation of two-dimensional problems in elasticity. Our initial formulation will result in a boundary-value problem cast within a two-dimensional domain in the x,y-plane using Cartesian coordinates. This work will then be reformulated in polar coordinates to allow for the development of important solutions in that coordinate system. Because all real elastic structures are three-dimensional, the theories set forth here will be approximate models. The nature and accuracy of the approximation depend on problem and loading geometry. Although four different formulations are developed, the two basic theories of plane strain and plane stress represent the fundamental plane problem in elasticity. These two theories apply to significantly different types of two-dimensional bodies; however, their formulations yield very similar field equations. It will be shown that these two theories can be reduced to one governing equation in terms of a single unknown stress function. This reduction then allows many solutions to be generated to problems of engineering interest, and such solutions are presented in the following chapter.
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹性力学-09
式中：
2 2 2 2 2 2 x y z 2
（9-2）
—— 空间问题的 Laplace 算子
用位移表示的平衡微分方程
应力边界条件：
us u vs v ws w
l xy s m y s n zy s Y
按位移求解空间问题 无限大弹性层受重力及均布压力 空心圆球受均布压力 位移势函数的引用 拉甫位移函数及伽辽金位移函数 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体在边界上受切向集中力 半空间体在边界上受法向分布力 两球体之间的接触压力 按应力求解空间问题 等截面直杆的纯弯曲
§9-1
按位移求解空间问题
—— 基本方程
E 1 e ur 2 ur 2 Kr 0 21 1 2 r r E 1 e 2 w Z 0 21 1 2 z
（9-4）
—— 用位移表示的轴对称问题的平衡微分方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
平衡微分方程的位移表示： 将几何方程代入物理方程（8-19），有：
w v u yz x y z E u E w v x x e yz 1 1 2 x v 21 y z u w zx y （8-9） y u z x E v E w y e zx w v u （9-1） 1 1 2 y z 21 z x xy z v x u y E w xy z E e 21 x y 1 1 2 z E E x e x yz yz 2 1 2 1 1 u v w 其中： e E E x y y zx zx （8-19） z e y 2 1 1 1 2 将方程（9-1）代入平衡微分方程（8-1），并整理可得： E E z e z xy xy 2 1 1 1 2
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
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1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
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在 V上
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
2024版弹性力学
•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。
约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。
外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。
0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。
在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。
应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。
在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。
位移关系位移是物体上某一点位置的改变。
在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。
对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。
对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。
此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。
弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。
选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。
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§6-10 计算实例
为了更好地了解有限单元法在求解弹性力学问题上的应用情 况，取以下三个较典型的算例（采用三角形单元）进行分析： 1. 楔形体受自重及齐顶水压力。
2. 简支梁受均布荷载。
3. 圆孔附近的应力集中。 在整理应力成果时, 采用三角形单元时应注意： (1)采用两单元平均法和绕结点平均法的应力成果比较接近，
（3）三角形三个内角最好较接近 误差分析发现，应力及位移的误差都和单元的最小内角的正弦 成反比，因此，只要有可能，应使三角形得三个内角大小比较 接近。
（4）利用对称性和反对称性
利用对称性，可以只要对研究对象的1/2甚至1/4进行计 算，大大减少计算工作量。 （5）厚度突变之处和材料不同之处 厚度突变和材料不同之处不仅要取较 小的计算单元，同时要把突变线作为 单元的界线（不要使突变线穿过单 元），因为在对每个单元进行分析时， 曾假定单元的厚度t是常量，弹性常数 E和 µ 也是常数。
但前者的精度略好于后者。
(2)边界面的应力, 宜采用向外插值的方法求出。
2. 简支梁受均布荷载
1. 楔形体受自重及齐顶水压力
3. 圆孔附近的应力集中
楔形体受自重及齐顶水压力
y
如图示，取有限长（10m）坝体， y=0处位移为已知条件，进行有 限元计算。
E= 2x1010Pa, µ=0.167, 坝体1m （作为平面应力问题），自重 p=2.4x104N/m, 水的密度 ρ=103kg/m3
为提高应力精度，解决其波动性问题，可采取以下应力成 果整理方法：1)绕结点平均法； 2)两相邻单元平均法。 1)绕结点平均法
边界线
E 1 A 0 B D F C
2
3
4
1 ( x )1 [( x ) A ( x ) B ( x )C ( x ) D ( x ) E ( x ) F ] 6
考虑结构的约束条件后, 从式(c)求出 δ ,就可 以求出各单元的位移函数和应力。
§6-8 解题的具体步骤 单元的划分
在应用有限单元法求解问题时， 计算工作量是很大的，因此，必 须利用事先编好的计算程序，在 电子计算机上进行计算。
有限单元法的具体计算包括以下4大步骤
（1）划分单元网格，对单元和结点编号。 （ 2）选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。 单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则 会使三角形的面积出现负号等问题。 （3）使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单 元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。 （4）对成果进行整理、分析。 对第1步和第4步的工作，也尽可能由计算机完成，以减少 人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。
e
, n)
b
其中, ijm是单元结点的局部编号; i=1, 2 ,…, n是其整体编号。 将式(b)按整体结点编号排列,得整个结构的平衡方程组。
Kδ FL .
其中，
c
分别为
δ (δ1 δ2 δn )T , FL (FL1 FL 2 FLn )T , K
整体结点位移列阵，整体结点荷载列阵和整体劲度矩阵。
a
其中
e
是对围绕i 结点的单元求和。
对某一个单元ijm， Fi 代入式(a)，可表示为
n i , j , m
k in δ n ,
(
e
n i , j , m
k in δ n ) FLi 。 (i 1, 2,
e
, n)
b
(
e
n i , j , m
k in δ n ) FLi 。 (i 1, 2,
§6-9 计算成果的整理
在FEM中，位移的精度较高，其误差量级是 o(x )，即与单 元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是 o(x) ，即与单元 的大小成正比。
2
对于结点位移的成果，不需整理就可以直接采用。
三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低， 而且还产生了所谓应力的波动性。
• 应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。这是由于 计算出的应力的精度较低。假设Ⅰ单元的应力成果为 ， 其中 为真解， 为误差。则 由于在结点都列出了平衡方 程并令其满足，从而使相邻的Ⅱ单元的应力趋近于 。这 就产生了应力的波动性。
表中所列有限元解的应力值，是位于考察点（图中黑点）上方 和下方的两单元中的sy的平均值。 边界考察点x=0处的有限元解由x=0.35,1.05和1.75处的解通过 插值得到为-3.75x104Pa,与函数解的误差为-0.52x104Pa。 边界考察点x=6.3处的有限元解由x=4.55,5.25和5.95处的解通 过插值得到为-18.22x104Pa,与函数解的误差为0.13x104Pa。
为了提高应力精度，可采用两种方法： 一是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。 二是可以采用较多结点的单元，并使位移模式中包含 一些高幂次的项，从而提高位移和应力的精度。
随着大容量、高速度计算机的诞生，有限单元法计算 软件有了长足发展。大型有限元计算软件功能越来越强 大，计算所需的时间越来越短，计算结果的精度也越来 越高，其工程应用范围正变得越来越广。
表中所列节点对应图中的小圆圈，在边界上x=0及x=6.3处，节 点平均应力的表征性是比较差的，与函数解的误差较大。 相反，如果边界考察点x=0处的有限元解由x=0.7,1.4和2.1处的 解通过插值得到则为-3.77x104Pa,与函数解的误差为0.54x104Pa。 而边界考察点x=6.3处的有限元解由x=4.2,4.9和5.6处的解通过 插值得到为-18.24x104Pa,与函数解的误差为0.11x104Pa。
2. 按变分法导出有限单元法基本方程
经典变分法的核心内容： 对于平面问题，弹性体中的内力势能U和外力势能V表示为：
V (dT f P t dT f dst dT fdxdyt ). s A 1 U ε Tζdxdyt , 2 A
单位厚度上作用的集中力， 作用点（x,y) 面力 体力
sy（y=1m，绕节点平均法），104 Pa
考察点 x/m 有限元 函数解 误 差 0 -4.35 -3.23 -1.12 0.7 -5.3 -4.91 -0.39 1.4 -6.84 -6.59 -0.25 2.1 -8.39 -8.28 -0.11 2.8 -9.96 -9.96 0 3.5 -11.55 -11.64 0.09 4.2 -13.17 -13.32 0.15 4.9 -14.82 -14.99 0.17 5.6 -16.51 -16.67 0.16 6.3 -17.73 -18.35 0.62
6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程
§6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组
有限元的分析步骤一般是从单元的结点位移→求位移分布 →求应变→求应力→求结点力。 在针对单元进行分析时， 一方面将单元上的外力荷载都向 节点移置而成为节点荷载： FLe (FLi FLj FLm )T 另一方面求出节点与单元间的相 互作用力： 节点对单元的作用力是节点力
1 ( x ) 2 [( x )C ( x ) D ] 2
1 0
A
B C
2
如果内节点1,2,3等的光滑连线与边界相交于o点，o点处的应 力可由上述几个内节点处的应力用插值公式向外推算得到。
注意
如果相邻的单元具有不同的厚度或不同的弹性常数， 在在理论上应力应该有突变，因此不能进行应力的平均 计算，以免失去这种应有的突变。
F e (Fi Fj Fm )T
单元对节点的作用力是节点力 的负值。
假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元 对i 结点有结点力( Fi )的作用,也有外荷载移置的结点荷载 ( FLi )的作用。 • 结点i 的平衡条件为
F F
i e e
Li
,
(i 1, 2, , n)
单元划分注意事项
（1）单元大小问题 一般而言，单元尺寸越小，计算结果越准确。但单元越多， 计算时间也越长、要求的计算机容量也越大。因此，对于 大型工程而言，应在计算机容量的范围内，根据合理的计 算时间，考虑工程对结果精度的要求，综合确定单元尺寸。
（2）单元在不同部位的合理布置问题 对于不同部位的单元，可以采用不同的大小，也应当采用 不同的大小。在边界比较曲折的部位，以及应力和位移变 化比较剧烈的部位，单元尺寸应该取小一些。如果位移和 应力变化情况不易预估，可以先用较均匀的单元进行试算， 然后根据试算结果重新进行单元划分和计算。
上堂课主要内容
有限单元法的概念及基本方程
单元的位移模式与解答的收敛性 单元的应变列阵和应力列阵 单元的结点力列阵与劲度矩阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
本堂课
第六章 有限单元法解平面问题 （二）
6-7 结构的整体分析 节点平衡方程组 6-8 解题的具体步骤
6-9 计算成果的整理 6-10 计算实例
10m
x o 7m
用二单元平均法整理y=1m的 截面上的sy,结果如下表：
sy（y=1m，二单元平均法），104 Pa
考察点 x/m 有限元 函数解 误 差 0 -3.75 -3.23 -0.52 0.35 -4.52 -4.07 -0.45 1.05 -6.07 -5.75 -0.32 1.75 -7.62 -7.44 -0.18 2.45 -9.17 -9.12 -0.05 3.15 -10.75 -10.80 0.05 3.85 -12.35 -12.48 0.13 4.55 -13.99 -14.15 0.16 5.25 -15.66 -15.83 0.17 5.95 -17.36 -17.51 0.15 6.3 -18.22 -18.35 0.13
§6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程
有限单元法基本方程可由静力法或变分原理法进行推导。