分形理论
分形理论在材料科学中的应用
分形理论在材料科学中的应用分形理论是一种追求深刻而统一的自然解释的数学分支，其研究的对象是那些几何结构像自我相似的物体。
分形理论从诞生起就与材料科学密不可分，它在材料科学中的应用是广泛而深刻的。
材料科学是一门研究物质结构性质和性能的学科，材料学的发展离不开新理论、新技术的探索和开发。
分形理论作为一种先进的数学理论，发展迅速，在材料科学中的应用也日益广泛，本文将探讨分形理论在材料科学中的应用。
一、分形几何理论简介分形几何学课程的主要目标是回答什么是分形，以及在什么情况下什么样的对象可以被称为分形。
常见的分形物体包括科赫曲线、曼德勃罗集、谢尔宾斯基地毯等。
在讨论分形时，一个基本的概念是“自相似”，描述同一对象中的小结构类似于大结构。
自相似的对象是由被称为“自相似维数”的特殊尺寸描述的。
自相似维度介于整数维度和集合的哈斯多夫维度之间。
哈斯多夫维度是被认为是分形集合最重要的指标之一，它给出了一个度量对象粗糙度的方法，可以用于分类不同形状、硬度与裂缝的固体材料。
二、分形理论在材料科学中的应用（一）材料表面形貌的分形特征材料的表面形貌是材料科学中一个常见而重要的研究对象。
通过建立表面拓扑模型，测量表面拓扑参数，描述表面形貌，可以对材料的摩擦、润湿性、光学特性、尺寸效应等性质进行定量分析。
分形理论研究表明，材料表面的粗糙度和自相似特征与材料的结构性质相关。
对于金属、陶瓷、高分子材料和纳米材料等材料，分形理论可以用于描述其表面自相似维数，预测其表面性质和材料工艺的可行性。
（二）材料内部结构分析材料科学中，材料内部的结构也是一个重要的研究方向。
分形理论可以分析材料内部的结构及其形成原因，常用于研究材料中的晶体缺陷、孔隙、裂缝、界面等，并通过研究分形维数预测材料的物理性质与力学性能。
从分形物理学角度来看，分形维度可以量化多相材料中的结构，例如多孔介质、颗粒团簇或复合材料的孔隙和颗粒的分布。
对于孔隙研究，孔隙的分形维度能够揭示材料的孔隙形状及其沟通性，预测材料的力学性能，同时也可用于描述氧化物、半导体和金属膜中界面多孔性质。
分形理论与波动理论研究
分形理论与波动理论研究一、引言分形理论和波动理论是经济学研究中两个非常重要的领域。
分形理论强调了经济现象的复杂性和非线性，塑造了我们对于经济市场和投资决策规律的认识。
波动理论则认为市场价格的波动是不可避免的，但是价格波动有着一定的规律性，波动理论旨在揭示这种规律的存在。
本文将从五个方面论述分形理论和波动理论的研究成果和应用。
二、分形理论和波动理论的概念及背景分形理论是一种描述和研究非线性系统的工具，瑞曼提出了分形的概念，并且开创了分形理论，提出了分形维度的概念。
而作为经济学领域中的分形理论应用，它是描述金融市场价格波动性质的误差分布和演化机制的理论。
分形理论认为市场价格不仅仅具有高度复杂性，而且具有尺度不变性质，可叠缩。
该理论意义在于指出金融市场的机制和规律是多样化和变化的，市场价格的波动表现出来的不是归一化的特点。
波动理论认为市场价格波动是不可避免的，而且价格波动有着一定的规律性，波动理论旨在揭示这种规律的存在，为宏观经济的理解和分析提供了新的手段。
三、分形理论和波动理论应用于金融市场研究1.基于分形理论的金融市场研究分形理论应用到对金融市场的研究中，一个典型的例子就是黑色星期一。
股票市场的价格波动往往表现为几个大的突然变化。
典型的例子就是1987年10月19日的“黑色星期一”，当天道琼斯股票指数暴跌22.6%。
从分形理论的角度来看，股票市场价格的波动是不规则的、非线性的，波动分布是复杂分形的，分形分析方法可以对金融价格波动的复杂性提供清晰的描述和分析。
2.基于波动理论的金融市场研究波动理论应用到对金融市场的研究中，可以揭示市场价格波动的一些基本规律。
Mandelbrot提出的随机游走模型模拟了股票价格的随机波动，但证券市场的波动性并不随机，而是具有某种规律。
据此，日本经济学家新泼羽公介绍了“飞鲸”理论，该理论基于神经网络模型，揭示了股票价格波动的中心移动和趋势走势。
四、分形理论和波动理论的应用实例1.纽约证交所数据分析对于纽约证交所的交易数据进行分析，发现成交量、下单次数和挂单次数存在明显的非线性关系，随着时空尺度的放大，其分形特征也愈发明显，反映出成交、下单、挂单的时间相关性质随着尺度变大而变得愈发显著。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何，是一种描述自相似性和复杂性的数学理论。
它指的是在自然界和人造物中，许多物体和现象都具有在不同尺度上重复出现的特征。
分形几何试图通过数学模型来解释这种自相似性，并提供了一种理解和描述复杂系统的方法。
分形原理的应用非常广泛。
以下是几个常见的应用领域：
1. 自然科学：许多自然界中的物体和现象都具有分形特征，如云朵、植物的分枝结构、山脉的形状等。
通过分形原理，科学家可以更好地理解和描述这些自然现象，并研究它们背后的原理。
2. 数据压缩：分形压缩是一种常用的图像和视频压缩方法。
它基于分形原理，将复杂的图像分解成一系列相似的子图像，并利用这些子图像的变换来重建原始图像。
分形压缩能够在保持图像质量的同时实现较高的压缩比。
3. 金融市场：金融市场的价格走势也常常具有分形特征。
通过分形分析，可以识别出市场中的重要转折点和趋势，为投资决策提供参考。
4. 计算机图形学：分形几何提供了一种生成逼真自然风景的方法。
通过分形算法，可以模拟出山脉、云彩等自然对象的形态和纹理，用于电影特效、游戏开发等领域。
5. 网络优化：分形原理可以应用于网络布线、数据传输等领域的优化。
比如，通过分析网络的分形结构，可以设计出更高效的布线方案，提高数据传输速度和可靠性。
以上只是一些分形原理应用的例子，实际上分形几何在科学、艺术、工程等各个领域都有广泛的应用，并且不断地拓展出新的应用领域。
分形理论
分形理论及其在水处理工程中的应用凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。
但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。
即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。
尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。
而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。
作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。
1 分形理论的概述1.1 分形理论的产生1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。
分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。
体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。
它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。
自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。
分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。
1.2 絮凝体的分形特性絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。
利用分形理论解释自然现象
利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。
它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。
分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。
本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。
首先，我们来看看山的形状。
山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。
这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。
分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。
其次，我们来看看云的形状。
云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。
这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。
分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。
另外，我们再来看看河流的走势。
河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。
这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。
分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。
总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。
通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。
希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。
愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是指一种关于物体或现象的形式和结构的数学理论。
分形在机械工程中有着广泛的应用，其能够描述和解释复杂的结构和现象，提供了一种全新的视角和方法。
分形理论在机械工程中的应用之一是在材料力学领域。
传统的材料力学模型往往是基于均质材料和连续介质的假设，而实际材料往往是不均质的，并且存在着分形结构。
应用分形理论可以更准确地描述和预测材料的力学性能，包括材料的强度、刚度和疲劳寿命等。
分形理论还可以用于分析和优化材料的纳米结构，提高材料的性能和功能。
分形理论在机械工程中的另一个应用是在表面工程领域。
表面工程是指对材料表面进行处理和改性，以提高表面的性能和功能。
分形理论可以用于分析和设计表面的纹理和结构，使得表面具有更好的润湿性、抗磨损性、降噪性和摩擦性能等。
通过分形结构的设计，可以使表面具有超疏水或超疏油的性质，从而实现自清洁和防粘性能。
分形理论在流体力学领域也有重要的应用。
流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，包括液体和气体。
由于流体具有多尺度结构和混沌动力学特性，传统的流体力学模型往往不能很好地描述和预测流体的行为。
应用分形理论可以更准确地描述和理解流体的运动和流动特性，包括湍流现象、旋涡结构和尾迹效应等。
分形理论还可以用于设计和优化流体传输系统，提高能源利用效率和减少阻力损失。
分形理论在机械工程中的应用还涉及到传感器技术和信号处理领域。
传感器是用于测量和探测物理量的装置，分形理论可以用于分析和优化传感器的结构和灵敏度，提高传感器的检测精度和稳定性。
分形理论还可以用于信号处理和数据分析，通过提取信号的分形特征，实现对信号的压缩、去噪和特征提取等。
分形理论在机械工程中具有广泛的应用，可以用于材料力学、表面工程、流体力学、传感器技术和信号处理等领域，提供了一种新的思维和方法，推动了机械工程的发展和创新。
分形理论在金融市场研究中的应用
分形理论在金融市场研究中的应用分形理论是一种对自然现象和普遍规律的研究方法，由于其对复杂性和混沌性的研究，在金融市场的应用上也越来越受到关注。
众所周知，金融市场是一个内部高度相关的、非线性、复杂和多参数协同作用的系统，因此运用分形理论研究金融市场，不仅可以更加科学、准确地对市场进行预测和交易，也可以更好地了解市场现象，促进投资和理财的效果和成功率。
分形理论的理论基础分形理论是一种研究物体表面形态和物质分布的科学方法。
该理论对自然现象进行了细致的研究，并提出了复杂的分形模型。
其中我们熟知的举例就是"科赫雪花线"。
在分形理论中，物体的形态具有自相似性和自组织性，他们的构建具有无限分裂的功能，不断地形成出类似于其它大分形的小分形，形成强大的自我相似性。
这一特点使得分形理论在“现代复杂性理论”的研究中非常突出，分形模型的研究不仅能更好地解释现实中的复杂系统，而且能够预测其行为。
在金融市场中使用分形理论由于金融市场的不确定性和变化性，使用传统技术分析来预测市场通常需要大量的时间和精力，但是分形理论的特点使得其能够在短时间内处理市场的复杂性和非线性特征，从而更容易得出市场信息。
在实践应用过程中，分形理论可以包括两部分: 华盛顿区分形技术和基本分形分析。
华盛顿区分形技术可以用于分析不同的市场周期，并且使用开口或繁荣的菲比纳奇数列来确定可能的支持和阻力水平。
基本分形分析则可以用于检测趋势转折点和价格变化，它能够以较少的方式，更准确地描述市场。
在金融市场研究中，分形理论的应用场景也比较广泛，例如:1. 预测市场的繁荣与危机在金融市场频繁出现的富者越富、贫者越贫现象下，泡沫经济的出现仅仅是时间问题，而股票价格的波动也容易受到一些非常规的影响。
然而使用分形理论，可以通过分析大量历史数据建立数学模型，以预测短期和长期的股票价格变化，并为投资者提供有关股票选择的重要指导。
2. 量化交易在传统的技术分析中，基于金融图表的结果进行的交易策略最为典型。
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分形理论在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。
该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一--- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N. 埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。
在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。
我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。
一、分形理论与自然界的随机系统大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。
欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。
通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。
70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。
所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。
所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。
本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。
下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。
如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。
由科赫曲线明显可以看出,不管尺寸如何变化, n=1 时的基本三分图保持形不变！这就是自相似性,价格曲线的波动明显包括这种循环叠加、“自我生成”的（信息传递的）演变规律。
科赫曲线是描述海岸线很好的近似，同样由科赫曲线人们会想起价格波动曲线。
科赫曲线的分形维1.2628。
维度是1·2628的“空间”，简单从距离意义上讲，在其空间中取任意点，与这个固定点有相同“距离”的空间点数（集）比一维空间多（一维即是一条直线，有2个点）而比二维空间少（二维空间是个平面，距离相同点有无穷多并组成一个圆轨迹），甚至最短距离也可能不是“直线”；从“密度”的意义上来讲，1.2628维度空间内的“密度量”正比于该空间中空间尺度单位的1.2628幂次方。
科赫曲线虽说是个简化的数学模型, 但其形象地显示不管从什么样大小的尺度来考虑,科特曲线总是包含n=1 时的特征, 曲线的任何一个部分都是整体形状的“缩影”,这是分形的自相似性。
科赫曲线直观地反映了分形的演变内涵，它揭示了客观事物自然演变的一种普遍法则。
象人类自身的细胞生长, 细菌的繁殖, 植物的生长, 地貌的变化, 海岸线的变迁，天气的变化等等, 无不带有这种以某些特征为传递信息的无穷尽的衍变过程，通过仔细深入研究人们有可能发现这些复杂自然现象的分形特征，分形是普遍存在的。
分形理论表明，大自然中客观存在的分形现象的分形维大多在1.6—1.7附近，少数在0.6—0.7或2.6附近，这让人想起黄金分割率0.618或1.618。
理论上讲逻辑“空间”的分数维度可以有无穷多个取值，但有意义的肯定是那些特殊数字（我在1983年完成的论文《费尔马大定理研究》中对此逻辑原则作过详尽阐明。
）；因此有理由认为客观事物的分形维基本上应具1.618或0.618或2.618的特征！也就是说自然界众多庞杂的无规现象具有一定的共同逻辑特征。
通过简单的数学运算可以证明：任意一个由前两项的和生成随后一项的无穷级数S={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）+a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之比a（n+1）/a（n）趋向于1.618的极限；任意一个由前两项的积生成随后一项的无穷级数Q={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）*a（n）] 其中n=1，2，3，…，∞}的相临两项之关系趋向于a（n+1）=a（n）^1.618或a（n）=a（n+1）^0.618的极限。
这种关系的意义我将在有关黄金分割率的一节中详细论述，可以说这种关系一定意义上揭示了自然界随机系统分形特性的逻辑基础。
自然界中“无规”变化的事物（或系统）的主要特征是时间上的不可逆性, 这也是自相似性的“基本传递信息”，数学中表现为“时间反演不对称”。
二、价格波动运动的基础与基本特性描述大集合体具有某些特征的随机运动是自然界存在的普遍现象之一。
用数学方法描述即是一个由无穷多个具有某些共同属性的元素组成的系统, 系统内每个元素的某种运动具有不确定性, 描述系统整体的某些变量也具有随机性, 系统的这些随机变量的时间坐标曲线则是一些无规的波动曲线。
现实生活中属这类性质的曲线很多, 例如气象图、噪声图及有关大气污染、动植物生长状况、人类健康状况、产品质量控制、宏观经济统计数据研究等等方面的某些变量曲线都属于此类。
系统的随机性并不是说系统的随机变量是不可量度的, 而是说变量的不可精确预测性；换句话说, 我们只能知道变量的历史及当前已经发生的数值, 将要发生的数值是不能精确确定的。
这就确定了变量曲线的随机波动基础。
一般情况下, 大集合体(或大系统)的运动过程是渐进的或者说是连续的过程, 不是跳跃式的或突变式的；更严格地讲, 大系统从一个均衡状态演变到另一个均衡状态是经历了无穷多个“时间单位状态”的运动, 系统每个单位时间状态对应一个随机变量数值；无穷多个随机变量数值对应有限个“宏观均衡状态”必然产生宏观变量的随机性, 同时随机理论证明变量的随机变动是围绕某一平均值附近进行的, 这就决定了系统宏观变量曲线的波动性及连续性（当然不是平滑性和均匀性）。
曲线(或图表)连续性是技术分析的基本假设之一。
一般国家或地区（或全球性）的证券市场因其公开(信息化)、公平(自由竞争)、快捷严格（无实物交易并迅速结算）的交易制度及有无数交易者参与, 构成典型的价格指标随机波动系统。
价格波动的直接因素是未来时间内参与交易者的数量及建立头寸的位置、方向、数量都是不可精确测度的, 间接因素或过程因素则是由于影响买卖交易的信息传播、资金供应、不同交易者的心理状态变化等等方面总体方面是不可测的。
价格的随机波动是绝对的，时间越短交易量越大价格波动的随机性就越强。
价格随机波动的一个重要推论是一般情况下(参与交易者少及停板状态除外),同一位置买和卖都是有赚钱机会的！真正赚钱与否关键要看交易者的心态与交易操作是否迅速果断；市场交易量越大，价格波动就越频繁，短线的机会就越多。
一个流动性较强的交易过程（集合），价格的随机波动总是包含某种平均趋势。
这也是传统技术派推崇的道氏趋势理论的基础。
价格指标曲线的趋势性是国民经济发展的周期运动所决定的。
曲线的趋势性是指在一定时期内价格或指数随机波动运动中总体上包含向一个方向(向上、向下、横向等)运动的趋势。
在正常的市场经济条件下经济运动的周期性大致可以解释成: 一个国家或地区的经济因为某些环境、政策等因素的驱动, 使得某些重要行业或整个社会原有的供求平衡关系发生了变化, 假如需求开始不断增长, 由此引发生产的增长, 由于整个社会经济单元互相关连, 社会需求与社会供给互相推动共同增长(良性循环), 整个经济呈现繁荣景象；随着经济的不断发展, 各种新的矛盾不断出现, 如果随着时间的推移这些新的矛盾能在内外因素的影响下合理钝化, 那么整个经济将在更高层次的均衡状态下运行,否则矛盾的激化最终必将破坏良性发展的供求关系, 由相互促进转变为相互抑制, 最终导致经济的(相对)衰退。
由于各类经济活动与相关政策的运作在时间和空间上都有“很难量化的距离”, 经济整体运动的“惯性”很大, 所以一般经济运行的周期是比较长的。
反映经济运行状态及商品供求关系的价格指数曲线自然也会表现出同样的整体运行趋势, 只是由于交易的信息化和资金化, 经济发展的趋势又首先从信息及资金的供应状况表现出来, 所以指数曲线的走势总是超前于经济运行的实际状态。
周期性是自然界发展变化的基本规律之一，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲人类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
与经济发展密切相关的证券价格指数的走势变化也是如此，传统技术派基本假设之一“历史是会重演的”是不确切的。
用分形理论来分析, 价格的随机波动曲线具有“自相似性”。