最新山东省及普通高中学业水平考试（会考）数学试题及答案
山东省2021年夏季2019-2020级普通高中学业水平合格考试数学试题
) 的图像上所有的点向左平移
个单位长度得到
2
6
函数 () = 2 的图像. 求：
(1) 的值;
(2) () 的单调递减区间.
27. ( 8 分) 如图，在四棱柱 − 1 1 1 1 中，底面
为矩形，侧面 1 1 为菱形，平面 1 1 ⟂ 平面，
16.C
5.A
17.D
6.B
7.C
18.C
19.A
31
32
25.
8.A
9.B
10.D
11.B
12.A
13.A
20.C
二、填空题：
21.1
22.5
23.3
24. −
1
2
三、解答题：
26. 解：(1) 由题意得 = [2( ) + ] = (2 + + ) = 2，
(2 − 1)(1 + 1)
(2 + 1)(1 − 1)
+ (2 − 1 ) − 1 + 2(2 − 1 )
= 3 1 2
1 2 + (1 − 2 ) − 1
2(2 − 1 )
]
= 3 [1 +
(2 + 1)(1 − 1)
= 3
因为 2 > 1 > 1,
所以 1 ∥ 平面1 .
(2) 解：取 中点为 ，连结 1 .
在四棱柱 − 1 1 1 1 中，1 = 1 = 4,
因为四边形 1 1 为菱形，所以 1 = = 4
又因为 ∠1 = 60∘ ,
所以 △1 为等边三角形，
为
.
2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷(附详解)
2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷1. 设集合A ={x ∈N|−1≤x ≤3}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a =f(log 32),b =f(log 1512)，c =f(20.2)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c4. 已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2√3 B. 3C. 6D. 与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+⋯+a n =242，则(x +λx )4展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87. 在棱长为1的正四面体A −BCD 中，E 是BD 上一点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A. π8B. 3π16C. π4D. 5π168. 若定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x ，f(3)=27e 3，则不等式f(x)9>xe x 的解集是( )A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)9. 已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n <2019时，n 的取值可以是下面选项中的( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)=x 1，则关于x 的方程f 2(x)+af(x)+b =0的不同实根个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P −QEF 的体积D. △QEF 的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A ，B 两点间距离，定义φ(A,B)=|k A −k B ||AB|为曲线f(x)在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A. 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B. 函数f(x)=x 3−x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A,B)>√3C. 函数f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A,B)≤2aD. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)=e x上不同两点，且x1−x2=1，若t⋅φ(A,B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞,1)13.已知复数z=1+3i1−i，则复数z−的虚部为______．14.函数f(x)=alnxx 的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是______．15.设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为______．16.过点M(0,1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为______，此时△ABF的面积为______．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)=3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3=b4−2b1，b6=a4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式：(2)求数列{(−1)n b n2}的前2n项和T2n⋅19. 在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD =2BC =2AD =4，∠DAB =60°，AE =BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． (1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21.设函数f(x)=x2−alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n)成立，②若存在x1，x2，…，x n∈[1e求n的最大值．22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K20.010.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0,1,2,3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】D【解析】解：f(x)在(0,π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴0<1log25<1log 23<1；∴0<log 1512<log 32<1； 又1<20.2<2；∴0<log 1512<log 32<20.2<π；∴b <a <c ． 故选：D ．容易看出f(x)在(0,π)上单调递增，且可得出log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且1<20.2<2，从而得出0<log 1512<log 32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】C【解析】解：由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6， 故选：C ．由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，得解： 本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．6.【答案】B【解析】解：(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则C n2=C n3，求得n=5，令x=0，则a0=1令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a n=(1+λ)5=242+1=243，解得λ=2，则(x+2x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r2r x4−2r，令4−2r=0，解得r=2，故(x+2x)4的展开式中的常数项为C4222=24故选：B．先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7.【答案】B【解析】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵正四面体ABCD 的棱长为1，∴正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵cos∠ODB =1√62=√63，OD=√64，DE =14， ∴OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．故选：B ．根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f′(x)−f(x)e x −9>0，∴[f(x)e x−9x]′>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵f(3)=27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3,+∞)．故选：A．构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9.【答案】AB【解析】解：由题意，a n=1+2(n−1)=2n−1，b n=2n−1，c n=a bn=2⋅2n−1−1=2n−1，则数列{c n}为递增数列，其前n项和T n=(21−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n−1)=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n．当n=9时，T n=1013<2019；当n=10时，T n=2036>2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB．由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n}的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n}的前n项和T n，验证得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨假设x1<x2，∴f′(x)=x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴Δ=a2−4b>0．由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判别式△′=Δ=a2−4b>0，故此方程有两解为f(x)=x1或f(x)=x2．由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f(x)=x1的解个数；由于函数y=f(x)的图象和直线y=x2的交点个数，即为方程f(x)=x2的解个数．根据f(x1)=x1，画出图形，如图所示：由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数为2，函数y=f(x)的图象和直线y= x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：B．由题意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得Δ=a2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11.【答案】B【解析】解：A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即×√2a为定值；到对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF|为定D.∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=12值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对×√2a为定值；角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF| D.由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12为定值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．12.【答案】AC【解析】解：对于A，当函数f(x)=kx+b(k≠0)时，f′(x)=k，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1,1)，B(2,5)，f′(x)=3x2−2x，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√1+16=√17<√3，故B错误；对于C，f′(x)=2ax，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=12√(x1−x2)2+(ax1−ax1)2=√1+a2(x1+x2)2≤2a，故C正确；对于D，由f(x)=e x，得f′(x)=e x，由A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=e x上两点，且x1−x2=1，可得φ(A,B)=|k A−k B||AB|=x1x2√(x1−x2)2+(e x1−e x2)2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．故选：AC．考虑一次函数，求出导数，可得φ(A,B)=0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A,B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A,B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A,B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z−=−1−2i，∴复数z−的虚部为−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】x =e【解析】解：f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a =1， 故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，解得：x =e ， 经检验x =e 是函数的极值点， 故答案为：x =e ．求出函数的导数，根据f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，求出a 的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.【答案】16【解析】解：由题意可得2ln √2=(x +y)ln2， 所以x +y =1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)=10+yx +9x y≥10+6=16，当且仅当yx =9xy且x +y =1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16． 故答案为：16结合等比数列的性质可得x +y =1，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】8√2 4√103【解析】解：设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2,0)，F 1(−2,0)，则AF =4√2−AF 1，BF 1=4√2−BF 1，所以AF +BF +AB =8√2+AB −(AF 1+BF 1)， 显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立， 所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2，此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2=0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8，可得：3y 2+4y −2=0，设A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，|y 1−y 2|=√(43)2+4×23=2√103．△ABF 的面积为：12×4×2√103=4√103， 故答案为：8√2；4√103．根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2,0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可． 本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，∴a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12；又∵C ∈(0,π)， ∴C =π3；(Ⅱ)由c =2，C =π3，根据正弦定理得， asinA=bsinB =csinC =2sin π3=4√33， ∴a +b =4√33(sinA +sinB) =4√33[sinA +sin(2π3−A)] =2√3sinA +2cosA=4sin(A +π6)；又∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<2π3−A <π2， 解得π6<A <π2； ∴π3<A +π6<2π3，∴2√3<4sin(A +π6)≤4， 综上，a +b 的取值范围是(2√3,4]．【解析】(Ⅰ)化简(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，利用余弦定理求得C 的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a +b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A 的取值范围，从而求出a +b 的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)S n =2a n −2，当n =1时，得a 1=2， 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2， 作差得a n =2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3=b 4−2b 1，b 6=a 4， 所以8=3d −b 1，16=5d +b 1， 所以3=d ，b 1=1， 所以b n =3n −2．(2)T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )，=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n ) 又因为b n =3n −2， 所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【解析】(1)根据由S n 求a n 的方法可求{a n }的通项公式，由题意可得{b n }为等差数列，由条件求其公差d ，可得结果；(2)由T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n )，即可求出答案．本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了转化与化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60°， ∴△ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，E(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，设平面PEC 法向量为n⃗ =(x,y,z)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)， 则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −√3z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1,1)， 平面EDC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√22， ∴二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，所以|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗|DM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．【解析】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，求出λ即可判断M 的位置．20.【答案】解：(1)由已知a =2，c a =√22可得c =√2，∴a 2−b 2=2，即4−b 2=2， ∴b 2=2， ∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3=0，显然△>0，∴y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2， ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，=(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9，=−9t 2−3t 2+2+9 =15t 2+2≤152，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152， 此时t =0，直线l 为x =1，此时A(1,√62)，B(1,−√62)，∴|AB|=√6，|MN|=3，∴S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【解析】(1)由已知a =2，ca=√22可得c =√2，由a 2−b 2=2，可得b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，即可求出三角形的面积本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx ，可得f′(x)=2x −a x =2x 2−ax， 故当a ≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a 2)上单调递减． 综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． (2)①当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增．故f(x)min =f(1)=1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)=e 2−2<2.82−2=5.84， 故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2=f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥(n −1)f(1)=n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]， 取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2， 故n 的最大值为6．【解析】(1)求出f′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．(2)①当a =2时，利用函数的导数，求出f(x)min =f(1)=1，f(x)max =f(e)=e 2−2， ②推出n 2≤e 2−1<7.取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．22.【答案】解：(1)依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5， 所以中位数位于[15,20)之间， 所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．(2)依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5=0.35， 所以“网购迷”人数为100×0.35=35人，非网购迷的人数为100−35=65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ=0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ=1)=C 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16，P(ξ=2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×23×(1−23)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ=3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，第21页，共21页 P(ξ=4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的分布列和期望．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．(1)根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；(2)根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．。
山东高二高中数学水平会考带答案解析
山东高二高中数学水平会考班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则一定成立的不等式是A．B．C．D．2.等差数列中，若，则等于A．3B．4C．5D．63.在中，a=15,b=10,A=60°，则=A．B．C．D．4.等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是A．90B．100C．145D．1905.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于A． B． C． D．26.不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于A．－3B．1C．－1D．37.已知两个正数、的等差中项是5，则、的等比中项的最大值为A. 10B. 25 C 50 D. 1008.已知圆的半径为4，为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为A．B．C．D．9.当时，不等式恒成立，则的最大值和最小值分别为A．2，－1B．不存在，2C．2，不存在D．－2，不存在10.已知x、y满足约束条件则目标函数z＝(x＋1)2＋(y－1)2的最大值是A．10B．90C．D．211.已知等比数列满足，且，则当时，A．B．C．D．12.已知方程的四个实根组成以为首项的等差数列,则A.2 C. D.二、填空题1.等差数列的前项和为，若，则2.若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是3.设等比数列的公比，前项和为，则4.在中，角的对边分别是，已知，则的形状是三角形.三、解答题1.已知集合，（Ⅰ）当时，求（Ⅱ）若，求实数的取值范围.2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积.3.如图，海中小岛A周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?4.已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）若，求数列的前项和．5.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元(Ⅰ)求这次行车总费用y关于x的表达式(Ⅱ)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值6.已知数列中，，,（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使的的最小值山东高二高中数学水平会考答案及解析一、选择题1.若，则一定成立的不等式是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查的是不等式的性质。
山东省高中学业水平考试(合格考)模拟卷(一)
山东省高中学业水平考试（合格考）数学模拟卷（一） 2021.11.16一、选择题题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．∅B ．{1}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}2．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2 D ．π43．函数y = ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,22,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．已知平面向量()1,2a =，()2,b m =-，且//a b ， 则m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．1D ．45．“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()335f x x x =+-，则零点所在的区间可以为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()1,0- D ．()2,1-- 7．袋子中有6个相同的球，分別标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8的概率为（ ） A ．16B ．536C ．115D ．2158．已知条件甲：05x <<，条件乙：323x -<-<，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若向量(1,2)a =，(3,2)b =-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．3B ．-3C ．8D ．13 10．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ）11．已知i 是虚数单位，则复数i 212i-=+（ ） A ．iB ．i -C ．43i 55--D ．43i 55-+12．若角α的终边经过点()1,2P -，则sin α的值为（ ） A 25B 5C ．5D ．2513．现将函数π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．π()sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin g x x =C ．π()sin 12g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 6πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭14．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ． ,n αββ⊥⊂B ．//,n αββ⊥C ．,//n αββ⊥D ．//,m n m α⊥15．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（ ） A ．10B ．30C ．50D ．7016．下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递增的函数是（ ）A ．y x =-B ．y x =-C ．21y x =-D ．2y x=-17．设 1.20.43log 1,log 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 18．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ） A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年19．甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是13，丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为（ ）A ．34B ．23C ．45D ．71020．长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．7π2B ．56πC ．14πD ．16π 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21．已知函数()()21mf x m m x =+-是幂函数，且在()0,∞+上是减函数，则实数m 的值为______．22．已知单位向量a ，b ，若1a b +=，则a 与b 的夹角余弦的值为_________. 23．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值是___________. 24．已知复数z 满足()1i 17i z +=-（i 是虚数单位），则z =__________． 25．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．该圆柱的体积与球的体积之比为______．三、解答题（本大题共3小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）26．（本小题满分8分）已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）. (1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．27．（本小题满分8分）如图，已知△ABC中，AB，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．28．（本小题满分9分）如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若2-的PD=，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P ABCD体积.合格考模拟卷（一）参考答案1．B 【详解】因为集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，所以{}1A B =.故选：B. 2．B 【详解】根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为22T ππ==. 3．D 【详解】由题设可得210x -≥，故12x，故函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 4．B 【详解】因为()1,2a =，()2,b m =-，且//a b 所以122m ⨯=-⨯，解得4m =-. 5．C 【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.6．B 【详解】显然函数()335f x x x =+-在R 上单调递增，(2)(1)(0)(1)10f f f f -<-<<=-<，而(2)90f =>，所以零点所在的区间可以为(1,2).故选：B7．D 【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其中数字和为8的基本事件有2种，所以取出球的数字之和是8的概率为215，故选：D. 8．A 【详解】由题意得：条件乙：15x -<<．∵0515x x <<⇒-<<，但1505x x -<<⇒<<，∴甲是乙的充分不必要条件,故选：A9．A 【详解】由题意，向量(1,2)a =，(3,2)b =-，则2(7,2)a b +=-，所以(2)743a a b ⋅+=-=.故选：A.10．D 【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86, 87,88,88,89,90,92. 1080%8⨯=，这10次成绩的80%分位数为899089.52+=. 11．A 【详解】()()()()i 212i i 2i 224i 5ii 12i 12i 12i 145---+-+====++-+，故选：A.12．D 【详解】∵角α的终边经过点()1,2P -，∴1x =，2y =-，OP =，∴sinα==．故选：D ． 13．D 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得sin 2sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，所以()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14．B 【详解】A 选项，,n αββ⊥⊂，可能n 是两个平面的交线，不能得到n α⊥，A 错误. B 选项，//,n αββ⊥，则n α⊥，B 正确. C 选项，,//n αββ⊥，可能n ⊂α，C 错误. D 选项，//,m n m α⊥，可能n ⊂α，D 错误.故选：B15．A 【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3．由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10． 16．D 【详解】选项A ，函数y x =-是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故A 不满足. 选项B ，对于函数y x =-，f (－x )＝-|－x |＝-|x |＝f (x )，所以y ＝-|x |是偶函数，故B 不满足；选项C ，21y x =-是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故C 不满足；选项D ，2y x=-是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D 满足.17．D 【详解】因0.4log 10=，则0a =，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，123<<，于是有3330log 1log 2log 31=<<=，即01b <<，函数2x y =在R 上单调递增，1.20>，则 1.20221>=，即1c >，所以,,a b c 的大小关系是c b a >>.故选：D18．C 【详解】由题意可设y =a (x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∴ 7=a (4－6)2+11，∴ a =－1．即y =－x 2+12x －25，∴ y x =12－(x +25x)≤12－=2，当且仅当x =5时取等号. 故选C ．19．A 【详解】由题可知，目标不被击中的概率是12312344⨯⨯=，所以目标被击中的概率为114-=34,故选：A20．C 【详解】设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，=, ∴2414S R ππ球＝＝．故选：C 21．2-【详解】由函数()f x 是幂函数，则211m m +-=，解得2m =-或1m =， 又因为()f x 在()0,∞+上是减函数，所以2m =-；故答案为：2-22．12-【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1a =，1b =，所以222222cos 1a b a a b b θ+=+⋅+=+=，解得1cos 2θ=-.故答案为：12-.23．4【详解】当2x >时，122242y x x =-++≥=-， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号. 故答案为：4. 24．34i --【详解】因为()1i 17i z +=-，所以()()()()2217i 1i 17i 68i34i 1i 1i 1i 11z -----====--++-+. 25．32【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，23π22πV R R R =⨯=圆柱，34π3V R =球，332π342π3V R V R ==圆柱球,故答案为：3226．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.【详解】（1）因为函数过点（9，2），所以log 92a =，即29a =，因为0a >，所以3a =. 所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =;（2）()()31log 1f x x +=+. 由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<， 即1013x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以实数x 的取值范围是12x -<<. 27．（1）3，（2）7【详解】（1）如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AC ABABC ACB=∠∠,则sin 45sin 23sin sin 60AB ABC AC ACB ︒⋅∠===∠︒，（2）因为∠ACB ＝60°，所以120ACD ∠=︒, 在ACD △中，由余弦定理得，7AD ===. 28．（1）证明见解析；（2【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ， 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ， 又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角， 于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2， 所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积13V S PD =⋅=.。
山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题
山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题第一题：选择题1.下列数中，是整数的是（A） A. -1.5 B. 0.7 C. √2 D. π2.某校教室共有150个座位，已经有90个座位被学生占据，现在又来了80名新生，每名新生至少需要一个座位，那么至少需要增加多少个座位？（B） A. 20 B. 30 C.40 D. 50第二题：填空题3.已知两个锐角三角形的角度之和相等，那么两个三角形的角度（180°）答案：相等4.一组数相乘得1，其中只有两个数为整数，其他数均为负数，则这两个整数的乘积为（1）答案：1第三题：解答题5.某校学生家长会请了3个讲座嘉宾，要求在每个讲座厅内放置相同数量的座椅，并使得每个座椅尽可能多的坐满，已知每个讲座厅内可以放置的座椅数为30个。
请计算：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，那么最多可以坐多少位学生？–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，那么最多可以坐多少位学生？解答：–如果每个讲座厅内放置的座椅数为10个，则最多可以坐的学生数为：3 * 10 = 30位学生。
–如果每个讲座厅内放置的座椅数为15个，则最多可以坐的学生数为：3 * 15 = 45位学生。
第四题：解答题6.某张纸张的长和宽的比是5:3，已知纸张的宽度为30cm，请计算纸张的长和面积。
解答：由题可知，纸张的宽度为30cm，长和宽的比为5:3，设纸张的长度为5x，则有： 5x / 30 = 5 / 3 3 * 5x = 5 * 30 15x = 150 x = 150 / 15 x = 10因此，纸张的长度为5 * 10 = 50cm，面积为30cm * 50cm = 1500cm²。
结束语以上是山东省2023年普通高中学业水平合格考试数学试题的内容，希望对您的学习有所帮助。
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山东高二水平数学会考试卷及答案解析
山东高二水平数学会考试卷及答案解析:___________ ___________ ___________ 班级姓名：分数：题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题条件，条件，则是的（）．1.p q．充分不必要条件．必要不充分条件充要条件．既不充分又不必要条件A B D【答案】A【解析】，，试题分析：的充分不必要条件．考点：四种条件的判定．已知等差数列的前项和为，满足2.n()A．B．C．D．【答案】D【解析】,又．试题分析：，所以，那么n考点：等差数列的前项和．3.x=0下列函数中，在处的导数不等于零的是（）．D．A．B．C y=【答案】A【解析】x=01，试题分析：因为，，所以，，所以，在处的导数为故选A。
考点：导数计算。
点评：简单题，利用导数公式加以验证。
4.设，若，则等于（）A．e2B．e C．D．ln2【答案】B【解析】试题分析：因为，所以所以，解得考点：本小题主要考查函数的导数计算.点评：导数计算主要依据是导数的四则运算法则，其中乘法和除法运算比较麻烦，要套准公式，仔细计算.5.曲线的直角坐标方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：化为考点：极坐标方程点评：极坐标与直角坐标的关系为6.是虚数单位,复数( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：考点：复数运算点评：复数运算中7.关于直线与平面，有下列四个命题：①若，且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则．其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】D【解析】试题分析：直线m//平面α，直线n//平面β，当α∥β时，直线m,n有可能平行，也有可能异面，所以①不正确；∵，α⊥β，所以，故②正确；据此结合选项知选D.考点：本题主要考查空间直线与平面的位置关系。
点评：熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键。
2023年6月山东省普通高中学业水平考试数学试题汇编
2023年6月山东省普通高中学业水平考
试数学试题汇编
本份文档汇编了2023年6月山东省普通高中学业水平考试数
学试题，内容丰富，涵盖各个难度级别的试题。
其中，选择题部分
考察学生的基础知识掌握，计算题和证明题部分则考察学生的综合
运用能力。
试题设计贴近生活，题目形式多样，有助于学生唤起兴趣，开拓思路，拓展视野。
本文档共分为三个部分：选择题部分、计算题部分和证明题部分。
选择题部分共50题，计算题部分共20题，证明题部分共10题。
总分150分。
选择题部分主要考察学生基础知识掌握。
每道题目有四个选项，仅有一个正确答案。
学生需根据自己的知识储备和题目要求，作出
正确的选择，获得相应得分。
计算题部分主要考察学生综合运用知识和技能解决实际问题的
能力。
题目分别涉及到数学的各个分支领域，如代数、几何等。
学
生需认真分析题目，运用所学知识和技能，解决问题，获得相应得分。
证明题部分主要考察学生分析问题、提出证明思路和方法以及证明能力。
题目要求严谨，学生要认真理解题目意思，提出严密的证明思路和方法，给出严谨的证明，获得相应得分。
本文档所汇编的试题，具有代表性和可操作性，可以为广大学生备考数学考试提供参考和帮助。
山东高一高中数学水平会考带答案解析
山东高一高中数学水平会考班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合集合，则集合A．{1，3，1，2，4，5}B．C．D．2.若幂函数在上是增函数，则A．>0B．<0C．="0"D．不能确定3.下列四个图象中，是函数图象的是A．（1）B．（1）、（3）、（4）C．（1）、（2）、（3）D．（3）、（4）4.与为同一函数的是（）A．B．C．D．5.的值等于（）A．B．C．D．6.下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．B．C．D．7.设, 用二分法求方程内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间（）A．（1，1．25）B．（1．25，1．5）C．（1．5，2）D．不能确定8.下列各式错误的是（）A．B．C．D．9.设函数满足，且在上递增，则在上的最小值是（）A．B．C．D．10.已知集合，集合满足，则集合有( )个A．1B．2C．3D．411.已知二次函数有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数f(x)是R上的增函数，A（0，－3），B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是（）A．（－1，2）B．（1，4）C．（―∞，－1）∪［4，+∞）D．（―∞，－1］∪［2，+∞）二、填空题1.已知函数，则2.函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 ______3.函数（a>0且a≠1）的反函数的图像经过点（1，4），则a＝4.已知，从A到B的对应法则分别是：其中能构成一一映射的是三、解答题1.（本小题满分12分）计算：（1）（2）．2.（本小题满分12分）已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}（1）若；（2）若，求a的取值范围3.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调减函数4.（本小题满分12分）设函数，如果，求的取值范围．5.（本小题满分13分）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．6.（本小题满分13分）设函数.（1）求证：不论为何实数总为增函数；（2）确定的值，使为奇函数及此时的值域．山东高一高中数学水平会考答案及解析一、选择题1.设集合集合，则集合A．{1，3，1，2，4，5}B．C．D．【答案】B【解析】略2.若幂函数在上是增函数，则A．>0B．<0C．="0"D．不能确定【答案】A【解析】由幂函数性质可知，当时在上是增函数；当时，在上是减函数。
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最新山东省及普通高中学业水平考试（会考）数学试题及答案山东省2015年12月普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。
满分100分，考试限定用时90分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） l. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B =UA. {}2B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3 2. 图象过点(0,1)的函数是 A.2xy = B.2log y x =C.12y x= D. 2y x =3. 下列函数为偶函数的是 A.sin y x =. B. cos y x =C. tan y x =D. sin 2y x =4. 在空间中，下列结论正确的是A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面5. 已知向量(1,2),(1,1)a b =-=，则a b =g A. 3 B.2 C. 1 D. 06. 函数()sin cos f x x x =的最大值是 A.14B.12C.3 D. 17. 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1~10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11~20中应抽取的号码是A. 14B. 13C. 12D. 11 8. 圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是 A. 22(3)(1)5x y +++= B. 22(3)(1)25x y +++=C.22(3)(1)5x y -+-=D.22(3)(1)25x y -+-= 49. 某校100名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为 A. 20 B. 15 C. 10 D. 610. 在等比数列{}n a 中，232,4a a ==，则该数列的前4项和为 A.15 B. 12 C. 10 D. 6 11. 设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 A.22a b >B. 22ac bc >C. a c b c +>+D.11a b< 12. 已知向量(1,2),(2,)a b x =-=，若//a b ，则x 的值是1A. 4-B. 1-C. 1D. 4 13. 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为 A.13B.12C.23D. 1614. 已知函数()2sin()(0)f x x ω?ω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 A. 1 2 C. 3 D.215 已知实数020.31log 3,(),log 22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. b c a << B. b a c << C. ca b << D. c b a <<16. 如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=A.35B.35- C.45D.45-17. 甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为13，则乙队不输的概率为A.56B.34C.23D. 1318. 如图，四面体ABCD 的棱DA ⊥平面ABC ，090ACB ∠=，则四面体的四个面中直角三角形的个数是 A. 1 B.2 C. 3 D. 419.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c . 若222c a ab b =++，则C = A. 0150 B. 0120 C.060D. 03020. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是2值为 A. 12B. 13C.14D. 15第II 卷（共40分）注意事项：1. 第II 卷共8个小题，共40分。
2. 第II 卷所有题目的答案，考生须用0 5毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定的区域内，写在试卷上的答案不得分。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共1 5分） 21. 已知函数(1),0,()21,0.x x x f x x x +≥?=?-则(3)f =_______.22. 已知tan 2α=，则tan()4πα+的值为_______.23. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主（正）视图和左（侧）视图都是边长为2的正三角形，那么该四棱锥的底面面积为_______. 24.已知实数,x y 满足约束条件2,2,20,x y x y ≤??≤??+-≥?则目标函数2z x y =+的最小值是_______.25. 一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，则该点在正方形内的概率是_______.三、解答题（本大题共3个小题，共25分。
解答应写出文字说明、证3明过程或演算步骤） 26.（本小题满分8分）已知函数()lg(2)f x x =-，求()f x 的定义域及其零点.27.（本小题满分8分）已知数列{}n a 满足*11()n n a a n N +-=∈，且33a =. 求： (1){}na 的通项公式； (2){}n a 前100项的和100S .28.（本小题满分9分）过函数22y x =的图象C 上一点(1,2)M 作倾斜角互补的两条直线，分别与C 交与异于M 的,A B 两点. (1)求证：直线AB 的斜率为定值；(2)如果,A B 两点的横坐标均不大于0，求MAB ?面积的最大值.山东省2016年冬季普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页。
满分100分，考试限定用时90分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共60分）注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上无效。
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分）1.已知全集{}c b a U ,,=，集合{}a A =，则=A C UA. {}b a ,B. {}c a ,C. {}c b ,D. {}c b a ,, 2.已知0sin <θ，0cos >θ，那么θ的终边在A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.若实数第3，a ，5成等差数列，则a 的值是A. 2B. 3C. 4D. 15 4.图像不经过第二象限的函数是A. xy 2= B.x y -= C. 2x y = D. x y ln =5.数列1，32，53，74，95，…的一个通项公式是=n a A.12+n n B. 12-n nC. 32+n nD. 32-n n 6.已知点)4,3(A ,)1,1(-B ，则线段AB 的长度是A. 5B. 25C. 29D. 29 7.在区间]4,2[-内随机取一个实数，则该实数为负数的概率是A.32B. 21C. 31D. 41 8.过点)2,0(A ，且斜率为1-的直线方程式A. 02=++y xB. 02=-+y xC. 02=+-y xD.02=--y x9.不等式0)1(<+x x 的解集是A. {}01|<<-x xB. {}0,1|>-<="">C. {}10|<<="">D.{}1,0|><="">10.已知圆C ：036422=-+-+y x y x ，则圆C 的圆心坐标和半径分别为A. ）（3,2-，16B. ）（3,2-，16C. ）（3,2-，4D. ）（3,2-，411.在不等式22<+y x 表示的平面区域内的点是A. ）（0,0B. ）（1,1C. ）（2,0D. ）（0,212.某工厂生产了A 类产品2000件，B 类产品3000件，用分层抽样法从中抽取50件进行产品质量检验，则应抽取B 类产品的件数为A. 20B. 30C. 40D. 50 13.已知3tan -=α，1tan =β，则)tan(βα-的值为A. 2-B. 21-C. 2D. 2114.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1=a ，2=b ，41sin =A ，则B sin 的值是A.41 B. 21C. 43 D. 4215.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上的解析式为1)(+=x x f ，下列大小关系正确的是A. )2()1(f f >B. )2()1(->f fC. )2()1(->-f fD.)2()1(f f <-16.从集合{}2,1中随机选取一个元素a ，{}3,2,1中随机选取一个元素b ，则事件“b a <”的概率是A.61 B. 31 C. 21 D. 3217.要得到)42sin(π+=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像A. 向左平移8π个单位 B. 向右平移8π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移 4π个单位 18.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1=a ，2=b ，ο60=C ，则边c 等于A. 2B. 3C. 2D. 319.从一批产品中随机取出3件，记事件A 为“3件产品全是正品”，事件B 为“3件产品全是次品”，事件C 为“3件产品中至少有1件事次品”，则下列结论正确的是A. A 与C 对立B. A 与C 互斥但不对立C. B 与C 对立D. B 与C 互斥但不对立 20.执行如图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）21. 2log 2的值为 .22.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，971=?a a ,则=4a . 23.已知向量)2,1(=a ，)1,(x b =，若b a ⊥，则实数x 的值是 . 24.样本5，8，11的标准差是 .25.已知一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为ο60，则该圆锥的高是 . 三、解答题（本大题共3个小题，共25分）26.（本小题满分8分）如图，在三棱锥BCD A -中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点. 求证：//EF 平面BCD .27.（本小题满分8分）已知函数x x x f 22sin cos )(-=.求：⑵ )12πf 的值；⑵)(x f 的单调递增区间.28.（本小题满分9分）已知函数41)(2++=ax x x f )(R a ∈ ⑴当函数)(x f 存在零点时，求a 的取值范围；⑵讨论函数)(x f 在区间)1,0(内零点的个数.山东省2015年12月普通高中学业水平考试参考答案 1-5DABAC 6-10BBDDA 11-15CAACD 16-20BCDCC21、12 22、-3 23、4 24、2 25：2π26. ()f x 的定义域是()-2∞，，零点是2x = 27.100,5050n a n S == 28.证明略，max 6S =2016冬季学业水平数学试题参考答案一、选择题1-5 CDCDB 6-10 ACBAD 11-15 ABDBD 16-20 CABAC 二、填空题 21.2122. 3 23. 2- 24.6 25. 10 三、解答题26.证明：在ABC ?中，因为E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点，所以EF 是ABC ?的中位线，……………………………………………1分所以BC EF //………………………………………………………………4分又因为?/EF 平面BCD (5)分 ?BC 平面BCD ……………………………………………………………6分所以//EF 平面BCD ………………………………………………………8分27.解：x x x x f 2cos sin cos )(2=-=……………………………………………2分⑴236cos)122cos()12(==?=πππf ……………………………………5分⑵由πππk x k 222≤≤-，Z k ∈,得πππk x k ≤≤-2，Z k ∈.………………………………………………7分所以)(x f 的单调递增区间为],2[πππk k -，Z k ∈.……………………8分28.解⑴因为函数)(x f 有零点，所以方程0412=++ax x 有实数根. 所以012≥-=?a ，解得1-≤a ，或1≥a因此，所求 a 的取值范围是1-≤a ，或1≥a .………………………………2分⑵综上，当1->a 时，)(x f 在区间)1,0(内没有零点；当1-=a ，或45-≤a 时，)(x f 在区间)1,0(内有1个零点；当145-<<-a 时，)(x f 在区间)1,0(内有2个零点.。