分形技术
分形技术
一、基本概念及原则
经典的欧氏几何学只研究直线、矩形、圆、三角形、圆锥面、锥体、椭球体等规则的形状,而对于自然界中稍为复杂一些的图形就没有能力描述它。70 年代后期发展起来的分形几何学(FractalGeometry)相对于欧氏几何学来说,是一次革
命性的突破。分形几何可用来描述极复杂的几何图形。“分形”一词是由它的创始人B.B.Mandelbrot在1980年从拉丁文中Fractus (意为断裂)一词演变来的,主要用来描述一些非常不规则的对象。一个分形集应具备以下几个典型性质:
(l) 通常它本身的结构在大小尺度上有着某种“自相似”形式(有的严格地相似,也
有的只是近似的、或者统计的相似性);
(2)当图形比例不断缩小时,它可以有任意小的细节;
(3) 它的“分形维数”大于它的“拓扑维数”;
(4) 在大多数令人感兴趣的情形下,它可以用非常简单的方法定义,并可以用迭代计算产生其图形;
(5) 分形的结果是倾向于“解释性”的,而非“预言性”的。
很显然,如果不符合以上这些性质,就不能当作分形来研究。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构，如科契雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
二、分类
(1) 自然分形
凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几何形体(对象) ,都称为自然分形. 它涉及的范围极为广泛,包括的内容及其丰富. 从自然科学基础理论到技术科学、应用技术的研究对象,都存在着自然分形. 例如,
星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、云彩、地震、湍流等众多现象中的部分毫无例外地与整体相似
(2) 社会分形
凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象,称为社会分形.这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门. 不论是使人明鉴的史学,还是使人灵秀的诗歌;也不论教人聪慧的哲学,还是令人善辩的辞学,都存在着,或在某一时期某一范围存在着自相似性的现象.社会分形表征了社会生活和社会现象中一些不规则的非线性特征,有着广泛的应用价值.
(3) 时间分形
凡是在时间轴上具有自相似性的现象或研究对象,称为时间分形.有人也把它称为“一维时间分形”或“重演分形”、“过程分形”.德国科学家魏尔说过一段耐人寻味的话:“在一维时间中,等间隔的重复是节律的音乐原则. 当一棵苗生长时,人们可以说,它把一种缓慢的时间节律翻译成了一种空间的节律”.恩格斯也曾经指出过,整个有机界的发展史和个别机体的发展史之间存在着令人惊异的类似. 在人类社会的发展中,同样存在着类似的现象.
(4) 思维分形
人类在认识、意识活动的过程中或结果上所表现出来的自相似性特征.这包括两方面的情况:其一,作为思维形式之一的概念,它是逻辑思维最基本的分形元,反映了人们对事物整体本质的认识. 其二,每个个人的思维都在某种程度上反映了人类整体的思维. 美国科学家道·霍夫斯塔特曾经写道: “每个人都反映其它许多人的思想,他们每个人又反映别人的思想,一个无穷无尽的系列”. 可以说,人类的每一个健全个体的认识发生、发展过程,都是人类认识进化史的一个缩影,是其简略而又迅速的重演.
三、分形维数的定义及其测定
分形维数(fractal dimension) ,又叫分维、分数维,是分形几何学定量描述分形集合特征和几何复杂程度的参数.
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的
小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r 满足如下关系式 若r=1/4，则
当r=1/k （k=1，2，3，…）时，则
一般地，如果用尺度为r 的小盒子覆盖一个d 维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r 的关系为
变形得 义为拓扑维数
（2）Hausdorff 维数
几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d 为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：
上式就是Hausdorff 分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D 0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。
(3) 信息维数
如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i 个小盒子的概率为P i ，那么用尺度为r 的小盒子所测算的平均信息量为
若用信息量I 取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D 1的定义
2
)21
(14)21(
=
=N 2
)41
(116)41(=
=N 2
2)1
(1)1(k k k N ==d
r r N 1)(=)/1ln()(ln r r N d =)/1ln()(ln lim 0
0r r N D r →=∑
=-=)
(1ln r N i i
i P P I )
/1ln(ln lim )(101r P P D r N i i i r ∑=→-=
如果把信息维看作Hausdorff 维数的一种推广，那么Hausdorff 维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即
可见，在均匀分布的情况下，信息维数D 1和Hausdorff 维数D 0相等。在非均匀情形，D 1 (4) 关联维数 空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间的维数即所谓的关联维数。 分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变量共同作用而产生的。为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演化序列，然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为{x 1，x 2，x 3，…，x i ，…}，就可以用这些数据支起一个m 维子相空间。方法是，首先取前m 个数据x 1，x 2，…，x m ，由它们在m 维空间中确定出第一个点，把它记作X 1。然后去掉x 1，再依次取m 个数据x 2，x 3，…，x m+1，由这组数据在m 维空间中构成第二个点，记为X 2。这样，依此可以构造一系列相点 N P i 1=)/1ln(ln lim ) /1ln(1ln 1lim 0101r N r N N D r N i r →=→=-=∑?????????+++ ) ( ) () () ( 354424331322211m m m m x x x X x x x X x x x X x x x X ，，，：，，，：，，，：，，，： 把相点X 1，X 2，…，X i ，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联的程度越高。设由时间序列在m 维相空间共生成个相点X 1，X 2，…，X N ，给定一个数r ，检查有多少点对(X i ，X j )之间的距离|X i -X j |小于r ，把距离小于r 的点对数占总点对数N 2的比例记作C(r)， 为Heaviside 阶跃函数 若r 取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。适当缩小测量尺度r ，可能在r 的一段区间内有 如果这个关系存在，D 就是一种维数，把它称为关联维数，用D2表示，即 四、在化学中的应用 1）沉积及凝聚中的研究 有些沉积物在其积聚过程中的某些阶段往往会出现分形结构,著名的DLA 模型就是在研究大气中的金属粉末、煤灰和烟灰等微粒的无规扩散积聚时提出的,并在环境科学中可能有很好的应用前景.科学家们将此模型应用于电解沉积中,如在这一方面最早报道的是英国科学家BradyRM. 和Ball RC.发表在Nature 上的关于电解实验中得到的铜离子在三维空间中的凝聚体,其维数是2. 43±0. 03,实验结果与DLA 模型符合较好. 2）高分子化学中的研究 高分子链几乎都是随机混乱排列而构成的,可以用一模型来模拟其结构. 同时,高分子链的局部与整体具有自相似性,所以可以认为高分子链是一具有分形结构的长链.这一结论推动了对高分子结构、形态认识的深入,导致了著名的∑≠=--=N j i j i j i X X r N r C 1,2) ( 1)(θ???<>=0 001)(x x x ，，θD r r C ∝)(r r C D r ln )(ln lim 0 2→= Flory-Fisher 理论的诞生.研究工作者通过测定和分析反应过程中形成的聚合物分子簇的分维,发现不同反应初始状态对反应物结构的演变和最终产物的形成有很大影响. 分维可以对水凝胶聚合物的微观网络的致密程度进行量化表征,而采用多重分形理论描绘水凝胶聚合物微观形态的多重分维谱,可以比较非均匀程度,反映水凝胶聚合物微观形态不同层次上的分形特征. 3）催化领域的应用 最早把分形引入催化领域的是以色列化学家Pfeifer P.和Avnir D.等,并在1983年的论文中指出了测量催化剂分维的两种方法,第一种方法是通过采用不同大小(球形或线形)的分子在一固定的基底(催化剂)上进行吸附来测量;另一种方法是采用一种固定大小的标尺分子在不同大小的基底上吸附的方法来进行测量的.两种不同的方法都有相应的计算公式.采用上述两种方法测量碳黑及八面沸石等的分维均在2和3之间,并且偏差小于0.1. 现在一个普遍为众多催化学家接受的观点是:催化剂表面布满孔隙和皱褶,已不能将它当作二维的表面来看待. 即在这种表面进行的化学反应或吸附不能认为是发生在2维界面上,而应以大于2维接近于3维的系统看待,这样才能更真实地反应催化剂表面的实质,也就是说只有采用表面分维才能真实完整反映催化表面的不规整性,而这种不规整的表面恰恰是较高的反应转化率的一个重要原因. 人们期待着表面分维能够成为催化剂的重要表征参量之一,同以前常用的BET比表面相比,分形维数能体现出表面的“质量”,而BET比表面值更多的体现的是表面的“数量”,很显然, “质量”的好坏对催化活性的影响要远大于“数量”大小对活性的影响.因而在催化领域,该理论的应用进展是十分瞩目的,尤其是随着仪器及计算机性能的不断扩展,分形维数的确定已摆脱了烦复的实验和大量的数据处理,进入到了一个崭新的时代. 目前, 分数维方法在化学中各个领域的应用正在开展之中. 例如: 沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面, 有关分形理论的应用性研究已有大量的报道, 也有少数学者开始研究小分子运动以及大分子构象等问题. 此外, 薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的 研究已日趋活跃. 越来越多的化学家已开始把分形理论引用到自己的研究项目中.在化学界, 液态和溶液历来是研究的一个主题. 无序体系的一大难题是没有简洁严密的方法描述原子的无序排列近年来, 相关学者已用分数维方法在这方面进行了许多有益的探讨, 说明分数维理论对准晶和非晶态固体的描述具有巨大的潜力.另一方面, 分形几何理论作为描述各种无序介质结构的强有力工具, 在气固反应模型中也不断得到应用和发展。 度量数论中若干分形集 本文主要讨论了使用Liiroth展式逼近实数的效率问题,无穷迭代函数系中数字的增长速度,以及1的β-展式的性质.我们得到了其中出现的一些分形集的Hausdorff维数.在第一章介绍本文的背景,第二章给出预备知识的基础上,用了三章内容分别对上述三方面的问题展开了详细的论述.在第三章,我们考虑使用Liiroth展式的逼近因子来逼近实数的效率问题,我们发现Liiroth展式逼近因子无穷次成为最佳逼近的点集是一个Lebesgue零测集,不过该集合的Hausdorff 维数是严格大于0的,我们给出了一个下界的估计.同时,我们还证明了类似Jarnilc定理的结果,说明了将其中的连分数展式逼近因子换成Liiroth展式逼近因子相应集合的Hausdorff维数减半.在第四章,我们将连分数展式部分商的概念推广到无穷迭代函数系中,称之为数字.我们考虑一类无穷迭代函数系中数字的增长速度,将Wang和Wu[1,2]以及Luczak[3]关于连分数的结果推广到一类无穷迭代函数系上.具体的,对于自然数的任意无限子集B,我们给出了数字限定在B中并趋于无穷的点所构成集合的Hausdorff维数.对于任意的a,b>1,给出了数字满足an(x)>abn对任意的n成立以及对无穷多个n成立的点构成集合的Hausdorff维数上界,并说明在给定条件下,是没有一致的下界的.在上述两个维数结论中,无穷迭代函数系的压缩比构成级数的收敛指数起了关键的作用.此外,我们证明了对满足条件的无穷迭代函数系,任意的趋于无穷的函数φ(n),都可以找到自然数集的无穷子集B(?)N,使得限定在此子集上收敛指数不变,但是数字限定在B中并且满足an(x)>φ(n)对任意的n成立的点构成集合的Hausdorff维数为0.从而说明了第一个结果的最佳性.同时我们还证明了,对任意的实数s0∈[0,1]和趋于无穷的函数φ(n),都存在一个无穷迭代函数系,收敛 分形维数算法． 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形， 如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 -D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： 1-D（2-22）L=Nλ～λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3． ）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比， 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测 成绩：课程名称：智能信息处理概论 分形之Julia集及其算法实现 摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。 关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现 引言 大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？ 正文 分形概述 分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】 两种定义 其一：具有自相似性结构的叫做分形； 其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。 若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。 当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】 特征 1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果； 2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果； 3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复； 4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨 迹； 5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过 递归或者迭代产生的复杂、精细的结构； 6.无确定的标度且具有分数维数。【3】 基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形 如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一 分形理论及其在水处理工程中的应用 凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。 1 分形理论的概述 1.1 分形理论的产生 1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。 分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。 分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。 1.2 絮凝体的分形特性 絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。若不考虑絮凝体的破碎, 常规的絮凝过程是由初始颗粒通过线形随机运动叠加形成小的集团, 小集团又碰撞聚集成较大集团, 再 进一步聚集，一步一步成长为大的絮凝体。这一过程决定了絮凝体在一定范围内具有自相似性和标度不变性, 这正是分形的两个重要特征[4], 即絮凝体的形成具有分形的特点。 2 絮凝体的模拟模型 2.1 絮凝体的分形结构模型 为了更好地了解絮凝体的形成过程并尽可能地加以预测, 经过大量的研究提出了众多的絮 https://www.360docs.net/doc/7213015897.html, 危险军团个人对五步陷阱技术精神的体会和理解感悟 在我写五步这个帖子的之前，大家先回答一下约会学的核心是什么，总结一句话核心就是获得女人心，寻找到自己的可以相守一生一世的真爱也叫真命。那问题就有出现了，如何获得女人心，俗话说女人心海底真，围绕着如何获取女人心，古今中外围着中这一话题展开了喋喋不休的讨论，有一派认为获得女人心首先获得女人身体，这一派为迷男为代表后来引进国内后衍生成了自然流代表人物 PUA 墨菲斯等这些，另一派认为或得女人身体首先获得女人心这就就是根基在国内独立的学派由死囚大神创建的也是今天我主要讲的五步陷阱技术，因为他的独特性，被圈内人称为邪术，邪术不邪术我们先不评论。 先说说本人，我下面要讲的也是很多出学约会学的都兄弟经历过，我是受到一段失败的感情经历后才走上约会学的这段路的，学五步前本就是一个屌丝一个挫男，本人虽无缘见到祖师死囚，但是我有幸师承危险大神，经过了一段对五步时间的学习，我对五步有了全新的审视，下面我就给大家带来我的认知和体会。 通过学习五步通过不断的实战我感觉五步陷阱技术把他想像一场电影，你就是导演兼演员，你在自编自导一部电影，设计电影中的每个情节，这里我要引用一个大家熟悉的词汇-布局，提到布局大家并不陌生，很有PUA嘴里说的社交软件你的展示面，诸如高大上的感觉，布局这样定义也不完全不对，但是缩小了布局的外延，今天我要讲的布局不仅限如此，在说布局大家可否知道布局的本质核心是什么，本质核心就是通过一切可操控的资源展示营造出虚拟的高价值。所以说人生也是一精心预谋的布局，是不是你一出生你的父母就开始给你布局你上小学-中学-大学-这背后的目的就是什么呢是不是让你达到出人头地有个好的工作好的人生。我们分析开看前面的设计都是为了后面的获得后面的预期，是不是。好了，现在我们回到约会学上来通过布局展示目的是获得女孩对你的关注预期就是大家理解的女孩对你的吸引，这就是暗线也就是你要达成的目的，通过布局营造出虚拟高价值来达到吸引女孩的目的。都是通过展示虚拟高价值吸引女性，五步都是创建3大人偶模型展示出虚拟高价值，现在我们来分析这两种的异同，一个是通过展示你的高价值诸如你的车房子等等这些一个是通过创建人偶展示但是两者的目的也就是暗线都是让女人注意你吸引女人。本质是一样的只是方 分形维数算法 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。 如何与妹子愉快的互动聊天 为什么有的时候互动的很好目标的服从性还是不高 为什么有的时候明明给出一个很好的话题又不能让目标给出好的回应从技术层面分析对话一共有三个构成 1.互动中的框架 2.对话的需求 3.互动的节奏 联系感只能代表联系的紧密程度和互动的掌控无关 舒适感是互动的阶段 为什么互动的是时候很好联系感却建立不起来是不是带入好奇不够 这是对话需求的问题，你没能抓住对方需求 摇摆猫对框架做出了完美的诠释 框架是对话的潜在含义 给大家举两个不同的例子一起比对分析 挫男和女人的互动就是超低框架 所有互动内容都围绕一个主题 “我想P你”“我想C你” 挫男是很难把到妹的哪怕是个很有价值的挫男 低框架的人会对高框架的人服从或是有需求 假设这时候出现一个和挫男价值对等的男人 摆出强框架“我是奖品”“我坚信我有价值”“你要对我服从 他和目标的互动一定占尽优势 为什么同等价值的两个人框架不同互动的差距却这么大 我给大家解释下原因 挫男框架的潜在含义是我想C你 强框架的潜在含义是我是奖品你要努力表现才能获得奖励 这告诉我们，在任何时候都不要让自己在互动中处于弱势。这会让人觉得你有意图 这是自然规律，弱势的人像强势的人获取价值 我们再来讲框架太强为什么会把不到妞 灵魂认为，框架和价值是对应的 你的框架强代表你价值高。如果你没有价值，却在一个比你价值高的目标面前展示强框架这会让人觉得你自大 如果你在同等价值的目标面前展示过强的框架会让人觉得有压力 特别是你想要拥有对方的价值却摆出比对方更高的框架只要对方察觉到你的意图 你已经被拉入黑名单了 框架的内容比较抽象如果不能理解我给大家几个实际的例子 具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案 作者：蔡宗文林建德温国勋 来源：《海峡科学》2012年第08期 [摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。 [关键词] 分形图案 Mandelbrot集合视觉美学 0 引言 分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。 分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。 1 复数平面上的Mandelbrot集合 在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。 图1 Mandelbrot集合分形图案 1.1 二次Mandelbrot集合 经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。 第!"卷第#期 $%%&年&&月浙江大学学报’ 工学版()*+,-./*012345.-67-583,95:;’<-65-33,5-6=>53->3(?*/@!"A *@# A *8@$%%& 收稿日期B $%%%C %#C $!@ 作者简介B 陈倩’&D E "F(G 女G 浙江杭州人G 博士生G 从事流体力学研究H 几种基于分形思想的图像生成技术 陈倩&G 陈乃立&G 陈盭伟$’&I 浙江大学力学系G 浙江杭州!&%%$E J$@浙江大学化学工程系G 浙江杭州!&%%$E ( 摘要B 以分形思想为基础G 探索了三种基于一般K L =的计算机图像生成技术MM 带概率的N 带凝聚的和带参数的K L =H 带概率的K L =中G O 个变换的频率各异G 使各变换有主次之分G 图像色彩有浓淡之差G 更接近真实J 带凝聚的K L =包含两类不同变换B 在某处的凝聚变换和在空间不同方向上的延伸变换J 带参数的K L =在比例系数N 旋转系数和位移系数中加入参数以控制K L =码G 使图像不断地按既定构想变化以形成动画H 通过一系列实例说明G 这三种方法对实现图像的P 明暗虚实Q N P 树木成林Q 及P 动画Q 所起的作用H 关键词B 分形J K L = J 带概率J 带凝聚J 带参数中图分类号B R S !D &@T &J R S E "&@&J )$C !D 文献标识码B U 文章编号B &%%V C D E !W ’$%%&(%#C %#D "C %#分形技术在计算机图形领域的应用已有较大的发展G 它以自相似性和分数维为特点G 突破了以往只能生成较规则图形的局限性G 可将自然界中绝大多数的非规则图形G 如树木N 河流N 山川等G 真实地在计算机上再现H 基于分形思想所创作的图像并非完全酷似自然界中的某个景物G 但却给人以真实感和意境美H 迭代函数系统’5:3,.:5*-0+->:5*-9;9:3X G 简称K L = (是将分形应用于计算机图像生成的一种成功方法H 本文将论述三种基于分形思想的图像生成技术G 并通过实践G 表明这些技术对图像产生的P 明暗虚实Q N P 树木成林Q 以及动画的效果H &基于一般K L =的图像生成 迭代函数系统的基本思想为B 在仿射变换的意义下G 几何对象的整体与局部具有自相似结构H 正是这种自相似性G 使得有可能用迭代法生成图像H 从一个点或一个简单的几何图形出发G 按一定的规则反复迭代G 一生二G 二生三G 三生万物G 直到生成一幅复杂图像H 最终得到的目标点集与初始点集无关G 而只取决于迭代的规则G 即一组仿射变换的系数G 这一图像生成系统称为迭代函数系统H 其中G 任一仿射变换可写成下式B Y Z[\]^_&>*9‘&F _$95-‘$_&95-‘&_$>*9‘Z [$ Z[\]a Z [b c G ’&(式中B 比例系数_&N _$决定图形的缩小和放大J 旋转系数‘&N ‘$决定图像的旋转度J 位移系数b N c 决定图像方位上的改变d _&N ‘&N b 体现\方向的变化G 而_$N ‘$ N c 则体现]方向的变化d 图像生成的基本原理是B 给定一个初始点坐标’\%G ]%(G 设只有一个仿射变换Y G 将’\%G ]% (代入上式右边G 可求得e Z \%G ]%[R G 即得到一新的坐标点’\&G ]&(G 再由’\&G ]&(根据上式求得’\$G ]$ (G 依次类推G 迭代f 次G 得到Z \O a &G ]O a &[R ^e Z \O G ]O [R H 可以证明G 最后的点集收敛于一个K L =吸引子G 即生成一个确定的图像H 多个仿射变换的情况与此类似H 在迭代函数系统中G 起关键作用的变换系数又称为K L =码G 生成图像的效果完全取决于K L = 码H 目前G 已有两种基本方法Z &[用于寻找K L =码H 但效果都不太理想B P 失之毫厘N 缪以千里Q G 十几个变换系数中G 任一个稍作变化G 都可能使最终图像面目全非H 但也可以利用这一特性G 实现简单的动画生成H 可见G 分形技术应用于计算机图形学虽还未达到完全实用的地步G 但以一组K L =码来描绘 万方数据 如何将自己的「故事」，变成对女生充满吸引力的 「谈资」 这是秘密把妹组织内部教案的第二课。 人与人之间的互相吸引，在现在的我看起来，是饱含「宿命」的奇妙仪式。我们的喜好、偏见，及至性癖，都与所处环境、社会形态息息相关，所以你喜欢什么样的女孩子、什么样的女孩子会喜欢你，构成的原因也非常复杂。有一本书叫《是高跟鞋还是高尔夫修改了我的大脑》，大概就说明了这一点。这样联想起来，两个完全没有瓜葛的男女，突然之间互相产生了好感，这件事情简直如同神创世人一样神秘。 所以最初回顾这个主题的时候，说实话还真是汗颜。我不敢大言不惭地说「哎哟用了这些话术什么妞都能手到擒来」，真的提心吊胆、战战兢兢。但仔细听当时的录音时，我发现一件很有趣的事：之前讲怎么穿衣打扮，很多的成员都快要睡着；而一讲到「话术」，这些人就马上打了鸡血一样，甚至很多其他跑过来客串的听众也欢呼雀跃，恨不得从电脑那边钻过网线跳出来跟我击掌庆祝。归结其原因，也许还是因为大家对自己的为人处事太不自信，所以会对「话术」抱有很高的期望吧！反正好多大肚腩大叔都跟我说他觉得自己形象挺好的，就是「不大会讲讨人喜欢的话」。 所以这么一说，「话术」倒是大家更感兴趣的事情了。 于是在开篇我得事先提醒一下各位，所谓话术，有一位叫冷爱的健身魔人倒是经常告诫我：和女生聊天，重要的不是说什么，而是怎么说。 虽然有点以偏概全，但是他这个观点很好地指出了一个核心：沟通时的状态，是产生两性吸引的核心。在沟通时，你展现出来的特质，是否符合她潜意识里的择偶倾向或启发性欲机制，决定了你们之间最初的吸引。如何展现这些特质我们下文会提到。 我们先聊回「话术」。我对话术的感情非常复杂，究其原因，就很像写小说，一般没有扎扎实实地锻炼过语句、结构、节奏，很难写出真正精彩的小说，但你练笔时写的那些东西真的就是一坨屎。「话术」也是一样，没有一套一套地背书，很难知道女孩子对哪些话题感冒，什么样的女孩子对什么样的话题会做出什么样的反应。这不仅仅是对阿宅而言，就算你像我一样伶牙俐齿，一定也出现过乱说话乱表达伤害到别人感情，或者被人误解的情况吧。归根结底，还是缺乏历练产生的直觉，而导致满嘴跑火车乱说话的缘故。但背书的感觉，是非常糟糕的，甚至会觉得自己像个做作的牛蒡男；而两人的吸引，又是那么宿命性。归根结底，谋事在人，成事在天。话术只能算谋事的一条支线，别把宝全压在上面。 但无论如何技多了都不压身，为了彪悍的人生，我们还是拼一拼吧。 「好奇话术」 分形几何----数学中绘画师 “谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒（1） 一、分形几何的起源 数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了： 1.自然界中的曲线 自然界中存在的曲线，我们用现行的一些词汇无法描绘它的具体形态，我们称之为“不可名状”——这是自然界曲线存在的一个共性。通过进一步研究我们发现，这些曲线的局部和全局有着同样的复杂性。也就是说无论我们将局部如何放大，它总是会出现与曲线整体相似的复杂性，我们称其为“统计自相似”。 2.“病态曲线” 随着数学和自然学科的发展，我们有意无意中创造或发现了一些“奇怪”的曲线，说它奇怪是因为这些曲线最大的特点就是“几何自相似”，局部不断重复整体的特性。例如“柯赫雪花”“康托尔集”“皮亚诺曲线” “魔鬼阶梯”“谢尔宾斯基三角”“门杰海绵”等。 3．病态函数 一些函数也存在着上面“自相似”的规律。比如十年间的棉花价格波动曲线和一年间棉花价格波动曲线存在的曲线相似。 面对这些现实中存在的问题，我们需要一种新的几何方法来代替欧式几何来解决这些新的难题。 美国数学家B·Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。 此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何（2）。 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法 终极境界：手中有妞心中无妞呼吸吐纳皆高潮 一，心态 泡妞什么最重要，当然心态，没有心态你泡JB妞。强大的心态可以让你更好的学习五步，让你很会演。就像演员一样，演好每一场戏。而我们就是这次戏的猪脚，而女人就是这场戏你戏配角。 其实把一个妖兽级的极品丑女心态的控制要比把一个超级模特难掌控的多 不仅是心态丑女那该死的自卑会唤起她们超强的戒备你越是优秀自信遇到的麻烦就越多。 我们要做到要面对车祸现场的女尸也心如止水，自然地上去说一句hi 如果你还能起来说话，我其实很想认识你。 死囚的这句话固然很经典，但是说真的，我目前还没有遇见过车祸现场的女尸。如果遇见了我肯定认为是大妈。怎么锻炼心态，那就得实战，去街搭，去受枪。 死囚推出来的联盟十枪其实不单单对联盟的人的，要不死囚怎么可能故意泄露呢？他这个十枪也是为了大家，锻炼心态也可以玩这个十枪，还有办法就是装成乞丐去你那城市人最多的地方乞讨，先慢 慢试着乞讨，然后乞讨到美女身上，然后对美女进行死缠烂打的乞讨。怎么样你能有这个心态么？说实话我以前也去过乞讨，但是没有乞讨到美女身上。 二，女性开放度评判 A级——放荡女诱惑者女性玩家这类女人往往你搞不懂是谁把了谁看到很多AFC睡了一个浪女还沾沾自喜发帖炫耀以为高明真是让人哭笑不得 B级——寂寞女人期待被诱惑这类女也不需太多技术但要给她找到一个合适的道德出口 C级——被动型大多人眼中所 谓的好女号孩需要用详细计划的步骤和手段去引导卸下防备更重要还得让她感觉到“爱” D级——传统型烈女和CN 这类女人不多我这辈子只睡过一个CN 用的是持久战循序渐进开了5次房建立信任最后禽兽(其实说我可不相信死囚只睡过一个CN) 三，浪女信号评判 1.女性社交认可低 （浪女在女性社交圈一般是被边缘化的角色~~~ 除了一两个臭味相投但貌合神离的浪女玩伴~~ 分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是 各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 图中的风景图片又是说明分形的另一 很好的例子。这张美丽的图片是利用分 形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可 以很好地构建自然景物的模型。 这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的 枝杈也和整体相同，只是变得更加小 了。 Sierpinski三角形具有严格的自相似特 性 Kohn雪花具有严格的自相似特性 分维及分形的定义 分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。 分形理论 在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一--- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N. 埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。 一、分形理论与自然界的随机系统 大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众 多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。 所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。 一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。 下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。由科赫曲线明显可以看出,度量数论中若干分形集
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