分形

作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：我们正在学习什么？或者说：什么是分形？

严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。

让我们来看下面的一个例子。上图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。

如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻

莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。

上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

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除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面演示的是Mandelbrot集，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。(程序)

不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。

Koch雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性。但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了，在接下来的课程中，我们将继续探讨分形的含义。

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其实，分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分形的思想已经开始出现在数学领域。但是，就像其它的一些革命性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学家 Charles Hermite 把分形称为“怪物”，这代表了绝大多数人的观点。

IBM公司的数学家 Benoit B. Mandelbrot 认真地研究了分形与自然的关系。他向人们展示了分形广泛地存在于我们身边，一些现象都能够用分形来进行准确的描述。他和他的同事们用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数的概念，开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractal”一词。“fractal”就是我们所说的“分形”，也叫

“分维”，台湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖 Mandelbrot 的突出贡献，人们把他称为“分形之父”。

象所有伟大的思想家（例如牛顿、爱因斯坦）一样，Mandelbrot 的工作也建立在前期一些数学家的研究成果之上。Gaston Julia、Pierre Fatou 以及 Felix Hausdorff 等一些伟大的科学家都是这个领域的先驱，他们都为 Mandelbrot 的开创性研究铺平了道路。Mandelbrot 的研究成果激励了许多在这个领域感兴趣的学者，并继而使分形成为现代科学中的热门学科。

分形的许多理论和应用刚刚被人们发现。尽管分形的应用十分广泛，但在当前的研究中，图像压缩是分形应用中比较诱人的一个领域。因为自然景物可以利用分形表述，所以，分形在压缩图像上非常有用。现在，我们开始认识分形的特性。

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通过前面的介绍，我们已经知道：分形最明显的特征是自相似性，其它的特征包括无限复杂、无限细致等。但是，分形的正式定义是依据分维（分数维）来判断的。因为分维的概念非常复杂，所以，我们先继续研究分形的自相似特性，为分数维的研究奠定基础。

自然界中许多植物具有自相似特性，例如，我们在前面所介绍的分形植物。在这棵厥类植物中，枝杈是整个植物的小版本，而枝杈的枝杈则是更小的版本。这种特性可以无限地持续下去。这里的自相似体现在：每一个边都是由它的更小版本组成，而整个图形并没有重复。

也就是说，这时的自相似的实质应该是某一个部分在其它地方重复出现。

Julia 集也是一个非常好的具有自相似特征的分形图形。仔细观察下面的图画你会发现，许多部分都在其它地方重复出现。

上面这幅图是真实拍摄的一张厥类植物的图片。它也具有自相似特性。但是，它并不像计算机生成的分形图形那样严格地自相似，这大概是因为在成长过程中，受到了许多外界因素的影响吧。

正是因为分形所具有的自相似特性，才使分形如此重要并且具有

实际应用意义。很多物体都可以通过分形来精确描述。因为分形可以描述植物、雪花等自然物体，同样也可以生成风景图像，甚至是音乐作品。

我们通过前面的介绍还了解到：分形的另一个重要特征是具有无限精细和无限复杂性。但是，应该记住，无论是自相似性还是无限精细性都不能用来科学地定义分形，因为这些都只是分形中普遍存在的特点。为了定义分形，必须引进分维的概念。从下节开始，我们将探讨分维，这是一个很有趣但也很难掌握的概念。

********************************************************** 为了构造Koch曲线，我们首先作一条直线，然后在直线的中央作一个等边三角形，于是，直线变得复杂一些。然后，再在每一条线段的中央分别作一个等边三角形，这条直线变得更加复杂。依照此法，无限制地进行下去，就形成了Koch曲线。这个时候，这条直线开始接近一个平面，因为它明显地具有“高度”，但是，更精确地说，它却并不是一个平面，或者说，并不是一个二维的曲线。它的维数只有1.2618。为什么这样说呢？因为它高过一维，但却不到二维？

听起来是不是够玄乎的？不过，不要着急，我们将介绍更多的例子来帮助你来理解分维的概念。

分维？你是说还有一个2.8126维的物体吗？是的！尽管听起来似乎比较荒诞，但这是事实。在这个概念的基础上才有分形学的发展，

这个概念也可能会进一步改变我们的世界观。在前面我们曾介绍过“分形之父” Benoit Mandelbrot ，他正是从分维的概念出发创造了“分形”（Fractal）这个词。因为这是一个非常复杂的问题，所以我们必须慢速前进。让我们先作一个类比。

牛顿是1600年代时代的人物。牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时，这个定理就变得极不准确。于是，在1900初，爱因斯坦发明了相对论。这个成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于牛顿定律。

那么，这和分维有什么联系呢？象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维知识相冲突，而是一种发展！正是要拓展关于维数的概念，而引进分数维的概念。

我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里。你可能知道：一个平面是二维的，一条直线是一维的，而一个点呢？零维的！我们能够想象具有类似维数的任何物体。但是，你能想象一个具有1.2618维的物体吗？或许不能吧？那么Koch曲线就是1.2618维的。

在Sierpinski三角形中，我们首先作一个完全填充的三角形（二维）。然后，我们从中间移去一个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积等于零了，于是，它的维数自然小于 2 ，但是却永远达不到 1 ，因为，无论何处，它都不接近一条线。所以，它的维数也在2与1之间，经过数学计算，它的真正维数大约是1.5850。

现在你理解了分维的概念了吗？但愿如此吧！尽管这种思想非常奇怪，但却非常美妙，特别对于数学研究来说。

********************************************************* 现在，你已经了解分维的意思了，那么，怎么计算分维呢？在学习分维的计算方法之前，你应该对代数知识（特别是对数）知识有一定的了解。

假如你把一条直线分为 N 段，那么，你就有了原始直线的 N 个更小的版本，每一个都按照一个比例系数 r 减小，在这里Nr = 1。对一个正方形来说，也分成几个小的正方形，也让每一正方形的每边的

缩放比例为 r 。注意，这个时候 N 和 r 的关系是 Nr^2 = 1。

现在，我们可以归纳出分维来了。假设你把一个 d 维物体分为 N 等份，每一份的缩放比例是 r，二者的关系是Nr^d = 1。

经过数学计算，我们可以得到d = (log N) / (log (1/r))。

对于Koch曲线来说，我们把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的 (1/3)。所以有 N = 4 和 r = 1/3。运用上面的等式，可以计算 d = (log 4) / (log 3) ≈ 1.261859507143。

在Sierpinski三角形中，我们把三角形分成了三个相等的部分。而每一部分的边长和高只是原先三角形的 (1/2) ，所以 N =3 并且 r = 1/2 ，根据等式计算的结果则是 d = (log 3) / (log 2)，结果大约等于 1.584962500721.

现在，你应该知道怎么计算简单的分维了吧？还有很多种方法是专门用来计算非自相似分形的分维数的。在后续的文章中，你将会知道通过分形的方法可以计算海岸线，但是海岸线却并不是真正的自相似，所以必须运用近似计算方法。

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现在我们已经知道分形的原理，并且也初步学会了分维的计算，下一步我们要学习什么呢？当然是分形的生成和分形的应用了。

在这里，我们将开始学习通过不同的方式来创造分形。在学习的过程中，你也能了解分形的种类。如果你能理论联系实际的绘画，马上你就可以运用自己所学的知识了。

你可以创造很多种不同类型的分形图形，有些较为简单，而有些则比较复杂。我们已经在前面的课程中认识了一些分形图形，我们将在以后的课程中逐渐学习它们的制作方法，下面，我们首先来认识几类分形图形。

对我们来说，有许多非常有趣的分形值得我们去学习。这里所列举的只是其中的一小部分，还有很多其它类型的分形可以产生山、3D 树以及分形音乐。

********************************************************** 英国的海岸线有多长？

1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以1km 为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大

的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。

答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度。

可贵的是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。换言之，海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定量地分析像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的。经典维数都是整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形维数可以取分数，简称分维。

Mandelbrot毕业于巴黎工学院，获得理科硕士学位，后在巴黎大学获得数学博士学位。他是一个爱思索“旁门左道”问题的人，擅长形象地图解问题，博学多才。1973年他在法兰西学院讲课期间提出了分形几何的思路，1975年当Bill.Gates创业时，他提出了分形

（Fractal）术语，1983年出版《自然界的分形几何》，分形概念迅速传遍全球。

我们把具有某种方式的自相似性的图形或集合称为分形。自相似性就是局部与整体相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的细节并不比整体所包含的少，不断重复的无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它不但包括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。

数学与分形

分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有欧几里德物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里德的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里德几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里德几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里德写下了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事实上，分形这个术语在1975年B·曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认

为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。分形的新应用不断被发现。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H·哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！

分形理论及其发展历程

被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统

的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。

动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。

巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。

分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域

总结：

谁创立了分形几何学？

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点：

⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：

a^D=b, D=logb/loga

的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类

似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是

1.2618……。

Fractal（分形）一词的由来

据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

分形的定义

曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：

（1）满足下式条件

Dim(A)>dim(A)

的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法

定义，可能以变换的迭代产生。

为什么要研究分形？

首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。

其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。

分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。