2021-2022学年吉林省四平市第一高一年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高一年级下册学期期初验收考试数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市高一下学期期初验收考试数学试题一、单选题1．已知集合， ，则=（ ）{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<A B ⋃A ．B ．{}|13x x <≤{}|04x x ≤<C ．D ．{}|13x x ≤≤{}|04x x <<【答案】B【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由， ，{}03|A x x =≤≤{}|14B x x =<<则=.A B ⋃{}|04x x ≤<故选：B2．是的2x >220x x ->A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．220x x ->【详解】由解得：或，，220x x ->0x <2x >{}{}202x x x x x ⊂>≠ 或因此，是的充分不必要条件，故选A ．2x >220x x ->【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；A B x A ∈x B ∈（2），则“”是“”的必要不充分条件；A Bx A ∈x B ∈（3），则“”是“”的充要条件．A B =x A ∈x B ∈3．已知函数则（ ）()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()2f f -=A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数，即可求出结果.()2f -【详解】因为，()21224f --==所以.()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭故选：D.4．函数的零点所在区间是（ ）()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定()f x 理判断零点所在区间.【详解】由递增，递增，则递增，又递增，2y x =-1()2xy =-21()2x y -=-y =∴在定义域上递增，()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭又，，()1111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭()210f =>∴零点所在区间是.()1,2故选：B.5．设，，，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ）2log 0.5a =0.5log 0.2b =122c =A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<b a c<<b<c<a【答案】B【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由，120.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2c a b =<=<==<=<<∴.a c b <<故选：B.6．函数的部分图象可能是（ ）()e e sin x x y x-=-A ．B ．C．D．【答案】B【分析】根据函数解析式，由奇偶性定义判断函数的对称性，再由上的函数值符号确定可()0,πx ∈能图象.【详解】令，则且定义()y f x =()()1()e e sin()(e )sin (e e )sin ()e x x x x x xf x x x x f x -----=--=--=-=域为R ，易知：该函数是偶函数，排除A ，C ；当时，，排除D.()0,πx ∈()0f x >故选：B ．7．2021年，我国先后发射天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据）3.14π≈A ．471.70B ．450.67C ．235.85D ．225.33【答案】A【分析】由题设以千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.(388.66371.4)+【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为千米.()2388.66371.426760 3.14471.709090π⨯+⨯⨯≈=故选：A.8．已知则（ ）412cos ,cos ,,0,,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos()αβ+=A ．B ．C ．D ．1665336556656365【答案】D【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭式展开代入即可求出cos （α+β）．【详解】∵412cos ,cos ,,0,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴(,),(,0)66366πππππαβ+∈-∈-∴，sin 0sin 066ππαβ⎛⎫⎛⎫+>-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，35sin sin 65613ππαβ⎛⎫⎛⎫+==-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()cos cos 66ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．4123563cos cos sin sin ()666651351365ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，则B ．若且，则a b >c d <a c b d ->-0ab >a b >11a b<C ．若，，则D ．若，则0a b >>0c d <<ac bd <0a b <<22a ab b<<【答案】ABC【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，且，则，真命题；a b >c d ->-a c b d ->-B ：由且，则，真命题；0ab >a b >110b aa b ab --=<C ：由，，则，即，真命题；0a b >>0c d ->->ac bd ->-ac bd <D ：由，则，假命题.0a b ->->22a ab b >>故选：ABC.10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的定义域为()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．函数的最小正周期为()f x 4T =C ．函数的单调递增区间为，()f x 12π,2π33k k 5⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k ∈Z D ．函数的对称中心为，()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 【答案】AD【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A ；由三角函数的周期公式可判断B ；由正切函数的单调区间可判断C ；由正切函数的对称中心可判断D.【详解】由得，πππ232π+≠+x k ()12,3≠+∈x k k Z 所以函数的定义域为，故A 正确；()f x 12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 函数的最小正周期为，故B 错误；()f x 22T ππ==由得，ππ2232ππππ-+<+<+k x k ()512233-+<<+∈k x k k Z 函数的单调递增区间为，故C 错误；()f x 12,2335⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k k k ∈Z 由得,πππ232+=x k ()23=-∈x k k Z 所以函数的对称中心为，故D 正确.()f x 2,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z 故选：AD.11．已知，且满足，，则下列说法正确的是（ ）()0,θπ∈12sin cos 25θθ⋅=-sin cos θθ>A ．B ．C ．D ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4tan 3θ=-4tan 3θ=1sin cos 5θθ+=【答案】ABD【分析】由于，且满足，可得，再结合，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1θθ+=可求出的值，进而可求出的值sin ,cos θθtan θ【详解】因为，且满足，可得，所以A 正确，()0,θπ∈12sin cos 025θθ⋅=-<,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，22sin cos 1θθ+=所以，22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-=，222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+=所以，，()21sin cos 25θθ+=()249sin cos 25θθ-=因为，，sin cos θθ>sin 0,cos 0θθ><所以，，所以D 正确，1sin cos 5θθ+=7sin cos 5θθ-=所以解得，43sin ,cos 55θθ==-所以，所以B 正确，C 错误，sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD 12．函数的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，，设函数[]y x =[]1.11=[]2.32=则下列说法正确的是（ ）()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩A ．函数的值域为()f x (],0-∞B ．若，则0x ≥()0f x ⎡⎤=⎣⎦C ．方程有无数个实数根()1f x =D ．若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是()f x x a=-+[)0,∞+【答案】BD【分析】由题意可知，当时，，所以，作出函数[),1,x n n n N∈+∈[]x n =()[]f x x x x n =-=-和的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数()f x 1y =和函数的图象，由图象即可判断D 是否正确.()y f x =y x a =-+【详解】当时，，所以；[)0,1x ∈[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，所以；[)1,2x ∈[]1x =()[]1f x x x x =-=-当时，，所以；[)2,3x ∈[]2x =()[]2f x x x x =-=-当时，，所以；[)3,4x ∈[]3x =()[]3f x x x x =-=-……当时，，所以；[),1,x n n n ∈+∈N[]x n =()[]f x x x x n =-=-作出函数的图形，如下图所示：()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩由图像可知，函数的值域为，故A 错误；()f x (),1∞-由图像可知，若，则，所以，故B 正确；0x ≥()[)0,1f x ∈()0f x ⎡⎤=⎣⎦由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C 错误；()f x 1y =()1f x =在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：()y f x =y x a =-+由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是，故D 正()f x x a=-+[)0,+∞确.故选：BD.三、填空题13．命题“，”的否定是___________.R x ∃∈210x x -+>【答案】，R x ∀∈210x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式.【详解】由特称命题的否定为全称命题，∴原命题的否定为：“，”.R x ∀∈210x x -+≤故答案为：，.R x ∀∈210x x -+≤14．在平面直角坐标系中，已知角的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点，则xOy θ()1,2P -___________.sin θ=【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求值.sin θ【详解】由题设，sin θ==.15．已知是奇函数，当时，，则___________.()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈()8f -=【答案】256-【分析】先由奇函数的性质求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果(0)0f =m 【详解】因为是奇函数，当时，，()y f x =0x ≥()()83f x x m m R =+∈所以，得，83(0)00f m =+=0m =所以，，()83f x x=0x ≥因为是奇函数()y f x =所以，()8838(8)82256f f -=-=-=-=-故答案为：256-16．已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上单调递()kf x x x =+0k >()f x (减，在区间上单调递增，若函数的值域为，则实数a 的取值范围∞+）()11a y x x x -=+≥[),a +∞是___________.【答案】(,2]-∞【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当的大小关系，结合1a ≤1a >的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.()kf x x x =+[1,)+∞【详解】1、当时，在上递增，故，满足题设；10a -≤1a y x x -=+[1,)+∞1|x y a ==2、当，即，10a ->1a >，即时，函数在上递减，在上递增，故，1≥2a ≥)+∞|x y a=可得；2a =，即时，函数在上递增，故，满足题设；1<12a <<[1,)+∞1|x y a ==综上，.(,2]a ∈-∞故答案为：.(,2]-∞【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据的性质，结合目标函数的解析式及值域()kf x x x =+研究单调性及最值，即可求参数范围.四、解答题17．已知全集为R ，集合，或.{}12A x x =≤≤{B x x m =<}21,0x m m >+>(1)当时，求；2m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.R A B ⊆ m 【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；2m =B （2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.R B R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩【详解】（1）解：当时，或，2m ={2B x x =<}5x >又，所以；{}12A x x =≤≤{}12A B x x ⋂=≤<（2）因为或，所以，{B x x m=<}21,0x m m >+>{}R 21B x m x m =≤≤+又，所以，解得，即.R A B ⊆ 1221m m ≤⎧⎨≤+⎩112m ≤≤1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以实数m 的取值范围.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知.()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值.133f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)；()cos αα=f (2).59【分析】（1）利用诱导公式化简即可.()f α（2）由题设有，又、，再由诱导公式、同角1cos()33πα-=()326πππαα-=-+2()33ππαπα+=--三角函数的平方关系求目标式的值.【详解】（1）.()()()()()sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）由，1cos()333f ππαα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭又，1cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=-⎪⎝⎭π1cos 33α⎛⎫∴-=⎪⎝⎭∴.2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．已知函数（且）．()221f x ax x a =-+-a R ∈0a ≠(1)若函数在区间内为单调函数，求实数的取值范围；()f x []0,1a(2)若，解关于的不等式．0a >x ()()1f x a a x>+【答案】(1)或a<0102a <≤(2)()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用二次函数的单调性可得出或，解之即可；102a <112a ≥（2）将所求不等式变形为，比较与的大小关系，利用二次不等式的解()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1a a +1法解原不等式即可.【详解】（1）解：由题设，二次函数的对称轴为且，()f x 12x a =0a ≠所以要使在内为单调函数，则或，解得或．()f x []0,1102a <112a ≥a<0102a <≤因此，实数的取值范围是.a ()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦（2）解：由题设，，()()2221f x ax x a a a x=-++>+所以，()()22211110ax a a x a a x a x a ⎛⎫-++++=---> ⎪⎝⎭由，则，当且仅当时等号成立，所以．0a >12a a +≥=1a =11a a +>解可得或，()110a x a x a ⎛⎫---> ⎪⎝⎭1x <1x a a >+故原不等式的解集为.()1,1,a a ⎛⎫-∞++∞ ⎪⎝⎭ 20．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式及其对称轴方程；()f x (2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围和这两个根的1111212x ππ<<()2f x m =m 和．【答案】(1)，的对称轴方程为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 1,26x k k Z ππ=+∈(2)的取值范围为： ；当时，两根和为； 时，m 10m -<<1m <<10m -<<43π1m <<两根和为3π【分析】（1）由最值点可得，由可得，由可得；令2A =()01f =6πϕ=2332ππωϕ⨯+=2ω=，可得对称轴方程.2,62x k k Zπππ+=+∈（2）在同一坐标系中画出和的图象，由图可知，当或2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y 2m =220m -<<时，直线与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根.结合三角函22m <<y 2m =数的对称性，分两种情况讨论即可得结果.【详解】（1）显然，又图象过点，即2A =()0,1()01f =所以又，所以 1sin ,2ϕ=2πϕ<6πϕ=由图象结合“五点法”可知，对应函数图象的点，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,即得＝22332ππωϕ⨯+=23326πππω⨯=-ω所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2,62x k k Z πππ+=+∈1,26x k k Zππ=+∈所以的对称轴方程为()f x 1,26x k k Z ππ=+∈（2）如图所示，在同一坐标系中画出和（）的图象，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y m =m R ∈由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点，220m -<<22m <<2y m =即原方程有两个不同的实数根.，则的取值范围为：m 10m -<<1m <<当时，两根和为; 时，两根和为10m -<<43π1m <3π21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，2m k 2m 2m 该水生植物的面积y （单位：）与时间x （单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同2m 学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2021年元旦()0,1xy ka k a =>>()130,0y px k p k =+>>最初测量时间x 的值为0.(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)同学甲提出的函数模型更适合，解析式为，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)6【分析】（1）由于三月份面积增量快是二月份的2倍，所以选择，然后利用待()0,1x y ka k a =>>定系数法求解即可，（2）假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则由题意得x ，化简后两边取常用对数可求得结果21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适，()0,1x y ka k a =>>由题意得，解得，232440kaka ⎧=⎨=⎩5321625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，2165253xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为，216521625315⨯=假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即x ，21652161025315x⎛⎫⨯≥⨯ ⎪⎝⎭所以，55033x⎛⎫≥⎪⎝⎭所以，55lg 1lg33x ≥+因为，所以，5lg 03>1111 5.551lg 2lg 3lg 3x ≥+=+≈--所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上22．已知函数为偶函数.()()()3log 31R x f x kx k =++∈(1)求实数k 的值；(2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围.()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈【答案】(1)；12k =-(2).{3(0,)--⋃+∞【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得，有且仅有一个实数根，讨论、，结(31)0xa ->23(1)310x x a a ⋅-+-=0a >a<0合指数函数、二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，，即，()()f x f x -=33log (31)log (31)x xkx kx --++=++∴，可得，则.32log 3xkx x -==-21k =-12k =-（2）由题设，，则，()33log (31)log 322x x x xa a -++=+⋅-33log (31)log (31)x xx a +=+-∴，且，整理得，(31)0xa ->2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-23(1)310x x a a ⋅-+-=令，则有且仅有一个零点，，，3xt =2()(1)1g t at a t =-+-(0)10g =-<(1)20g =-<当时，， 此时，且开口向上，0a >0x >(1,)t ∈+∞()g t ∴在上有且仅有一个零点；()g t (1,)+∞当时，，此时，且开口向下且对称轴，a<00x <(0,1)t ∈()g t 11(1)2x a =+∴，即时，仅当，可得符合条件；1012a <+<1a <-22(1)4610a a a a ∆=++=++=3a =--，即时，在上无零点.110a +<10a -<<()g t (0,1)综上，.{3(0,)a ∈--⋃+∞【点睛】关键点点睛：第二问，注意，讨论、对应定义域区间不同，另外结(31)0xa ->0a >a<0合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。
2021-2022学年吉林省四平市第一高二年级上册学期开学考试数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足i 34i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．()3,4-B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()4,3-- 【答案】C 【分析】由题知34i 43i iz +==-，再根据几何意义求解即可. 【详解】解：由题知()2i 34i 34i 43i i i z ++===-， 所以，在复平面内，z 对应的点的坐标是()4,3-故选：C2．下列说法正确的是（ ）A ．四边形一定是平面图形B ．不在同一条直线上的三点确定一个平面C ．梯形不一定是平面图形D ．平面α和平面β一定有交线【答案】B【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误.【详解】解：对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A 错误;对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B 正确;对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C 错误; 对于选项D,若平面α和平面β平行,则其没有交线,故D 错误;故选:B.3．下列关于向量的说法中正确的是（ ）A ．向量()0a b λλ=≠且0b ≠，则向量a 与b 的方向相同或相反B ．若a b <，则a b <C ．若||||a b =，则向量a 与b 的长度相等且方向相同或相反D ．对任意的向量,,a b c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【答案】A【分析】根据向量的概念，数量积的运算律依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，向量()0a b λλ=≠且0b ≠，故向量a 与b 共线，且均为非零向量，故向量a 与b 的方向相同或相反，故A 选项正确；对于B ，向量的模有大小，向量不能比较大小，故B 选项错误；对于C ，||||a b =只能说明模相等，无法说明方向的关系，故C 选项错误；对于D ，向量数量积没有结合律，故D 选项错误.故选：A4．下列各组事件中，是对立事件的是（ ）A ．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心和方片B ．从装有2个白球和2个红球的盒子里摸两个球，这两个球都是白球和都是红球C ．一个射手进行一次射击，命中环数大于等于5与命中环数小于5D ．小李和小王下象棋，小李胜和败【答案】C【分析】根据对立事件的概念逐个分析可得答案.【详解】A 选项：还可能取到黑桃和梅花，属于互斥事件，但不对立；B 选项：还可能摸到1个白球、1个红球，属于互斥事件，但不对立；C 选项：根据对立事件的概念可知，命中环数大于等于5与命中环数小于5是对立事件；D ．还有可能和棋，属于互斥事件，但不对立．故选：C5．三张卡片上分别写上字母A ，M ，N ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词MAN 的概率为（ ）A ．15B ．17C ．16D ．14【答案】C 【分析】列出基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】包括的基本事件为：AMN ，ANM ，MAN ，MNA ，N AM ，NMA ，故恰好排成英文单词MAN 的概率为16. 故选：C6．小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（）A．10% B．8% C．5% D．4% 【答案】A【分析】求出肉类开支为100元，占食品开支的13，再由食品开支占总开支的30%，进而求得小张一星期的肉类开支占总开支的百分比.【详解】由题图②知，小张一星期的食品开支为30401008050300++++=元，其中肉类开支为100元，占食品开支的13，而食品开支占总开支的30%，所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为130%10%3⨯=.故选：A.7．吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式.开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高.从河里打捞上来的6条开河鱼的重量（单位：千克）分别为1.58、1.43、1.63、1.85、1.71、1.67.则这组数据的中位数是（）A．1.63B．1.67C．1.64D．1.65【答案】D【解析】将6个数据由小到大进行排列，根据中位数的定义可求得结果.【详解】将6个数据由小到大排列为：1.43、1.58、1.63、1.67、1.71、1.85，则这组数据的中位数为1.63 1.671.652+=，故选：D.8．在ABC中，若22cos A cos B=，则ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．不能确定【答案】A【解析】根据题中条件，先得到22sin sinA B=，利用正弦定理，即可得出结果.【详解】由22cos A cos B =可得2212sin 12sin A B -=-，即22sin sin A B =，因为,A B 为ABC 的内角，所以sin 0A >，sin 0B >，因此sin sin A B =，由正弦定得有a b =，故ABC 为等腰三角形.故选：A.9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．33【答案】A【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-，设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈， 则||cos ||||PE BD PE BD θ⋅=414440=++⨯++2=所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为26. 故选：A 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题. 10．已知x 是4,2,1,1,,3,5,6,11x ---这九个数据的中位数，且211,0,2,,x y x--这五个数据的平均数为3，则y 的取值范围为（ ）A ．17,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,14C ．16,143⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]5,14【答案】C【分析】由题知[]1,3x ∈，2114y x x=-+，进而根据函数的单调性求值域即可. 【详解】解：因为x 是4,2,1,1,,3,5,6,11x ---这九个数据的中位数，所以[]1,3x ∈，因为211,0,2,,x y x--这五个数据的平均数为3， 所以2110215x y x -++++-=，即2114y x x=-+， 所以，2114y x x=-+，[]1,3x ∈， 因为函数21,14y y x x==-+在[]1,3x ∈上均为减函数， 所以，2114y x x=-+，[]1,3x ∈为单调递减函数， 因为2213111611414,314133x x y y ===-+==-+= 所以y 的取值范围为16,143⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．QEF △的面积D ．三棱锥P QEF -的体积【答案】B【分析】对ACD ，根据QEF △面积表达式确定其面积，结合平面QEF 为确定的面判断即可；对B ，根据PEF 为确定面，进而分析直线PQ 与平面PEF 所成的角是否变化即可；【详解】对A ，因为平面QEF 即平面11A DCB 为确定的面，且点P 为确定的点，故点P 到平面QEF 的距离为定值；对B ，易得平面PEF 为平面PDC ，且11//A B DC ，11A B ⊄平面PEF ，DC ⊂平面PEF ，故11//A B 平面PEF .因为11Q A B ∈，故Q 到平面PEF 的距离为定值，又PQ 长度不为定值，故PQ 与平面PEF 所成的角的正弦不为定值，即PQ 与平面PEF 所成的角不确定；对CD ，因为Q 到EF 的距离为定值，故QEF △为定值，由A 可得点P 到平面QEF 的距离为定值，故三棱锥P QEF -的体积为定值，故QEF △的面积与三棱锥P QEF -的体积均为定值；故选：B.12．在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且4442222a b c c a b++=+,若C 为锐角,则sin B A 的最大值为A B 1CD【答案】A 【详解】分析：根据完全平方公式将4442222a b c c a b ++=+化简，再利用余弦定理求出角C ，进而由三角形内角和定理表示出B ，代入sin B A 的表达式，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简，求得其最大值. 详解：4442222a b c c a b++=+ 444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即222222()2a b c a b +-=由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos 2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，A B C π++=，4C π∴=，34B A π=-，3(0,)4A π∈3sin 2sin sin()2sin 5sin()54B A A A A πϕ∴+=-+=+≤，其中13tan ϕ=， 故选A. 点睛：本题考查两角差的正弦公式和辅助角公式，以及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力．解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c -+=________.【答案】2【解析】根据题意，作出图象，得c a b =+，从而||a b c -+=2||a ，从而求出答案．【详解】解：如图，∵AB a =，BC b =，AC c =，∴c a b =+，∵正方形ABCD 的边长为1，∴||a b c -+||a b a b =-++|2|2||2a a ===，故答案为：2．【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则，属于基础题．14．某初中共有学生1000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率0.05，相关信息如下表：年级初一 初二 初三 男生（人数）x 250 240 女生（人数）40 y 60现用分层抽样的方法在全校抽取50名学生参加社区服务，则初一年级应抽到的人数为_______________．【答案】20【分析】首先求,y x ，再根据抽样比，求初一年级应抽到的人数.【详解】由条件可知初二女生公有10000.0550⨯=人，即50y =，再根据总人数1000人，则1000402505024060360x =-----=人，则初一应抽取的人数为()5036040201000+⨯=人． 故答案为：2015．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形且边长为2，1BD 与底面所成角的余弦值为22，则该直四棱柱的体积为___________.【答案】82【分析】由1D D ⊥面ABCD 得到1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角，进而根据条件求出1DD ，最后求出柱体的体积.【详解】由题意1D D ⊥面ABCD ，则1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角，由2211112cos tan 122222DD D BD D BD DD BD BD∠=⇒∠==⇒==+=. 所以该直四棱柱的体积222282V =⨯⨯=.故答案为：8216．已知菱形ABCD 的边长为4，且60ABC ∠=.若沿对角线AC 折起，使4BD =，则三棱锥D ABC -的体积为__________. 【答案】1623 【分析】由题知三棱锥D ABC -为正四面体，再计算体积即可. 【详解】易得,,,ABC DBC ADC ABD 是正三角形， 故三棱锥D ABC -为正四面体，所以，设ABC 的外心为O ，连接OD ，所以，由正四面体的性质可知，OD ⊥平面ABC ， 在等边ABC 中，取AB 边中点E ，连接EC ，所以，,,O E C 三点共线，且224323333OC CE ==⨯= 所以，2216461633OD CD OC =-=-=， 所以，三棱锥D ABC -的体积为3111464223323136ABC V S OD =⋅=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：1623三、解答题17．已知复数()21123i,R z m m m m ⎛⎫=-+--∈ ⎪⎝⎭且0,i m ≠为虚数单位，当m 为何值时： (1)复数z 是实数；(2)复数z 是虚数；(3)复数z 是纯虚数.【答案】(1)3m =或1m =-(2)3m ≠且1m ≠-且0m ≠(3)1m =【分析】（1）由题知22300m m m ⎧--=⎨≠⎩，解方程即可得答案； （2）由题知22300m m m ⎧--≠⎨≠⎩，再解不等式即可得答案； （3）由题知21102300m m m m ⎧-=⎪⎪--≠⎨⎪≠⎪⎩，进而求解即可；【详解】（1）解：当z 为实数时，有22300m m m ⎧--=⎨≠⎩，解得3m =或1m =-. 所以，3m =或1m =-，复数z 是实数.（2）解：当z 为虚数时，有22300m m m ⎧--≠⎨≠⎩，解得3m ≠且1m ≠-且0m ≠. 所以，当3m ≠且1m ≠-且0m ≠时，复数z 是虚数；（3）解：当z 为纯虚数时，有21102300m m m m ⎧-=⎪⎪--≠⎨⎪≠⎪⎩，解得1m =.所以，当1m =时，复数z 是纯虚数.18．已知：()()(),54,12,13A B C ，，λλ-三点,其中0λ<. （1）若,,A B C 三点在同一条直线上，求λ的值； （2）当AB BC ⊥时，求AC ．【答案】(1) 163λ=-. (2) 10AC =.【分析】（1）先求出AB BC ，的坐标，再根据向量共线得到λ的值；(2)根据AB BC λ⊥得到的值，再求AC ．【详解】（1）依题有()()4,7,4,1AB BC λλ=-=--， ,,A B C 共线， ()()4740λλ∴-++= ，163λ∴=- .（2）由AB BC ⊥得()()4470λλ-++= ，3λ∴=±.又0λ<, 3λ∴=-,()()2,86,8AC λ∴=-=,10AC ∴=.【点睛】（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果a =()11,x y ,b =()22,x y ，则a ||b 的充要条件是12210x y x y -=,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.19．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += .(1)证明：bc a = ；(2)若13,cos 6c C == ，求AC 边上的高.【答案】（1）见解析（2【详解】分析：(1)由sin cos sin cos sin b A C c A B ac B +=，结合正弦定理可得sin sin A c B =，即a bc =； （2）由1cos 6C =，结合余弦定理可得1b =，从而可求得AC 边上的高. 详解：（1）证明：因为sin sin cos sin sin cos sin sin B A C C A B c A B +=，所以sin cos sin cos sin B C C B c B += ，所以sin sin A c B = ，故a bc =.(2)解：因为3,c a bc ==，所以221093,cos 6b a b C b -==. 又1cos 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =， 所以3,1ac b ===，所以AC =点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70,80),[80,90),[90,100)，[100,110),[110,120)．（1）求图中m 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数． 分数段 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120):x y 1:2 2:1 6:5 1:2 1:1【答案】（1）0.005（2）93（3）140【分析】（1）由频率之和为1求解即可；（2）由平均数的计算方法求解即可；（3）求出数学成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数，再根据比例得出英语成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数，即可得出答案.【详解】（1）10(20.020.030.04)1m +++=，0.005m ∴= （2）这200名学生的平均分750.05850.4950.31050.21150.0593x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）数学成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数分别为2000.360,2000.240,2000.0510⨯=⨯=⨯= 设英语成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数分别为123,,y y y123606401101,,521y y y === 12350,80,10y y y ∴===则英语成绩在[90,120)的人数为508010140++=【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算平均数等，属于中档题.21．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.【答案】(1)选择方案一的概率为0.648，选择方案二的概率为0.36；(2)选择方案一，具体见解析.【分析】（1）若选方案一，根据独立事件求概率的方法即可求出答案；若选方案二，先求出三门课程选则某两门课程的概率，进而根据独立事件求概率的方法求出答案；（2）分别算出选择两种方案的概率，进而通过作差法比较大小，进而求得答案.【详解】（1）若选方案一：考试通过的概率2310.60.430.60.648P =⨯⨯+=，若选择方案二：三门课程选择某两门课程的概率为13，则考试通过的概率2210.630.363P =⨯⨯=. （2）选择方案一的概率()()()11112P ab c ac b bc a abc ab ac bc abc '=-+-+-+=++-，选择方案二的概率()213P ab bc ca '=++， 因为[],,0,1a b c ∈，所以()()()12211103P Pab c ac b bc a ''-=-+-+-≥⎡⎤⎣⎦，故选择方案一. 22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，O 为1BD 的中点.（1）求证：AF ⊥平面1DD E ；（2）线段AF 上是否存在点G ，使得//OG 平面1DD E ，若存在，求出AG GF的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，32AG GF =. 【解析】（1）证明AF DE ⊥，结合1DD AF ⊥利用线面垂直的判定即可证明； （2）证明1//OM DD ，可证//OM 平面1DD E ；1//ON D E ，可证//ON 平面1DD E ，进而可证平面//OMN 平面1DD E ，所以//OG 平面1DD E ，由//MN DE ，可得2AP AE GP EN==，设2AB =，利用三角形的边角关系求出AP ，AG ，进而可得比值.【详解】（1）证明：设AF DE P ⋂=，因为AE BF =，AD AB =，90DAE ABC ∠=∠=︒ 所以ADE BAF ≅△△，∴ADE FAE ∠=∠∵90ADP DAP DAP EAF ∠+∠=∠+∠=︒ ∴AF DE ⊥∵1DD ⊥底面ABCD∴1DD AF ⊥∵1DE DD D =，DE ，1DD ⊂平面1DD E ∴AF ⊥平面1DD E（2）连AC ，BD 相交于点M ，取BE 的中点N ， 连ON ，MN ，OM ，MN 与AF 相交于点G ，连OG ∵1OB OD =，DM BM =，∴1//OM DD ∵1OB OD =，EN NB =，∴1//ON D E ∵//OM DD ，1D D ⊂平面1DD E ，∴//OM 平面1DD E 同理，//ON 平面1DD E∵OM ON O =，OM ，ON ⊂平面OMN ∴平面//OMN 平面1DD E ∵OG ⊂平面OMN ∴//OG 平面1DD E 在ANM 中，//MN DE ，2AE EN = ∴2AP GP = 记2AB =，在ABF △中，AF =sin AED ∠在Rt APE中，sin 1AP AE AED =∠==∴AG ==∴32AG GF == 故存在点G ，且32AG GF =. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直，考查了补全线面平行的条件，属于中档题.。
2021-2022学年吉林省松原市高一年级上册学期第三次质量检测数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省松原市高一上学期第三次质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = A ．{1,3} B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【详解】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【解析】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.2．已知四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系. 【详解】四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，若四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥；若AC BD ⊥，则四边形ABCD 不一定为菱形. 则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的充分不必要条件 故选：A3．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（ ）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”. 故选：B.4．若0,0,2a b a b >>+=，则41y a b=+的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．5D ．4【答案】B【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成()()241a b a b++展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．【详解】解：2a b +=， ∴12a b+= ∴41415259()()222222a b b ay a b a b a b +=+=+=+++=（当且仅当2b a =时等号成立） 故选：B ．5．已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图像上，则m n -=（ ）A ．19B ．18C ．8D ．9【答案】A【解析】根据幂函数的系数为1可求得m 的值，再将点(),8m 的坐标代入函数()f x 的解析式，求出n 的值，进而可求得m n -的值.【详解】由于函数()()1n f x m x =-为幂函数，则11m -=，解得2m =，则()nf x x =，由已知条件可得()228n f ==，得3n =，因此，2139m n --==. 故选：A.6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2）【答案】B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．7．函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（ ）A ．52，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．()2-∞，【答案】B【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【详解】由题意，2560x x -+>，解得：3x >或2x <，即函数212log (56)y x x =-+的定义域为：(2)(3)-∞⋃+∞，，， 因为函数212log (56)y x x =-+由12log y t =与256t x x =-+复合而成， 外函数12log y t=显然单调递减，要求212log (56)y x x =-+的单调减区间，只需256t x x =-+单调递增，又256t x x =-+是开口向上，对称轴为52x =的二次函数， 所以256t x x =-+在3()x ∈+∞，上单调递增， 即函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为3()x ∈+∞，. 故选：B.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.8．若()()35,12,1a x x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,3 C ．(]0,2 D ．()0,2【答案】C【分析】根据()f x 为R 上的减函数列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】()f x 为R 上的减函数， 1x ∴≤时， ()f x 递减，即30a -<，①， 1x >时， ()f x 递减，即0a >，②且()23151aa -⨯+≥ ，③ 联立①②③解得， 02a <≤. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.二、多选题9．若函数1()3(02xf x a a a ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，且1a ≠）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A ．8a =B ．(0)3f =-C ．12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4a =【答案】AC【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．【详解】解：因为函数()f x 是指数函数，所以1312a -=，所以8a =，所以()8xf x =，所以()01f =，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭B 、D 错误，A ．C 正确． 故选AC【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题． 10．（多选）有下列说法，其中错误的是 A ．终边相同的角的同名三角函数值相等 B ．同名三角函数值相等的角也相等C ．终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等D ．不相等的角，同名三角函数值也不相等 【答案】BCD【分析】根据三角函数的定义即可得出选项． 【详解】对于A ，由诱导公式一可知正确； 对于B ，1sin 30sin1502==，但30150≠，所以B 错误； 对于C ，如60α=，120β=的终边不相同，但3sin 60sin1202==，所以C 错误； 对于D ，由C 中的例子可知D 错误.【点睛】本题考查三角函数的定义，除了掌握住对角的扩充，还要理解三角函数的定义． 11．下列与3cos π-2θ⎛⎫⎪⎝⎭的值相等的是 （ ）A ．()sin πθ-B ．()sin πθ+C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据诱导公式化简，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为3cos π-sin 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，()sin πsin θθ-=； 对于B ，()sin πsin θθ+=-；对于C ，πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；对于D ，πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭故选:BD.12．已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞- B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞- C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]- D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-， 又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确； 对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =， 又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误； 对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增， 所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-== 所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确； 对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-， 则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误. 故选:AC.三、填空题133⨯=__________.【答案】8【分析】由已知代数式有意义确定x 的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.310x -≥且30x -≤，故133x ≤≤，()3313331338x x x x ⨯=-+-=-+-=，故答案为：8.14．函数()()log 21(0a f x x a =-+>且1)a ≠的图象恒过的定点是_____________. 【答案】(3,1)【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为()()3log 3211a f =-+=， 所以该函数的图象恒过的定点是(3,1)， 故答案为：(3,1) 15．已知弧度数为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________. 【答案】23π 【分析】设圆的半径为r ，根据圆心角与弦长、半径关系求r ，再由弧长公式求圆心角所对的弧长. 【详解】若圆的半径为r ，则11sin 62r π==，可得2r =， ∴圆心角所对的弧长2233l r ππθ==⨯=. 故答案为：23π 16．已知函数()22log 1a a f x x x x =-+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒小于零，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题意得出()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，然后对底数a 分1a >和01a <<两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立；当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122aa <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题17．已知tan 2.α=求： (1)2sin cos sin 2cos αααα-+；(2)224sin 3sin cos 5cos .αααα--【答案】(1)34(2)1【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为2tan 1tan 2αα-+可得答案.（2）将目标表达式视为分母为22sin cos αα+的分式，再分子分母同时除以2cos α，化为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，可得答案.【详解】（1）2sin 12sin cos 2tan 1cos sin sin 2cos tan 22cos αααααααααα---==+++又tan 2α=，所以2tan 12213,tan 2224αα-⨯-==++故2tan 13tan 24αα-=+；（2）222222224sin 3sin cos 5cos 4tan 3tan 54sin 3sin cos 5cos sin cos tan 1ααααααααααααα------==++， 因为tan 2α=，所以22443254sin 3sin cos 5cos 141αααα⨯-⨯---==+， 所以224sin 3sin cos 5cos 1αααα--=. 18．已知函数4()log (41)x f x =- （1）求函数()f x 的定义域； （2）若122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的值域. 【答案】（1）()0,∞+；（2）[]40,log 15.【分析】（1）根据对数函数的真数大于零，得到不等式，解得；（2）令41x t =-根据122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出t 的取值范围，即可求出函数()f x 的值域. 【详解】解：（1）4()log (41)x f x =-410x ∴->解得0x >故函数()f x 的定义域为()0,∞+. （2）令41x t =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]115t ∴∈，[]44()log 0,log 15f t t ∴=∈ []4()0,log 15f x ∴∈即函数()f x 的值域为[]40,log 15【点睛】本题考查对数函数的定义域值域的计算问题，属于基础题.19．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润=总收入-成本）(1)求年利润y （万元）关于年产量x （百件)的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】(1)2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)当年产量为100百件时，获利最大.【分析】（1）根据“利润=总收入-成本”求得y 关于x 的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量.【详解】（1）依题意，2500101002500,0301000050050145002500,30x x x x y x x x x ⎧---≤<⎪=⎨--+-≥⎪⎩ 2104002500,030100002000,30x x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当030x ≤<时，当()40020210x =-=⨯-时，y 取得最大值为210204002025001500-⨯+⨯-=万元.当30x ≥时，10000200020001800x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭万元， 当且仅当10000,100x x x==百件时等号成立. 综上所述，当年产量为100百件时，获利最大. 20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的解析式(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数 (3)解不等式()()10f t f t -+< 【答案】(1)()21xf x x =+ (2)证明见解析(3)102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可； （2）不妨假设()1212,1,1,x x x x ∈-＜ ，判断()()12f x f x - 的符号即可；（3）根据()f x 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围. 【详解】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，得()00f =，即0b =，又∵2112225112af ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+； （2）设1x ∀，()21,1x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()1,1-上是增函数；（3）由()f x 为()1,1-上的奇函数，如()()10f t f t -+<等价于()()1f t f t -<-．则由()f x 在()1,1-上是增函数，可得111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<， 即不等式()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；综上，()21xf x x =+，()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.21．已知角α是第三象限角，且cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α；（2）若1sin()5απ-=，求()f α的值； （3）若2310α=-︒，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-；（2；（3【解析】（1）利用三角函数诱导公式化简()f α即可.（2）首先根据1sin()5απ-=得到1sin 5α=-，从而得到cos α=()f α的值. （3）首先计算cos cos150α︒==()f α的值. 【详解】（1）cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=---- sin cos tan cos tan sin αααααα⋅⋅==--⋅. （2）∵1sin()5απ-=，∴1sin 5α=-， ∵α是第三象限角，∴cos α=，∴()cos f αα=-=. （3）∵()231012180150α︒︒︒=-=-⨯+，∴cos cos150α︒==，∴()cos f αα=-=22．已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围；（3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【分析】（1）当2a =时，可得出()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x +∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--， 由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<， 因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；（2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<， 0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x +∈，21a ∴≤，解得12a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得：()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。
吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题(含答案解析)
吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“0,tan sin x x x ∀><”的否定为（）A ．0,tan sin x x x ∃>≥B ．0,tan sin x x x ∃≤≥C ．0,tan sin x x x∀>≥D ．0,tan sin x x x∀≤≥2．已知全集U =R ，集合()ln 11x M x y x ⎧⎫+⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}324N x x =-<，则()U M N ⋂=ð（）．A ．()1,+∞B ．()1,2C ．[)2,∞+D ．()1,1-3．已知函数()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩，则()()2f f -=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．“4x =”是“44x x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．集合{}22320A x x x =--<，若a A ∈，1a A +∉，则a 的取值范围是（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)1,2D ．()1,26．函数()25ln 4f x x x =--的单调递减区间是（）A ．()0,3B ．()3,+∞C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()()3log f x ax =-.若()274f =，则实数a 的值为（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-9．若函数()2ln 2f x x ax x =+-在()0,1上存在极大值点，则a 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()11f x f x +=-+，当[]0,1x ∈时，()e xf x a b =+，且1512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()120221f f f +++=L （）．A ．1e -B ．0C ．e 1-D ．202111．已知函数()24xf x =-，若关于x 的方程()()2230f x mf x -+=⎡⎤⎣⎦有4个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(19,8⎫-∞⎪⎭C ．)+∞D ．198⎫⎪⎭12．已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()tan ()0f x x f x '+⋅>，则（）A 063ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭B 063ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 064ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭D 046ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．某班有学生56人，经调查发现，参加了羽毛球协会的学生有35人，参加了乒乓球协会的学生有20人，其中既参加了羽毛球协会，又参加了乒乓球协会的学生有10人，则该班学生中既没参加羽毛球协会，又没参加乒乓球协会的有______人.14．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数()[]f x x =也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[2.39]2,[0.17]1=-=-．若函2()cos()3k f k k π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦Z ，则()f k 的值域为_________．15．已知曲线1e x y -=与曲线e 1x y =-有相同的切线y kx b =+，则b =________．16．已知函数11,0,()2ln ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若()()1212,x x f x f x ∃>=，则12x x -的最小值为__________．三、解答题17．已知:R p x ∀∈，210ax ax ++≥；[]:1,3q x ∃∈，31log 03x x a +->.(1)若q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数a 的取值范围.18．已知集合{}321A x a x a =-≤≤-，{}24313B x x =-≤-≤.(1)当3a =时，求A B ⋂和()R A B ð；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.19．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工x 万千克该农产品，需另投入成本()f x 万元，且21,06,2()49727, 6.x x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.（1）求加工后该农产品的利润y （万元）与加工量x （万千克）的函数关系式；（2）求加工后的该农产品利润的最大值.20．已知函数()x x f x ka a -=+（0a >且1a ≠）是奇函数，且15(2)4f -=．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[1,3]-上的值域．21．已知函数()322f x x x x m =-++.(1)求()f x 的单调区间；(2)讨论()f x 的零点个数.22．已知函数()21cos 12xf x ae b x x =+++（其中,a b 为实数）的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+.（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()()3g x f x x '-=的最小值；（3）若对任意的x R ∈，不等式()32322xf x x x x λ≥++恒成立，求实λ数的取值范围､参考答案：1．A【分析】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.【详解】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.只有A 选项符合题意.故选：A 2．C【分析】求出集合M 以及集合N ，再由集合的交、补运算即可求解.【详解】因为(){ln 111x M x y x x x ⎧⎫+⎪⎪===>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且}1x ≠，{}{}3242N x x x x =-<=<，所以()[)U 2,M N ⋂=+∞ð．故选：C 3．B【分析】根据分段函数的解析式，先计算(2)f -的值，再求得()()2f f -的值即可.【详解】由题意()()3log 3,022,0x x x f x x -⎧+>=⎨+≤⎩，所以(2)(2)226f ---=+=，故()()32(6)log (63)2f f f -==+=，故选：B.4．A【分析】代入计算得到充分性，当2x =时，4164x x ==也成立，不是必要条件，得到答案.【详解】当4x =时，4444x x ==，故“4x =”是“44x x =”的充分条件；当2x =时，4164x x ==也成立，故“4x =”不是“44x x =”的必要条件.故选：A 5．C【分析】求出集合A ，再根据a A ∈，1a A +∉列不等式组求出a 的取值范围.【详解】{}21232022A x x x x x ⎧⎫=--<=-<⎨⎬⎩⎭若a A ∈，1a A +∉，则12212a a ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩，解得12a ≤<故选：C.6．D【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数小于0，即可求得答案.【详解】由题意函数()25ln 4f x x x =--的定义域为(0,)+∞，()5252x f x x x-'=-=，当()250x f x x -'=<时，502x <<，故函数()25ln 4f x x x =--的单调递减区间是50,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D.7．A【分析】计算()110f -=-<，排除BD ，利用均值不等式得到0x >时，()3f x ≤，排除C ，得到答案.【详解】()2222414411111x x x xf x x x x ++==+=++++，()110f -=-<，排除BD.当0x >时，()41131f x x x =+≤++，当1x =时等号成立，排除C ；故选：A 8．B【分析】根据奇函数性质可得()274f -=-，代入0x <时的函数解析式，即可求得答案.【详解】因为()f x 是奇函数，故由()274f =可得()27(27)4f f -=-=-，又当0x <时，()()3log f x ax =-，所以()327log (27)4f a -=--=-，即3log (27)4a -=，则4273a -=，故3a =-，故选：B.9．D【分析】求出函数的导数()2221ax x f x x-+'=，令2()221g x ax x =-+，讨论a 的取值范围，结合()2ln 2f x x ax x =+-在()0,1上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意()2ln 2,0f x x ax x x =+->可得()2122122ax x f x ax x x-+'=+-=，令2()221g x ax x =-+，则(0)1g =，当0a =时，1()210,2g x x x =-+==，当102x <<时，()0f x ¢>，()f x 递增，当12x >时，()0f x '<，()f x 递减，函数()f x 在12x =时取极大值，符合题意；当0a >时，()g x 图象对称轴为102x a=>，此时要使函数()2ln 2f x x ax x =+-在()0,1上存在极大值点，需满足(1)0<g ，即1210,2a a -<∴<，则102a <<，此时112x a=>，()g x 在()0,1上递减，存在0x ，使得0()0g x =，则当00x x <<时，()0f x ¢>，()f x 递增，当01x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，函数()f x 在0x x =时取极大值，符合题意；当a<0时，()g x 图象开口向下，对称轴为102x a=<，此时要使函数()2ln 2f x x ax x =+-在()0,1上存在极大值点，需满足(1)0<g ，即1210,2a a -<∴<，则a<0，同上同理可说明此时符合题意，综合上述，可知a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：D 10．C【分析】先根据奇偶性和对称性得到()f x 是周期为4的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即()()()()1234f f f f +++，结合周期性可求原式的值.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()111f x f x f x +=-+=--，所以()()2f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故()f x 是周期为4的周期函数．又当[]0,1x ∈时，()e xf x a b =+，所以()00f a b =+=，15111222f f f b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =，1b =-，故当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-．因为()()()()()()()()123410100f f f f f f f f +++=++-+=，所以()()()()()12202120211e 1f f f f f +++===-L ．故选：C.11．D【分析】根据函数()24xf x =-的图像得到2230t mt -+=在()0,4内有两不等实根，根据二次方程根的分布问题列不等式求解.【详解】画出函数()24xf x =-的图像要方程关于x 的方程()()2230f x mf x -+=⎡⎤⎣⎦有4个不同的实数根，令()f x t =，则2230t mt -+=在()0,4内有两不等实根，2Δ41200416830m m m ⎧=->⎪∴<<⎨⎪-+>⎩198m <<故选：D.12．B【分析】令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到()g x 是奇函数，单调递增，再利用函数的单调性和奇偶性分析判断得解.【详解】因为()tan ()0f x x f x '+⋅>，所以()sin ()0,cos xf x f x x'+⋅>cos ()sin ()0x f x x f x '∴⋅+⋅>，令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()2cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x'⋅+⋅'=>，所以()g x 单调递增，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为奇函数，(0)0g =，所以6430cos cos cos 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<<，即0643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A ，C 错误；63ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以063ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x为奇函数，所以063ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；64ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭064ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为()f x为奇函数，所以046ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误．故选：B 13．11【分析】根据题意结合集合的性质分析即可.【详解】由题意，参加了羽毛球协会或者参加了乒乓球协会的学生有35201045+-=人，故该班学生中既没参加羽毛球协会，又没参加乒乓球协会的有564511-=人.故答案为：1114．{1,1}-【分析】先求出2cos ()3k k π∈Z 的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案.【详解】当11222,33k k k πππ=+∈Z 或22242,33k k k πππ=+∈Z 时，21cos,()132k f k π=-=-；当33222,3k k k πππ=+∈Z 时，2cos 1,()13k f k π==；故()f k 的值域为{1,1}-．故答案为：{1,1}-.15．0【分析】设切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ．利用导数的几何意义可得121e e x x k -==，则121x x -=．由111e x y -=，22e 1x y =-，计算可得21211y y k x x -==-，进而求得A 点坐标代入方程即可求得结果.【详解】设切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ．由题意可得121e e x x k -==，则121x x -=，即121x x -=．因为111ex y -=，22e 1x y =-，所以222121e 1e 11x x y y k x x ---===--，即11e 1x -=，解得11x =，所以(1,1)A ，则11b +=，解得0b =．故答案为：016．42ln 2-【分析】由()()12f x f x =，得到2111ln 2x x +=，从而得到12112ln 2x x x x -=-+，令()2ln 2(0)g x x x x e =-+<≤，用导数法求解.【详解】函数()f x的图象如图所示：可知，210,0x x e ≤<≤．因为()()12f x f x =，所以2111ln 2x x +=，即212ln 2x x =-，则12112ln 2x x x x -=-+．令()2ln 2(0)g x x x x e =-+<≤，则2()1g x x'=-，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,]e 上单调递增，所以min ()(2)42ln 2g x g ==-，即12x x -的最小值为42ln 2-．故答案为：42ln 2-17．(1)(),2-∞(2)()[],02,4-∞⋃【分析】（1）设()31log 3f x x x a =+-，根据函数的单调性计算最值得到范围.（2）确定p 和q 中一个是真命题，一个是假命题，考虑p 为真命题，q 为假命题和p 为假命题，q 为真命题两种情况，计算得到答案.【详解】（1）设()31log 3f x x x a =+-，则()f x 在()0,∞+上单调递增.若q 是真命题，则()max 0f x >，[]1,3x ∈，()()max 320f x f a ==->，解得2a <，即实数a 的取值范围是(),2-∞.（2）若p 是真命题，则0a =或2040a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a ≤≤.因为p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，所以p 和q 中一个是真命题，一个是假命题.若p 为真命题，q 为假命题，则042 a a ≤≤⎧⎨≥⎩，解得24a ≤≤；若p 为假命题，q 为真命题，则02a a <⎧⎨<⎩或42a a >⎧⎨<⎩，解得a<0.综上所述：实数a 的取值范围是()[],02,4-∞⋃.18．(1){}02A B x x ⋂=≤≤，(){2R A B x x ⋃=≤ð或5}x >(2){2x a <-或30}2a ≤≤【分析】（1）求出集合A ，再根据交集，并集，补集的概念求解即可；（2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，分A =∅和A ≠∅讨论求解实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，{}05A x x =≤≤，{0R A x x =<ð或5}x >，又{}32B x x =-≤≤，所以{}02A B x x ⋂=≤≤，(){2R A B x x ⋃=≤ð或5}x >（2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆.当A =∅时，321a a ->-，解得2a <-；当A ≠∅时，32133212a a a a -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得302a ≤≤.综上实数a 的取值范围是{2x a <-或30}2a ≤≤19．（1）2152,06,24925, 6.x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩；（2）最大值11万元.【分析】（1）根据利润=收入-固定成本-投入成本，分06x <<与6x ≥两种情况即可求解；（2）当06x <<时由二次函数的性质求最值，当6x ≥时用基本不等式求最值，最后比较即可求解【详解】（1）当06x <<时，2211625222y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭.当6x ≥时，49496727225y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭.故加工后该农产品的利润y （万元）与加工量x （万千克）的函数关系式为2152,06,24925, 6.x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩（2）当06x <<时，22112152(5)222y x x x =-+-=--+，当5x =时，y 取得最大值212万元；当6x ≥时，因为914x x4+≥=，当且仅当7x =时，等号成立，所以当7x =时，y 取得最大值11万元.因为21112≤，所以当7x =时，y 取得最大值11万元.20．（1）()22x x f x -=-+；（2）633,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）由()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，可求出k 的值，再由15(2)4f -=可求出a ，从而可求出函数的解析式，（2）函数2x y =-与2x y -=在R 为减函数，所以()f x 在R 上为减函数，从而可求出函数的值域【详解】解：（1）因为()x x f x ka a -=+，所以()x x f x ka a --=+．又()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则1k =-．故2215(2)4f a a --=-+=，解得24a =或214a =-（舍去）．又0a >，所以()22x x f x -=-+．（2）因为函数2x y =-与2xy -=在R 上为减函数，所以()f x 在R 上为减函数．又633(3),(1)82f f =--=，所以()f x 在区间[1,3]-上的值域为633,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21．(1)单调递增区间是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()4,0,27m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 有1个零点；0m =或427m =-时，()f x 有2个零点；4,027m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 有3个零点.【分析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.【详解】（1）因为()322f x x x x m =-++，所以()()()2341311f x x x x x '=-+=--由()0f x ¢>，得13x <或1x >；由()0f x '<，得113x <<.故()f x 的单调递增区间是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()f x 的极小值是()1f m =，极大值是14327f m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.①当0m >时，方程()0f x =有且仅有1个实根，即()f x 有1个零点；②当0m =时，方程()0f x =有2个不同实根，即()f x 有2个零点；③当4027m -<<时，方程()0f x =有3个不同实根，即()f x 有3个零点；④当427m =-时，方程()0f x =有2个不同实根，即()f x 有2个零点；⑤当427m <-时，方程()0f x =有1个实根，即()f x 有1个零点.综上，当0m >或427m <-时，()f x 有1个零点；当0m =或427m =-时，()f x 有2个零点；当4027m -<<时，()f x 有3个零点.22．（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）最小值为1；（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）求导得到()sin x f x ae b x x '=-+，根据题意得到()()011'01f a b f a ⎧=++=⎪⎨==⎪⎩，解得答案。
吉林省四平市第一高级中学等校2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题
吉林省四平市第一高级中学等校2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A ．{}2020x x = B ．(){}220200y y -= C ．{}2020x =D ．{}20202．判断下面结论正确的个数是（ ）①函数1y x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； ②对于函数()f x ，x D ∈，若1x ，2D x ∈且()()12120f x f x x x ->-，则函数()f x 在D 上是增函数；③函数y x =是R 上的增函数；④已知()2122f x x x +=++，则()21f x x =+A ．3B ．2C ．1D ．03．下列关于集合运算的结论，错误的是（ ） A ．()U UU A B A B ⋃=⋂痧? B ．()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ C ．()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂D ．()()()A B C A B A C =U I I U I4．已知集合{}2|320,A x ax x x =-+=∈R ，若集合A 中至多有一个元素，则实数a 应满足（ ） A ．0a =B ．98a ≥C ．0a =或98a ≥D ．不确定5．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x b a a A b B ⊗==-∈∈，若{1,4},{1,2}A B ==-，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则： 等级原始分占比赋分区间若小华选考政治的原始分为82，对应等级A ，且等级A 的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ） A ．91 B ．92C ．93D ．947．设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=f x f x -，且当211x x >≥时，恒有()()21210f x f x x x -<-，则不等式()()121f x f x ->+的解集为（ ）A ．()2,0-B ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U D ．()(),20,-∞-⋃+∞二、多选题9．给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A ．5-∈NB ．函数y x =与yC ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．若函数2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()22f x x =-，(][),22,x ∞∞∈--⋃+10．函数()1xaf x a x=++（a ∈R ，且1a ≠-）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知x ，y 均为正实数，则（ ）A ．22xy x y +的最大值为12B ．若4x y +=，则22x y +的最大值为8C ．若21y x+=，则1x y +的最小值为3+D ．若22x y x y +=-，则12x y x y+++的最小值为169三、填空题 12．函数()()21026x f x x x x +=≥-+的最大值为13．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =+-，则x ∈R 时，()f x =．14．设函数()23f x x ax a =-++，函数()2g x ax a =-，若存在R x ∈，使得()0f x <与()0g x <同时成立，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}54U x x =-≤≤，{}23M x x =-≤<，U N ð{}31x x =-<≤.求： (1)集合N ； (2)集合N I ()U M ð； (3)集合M N ⋂，M N ⋃.16．{}{}|25|121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-已知集合，(1)是否存在m 的值，使得x B ∈是x A ∈的充要条件，若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由．(2)若x B ∈是x A ∈的充分条件，求m 的取值范围 (3)若A B ⋂=∅，求m 的取值范围17．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数.若函数()f x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()222f x x ax a =-+.(1)求()()02f f +的值； (2)设函数()2x g x x=-. (i)证明函数()g x 的图象关于点()2,1-对称；(ii)若对任意()10,2x ∈，总存在()20,2x ∈，使得()()12f x g x =成立，求a 的取值范围. 18．阅读材料： 差分和差商古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u 和后来的一个时刻v 不同，我们就说他在时刻u 和v 之间动了，反过来，如果他在任意时刻[,]t u v ∈有相同的位置，就说它在u 到v 这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数()y f x =在实数集S 上有定义.为了研究()f x 的变化规律，需要考虑它在S 中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称()()f v f u -为函数()f x 从u 到v 的差分，这里若无特别说明，均假定u v ≠.通常记,h v u h =-叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值()()f v f u v u--叫做()f x 在u 和v 的差商.显然，当u 和v 位置交换时，差分变号，差商不变.随着()f x 所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当u v <时，它是()f x 在区间[],u v 上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间S 上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间S 上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：(1)计算一次函数()f x kx c =+的差商.(2)请通过计算差商研究函数()212x f x x=+的增减性.19．已知函数()222()44(R,R)f x a x bx b a b =-+-∈∈．(1)问题：若关于x 的方程()222()3(34)f x a x a b x a b =-+-++-______，求实数a 的取值范围；从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x ≤；(3)当02b a <<+时，若关于x 的不等式()0f x ≤的解集中有且仅有2023个整数，求实数a 的取值范围．。
2021-2022学年高一上学期第一次月考(10月)数学试卷(含答案)
2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷（时间120分钟，满分150分）题号一二三四五总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2-2x＞0}，B={-1，1，2，3}．则A∩B=（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {1，3}D. {-1.3}2.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则p的否定形式为()A. ∃x∈R,x< sin xB. ∃x∈R,x≤sin xC. ∀x∈R,x≤sin xD. ∀x∈R,x< sin x3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. 或D.4.以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②∅⊆{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈∅；⑤A∩∅=A，正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是（）A. ac＞bdB. ad＞bcC. ac＜bdD. ad＜bc6.已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},那么集合M的个数为( )A. 个B. 个C. 个D. 个7.若{a2，0，-1}={a，b，0}，则a2019+b2019的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28.已知,,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为( )A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列判断错误的是( )A. 若,,则B. {菱形}{矩形}={正方形}C. 方程组的解集为D. 如果,那么10.下列各不等式,其中不正确的是( )A.B.C.D.11.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．已知有限集A⊆R，设集合M={xy|x∈A，y∈A，x≠y}，N={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，则下列说法正确的是（）A. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）可能是10B. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）不可能是12C. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）可能是20D. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）不可能是912.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A. a2+b2≥B. 2a﹣b＞C. log2a+log2b≥﹣2D.三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cos x+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是______ ．（写出所有正确的编号）14.设集合A={x|1< x<4}, B={x|2x5},则A(B) .15.将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}B={b1，b2，b3，b4}C={c1，c2，c3，c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则集合C为：______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知a,b都是正数,且ab+a+b=3,则ab的最大值是 ,的最小值是 .五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:(1)对任意x R,+x+20都成立;(2)x R,使.18.记函数f（x）=+log2（x+1）的定义域M，函数g（x）=2x的值域为N，求：（1）M，N．（2）M∩N，M∪N，∁R M．19.已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．20.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值:(2)已知常数a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求的值.21.用作差法比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．22.(1)已知命题:“对于任意x R,f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题“x R，+ax-4a0”为真命题,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}；∴A∩B={-1，3}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p:x∈R,x≤sin x.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件，属于基础题.先求出的解集，考虑该解集与各选项中的集合的包含关系后可得不等式成立的充分不必要条件.【解答】解：因为1+>0>0x(x+1)>0,所以x>0或x<-1,需要是不等式1+>0成立的一个充分不必要条件则需要满足是(-,-1)(0,+)的真子集的只有A,故选项为：A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．根据“∈”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④⑤的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．【解答】解：“∈”用于表示集合与元素的关系，故：①{0}∈{0，1，2}错误；空集是任一集合的子集，故②∅⊆{1，2}正确；根据集合元素的无序性，可得③{0，1，2}={2，0，1}正确；空集不包含任何元素，故④0∈∅错误；空集与任一集合的交集均为空集，故⑤A∩∅=A错误故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴ac＜bc，bc＜bd，∴ac＜bd，故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的关系，属于基础题.由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集, 由此可得答案.【解答】解：由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集,因为{3,4,5}的真子集有-1=7个,所以集合M的个数为7个.故选:C.7.【答案】B【解析】解：由{a2，0，-1}={a，b，0}，得①或②解①，得a=0（舍去）或1，b=-1，解②，得a=-1，b=1，所以a=-1，b=1或a=1，b=-1．所以a2019+b2019=（-1）2019+12109=0或a2019+b2019=12109+（-1）2019=0．故选：B．由集合相等的概念求出a，b的值，然后代入要计算的式子求值．本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，属于基础题.先求出命题p和命题q对应的集合，再利用集合包含关系求出m的取值范围即可.【解答】解：由4x-m<0,得,所以,由,得,所以,若p是q的必要不充分条件,所以[-1,2]是的真子集,所以,解得m>8.故选项为：B.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质、集合的运算，属基础题.根据不等式的性质判断AD，由集合的运算和表示法判断BC.【解答】解：对A,若a>b,c>d,如a=1,b=-1,c=1,d=-1,则ac=bd,故A错误;对B,因为既是菱形又是矩形的图形是正方形,故B正确;对C,方程组的解集为{(2,1)},故C错误;对D,若a< b<0,则,则,故D正确.所以错误的选项为AC.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．对于A：验证当a=1时即可判断；对于B：利用基本不等式进行计算即可;对于C：当a<0,b<0时,<0，即可判断；对于D：当x=0时,+=1，即可判断.【解答】解：对A项,当a=1时,+1=2a,则A错误;对B项,当x>0时,|x+|=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立，当x<0时,|x+|=-x+2=2,当且仅当x=-1时,等号成立, 则B正确;对C项,当a<0,b<0时,<0,则C错误;对D项,当x=0时,+=1,则D错误;故选:ACD11.【答案】AC【解析】解：由题意可知，若不出现重复元素，则当card（A）=4时，card（M）+card （N）=12，而当card（A）=5时，card（M）+card（N）=20，故B错误，C正确；若A={1，2，3，5}，则M={2，3，5，6，10，15}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=10，故A正确；若A={-2，-1，0，1，2}，则M={-4，-2，-1，0，2}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=9，故D错误；故选：AC．根据新定义对应各个选项逐个判断即可．本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2=a2+b2+2ab ≤2a2+2b2，则，当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确．②由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a＞0＞b-1，即a-b＞-1，则，故B正确．③，当且仅当a=b=时，等号成立，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，，故，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD．13.【答案】⑤【解析】解：①中当a=b时才有最小值2ab，故错误；②中当a=b时才有最大值，故错误；③中=时，x无解，故最小值是不是2，故错误；④中需cos x为正值时成立，故错误；⑤根据均值不等式可得不等式成立，故正确．故答案为⑤．根据均值定理等号成立的条件可判断①②③，根据均值定理要求为正值可判断④，根据均值定理可证明⑤．考查了均值定理的应用和均值定理成立的条件，属于基础题型，应熟练掌握．14.【答案】{x|1< x<2}.【解析】【分析】本题考查集合的运算，属于基础题.直接根据补集和交集的运算律运算即可.【解答】解：A={x|1< x<4}, B={x|2x5},B={x|x<2或x>5}, A(B)={x|1< x<2}.故答案为:{x|1< x<2}.15.【答案】{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}【解析】解：由，得，所以，先不考虑搭配情况，设c1＜c2＜c3＜c4，则c4=12，c1+c2+c3=27，故3c3＞27，10≤c3≤11，且c2≤9；若c3=10，则c1+c2=17，c2≥9，所以c2=9，c1=8；于是C={8，9，10，12}；若c3=11，则c1+c2=16，c2≤10，得c2＞8，故c2只能取9或10，c1只能取7与6；分别得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：因此子集C的三种情况都合条件．故答案为：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．由，得，所以，由此入手能够求出集合C．本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16.【答案】14-3【解析】【分析】本题考查了基本不等式，由3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30可得ab的最大值，再由b=代入式子，结合基本不等式可得答案【解答】解：因为3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30,解得01,当且仅当a=b=1时取等号,所以ab的最大值是1 .因为ab+a+b=3,所以b=,结合,得到.所以a+2b=a+2=a+2(-1+)=a+1+-34-3,当且仅当a+1=,即时取等号，则a+2b的最小值是4-3 .故答案为1；4-3.17.【答案】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+2=0成立，即“∃x∈R，使x2+x+2=0．”因为△=-7＜0，所以方程x2+x+2=0无实数解，此命题为假命题．（2）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+20成立．即“∀x∈R，有x2+3x+20”．因为△=1>0，所以对∀：x∈R，x2+3x+20总成立错误，此命题是假命题．【解析】本题考查命题的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解能力，属于基础题．(1)全称量词命题否定是存在量词命题，然后由一元二次方程根的判别式判断真假.(2)存在量词命题否定是全称量词命题，然后利用一元二次不等式恒成立的条件判断真假.18.【答案】解：（1）解得，-1＜x≤3，∴M=（-1，3]，且N=（0，+∞）；（2）M∩N=（0，3]，M∪N=（-1，+∞），∁R M=（-∞，-1]∪（3，+∞）．【解析】（1）容易得出f（x）的定义域M=（-1，3]，g（x）的值域N=（0，+∞）；（2）进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2…（1分）当且仅当x=时，即x=等号成立，∴A=[2，+∞）…（3分）所以，C U A=（-∞，2）…（4分）（2）由题得a≥-（x+）…（5分）函数y=-（x+）在（0，]的最大值为-…（9分）∴a≥-…（10分）（3）设P（x0，x0+），则直线PA的方程为y-（x0+）=-（x-x0），即y=-x+2x0+…（11分）由得A（x0+，2x0+）…（13分）又B（0，x0+），…（14分）所以=（，-），=（-x0，0），故=（-x0）=-1 …（16分）【解析】（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；（2）由题得a≥-（x+），只须求出a大于等于函数y=-（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；（3）先设P（x0，x0+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为x>0,y>0,x+2y=8,所以xy=x2y=8,当且仅当x=2y=4时,等号成立,所以xy的最大值是8.(2)因为a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,所以,当且仅当=时,等号成立,又因为x+y的最小值为18, 所以a+b+2=18,因为a+b=10, 解得ab=16,∴ a=2,b=8或a=8,b=2.【解析】本题主要考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）通过基本不等式中的和为定值积有最大值，进行配凑进行求解即可；（2）根据基本不等式中1的代换，先求出最值，然后根据通过两方程联立进行求解即可21.【答案】解：∵2x2+5x+3-（x2+4x+2）=x2+x+1=（x+）2+＞0，∴2x2+5x+3＞x2+4x+2.【解析】本题采用作差法比较大小，解题的关键是正确配方．作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论．22.【答案】（1）解：命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，所以=-4>0，解得a<-1或a>1；（2）解：因为命题“x R，+ax-4a0”为真命题，所以=-4(-4a)0，解得：-16a0.【解析】本题以命题的真假判断为载体考查二次不等式恒成立问题，属于中档题. （1）命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，结合二次函数的图象和性质，可求出实数a的取值范围．（2）将条件转化为+ax-4a0恒成立，必须0，从而解出实数a的取值范围.。
2021-2022学年吉林省四平市第一高二年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知椭圆22:143x y C +=，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）A ．()1,1B ．)1-C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.【详解】由椭圆方程为22:143x y C +=， 因为11714312+=<，所以点()1,1在椭圆内部，A 错误；因为2151436+=<，所以点)1-在椭圆内部，B 错误；因为2271436+=>，所以点在椭圆外部，C 正确；因为1119414348+=<，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆内部，D 错误.故选：C.2．抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-. 故选：A3．已知椭圆22142x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，则AB =（ ）A ．B ．3C ．4D 【答案】D【分析】由方程得出,A B 的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆22142x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，所以()2,0A ，(B ，所以AB =故选：D4．已知双曲线()22101x y a a a -=>+的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a 的值为（ ）A ．18B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得a 的自豪.【详解】由题意有(232⨯，解得18a =．故选：A5．已知抛物线23y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上任意一点，则PF 的最小值为（ ） A ．1 B ．34C ．43D ．32【答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线23y x =的焦点为3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为34x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，00x ≥，根据抛物线的定义有03344PF x =+≥，故PF 的最小值为34．故选：B6．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,4【答案】B【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，所以有20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得23m <<，所以实数m 的取值范围为23m <<， 故选：B.7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1e ，双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e ，则（ ）A ．212e e =B ．112e e +=C ．22211e e =+ D ．22122e e +=【答案】D【分析】根据给定的方程求出离心率1e ，2e 的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为1e ，则有22221221a b b e a a -==-， 因双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e ，则有22222221a b b e a a +==+，所以22122e e +=. 故选：D8．直线(0)y kx k =>与双曲线22126x y -=没有交点，则k 的取值范围为（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．(2,)+∞ C．)+∞ D．【答案】C【解析】把直线方程代入双曲线方程，方程无解即得．【详解】由22126y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩得221126k x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此方程无实数解，则21026k -≤，解得k ≤k ≥又0k >，所以k ≥故选：C ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为12,H H ，若21120H FH ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】转化条件为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为30，进而可得3a b ，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，1260H OH ∠=(O 为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为30， 所以3tan 303b a ==，即3a b ，所以离心率22423133c b e a a ==+==. 故选：A.10．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4bOQ =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．12D ．23【答案】B【解析】由题可得212OQ PF =，代入点P 的横坐标x c =可得2by a =，则有224b b a =，解得2a b =，即可由此求出离心率.【详解】设2F 的坐标为(,0)c ，由2//OQ PF ，可得212OQ PF =， 代入点P 的横坐标x c =，有22221c y a b+=，可得2by a =，则有224b ba =，得2ab =， 则椭圆C 的离心率为222243ca b b b e a--====故选：B.11．已知抛物线2:2(0),C y px p O =>为坐标原点，点P 为抛物线上的一点，且点P 在x 轴的上方，若线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p ，则直线OP 的斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．32【答案】A【分析】设出点P 的坐标，写出的线段OP 所在直线的解析式，进而求出线段OP 垂直平分线所在直线的解析式，通过线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p ，得到点P 的横坐标与p 的关系，即可求出直线OP 的斜率.【详解】解：由题意设(0P x，则0:OP l y x =，线段OP的中点为02x A ⎛⎝⎭∴线段OP的垂直平分线为：:AQ l y =∵线段OP 的垂直平分线过点()2,0Q p∴20p =解得：02x p =∴直线OP1=故选：A.12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（ ） A ．3 BCD【答案】C【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m 的值，再由余弦定理列式可得结果. 【详解】设2AF m =，22BF m =，14BF m =， 由双曲线的定义知：121222AF AF BF BF a m -=-==， ∴13AF m =，a =m ，∴有23410m m m m +++=，解得1m =，∵在12AF F 和12BF F 中，1212cos cos 0F F A F F B ∠+∠=，∴由余弦定理得224194416048c c c c +-+-+=，解得c =．故选：C.二、填空题13．椭圆222520x y +=的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则抛物线的标准方程为__________.【答案】2y =【分析】由已知，先将椭圆方程化为标准形式，然后读取其焦点坐标，然后再根据给出的抛物线方程，写出其焦点坐标，列出等量关系，即可求解方程. 【详解】由已知，椭圆222520x y +=，可化为：221104x y +=，所以其焦点坐标为)和()， 抛物线22(0)y px p =>，其焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以2pp ==所以抛物线的标准方程为：2y =.故答案为：2y =.14．已知双曲线2214x y m +=的一条渐近线与直线6210x y --=垂直，则m 的值为__________.【答案】49-【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得m 值．【详解】一条渐近线与直线6210x y --=垂直，则该渐近线的斜率为13-，双曲线的标准方程为2214x y m -=-，2a =，b =13=-，49m =-．故答案为：49-．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线C 上，212AF F F ⊥，直线1AF 与双曲线C 交于另一点B ，114F F A B =，则双曲线C 的离心率为___________.【分析】根据题目条件设点A 和B 的坐标，带入双曲线方程即可. 【详解】由于212AF F F ⊥ ，不妨设点A 的坐标为()(),0c m m >， 点B 的坐标为(),s t ，有22221c m a b -=，解得2b m a=，又由212,b F A c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,F B s c y =+，有()22,4,b c s c y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2c s =-，24b t a=，将点B 的坐标代入双曲线方程，有22221416c b a a -=，22222241,31616c b c a a a-=+=， 解得c =，双曲线C 的离心率为ce a=.三、双空题16．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，点P 为抛物线上的一个动点，则点P 到准线l 和直线50x y -+=的距离之和的最小值为__________，此时点P 的坐标为__________.【答案】 ()32-【分析】根据抛物线的定义把点P 到l 的距离转化到点P 到焦点F 的距离，就是求点F 到直线50x y -+=的距离，从而能求出直线FP ，与抛物线2:4C y x =联立可求点P 的坐标.【详解】设过点P 分别向l 和50x y -+=作垂线，垂足分别为12,P P ， 因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，由抛物线的定义得：1PP PF =， 所以只需要求2PF PP +最小即可.当且仅当2,,F P P 三点共线时2PF PP +最小，且最小值为点F 到直线50x y -+=的距离，即=此时直线50x y -+=与FP 垂直，所以1FP k =-，所以直线FP 为：()1y x =--直线FP 与抛物线2:4C y x =联立得()214x x -=，即2610x x -+=，且01x <<所以32x y =-=，故点P ()32-答案为：()32-四、解答题17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点坐标为12(6,0),(6,0)F F -，且经过点()5,2P ； (2)焦点在坐标轴上，经过点(22,2),(23,2)--. 【答案】(1)2215x y -=；(2)22142x y -=.【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答. （2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】（1）因双曲线的焦点坐标为12(6,0),(6,0)F F -，且经过点()5,2P ，令双曲线实半轴长为a ， 则有2222122||||(56)2(56)23510635106a PF PF =-++-++-22(305)(305)25=+-=5a =6c =b 有2221b c a =-=，所以所求双曲线的标准方程为2215x y -=.（2）依题意，设双曲线的方程为：221(0)mx ny mn +=<，于是得8211241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：11,42m n ==-，所以所求双曲线的标准方程为22142x y -=. 18．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，点Q 为线段PF 的中点．(1)求点Q 的轨迹方程；(2)求点Q 的轨迹与双曲线224x y -=的交点坐标． 【答案】(1)244y x =-(2)(4,，(4,-．【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q 的轨迹方程； （2）联立两曲线方程，解之即可得解. 【详解】（1）设点Q 的坐标为(),x y ，因为抛物线C ：28y x =，所以点F 的坐标为()2,0， 又点Q 为线段PF 的中点，所以点P 的坐标()22,2x y -，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，得()24822y x =-，整理为244y x =-，故点Q 的轨迹方程为244y x =-；（2）联立方222444x y y x ⎧-=⎨=-⎩，解得4x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩故点Q 的轨迹与双曲线224x y -=的交点坐标为(4,，(4,-．19．已知椭圆：22:12x C y +=，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段AB 的中点.(1)求直线l 的方程；(2)若O 为坐标原点，求OAB 的面积. 【答案】(1)2230x y +-=【分析】（1）由题意，直线l 的斜率存在，设出直线l 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即可求出斜率k ，从而即可得答案；（2）根据弦长公式求出弦AB 的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）解：由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()112y k x -=-，即12y kx k =+-，()()1122,,,A x y B x y ，由221212y kx k x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()222242484430k x k k x k k ++-+--=， 因为点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，所以2122842142k k x x k -+==⨯+，解得1k =-，直线l 的方程为()()1112y x -=-⨯-，即2230x y +-=；（2）解：由（1）知122x x +=，21224435642k k x x k --==+， 所以AB === O 到直线l的距离d ==所以1122OABSAB d ===20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3OA OB ⋅=-. (1)求p 的值；(2)若以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)2(2)22y x =-或22y x =-+.【分析】（1）设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，直线l 的方程为2pmy x =-，联立抛物线方程得2220y pmy p --=，已知3OA OB ⋅=-，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出p 的值； （2）利用韦达定理求出弦长AB ，已知以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切，求出半径列得方程求解即可算出参数m 的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 由点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p my x =-，联立方程222y pxp my x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 后整理得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，2221212244y y p x x p ==.又由22212123344p p OA OB x x y y p ⋅=+=-=-=-，解得2p =. 所以p 的值为2.（2）由()21212124,242y y m x x m y y m +=+=++=+，可得线段AB 中点的坐标为()221,2m m +，212244AB x x m =++=+.若以线段AB 为直径的圆与直线4x =相切， 有()221442142m m +=+-，解得12m =±. 所以直线l 的方程为112y x ±=-，即22y x =-或22y x =-+. 21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y +=，点()1-在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过定点()0,1P 的动直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,A B 两点，与其两条渐近线分别交于,M N （点M 在点N 的左边）两点，证明：线段AM 与线段BN 的长度始终相等.【答案】(1)2214x y -= (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线C 的标准方程.（2）设出直线l 的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段AB 和MN 共中点，从而证得线段AM 与线段BN 的长度始终相等.【详解】（1）由双曲线2222:1x y C a b-=可得渐近线方程为b y x a =-， 由渐近线方程20x y +=的斜率为12-，有12b a -=-，可得2a b =.将点()1-代入双曲线C 的方程，有22811a b-=. 联立方程222811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， 故双曲线C 的标准方程为2214x y -=. （2）设点,,,A B M N 的坐标分别为()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y ，线段AB 的中点D 的坐标为()55,x y ，线段MN 的中点E 的坐标为()66,x y .依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，12k ≠±， 联立方程112y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得3221x k =-+；联立方程112y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得4221x k =--. 所以可得6212242212141k x k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭. 联立方程22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 后整理得()2241880k x kx -++=， 由()22264324132640k k k ∆=--=->解得2222k -<<，且12k ≠±， 由于直线l 与双曲线左右两支分别相交，所以1122k -<<. 所以122841k x x k +=--，可得52441k x k =--，所以56x x =， 所以线段AB 和MN 共中点，故有AM BN =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1M ：2213y x +=，椭圆2M ：22193x y +=，点P 为椭圆1M 的上顶点，点A ，C 为椭圆1M 上关于原点对称的两个动点.斜率为1k 的直线P A 与椭圆2M 交于另一点B ，斜率为2k 的直线PC 与椭圆2M 交于另一点D(1)求12k k 的值；(2)求PA PC PB PD +的值. 【答案】(1)-3 (2)109 【分析】(1)设点A 的坐标为(),m n ，则点C 的坐标为(),m n --，且2213n m +=， 根据两点斜率公式求12k k ，，由此可得12k k 的值；(2)分别联立直线AP 与椭圆方程1M ，2M 求点A 的横坐标和点B 的横坐标，由此可求PAPB ，同理可求PC PD ，再求PA PC PB PD+的值. 【详解】（1）设点A 的坐标为(),m n ，可得点C 的坐标为(),m n --，由点A 在椭圆1M 上有2213n m +=，可得2233n m -=， 点P 的坐标为()0,3，由13n k m -=，233n n k m m --+==-， 有()()221222233333n n nm k k m m m-+--====-， 故12k k 的值为-3；（2）直线AP 的方程为13y k x =+，联立方程消去y 可得()22113230k x k x ++=，解得0x =或1123k x =A 的横坐标为1123A k x =联立方程1223,1,93y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()221131630k x k x ++=，解得0x =或1163k x =，点B 的横坐标为12163B k x = 有()122112112123331336331k PA k k PB k k k -++=+-+；同理()()()22221211222221113313127273333993333PC k k k k PD k k k k ⎛⎫⨯-+ ⎪+++⎝⎭====⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()()()()()()()22222211111122222111119327103312710301093393939393k k k PA PC k k k PB PD k k k k k ++++++++=+====+++++， 故PA PC PB PD +的值为109.。
2021-2022学年吉林省四平市第一高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为，则（ ）()1220m y +--=23πm =A ．B ．1C ．D ．－11332【答案】A【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m .【详解】因为直线l 的倾斜角为，所以斜率23π2tan 3k π==，解得：.=13m =故选：A2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ）A ．B ．1n a n=-14n n a =C ．D ．2251n a n n =-+13,2,2,2n n n n a n -+≤⎧=⎨>⎩【答案】C【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A ，B 选项对应数列是递减数列．对于C 选项，，故1430n n a a n +-=->数列是递增数列．对于D 选项，由于．所以数列不是递增数列．{}n a 23a a >{}n a 故选：C.3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m ，深度为0.6m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）A ．1.35mB ．2.05mC ．2.7mD ．5.4m【答案】A【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p 值，进而求得焦点到顶点的距离.()0.6,1.8A 【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy ，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O 重合，焦点F 在x轴上．设抛物线的标准方程为，()220y px p =>由已知条件可得，点在抛物线上，()0.6,1.8A 所以，解得，21.2 1.8p =2.7p =因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m ，故选：A.4．已知是空间的一个基底，若，{},,a b c 23m a b c =+-，若，则（ ）()()3()n x a b y b c a c =+-+++ m n∥x y =A ．B ．C ．3D ．3-13-13【答案】C【分析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果m n∥λn λm = ,m n 【详解】，23m a b c =+-，()()3()(3)()(3)n x a b y b c a c x a x y b y c =+-+++=++-+-因为，所以存在实数，使，m n∥λn λm = 所以，(3)()(3)(23)x a x y b y c a b c λ++-+-=+-所以，3233x x y y λλλ+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩所以，得，，2(3)33(3)x y x y x -=+⎧⎨-=-+⎩223x y x y +=-3x y =所以，3x y =故选：C 5．已知点，，，动点P 满足，则的取值范围为()2,0A -()2,0B ()4,3C PA PB ⊥PC（ ）A ．B ．C ．D ．[]2,5[]2,8[]3,7[]4,6【答案】C【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，P 224x y +=P ,A B PC只需求出到圆上点的距离范围即可.()4,3C 224x y +=【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重P ||AB (,)P x y 224x y +=P ,A B 合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，PC()4,3C224x y +=又圆心到的距离，圆的半径为2，(0,0)C 5d ==所以的取值范围为，即.PC[,]d r d r -+[]3,7故选：C6．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面PAE 是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ）ABC PB PC →→⋅=A ．B ．C ．D ．32527292【答案】B【分析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.PO =【详解】解：由题得,,PO ==120BOC ∠=．21531122PB PC PO OB PO OC PO OB OC →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅=+⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B 7．已知等比数列的前3项和为3，，则（ ）{}n a 12342360a a a a +++=3a =A ．B ．4C ．D ．18-2-【答案】D【分析】设等比数列的公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得{}n a ()0q q ≠，，代入即可求得结果.14a =12q =-【详解】设等比数列的公比为，{}n a ()0q q ≠由，得12342360a a a a +++=1112132360a a a a q q q +++=即，又()21312360q q q a +++=10a ≠，即2312360q q q ∴+++=()()213120q q ++=又，，解得2103q +>120q ∴+=12q =-又等比数列的前3项和为3，故，{}n a 21113a a q a q ++=即，解得1111324a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭14a =1231a a q ∴==故选：D8．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能0mn ≠221mx ny +=2ny mx =是（ ）A．①④B．②③C．①②D．③④【答案】B【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同0,0m n<>,m n 号，矛盾.故①错误；对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合0,0m n<>,m n要求.故②成立；对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物0,0m n>>,m n线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物0,0m n>>,m n线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；故选：B9．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，，则下列{}nanS1a>89a a+>9a<结论不正确的是（）A．B．当时，取得最大值0d<8n=n SC．D．使得成立的最大自然数n是15 4518a a a++<0nS>【答案】D【分析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断.【详解】因为，，89a a+>9a<所以，则，故A正确;8a>0d<当时,取得最大值，故B正确;8n=n S，故C正确;45181932430a a a a d a++=+=<因为，，，158150S a =>()168980S a a =+>179170S a =<所以使得成立的最大自然数是，故D 错误.0n S >n 16故选：D ．10．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（ ）A ．336B ．467C ．483D ．601【答案】B【分析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，11n n n a a -=--12a =所以()()()()()1122112212n n n n n a a a a a a a n n ---=-+-++-=-+-++++ ()122n n -=+该数列的第31项为.31313024672a ⨯=+=故选：B11．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD ，，，点E 为PA 的中PA ⊥AB AD ⊥//AD BC点，，，，则点B 到平面PCD 的距离为（ ）1AB BC ==2AD =PA =A ．BC ．D ．141312【答案】D【分析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B 到F PD ,,BE EF FC EFCB 平面PCD 的距离即为到平面PCD 的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，E d 在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用PCD 等体积法求点面距即可.【详解】若为中点，连接，又E 为PA 的中点，F PD ,,BE EF FC所以，，又，，则且，12EF AD =//EF AD BC =12AD//AD BC //EF BC EF BC =所以为平行四边形，即，又面，面，EFCB //BE FC FC ⊂PCD BE ⊄PCD 所以面，故B 到平面PCD 的距离，即为到平面PCD 的距离，//BE PCD E d 由底面ABCD ，面ABCD ，即，，，PA ⊥,,AB AD BC ⊂PA AB ⊥PA AD ⊥PA BC ⊥又，即，，则面，面，即AB AD ⊥AB BC ⊥AB PA A ⋂=BC ⊥PAB PB ⊂PAB ，BC PB ⊥而，，，，易知：，AB AD⊥PA =2AD =1AB BC ==CD =在△中△中△中；Rt PAD PD =Rt PAB PBRt PBC 2PC =综上，，故222PC CD PD +=PCD S = 又则.111322E PCD PCD A PCD P ACD V d S V ---=⋅⋅=== 12d =所以B 到平面PCD 的距离为.12故选：D12．已知A ，B ，C 是椭圆M ：上三点，且A （A 在第一象限，B ()222210x y a b a b +=>>关于原点对称，，过A 作x 轴的垂线交椭圆M 于点D ，交BC 于点E ，若直AB AC ⊥线AC 与BC 的斜率之积为，则（ ）12-A ．椭圆M的离心率为B ．椭圆M 的离心率为1214C ．D ．12AE AD=13AE AD=【答案】C 【分析】设出点，,的坐标，将点， 分别()00,A x y ()11,C x y ()0,E x m ()00,A x y ()11,C x y代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的AC BC 2212b a=离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.CB EB k k =0m =E x AD 12AEAD=【详解】设，，，则，()00,A x y ()11,C x y ()0,E x m ()00,B x y --，，两式相减并化简得，2200221x y a b +=2211221x y a b +=()()2101021010y y y y b a x x x x ----=⋅---即，则,则AB 错误；2212CA CBb k ka ⋅=-=-e ===c a ∵，，∴，00AB y k x =AB AC ⊥00CA x k y =-又∵，∴，即，12CA CBk k ⋅=-002CBy k x =000022CB EB m y y k k x x +===解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.0m =E x AD 12AEAD=C 故选：C.二、填空题13．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴()222104x y a a -=>()2221x y +-=长为______．【分析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a ，即可确定实轴长.【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，2y xa =(0,2)，可得，又，即1=234a =0a>a =所以双曲线的实轴长为2a =14．写出一个同时满足下列条件①②的圆C 的一般方程______．①圆心在第一象限；②圆C 与圆相交的弦的方程为．224x y +=20x y +-=【答案】（答案不唯一）()()22112x y -+-=【分析】设所求圆为，由圆心在第一象限可判断出，()22420x y x y λ+-++-=0λ<只需取特殊值，即可得到答案.2λ=-【详解】可设所求圆为，即()22420x y x y λ+-++-=22242222x y λλλλ⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需，解得：，2024202λλλ⎧->⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩0λ<不妨取，则圆的方程为：.2λ=-()()22112x y -+-=故答案为：（答案不唯一）()()22112x y -+-=15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新{}n a 11232422n n na a a a -+++⋅⋅⋅+={}n a 数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前1a 2a 2a 2a 3a 3a 3a 3a 3a ()21,,,n n n n a a a -⋅⋅⋅项70项和为______．【答案】 2.93754716【分析】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前12n n a =70项和.【详解】①，当时，；当时，11232422n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=1n =112a =2n ≥②，①-②得：，即．2123112422n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=1122n n a -=12n na =又满足，所以．112a =12n n a =12n na =由，得．()21352164n n +++⋅⋅⋅+-==8n =令，则，238135152222S =+++⋅⋅⋅+234911351522222S =+++⋅⋅⋅+两式相减得，则22389911111111151157492222212222222251212S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=+-=-．749256S =所以新数列的前70项和为．9749675247256225616+==故答案为：4716三、双空题16．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第______页第______行．（用数字作答）【答案】 7 17【分析】首先求出等差数列的通项公式，即可得到为第项，再根据每行每页55551852的项数计算可得；【详解】解：由2，5，8，11，14，…组成的等差数列的通项公式为，令31n a n =-，解得．315555n -=1852n =又，，．所以555在第7页第17行．1321273⨯=185********=⨯+21413166=⨯+故答案为：；717四、解答题17．等比数列中，，．{}n a 11a =979a a =(1)求的通项公式；{}n a (2)记为的前n 项和．若，求m 的值．n S {}n a 61m S =【答案】(1)或；()13n n a -=-13-=n n a (2)5.【分析】（1）设的公比为q ，解方程即得解；{}n a 869q q =（2）分两种情况解方程即得解.(1)解：设的公比为q ，由题设得．{}n a 1n naq -=由已知得，解得（舍去），或．869q q =0q =3q =-3q =故或．()13n n a -=-13-=n n a (2)解：若，则．()13n n a -=-()134nn S --=由，得，解得．61mS =()3243m-=-5m =若，则．13-=n n a 312n n S -=由，得，61m S =3123m =因为，所以此方程没有正整数解．m +∈N 综上，．5m =18．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．C 2y x =C y (0,4)P (1)求圆的标准方程；C (2)若直线与圆相交于，两点，求的面积．:0l x y -=C M N PMN 【答案】(1)22(2)4)(4x y -+-=(2)4【分析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.MN P MN (1)因为圆心在直线上，所以设圆心， C 2y x =(,2)C a a 又圆与轴相切于点，所以，即．C y (0,4)24a =2a =圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为．C y ||r a =C 22(2)4)(4x y -+-=(2)圆心到直线的距离， 则C l d==||MN ==又到直线，P l =所以.142PMN S =⨯= 19．已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 23522n S n n =+(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.13n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)；31n a n =+(2).31216n n T n =+【分析】（1）利用，结合已知条件，即可容易求得通项公式；1n n n a S S -=-（2）根据（1）中所求，对数列进行裂项求和，即可求得.13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T (1)当时，.1n =1135422a S ==+=当时，，2n ≥2213535(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎢⎥⎣⎦因为当时，，1n =3114⨯+=所以.31n a n =+(2)因为，13311(31)(34)3134n n a a n n n n +==-++++所以，1111111134771031344341216n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故数列的前项和 .13n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T =31216n n +20．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中111ABC A B C -21AA ⊥ABC M AB 点，为的中点．N 1CC (1)证明：直线平面；//MN 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．ABC 11A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，由平面几何得11A B D MD 1A B E 1C E CM ，再根据线面平行的判定可得证；1//MN C E （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得结果.(1)取的中点，连接交于，连接，．11A B D MD 1A B E 1C E CM在三棱柱中，为的中点，，．111ABC A B C -M AB ∴1 //MD AA 112ME AA =为的中点，且，且， N 1CC ∴11 //NC AA 1112NC AA =∴1//NC ME 1=NC ME 四边形为平行四边形，．∴1MNC E ∴1//MN C E 又平面，平面，平面；MN ⊄11A BC 1C E ⊂11A BC ∴//MN 11ABC (2)平面，，平面，1AA ⊥ABC 1//MD AA ∴MD ⊥ABC ，，两两垂直，∴MA MD MC 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，M MA MD MC x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，M xyz -则，，，，．()11,2,0A ()1,0,0B-(10,C ∴()12,2,0BA =(11,BC = 设平面的法向量为，则即11A BC (),,n x y z = 110,0,n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220,20,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取，．y=x =1z =)n =又是平面的一个法向量，()0,1,0m =ABC ，∴cos ,m =故平面和平面．ABC 11A BC 21．已知数列和满足，．{}n a {}n b 12a =()132n n a b n -+=≥(1)若，求的通项公式；n n a b ={}n a (2)若，，证明为等差数列，并求和的通项公式．10b =()112n n a b n -+=≥{}n a {}n a {}n b 【答案】(1)()131122n n a -=+⨯-(2)证明见解析，，1n a n =+1nb n =-【分析】（1）代入可得，变形得构造等比数列n n a b =13n n a a -=-+13322n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭求的通项公式；{}n a （2）先由已知得，先分别求出，的通项公式，然后合()1122n n a a n +--=≥{}21k a -{}2k a 并可得的通项公式，进而可得的通项公式．{}n a {}n b (1)当，时，，所以，即，n n a b =2n ≥11n n a b --=13nn a a -+=13n n a a -=-+整理得，13322n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭所以是以为首项，为公比的等比数列．32n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭13122a -=1-故，即．()131122n n a --=⨯-()131122n n a -=+⨯-(2)当时，由，，得，2n ≥13n n a b -+=11n n a b -+=13n n a b ++=所以．()1122n n a a n +--=≥因为，所以，10b =23a =则是以为首项，2为公差的等差数列，，；{}21k a -12a =()212122k a k k -=+-⨯=*k ∈N 是以为首项，2为公差的等差数列，，．{}2k a 23a =()231221k a k k =+-⨯=+*k ∈N 综上所述，．1n a n =+所以，，()111n n a a n n --=+-=2n ≥故是以2为首项，1为公差的等差数列．{}n a 当时，，且满足，2n ≥111n n b a n -=-=-10b =1n b n =-所以．1n b n =-22．已知抛物线C ：的焦点为F ，为抛物线C 上一点，且()220y px p =>()0,2M x ．2MF =(1)求抛物线C 的方程：(2)若以点为圆心，为半径的圆与C 的准线交于A ，B 两点，过A ，B 分别(),P t s PF作准线的垂线交抛物线C 于D ，E 两点，若，证明直线DE 过定点．21t s =-【答案】(1)；24y x =(2)证明见解析.【分析】（1）解方程和即得解；042px =022px +=（2）设，，将与圆P 的方程联立得到韦达定理，再写出211,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =-直线的方程即得解.DE (1)解：因为为抛物线C 上一点，且，()0,2M x 2MF =所以到抛物线C 的准线的距离为2．()0,2M x 则，，042px =022px +=则，所以，故抛物线C 的方程为．244p p =-2p =24y x =(2)证明：由（1）知，则圆P 的方程为．()1,0F ()()()22221x t y s t s -+-=-+设，，将与圆P 的方程联立，可得，211,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =-2240y sy t -+=则，．122y y s +=124y y t =当时，，不妨令，122=0yy s +=1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭((,1,E E --则，此时；11,,22D E ⎛⎛ ⎝⎝1:2DE x =当时，直线DE 的斜率为，1220y y s +=≠12221212444y y y y y y -=+-则直线DE 的方程为，2221244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即，121242221x y y x t x s y y y s s +++-===+即，令且，得，直线过点；()2110x s y -+-=210x -=10y -=1,12x y ==1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，直线DE 过定点．1,12⎛⎫⎪⎝⎭。
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2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第三次月考数学试题一、单选题1．角度20230'︒化成弧度为（ ） A ．98π B ．5π4C ．11π8D ．19π16【答案】A【分析】根据题意，结合π180=，即可求解. 【详解】根据题意，π9π2023018022.50π88'︒=︒+︒=+=. 故选：A.2．已知集合(,2]A =-∞，集合{}2|230,B x x x x Z =--≤∈，则A B =（ ）A ．[1,2]-B ．{1,0,1,2,3}-C ．{1,0,1,2}-D ．[1,3]-【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合B ，再由集合的交运算求A B ⋂. 【详解】由题设，{|13,}{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-， ∴{1,0,1,2}A B =-. 故选：C3．若角α的终边经过点()2,4-，则cos α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【分析】根据角α终边上的一点以及cos α=.【详解】由题可知：角α的终边经过点()2,4-则cos α= 故选：A【点睛】本题主要考查角的三角函数的定义，掌握公式cos α=α=，属基础题.4．已知2log 3a =，12b -=，4log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c b a <<【答案】B【分析】利用对数函数的单调性证明1a c >>即得解.【详解】解：244log 3log 9log 81a c ==>=>，11212b -==<， 所以b<c<a . 故选：B5．已知集合{}51A x x x =><-或，{}8B x a x a =<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}31a a -<<- B ．{}12a a << C ．{}31a a -≤≤- D ．{}12a a ≤≤【答案】A【分析】根据集合并集的定义，则185a a <-⎧⎨+>⎩即可求解．【详解】因为{}51A x x x =><-或，{}8B x a x a =<<+又A B =R ，则185a a <-⎧⎨+>⎩ 解得31a -<<- 故选：A6．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=，则sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C ．43- D ．53-【答案】C【分析】根据θ为第四象限角且sin cos 0θθ+=>可得：cos sin θθ>，然后利用完全平方即可求解.【详解】因为θ为第四象限角且sin cos 0θθ+=>，所以cos sin θθ>，也即sin cos 0θθ-<，将sin cos θθ+=两边同时平方可得： 212sin cos 9θθ+=，所以72sin cos 9θθ=-，则4sin cos 3θθ-==-，故选：C .7．已知函数2,1()log ,1x aa x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(1,2]D ．(1,e]【答案】C【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解.【详解】根据题意，易知1log 12a a a >⎧⎨≥-⎩，解得12a <≤.故选：C.8．已知函数()()2ln 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)4,+∞C ．(),0∞-D ．()4,+∞【答案】B【分析】根据对数函数的值域知，()0,∞+是函数21y ax ax =++值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解该不等式组可得答案．【详解】设21y ax ax =++，根据题意(){}20,|1+∞⊆=++y y ax ax ，∴20Δ40a a a ⎧⎨=-≥⎩＞，解得4a ≥， ∴实数a 的取值范围为[)4,+∞． 故选：B ．9．已知函数()f x 为定义在[]1,4a -上的偶函数，在[]0,4上单调递减，并且()25a f m f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]3,1- B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．[)(]3,13,5-⋃ D ．[)(]5,31,3--⋃【答案】D【分析】利用函数的奇偶性得到5a =，再解不等式组41412m m -≤--≤⎧⎨-->⎩即得解.【详解】解：由题得14,5a a -=-∴=.因为在[]0,4上单调递减，并且()()12f m f --<，所以41412m m -≤--≤⎧⎨-->⎩，所以13m <≤或53m -≤<-.故选：D10．已知实数x 满足不等式2122log 4log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，则函数()248log log 8x f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭取最小值时x 的值为（ ） A ．3 B ．12C ．18D ．116【答案】C【分析】解不等式得23log 1x -≤≤-，再化简函数的解析式换元得到二次函数，利用二次函数的图象和性质求解.【详解】解：由题得()222log 4log 30x x -++≤， 所以()222log 4log 30x x ++≤， 所以()22log +1(log 3)0x x +≤， 所以23log 1x -≤≤-.()2242228311log log (log 3)(log )(log 3)8222x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设2log [3,1]t x =∈--， 所以21()(3)2g t t =--，所以2min 1()(3)(33)182g t g =-=---=-. 此时321log 3,28x x -=-∴==.故选：C二、多选题11．已知角θ是第二象限角，则角2θ所在的象限可能为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】AC【分析】用不等式表出第二象限角θ的范围，再求得2θ的范围后判断．【详解】角θ是第二象限角，则22,Z 2k k k ππθππ+<<+∈，,Z 422k k k πθπππ+<<+∈，k 为奇数时，2θ是第三象限角，k 为偶数时，2θ是第一象限角，故选：AC ．12．下列命题为真命题的是（ ）A ．若函数()f x 在(),0∞-和()0,∞+上都单调递减，则()f x 在定义域内单调递减B ．“0x ∀>，21x >”的否定是“00x ∃>，21x ≤” C ．“0x =或0y =”是“0xy =”的充要条件 D ．“0a ∃>，12a a+<”的否定是“0a ∀>，12a a +>”【答案】BC【分析】根据函数的单调性，和含有量词的命题的否定，以及充要条件的定义，即可判断正误. 【详解】对于A ，函数1()f x x =在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调递减，但是1()f x x=在定义域内不单调，所以A 不是真命题；对于B ，命题“20,1x x ∀>>”是一个全称量词命题，它的否定是“2000,1x x ∃>≤”，所 以B 是真命题；对于C ，因为0xy =等价于0x =或0y =，所以“0x =或0y =”是“0xy =”的充要条件，所以C 是真命题；对于D ，命题“10,2a a a∃>+<”是一个存在量词命题，它的否定是“0a ∀>，12a a +≥”，所以D 不是真命题； 故选：BC.13．已知函数()f x 是奇函数，且满足()()()2f x f x x -=∈R ，当01x <≤时，()12f x =，则函数()f x 在()2,2-上的零点为（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．74±【答案】ABD【分析】由题意求出函数的周期和对称轴，根据函数的性质作图，即可分析出函数的零点. 【详解】解：函数()f x 是奇函数，∴()00f = 且满足()()()2f x f x x -=∈R ，则()()()()()222f x f x f x f x -+=-=-=+，()()()24f x f x f x ∴-+=+=，即函数()f x 的周期为4，对称轴为2012x +==， 当01x <≤时，()12f x x =-，0141214f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由题意作出函数()f x 的图像，如图所示，可知函数()f x 在()2,2-上的零点为：74-，14-，0，14，74，故选：ABD.14．设{},min ,,a a b a b b b a ≤⎧=⎨<⎩，函数()24min log ,1f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭（0x >），则（ ）A ．函数()f x 的最小值是0B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 在()0,4上递增D ．函数()f x 在()4,+∞上递减【答案】BCD【分析】化简函数()f x 的表达式，再分析其性质，逐项判断作答.【详解】令函数2244()log (1)log 1g x x x x x =-+=--，0x >，显然，()g x 在(0,)+∞上单调递增，而24(4)log 4104g =--=，当04x <≤时，()()40g x g ≤=，即24log 1x x ≤+，则有()2log ,0441,4x x f x y x x <≤⎧⎪=⎨=+>⎪⎩， 当04x <≤时，2log y x =在(0,4]上单调递增，max 2y =，其值域为(,2]-∞， 当>4x 时，41y x=+在()4,+∞上单调递减，max 2y =，其值域为(1,2]，因此，函数()f x 的值域是(,2]-∞，A 不正确；B ，C ，D 都正确. 故选：BCD15．已知不等式20x ax b ++≥的解集为{2x x ≤或}3x ≥，则ab =______. 【答案】30-【分析】由题意可知，2,3是一元二次方程20x ax b ++=的两根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为不等式20x ax b ++≥的解集为{2x x ≤或}3x ≥， 所以2,3是一元二次方程20x ax b ++=的两根， 所以2+3,23a b =-⨯=，则5,6a b =-=. 则30ab =-. 故答案为：30-.16．已知()()1,63,6x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()7f =______.【答案】5【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()7f 的值.【详解】因为()()1,63,6x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()74415f f ==+=.故答案为：5.17．若函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,4【分析】结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解. 【详解】由题意可知，0a >且1a ≠，所以1y ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，因为函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，由复合函数单调性可知，1a >，又由对数型函数定义域可知，1104a ->，即4a <，综上可知，14a <<. 故答案为：()1,4.四、双空题18．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为【答案】 4 2【分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形所在圆周的半径为r ，弧长为l ，有28l r +=，211(82)422S lr r r r r ==-=-+=2(2)44r --+≤，此时2r =，4l ，422l r α===．故答案为：4；2五、解答题19．计算下列各式的值:(1)()()13369611log 18log 3log 2278-⎛⎫⎛⎫-++⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)已知角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 5θθ=.求tan θ的值.【答案】(1)3- (2)1tan 2θ=【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得； （2）由题意可得22sin cos 2sin cos 5θθθθ=+，在根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到tan θ的方程，并根据θ的范围求解.【详解】（1）()()13369611log 18log 3log 2278-⎛⎫⎛⎫-++⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2213666631127log 18log 3log 213log 18log 2122=-++⋅-=-++-()61log 18241432=⨯-=-=-. （2）由2sin cos 5θθ=，有22sin cos 2sin cos 5θθθθ=+， 则2tan 2tan 15θθ=+，整理为22tan 5tan 20θθ-+=. 所以()()2tan 1tan 20θθ--=，解得1tan 2θ=或tan 2θ=. 又由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有0tan 1θ<<，可得1tan 2θ=.20．已知集合{}42A x x =-≤≤，{}23B x x =+>，{}61,0C x m x m m =-<+． （1）求A B ⋃；()R C B A ；（2）若R x C B ∈是x C ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{|5A B x x =<-或4}x ≥-，()[4,1]R C B A =-；（2）01m <<.【分析】（1）求出{|1B x x =>或5}x <-，即得解； （2）解不等式组06511m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+>⎩即得解.【详解】（1）由题得{|1B x x =>或5}x <-，所以{|5A B x x =<-或4}x ≥-，}5|1{RB x x =-≤≤，所以()[4,1]R C B A =-.（2）因为R x C B ∈是x C ∈的充分不必要条件， 所以06511m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+>⎩，解得01m <<.所以实数m 的取值范围是01m <<.21．某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的A 类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产x 千件需另投入成本为21()2010C x x x =+（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）求公司生产A 类药品当年所获利润y （万元）的最大值；（2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润.【答案】（1）3840万元；（2）当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【解析】（1）先由题意，得到0280x <≤，利润等于销售收入减去成本，由此即可得出函数关系式，再由配方法，即可求出最值；（2）由（1）得出平均利润为240001161x xx -+-，化简整理，利用基本不等式，即可求出最值，以及此时的x .【详解】（1）由题可得0280x <≤，()22211120200360160840384010101040160x x x x y x x ⎛⎫=--=-+-=- ⎪⎝++≤⎭-，当且仅当200x =时，max 3840y =，所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元； （2）可知平均利润为240001161x xx -+-16040403210x x ⎛⎫++≤--= ⎪⎝=⎭. 当且仅当16010x x=，即40x =时等号成立 所以当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22．已知幂函数()()1221m f m x m x -=--在()0,∞+上为增函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数()()2345g x f x x =--+的值域. 【答案】(1)2m =；(2)7(,]8-∞-.【分析】（1）解方程211m m --=再检验即得解；（22(0),()21t t h t t t =≥=-+-，再求函数()h t 的值域即得解.【详解】（1）解：由题得2211,20,(2)(1)0,2m m m m m m m --=∴--=∴-+=∴=或1m =-. 当2m =时，()12f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意；当1m =-时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意.综上所述2m =.（2）解：由题得()452(23)1g x x x =+--，2(0),()21t t h t t t ≥∴=-+-， 抛物线的对称轴为14t =，所以max 111287()2116488h t -+-=-⨯+-==-.所以函数()()2345g x f x x =--+的值域为7(,]8-∞-. 23．已知函数()32log f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)当1a =时，解关于x 的不等式()0f x <；(2)请判断函数()()()3log 1g x f x ax a =-+-是否可能有两个零点，并说明理由；(3)设a<0，若对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()1,2(2)不可能，理由见解析 (3)8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）由()0g x =，求得12x =-，21x a=，但推出矛盾，由此判断()g x 没有两个零点. （3）根据函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，不等式()0f x <可化为32log 10⎛⎫-< ⎪⎝⎭x ， 有2011<-<x ，有20,10,x x x x-⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 解得12x <<，故不等式，()0f x <的解集为()1,2.（2）令()0g x =，有()332log log 1a ax a x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 有210a ax a x -=+->，()22122210,0ax a x a ax x x---+--+==， ()22120ax a x x+--=，()()210x ax x +-=， 则()()20210a x x ax x ⎧->⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，若函数()g x 有两个零点，记为()1212,x x x x ≠，必有12x =-，21x a=， 且有20 220a a a ⎧->⎪-⎨⎪->⎩，此不等式组无解， 故函数()g x 不可能有两个零点.（3）当a<0，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1t x t ≤≤+时，20->a x，函数()f x 单调递减， 有()()3max 2log f x f t a t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()3min 21log 1f x f t a t ⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭ 有3322log log 11⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭a a t t ， 有3322log log 31⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a t t 有2231⎛⎫-≤- ⎪+⎝⎭a a t t ，整理为311≤-+a t t ， 由311≤-+a t t 对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，必有31,231,11144a a ⎧≤-⎪⎪⎨≤-⎪+⎪⎩解得85≤-a ， 又由()()()254131801551t t t t t t +-⎛⎫---=≥ ⎪++⎝⎭，可得31815-≥-+t t ， 由上知实数a 的取值范围为8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。