弹性力学及有限元
弹性力学基础及有限单元法
第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。
实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。
根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。
这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。
钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。
木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。
同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。
在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。
在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。
也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。
物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。
若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。
上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。
弹性力学与有限元的关系
弹性力学和有限元关系：
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。
这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。
通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。
这种函数称为位移模式或位移函数。
(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述
有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。
弹性力学与有限元完整版
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学与有限元分析试题及其答案
一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
弹性力学与有限元完整版ppt课件
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
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UX ROTX
结构 DOFs
有限元原理简介—节点和单元
节点自由度是随 单元类型 变化的。
J J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
I L
I
K 二维或轴对称实体单元 UX, UY I L J K
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
I P
J O N K P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L I N K J O 三维实体热单元 TEMP
M
L I
J
有限元原理简介—信息传递
Training Manual
静态问题
Ku P
– 计入边界条件后可对方程求解。
有限元分析的基本流程
建立几何模型
亦可直接 建立有限 元模型。 （直接建 立单元和 节点）
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
前 处 理
设定属性（单元类 型，材料属性，实 常数，截面属性„）
网格划分（离散）
.
单元
.
有限元列式
• 有限元列式
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
– 通过节点量的平衡关系和能量关系方程式， 然后将各单元方程集成为总体代数方程组，
Cu Ku P Mu
M － 质量矩阵 C － 阻尼矩阵 K － 刚度矩阵 P － 载荷矩阵 u － 节点位移矩阵
• 有限元原理简介
有限元原理简介—什么是有限元分析? • 有限元分析
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
– 一种模拟在确定荷载条件下结构响应的方法。
历史
• 结构分析有限元法是1950年至1960年期间，由学术 界和工业界的研究人员建立起来的。 • 有限元的基本理论已有100年之久，目前已经非常成 熟。
Training Manual
P=100N
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
得不到解析解的工程问题怎么办？
b=20mm
h=40mm
引言—分析一个工程问题
Training Manual
那么我们可以依据数值计算方法得到近似解
有限单元法就是一种近似解法，是目前工程 领域内最常用的数值计算方法。
求解精度。
有限元原理简介—单元形函数（续）
线性近似
二次分布
Training Manual
(不理想结果)
真实的二次曲线
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
1
.
线性近似
.
(较理想的结果)
真实的二次曲线
2
.
节点 单元
.
二次近似 (接近于真实的二次近 似拟合) (最理想结果)
.. . . .
静态问题
Ku P
– 计入边界条件后可对方程求解。
有限元原理简介—有限元分析的基本流程
建立几何模型
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
前 处 理
设定属性（单元类型， 材料属性，实常数，截 面属性„）
亦可直接建 立有限元模 型。（直接 建立单元和 节点）
建立几何模型
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
设定属性（单元类型 ，材料属性，实常数 ，截面属性„）
亦可直接建 立有限元模 型。（直接 建立单元和 节点）
网格划分（离散）
• 在演示实例之前先介绍 软件界面
– 目的：
• 让大家更好的体会这一 流程
施加载荷
有限元原理简介—什么是有限元分析?
Training Manual
• 采用包含有限个未知量的有限单元模型近似模 拟具有无限未知量实际系统的响应。
– 所以问题是：怎样才能达 到最好的“近似”？ – 然而，这个问题的影响因 素很多。这依赖于你所模 拟的对象和模拟方式等等 。当然，只要仿真分析的 每一步都可控，我们就会 得到准确的结果。 – 在这次培训中，我们的目 标就是仿真分析每一步均 可控。
信息是通过单元之间的公共节点传递的
2 nodes
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
. .
A
. .
. .
B
1 node
. .
.
.
A
.
B
.
.
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
有限元原理简介—单元形函数 单元形函数—插值
3
节点 单元
. .
4
节点 单元
.
有限元原理简介—有限元列式
• 有限元列式
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
– 通过节点量的平衡关系和能量关系方程式， 然后将各单元方程集成为总体代数方程组，
Cu Ku P Mu
M － 质量矩阵 C － 阻尼矩阵 K － 刚度矩阵 P － 载荷矩阵 u － 节点位移矩阵
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
• 模拟不适合在原型上进行试验的设计。
– 例如：器官移植，人造膝盖。
• 作用:
– 节省费用 – 节省时间—缩短产品开发周期! – 创造出更可靠的高品质的设计。
内
容
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
• 引言
Training Manual
• 有限元方法的本质
– 离散 用有限个状态变量描述整个材料响应 有限元的基本构成： • 节点（Node）：材料响应是通过
节点处的基本状态变量表征的。是 构成有限元系统的基本对象。 • 单元（Element）：单元由节点与 节点相连而成，单元的组合由各节 点相互连接。单元内的材料响应由 节点的基本状态变量和单元形函数 导出。不同特性的工程系统，可选 用不同类型的单元，ANSYS提供了 二百多种单元，故使用时必须慎重 选择单元类型。
施加载荷
求 解
对于 多载 荷步 分析
设定求解控制 求解
后 处 理
查看某一 时刻结果 （通用后 处理器）
查看某变 量随时间 变化的结 果（时间 后处理器）
Training Manual
有限元原理简介
内
容
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
• 引言
• 有限元原理简介
引言—分析一个工程问题
求一个一端固定、另一端施加100N 力的悬臂梁端点挠度。 由材料力学理论，此问题的解析为： 端点挠度δ = PL3/3EI = (-100)*(13)/(3)*(2e11)* 1.067e-7 = -0.0015625m =-1.5625mm 其中，截面惯性矩I =b*h3 *(1/12) =0.02*0.043 *(1/12) =1.067e-7m4
网格划分（离散）
施加载荷
求 解
对于 多载 荷步 分析
设定求解控制
求解
后 处 理
查看某一时 刻结果（通 用后处理器 ）
查看某变量 随时间变化 的结果（时 间后处理器 ）
有限元原理简介—有限元分析的基本流程
• 下面会演示一个实例
– 目的：
• 让大家对有限元分析流 程有感性的认识 • 展示有限元分析的准确 性 前 处 理
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
Ansys就是基于此方法发展起来的有限元软件
包。
端点挠度δ =-1.562mm 与理论解相对误差0.032%
有限元分析目的
Training Manual
为什么需要有限元分析？ • 减少模型试验
– 计算机模拟，容许对大量假设情况进行快速有效的 试验。
M
L I
J
Training Manual
节点和单元
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
.
.
A
.
. .
B
.
.
1 node
. .
.
B
.
.
.
A
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
求解微分方程
求解线性或非线性 方程组
Training Manual
基本状态变量
基本的状态变量 所有其它状态变量都是由 基本状态变量导出的
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
学科领域 结构 热 电 流体 磁
基本状态变量 位移，转角 温度 电位 压力 磁位
Training Manual
有限元原理简介
Training Manual
INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
材料的响应可以用状态变量描述
位移（场） 应变（场） 应力（场）
„„
一般地，状态变量是连续函数，求得状态变量解析解 需要求解微分方程，这对于复杂问题是不可能的。
有限元原理简介—物理场离散（有限元本质）