分形理论及其应用
《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何原理，是由波兰数学家曼德尔布罗特于1975年首次提出的。
分形原理指的是存在于自然界和人
造物体中的重复模式，这些模式在不同的尺度上都呈现出相似的结构和特征。
换句话说，分形是一种具有自相似性的形态。
分形原理的应用十分广泛，下面列举几个主要领域：
1. 自然科学领域：生物学、地理学、气象学、天文学等都能从分形原理中获得启示。
例如，树叶、花瓣和岩石都具有分形结构，通过分析这些结构可以揭示它们的生长和形成规律。
2. 数学与计算机图形学：分形理论为图形图像的生成、压缩和渲染提供了新的思路和方法。
通过分形原理，可以生成具有逼真效果的山水画、云彩图等。
3. 经济学和金融学：金融市场中的价格变动往往呈现出分形特征，通过分析分形模式可以帮助预测市场走势和制定投资策略。
4. 艺术设计：分形原理在艺术设计中被广泛应用。
通过将分形结构应用到艺术作品中，可以创造出独特而美丽的图案和形态。
5. 计算机网络和通信：分形技术可以用于改进数据传输的效率和可靠性。
通过在网络中应用分形压缩算法，可以减少数据传输的带宽需求，提高网络性能。
综上所述，分形原理作为一种有着广泛应用价值的理论，已经
渗透到了各个学科和领域中，为科学研究和技术创新提供了新的思路和方法。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论是一种新兴的数学理论，它依靠小尺度成像组成大尺度成像的规则性和自相似性，将自然界的复杂现象及其变化规律进行研究。
在机械工程领域，分形理论已经得到广泛的应用。
首先，在加工表面技术中，分形理论可以用于描述表面的粗糙度。
表面是否光滑，直接影响着机械系统的工作性能，分形理论通过对表面分形维数的计算和分析，能够帮助人们更好地了解和掌握加工表面的性质，从而指导加工工艺的优化和改进。
其次，分形理论还可以用于机械零件的设计优化。
在设计机械零件时，通常会秉持一个原则：尽量减小零件的体积和重量，其实这也是分形理论中“自相似性”原理的具体体现。
通过运用分形理论的思想，可以在不影响零件强度、稳定性等基本性能的前提下，对机械零件进行重新设计，达到减小体积和重量的目的，从而降低成本，提高工作效率。
除此之外，分形理论还可以应用于智能机器人的运动控制、噪声的控制与消除、摩擦学的研究和仿生学。
在智能机器人领域，分形理论可以通过对机器人运动轨迹的规律性分析，促进机器人自主化、智能化和协同化。
在噪声控制领域，通过运用分形噪声的特殊性质，可以更加高效地进行噪声控制和降噪处理。
在摩擦学研究方面，分形理论可以帮助人们更好地理解摩擦学问题，促进研究和开发新型润滑材料和技术，提高机械系统的工作效率和寿命。
在仿生学研究方面，分形理论可以启发人们更深刻地认识生物体的结构、形态和进化机制，从而为机器人和人工生命的研究提供借鉴和启示。
总之，随着科技的不断进步和发展，分形理论在机械工程中的应用前景不断扩大和深化。
相信在不久的将来，它将会为机械工程领域的研究和应用带来更多的创新和发展。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何，是一种描述自相似性和复杂性的数学理论。
它指的是在自然界和人造物中，许多物体和现象都具有在不同尺度上重复出现的特征。
分形几何试图通过数学模型来解释这种自相似性，并提供了一种理解和描述复杂系统的方法。
分形原理的应用非常广泛。
以下是几个常见的应用领域：
1. 自然科学：许多自然界中的物体和现象都具有分形特征，如云朵、植物的分枝结构、山脉的形状等。
通过分形原理，科学家可以更好地理解和描述这些自然现象，并研究它们背后的原理。
2. 数据压缩：分形压缩是一种常用的图像和视频压缩方法。
它基于分形原理，将复杂的图像分解成一系列相似的子图像，并利用这些子图像的变换来重建原始图像。
分形压缩能够在保持图像质量的同时实现较高的压缩比。
3. 金融市场：金融市场的价格走势也常常具有分形特征。
通过分形分析，可以识别出市场中的重要转折点和趋势，为投资决策提供参考。
4. 计算机图形学：分形几何提供了一种生成逼真自然风景的方法。
通过分形算法，可以模拟出山脉、云彩等自然对象的形态和纹理，用于电影特效、游戏开发等领域。
5. 网络优化：分形原理可以应用于网络布线、数据传输等领域的优化。
比如，通过分析网络的分形结构，可以设计出更高效的布线方案，提高数据传输速度和可靠性。
以上只是一些分形原理应用的例子，实际上分形几何在科学、艺术、工程等各个领域都有广泛的应用，并且不断地拓展出新的应用领域。
分形理论及其应用
ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
ln C(r)
D2
lim
r 0
ln r
▪标度律与多重分形
(1)标度律
X1
X X
2 3
X
4
： (x1，x2， ，xm ) ： (x2，x3， ，xm1 ) ： (x3，x4， ，xm2 ) ： (x4，x5， ，xm3 )
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其 质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行 同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2 质量分别为 P12 ，P1P2 ，右两段的长度分别为 ， r2r1 r22 ， 质量分别为 ， P2P1 P22 ；如此操作下去就会得到一个不 均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形理论发展历史及其应用
一、分形理论分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年，他创立了分形几何学。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
分形理论的发展大致可分为三个阶段：第一阶段为1875 年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。
第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。
第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专著。
1.3.1 分形的定义目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。
粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
英国数学家肯尼斯·法尔科内（Kenneth J.Falconer）在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，对分形的定义即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：a. F具有精细结构b. F是不规则的c. F通常具有自相似形式d. 一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数。
另外，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。
分形理论在数据分析中的应用
分形理论在数据分析中的应用在近年来，数据分析已成为科学研究、商业决策、社会管理等领域的重要工具。
数据分析的核心是对数据进行处理，提取数据背后的信息，发现数据背后的规律和模式。
其中，分形理论成为了数据分析中一个重要的方法和工具。
本文将从分形理论的基本概念、分形理论在数据分析中的应用和未来的研究方向三个方面论述分形理论在数据分析中的应用。
一、分形理论的基本概念分形理论是在上个世纪六十年代提出的一种新的数学理论，被称为“自相似现象的数学”。
分形理论的主要研究对象是非整数维空间中的图形和自相似现象，其主要思想是“部分与整体”的关系、自我相似性和无限递归。
其最大特点是可以对复杂的现象进行数学化的描述和表达。
分形可以看作是由许多相似的图形组成的整体，其中每一个小图形都具有自我的不规则性，整体则保持了类似的几何形态。
分形理论中经常使用的一个概念是分形维数。
对于普通的几何物体，如线段、平面等等，我们都可以通过几何学知识求出其维数，如一条线段的维数为1，平面的维数为2。
而对于一个分形，它的维数并不是一个整数，而是可以是一个非整数，称为分形维数。
二、分形理论在数据分析中的应用2.1时间序列分析时间序列是数据分析中常见的一种数据类型，例如股价、气温等数据都属于时间序列。
时间序列的分形特性意味着它在不同的时间尺度下呈现出相似的规律。
因此，我们可以利用分形理论中的分形维数等概念，将时间序列进行分析。
例如，我们可以对股价时间序列进行分形分析，通过计算时间序列的分形维数，可以发现股价的波动性在不同的尺度下呈现出相似的规律，这也就意味着我们可以在小尺度上预测股价波动的情况。
2.2 图像识别在图像识别中，我们需要对图像进行特征提取，以确定图像所属的类别。
而分形维数可以作为图像的一个特征，图像的分形维数与图像的类别有较强的相关性，因此可以利用分形维数对图像进行分类和识别。
2.3 声音信号处理在声音信号处理中，我们需要对声音进行分析和处理，以提取声音中的信息。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
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N 1 1
ln
D1
lim
r 0
i1 N N lim ln N
ln(1/ r)
r0 ln(1/ r)
可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和 Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1<D0。
(4) 关联维数
空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间， 系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维， 甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过 它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对 于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统 演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间 的维数即所谓的关联维数。
D0
ln N (r) ln(1/ r)
ln 2 ln 3
0.63093
(3) 个小盒子的概率为Pi，那么用尺 度为r的小盒子所测算的平均信息量为
N (r)
I Pi ln Pi i 1
若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以
▪分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
分形理论及其应用
▪分形理论简介 ▪应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究 ▪应用实例之二：沙漠化的分形研究 ▪应用实例之三：
R/S分析法在城市气候研究中的应用
分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自 然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标 度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无 限提供了一种新的工具。
k
( 1 )2
k
一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d
维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子
数目N(r)和所用尺度r的关系为
N(r) 1 rd
变形得
d ln N (r) ln(1/ r)
定义为拓扑维数
（2）Hausdorff维数
几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二 是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何 对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总 长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷 大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的 定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限 图形，可以得出分形维数的定义：
分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发
展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却 是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理 论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、 社会分形、经济分形、思维分形等。
分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学
的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随 着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90 年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科——分形地 理学。
当r=1/3时， 当r=(1/3)2时，
N (r) 4， L(r) 4 3
N (r) 42，L(r) ( 4)2 3
……………
当r=(1/3)n时，
N (r) 4n，L(r) ( 4)n 3
根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是
D0
lim
r0
ln N (r) ln(1/ r)
对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方 形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所 需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式
N(1) 4 1
2
(1)2
2
若r=1/4，则
N(1) 4
16
1 (1)2
4
当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则
N(1) k2 1
得到信息维D1的定义 N(r)
Pi ln Pi
D1
lim
r 0
i 1
ln(1/ r)
如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么 Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的 定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设
分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即
1 Pi N
ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
➢Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合， 拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0 , 1)区间上的线段 分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉
中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷 稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒 子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是
D0
lim
r0
ln N (r) ln(1/ r)
上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。 拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维 数而小于分形所位于的空间维数。两个实例
➢可以用分形模拟真实的海岸线。首先在单位长 度的一条直线的中间1/3处凸起一个边长为1/3的正 三角形，下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个 边长为(1/3)2的正三角，如此无穷次地变换下去， 最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分 形。每次变换所得到的图形，相当于用尺度r对海 岸线分形进行了一次测量，如果设尺度r测得覆盖 海岸线的盒子数为N(r)，海岸线的长度为L(r)，有：
▪分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。