弹性力学与有限元分析试题及参考答案
有限元的考试试的题目及问题详解——第一组
有限元考试试题与答案一、简答题〔5道，共计25分〕。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的根本步骤有哪些？〔5分〕答：〔1〕选择适当的单元类型将弹性体离散化；〔2〕建立单元体的位移插值函数；〔3〕推导单元刚度矩阵；〔4〕将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；〔5〕代入边界条件和求解。
2.在划分网格数一样的情况下，为八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？〔5分〕答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。
3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？〔5分〕答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。
4.有限元空间问题有哪些特征？〔5分〕答：〔1〕单元为块体形状。
常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。
〔2〕结点位移3个分量。
〔3〕根本方程比平面问题多。
3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
〔5〕分〕答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；〔4〕用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题〔3道,共计30分〕。
1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
〔10分〕答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；〔4〕用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
弹性力学及有限元法答案下载
弹性力学及有限元法答案下载一、是非题（下列各题，你认为正确的，请在题干的括号内打“√”，错的打“×”。
每题3分，共12分）1、按应力求解平面问题时，若应力分量满足平衡方程，且在边界上满足应力边界条件即为正确解答。
…………………………………………………………………………………………（）2、图示弹性体在两种荷载作用下，若lh，则A点的应力分量是相同的。
…………………（）3、用有限单元法求解平面应力问题时，单元刚度矩阵的子块kij的物理意义是：仅当第j个结点沿坐标正向发生x或y方向的单位位移，在i结点处引起的沿x或y 方向的结点力。
……（）4、等厚度旋转圆盘以等角速度ω旋转时，该问题应属平面应变问题。
……………………（）二、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内。
多选不给分。
每题材5分，共15分）1、图示半平面体受集中力P作用，其应力边界条件为………………………………………（）①θ＝0，π，σθ＝σr＝0 ②θ＝0，π，σθ＝τθr ＝0③θ＝0，π，r≠0，σθ＝τθr＝0 ④θ＝0，π，r≠0，σθ＝τθr＝02、铅直平面内正方形薄板，边长为2a，周长固定，只受重力作用。
用瑞次法求解，其位移表达式应为…………………………………………………………………………………………（）3、不计体力，图示弹性体的应力函数为………………………………………………………（）①υ＝τ0xy－(qy3)/6b ②υ＝τxy＋(qy3)/6b③υ＝－τ0xy－(qy3)/6b ④υ＝－τxy＋(qy3)/6b三、填空题1、（3分）按应力求解平面问题。
若认应力函数υ＝ax5y＋bxy5（a、b 不等于零），则系数b、b应满足关系（）。
2、（4分）已知一点应力状态为σx ＝100，σy＝50，τxy＝10，则σ1＝（），σ2＝（）。
3、（3分）图示薄板，设其厚度t＝1。
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.建立平衡微分方程时，用到了下列哪些假定（）、（）。
参考答案:连续性_小变形2.有限单元法中的单元仍然满足（）、（）、（）、（）的理想弹性体。
参考答案:完全弹性_均匀性_各向同性_连续性3.应力边界条件是指在边界上（）之间的关系式。
参考答案:应力与面力4.面力是指分布在物体的力。
参考答案:表面上##%_YZPRLFH_%##表面5.位移是指一点的移动。
参考答案:位置6.线应变（或正应变）以为正。
参考答案:伸长7.极坐标系下的几何方程有（）。
参考答案:3个8.极坐标系下的平衡微分方程有（）。
参考答案:2个9.应力是指上的内力。
参考答案:单位面积##%_YZPRLFH_%##单位截面10.地面的沉陷与地基的弹性模量无关。
（）参考答案:错误11.弹性力学问题中，仅对位移分量要求单值。
（）参考答案:错误12.在小边界上按圣维南原理列写的三个边界条件是方程。
参考答案:代数##%_YZPRLFH_%##积分13.在大边界上按精确的应力边界条件，列出的两个边界条件是方程。
参考答案:函数14.精确的应力边界条件可理解为，边界上的应力分量应等于对应的。
参考答案:面力分量15.当体力为常量时，按应力求解可简化为按求解。
参考答案:应力函数16.常体力，是指。
参考答案:体力是常量##%_YZPRLFH_%##体力等于常量##%_YZPRLFH_%##体力为常量17.体力是指分布在物体的力。
参考答案:体积内##%_YZPRLFH_%##体积18.在弹性力学中，可以应用叠加原理。
参考答案:正确19.逆解法先假设应力分量的函数形式进行求解。
参考答案:错误20.应力的量纲与面力的量纲是一样的。
参考答案:正确21.弹性力学中应力的符号与面力的符号规定，在正、负坐标面上是一致的。
参考答案:错误22.弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定是一样的。
参考答案:错误23.小变形假定可简化（）、（）为线性方程。
弹性力学与有限元法习题集.. 共72页
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
2019/7/20
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8.下图示梁作用有分布载荷q (x)，体力忽略不计，已知 ，其中 M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡 方程式，求应力 。6. 题答案由：源自xu x，
y
v y
2x 2y 2xy
y2 x2 yy
，
xy
v x
u y
x 2u
y xy
，
2 x 3u
y2 xy2
y 2v
x xy
，
2 y
x 2
3v yx 2
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2x
y2
2x2y
2xy
xy
2019/7/20
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为，x4q a3x3y2x3y5 6a2xy，y qx4ya33 34ay12
弹性力学与有限元法习题集 与参考答案
2019/7/20
单丽君
大连交通大学
2009年10月
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第一章 第二章
第三章
参考试卷
第四章 第五章
2019/7/20
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第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
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x y 2 1 E x y 2 1 E 8 q 3 3 a 2 a 2 x y 2 1 5 a 4 y 4 5 6 a 2 y 2
弹性力学与有限元分析试题及其答案
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243⑤ IV 单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
弹性力学有限元考试试卷及答案(AB卷)
2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试A卷授课班号年级专业学号姓名一、判断正误（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形（√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小二、填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
（3分）2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。
（3分）3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
（3分）4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
（2分） 5．薄板弯曲问题每个节点有个3自由度，分别是：w 、θx 、θy ，但其中只有 一个是独立的，其余两个可以用它表示为：,x y w wy xθθ∂∂==-∂∂。
（3分） 6．用有限元程序计算分析一结构的强度须提供（4分） ① 几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等 ② 材料信息：弹性模量，泊松比，密度等 ③ 约束信息：固定约束，对称约束等④ 载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等7．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
弹性力学有限元分析题
有限元分析练习1.如图所示为一简支梁，高0.6m，宽0.3m，长3m，承受均布荷载15kN/m,弹性模量为E=20X1010Pa,泊松比为μ=0.3。
(1)试将其看着平面应力问题进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
(2)根据有限元计算结果，分析梁的弯曲变形是否符合平截面假定？将高度分别变为2m，0.5m,又如何？(3)如何提高该梁的有限元计算精度，请对比分析。
2.如图所示为一简支梁，高0.5m，宽0.3m，长2m，梁顶面承受均布荷载10kN/m,梁一侧受到集中荷载作用大小为10kN，另一侧受到均布荷载作用为20kN/m.弹性模量为E=3X1010Pa,泊松比为μ=0.2。
（1）分别计算在横向荷载和轴向荷载单独作用下梁的应力、应变和位移情况，并对结果进行讨论分析。
（2）计算在横向和轴向荷载共同作用下，梁的应力、应变和位移情况，并于仅受到横向荷载作用下梁的计算结果进行对比分析。
（3）如何提高梁的有限元计算精度，并对比分析。
3.下图表示一块带圆孔的方板，在x方向受到均布压力80kN/m。
方板边长为0.6m，厚度为0.03m，圆孔的半径为0.02m。
方板的弹性模量为E=2X1011Pa，泊松比为μ=0.3.（1）试进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
（2）如何提高本题有限元计算精度，并对比分析。
（3）如果把圆孔改为边长为0.02m的正方形，是比较两者应力集中程度。
4. 下图表示一块带圆孔的方柱，在x 方向受到均布压力100kN/m 2。
方板边长为0.5m ，圆孔的半径为0.02m 。
方板的弹性模量为E=2X1011Pa ，泊松比为μ=0.2. （1） 假设厚度为无限大进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
（2） 如何提高本题有限元计算精度，并对比分析。
（3） 如果把圆孔改为边长为0.02m 的三角形，是比较两者应力集中程度。
5. 下图为带圆孔的方板，在x 方向受到均布压力120kN/m ，在y 方向受到均布压力为60kN/m 。
弹性力学与有限元法习题集
' yx dx
0
' yx
dM dx
S
* 2
I
Q(x) I
n 2 y
y1
dy1
Q(x) I
(n2 4
y2 ) 1 Q(x) (n2 2 2I 4
y2)
2019/7/29
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由剪应力互等定理，
yx
' yx
Q(x) (n2 2I 4
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1. 有限单元法的含义？ 答：用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插
值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。连续体的单元是 各种形状（ 如三角形、四边形、六面体等 ）的单元体。
2.有限元法的解题思路？ 答（1）网格划分； （2）单元分析；（3）整体分析。
3.有限元法的优点？ 答（1）物理概念清晰，便于入门；
13. 已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2， 2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm 及单 元的应变矩阵。
2019/7/29
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14. 图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设
1 6
试求：
（1）形态矩阵[N]； （2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S]; （3）单元刚度矩阵[k]e
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2019/7/29
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为， x
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按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量 ， ， ，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。
简写为
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
简写为
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求解。
下边， ， ， ， ， ；
左边， ， ， ， ， ；
右边， ， ， ， ， 。
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数 能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设 。由此可知
而 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
，
将 的表达式代入，则有
由此可得
， ， ， ，
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。
8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 ， ，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为， ， ， ，试导出相应的相容方程。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x，y的任意性，得
由此解得， ， ，
3、已知应力分量 ， ， ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量 ， ， ，代入平衡微分方程
可知，已知应力分量 ， ， 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
2.3直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重 ，三角形平面构件容重 ,取泊松比 =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。
解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
下边， ， ， ， ， ；
左边， ， ， ， ， ；
右边， ， ， ， ， 。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数 能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。
根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得
，
同样，将第二个方程改写为
（1分）
可见也一定存在某一函数B（x，y），使得
，
由此得
因而又一定存在某一函数 ，使得
，
代入以上各式，得应力分量
， ，
为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数 必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 ， ， 应当满足平衡微分方程
（1分）
还应满足相容方程
（对于平面应力问题）
（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为
，
这两个方程要求
，
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
对应应力分量为
以上常数可以根据边界条件确定。
左边， ， ， ，沿y方向无面力，所以有
右边， ， ， ，沿y方向的面力为q，所以有
上边， ， ， ，没有水平面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
将 的表达式代入，并考虑到C=0，则有
建立坐标
（1）求形函数矩阵：
图（2.14）
形函数:
所以：
形函数的矩阵为：
（2）刚度矩阵
可得：
（3）位移列向量和右端项
由边界条件可确定：
水压力和构件厚分别：
自重为W与支座反力：
所以：
由 得到下列矩阵方程组：
化简得：
可得：
将 代入下式：
固定面上的反力：
从而可得支座反力为：
这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即