分形理论
分形学理论
分形学理论分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。
分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。
一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。
究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。
在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。
另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。
在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展, 有机物越来越受到人们的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科。
高分子分为两类: 一类是生物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、橡胶、纤维等。
分形理论（fractal
分形理论（fractal theory）分形理论是当今世界⼗分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)⾸先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论⽂。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种⼏乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是⾃相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公⾥长的海岸线与放⼤了的10公⾥长海岸线的两张照⽚,看上去会⼗分相似。
事实上,具有⾃相似性的形态⼴泛存在于⾃然界中,如:连绵的⼭川、飘浮的云朵、岩⽯的断裂⼝、布朗粒⼦运动的轨迹、树冠、花菜、⼤脑⽪层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种⽅式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创⽴了分形⼏何学(fractalgeometry)。
在此基础上,形成了研究分形性质及其应⽤的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
⼤⾃然的⼏何学的分形（Fractal）理论是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。
它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在⼀定条件下。
过程中，在某⼀⽅⾯（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。
⾃相似原则和迭代⽣成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的⼏何变换下具有不变性,即标度⽆关性。
由⾃相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的⾃相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的⾃相似分形是数学上的抽象,迭代⽣成⽆限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论是一种新兴的数学理论，它依靠小尺度成像组成大尺度成像的规则性和自相似性，将自然界的复杂现象及其变化规律进行研究。
在机械工程领域，分形理论已经得到广泛的应用。
首先，在加工表面技术中，分形理论可以用于描述表面的粗糙度。
表面是否光滑，直接影响着机械系统的工作性能，分形理论通过对表面分形维数的计算和分析，能够帮助人们更好地了解和掌握加工表面的性质，从而指导加工工艺的优化和改进。
其次，分形理论还可以用于机械零件的设计优化。
在设计机械零件时，通常会秉持一个原则：尽量减小零件的体积和重量，其实这也是分形理论中“自相似性”原理的具体体现。
通过运用分形理论的思想，可以在不影响零件强度、稳定性等基本性能的前提下，对机械零件进行重新设计，达到减小体积和重量的目的，从而降低成本，提高工作效率。
除此之外，分形理论还可以应用于智能机器人的运动控制、噪声的控制与消除、摩擦学的研究和仿生学。
在智能机器人领域，分形理论可以通过对机器人运动轨迹的规律性分析，促进机器人自主化、智能化和协同化。
在噪声控制领域，通过运用分形噪声的特殊性质，可以更加高效地进行噪声控制和降噪处理。
在摩擦学研究方面，分形理论可以帮助人们更好地理解摩擦学问题，促进研究和开发新型润滑材料和技术，提高机械系统的工作效率和寿命。
在仿生学研究方面，分形理论可以启发人们更深刻地认识生物体的结构、形态和进化机制，从而为机器人和人工生命的研究提供借鉴和启示。
总之，随着科技的不断进步和发展，分形理论在机械工程中的应用前景不断扩大和深化。
相信在不久的将来，它将会为机械工程领域的研究和应用带来更多的创新和发展。
结构设计知识：结构设计中的分形理论分析
结构设计知识：结构设计中的分形理论分析随着现代科学技术的不断发展和进步，越来越多的科学理论被应用到各种领域中来，结构设计也不例外。
分形理论作为一种比较新颖的科学理论，已经被广泛应用于结构设计中。
本文将从分形理论的基本概念、典型特征、应用范围以及在结构设计中的应用等方面进行探讨。
1.分形理论的基本概念分形理论源于20世纪60年代胡安•马诺尔托(Juan Manno)的工作，20世纪80年代被Mandelbrot正式提出。
“分形”一般被认为是指具有自相似性、自组织、抗干扰等特征的图形或结构。
分形理论是一种以非线性动力学为基础，追求在复杂系统和现象中提取规律和较精确的量化描述的新的科学理论。
2.分形理论的典型特征分形的最基本特征就是它的自相似性。
自相似性是指在整个图形或结构中都能看到同样的形态和形状，而这些形态和形状是由若干基本单元反复组合而成的。
除此之外，分形结构还具有分形维数、复杂性、分布等特征。
分形维数是指一个分形结构的维数，其值可以是非整数的。
复杂性则是指结构的混沌、随机性和不规则性等特征，一般用分形维数、信息熵和相关函数等来描述。
分布则是指分形结构中各元素的分布情况，一般用分形分布函数、谱分布函数等来描述。
3.分形理论的应用范围分形理论的应用范围非常广泛，几乎涵盖了所有的自然科学和社会科学领域，包括生物学、化学、物理学、地理学、气象学、计算机科学、经济学、交通运输、城市规划等领域。
分形理论已经成为探索复杂系统和现象的一种重要工具，可以帮助人们理解、模拟和预测这些系统和现象的行为和变化。
4.分形理论在结构设计中的应用在结构设计中，分形理论被广泛应用于设计和优化各种结构，如公路、桥梁、建筑、城市规划、电力线路、通信网络、供水系统等。
以公路设计为例，传统的公路设计只注重道路的直线、平缓、简洁等特点，但这样的设计方式往往会使得道路视觉单调、枯燥，无法展现地域特色和文化内涵。
而采用分形理论，可以将容易记忆、具有识别性的复杂图形应用于公路设计中，使得公路形象更加丰富多彩。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论是20世纪70年代由华裔科学家曼德勃罗（Benoit B.Mandelbrot）提出的，它是一种描述自然界中不规则形状的数学理论。
分形几何是研究分形的数学分支，它能够用较少的公式或规则来描述自然界中的复杂形状。
分形理论解释了许多自然界中的现象，如云朵、树枝、闪电等形态，因此被视为现代科学中最受欢迎的理论之一。
在机械工程中，分形理论被广泛应用于零件、机器、系统等的设计和分析。
1. 零件设计
分形理论可以对零件进行形态特征分析，对于不规则形状的零件，可以用分形维度来描述其几何特性。
同时，分形理论也可以应用于数控加工、激光切割等制造工艺，使零件的表面质量得到一定的提高。
2. 机器设计
分形可应用于设计复杂机器的结构和性能分析，例如铰链、传动、支撑等机构，使机器响应更加敏捷，工作效率更高。
3. 系统分析
系统中的诸多元素可以应用于分形理论，使得整个系统的复杂性得到一定程度上的简化。
其应用，能够进行系统的稳定性、信号传输等方面的分析，更加准确地预测劣化现象的发生。
总之，分形理论在机械工程中的应用不断地拓展。
通过它，我们可以透过看似无序杂乱的复杂体系，发现其中更深层次的规律及组织结构，进而对机械设备的生产、使用进行更优化的规划和操作。
同时，分形理论的发展和应用还在不断的深化，为机械工程及其它领域的科学研究提供了崭新的方向和思路。
分形理论
分形定义 通常将具有某种方式
的自相似性的图像或集合称为分形
分形的定义 分类、分形 维数 。
分形分类 分形一般分成两大类
，确定性分形和随机性分形。
分形维数 曼德尔布罗特引进了
分数维，给出了一个分形集充满空 间的复杂程度的描述。
几种典型的分形
•1883年，德国 数学家康托提 出三分康托集。 它是从单位区 间出发，再由 这个区间不断 地去掉部分子 区间的过程构 造出来的 •1904年，瑞典 数学家柯赫构 造了“Koch 曲线”几何图 形。Koch曲线 大于一维，具 有无限的长度， 但是又小于维， 并且生成的图 形的面积为零。 Koch曲线 •Julia 集是由 法国数学家 Gaston Julia 和PierrFaton 在发展了复变 函数迭代的基 础理论后获得 的。
参照分形的运动观
教育研究应更注重过程和过渡态分形理论特别重视过程, 因 此分形也可以看作是介于无序与有序、简单性与复杂性、随 机性与确定性之间的一种过渡状态, 是一种多维( 整数维、 分维)对称与对称破缺并存的状态。分形的运动观给教育研 究方法论的创新以新的启迪: 我们的教育研究不仅要对改革 进行回顾、作出前瞻, 更应直接参与改革、探索改革, 更应 注重对GO
Contents
分形的由来 分形定义、分类与分形维数 几种典型的分形 分形理论的应用 分形理论对教育研究的方 法论启示
分形的由来
1975 年，美籍法国数学家曼德尔 布罗特根据拉丁文形容“fractus”， 并对其加以改造，成为现今广为人 知的“fractal”，它的含义是不规 则的，琐碎的，支离破碎的等。我 国则把它翻译成“分形”。
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学习分形的时空观
教育研究应突破整数维的思维方式维数是一定时空数值特征 的反映。它是感性认识上升到理性认识的结果, 具有再认识 的特点。我们在宏观或中观尺度上观察到的1、2、3 维物体 充满了日常生活。从直观上看, 自然界中肉眼可见的任一形 体总占有一定的空间, 与之相应的维数就是对应形体占有空 间规模的刻划。但是, 同一形体, 它的维数并非一成不变, 而是跟我们认识形体的观点和层次有关。教育研究从静态研 究到动态研究, 从定性研究到定量研究, 走过了很长的发展 道路, 也取得了很大的成绩。尤其是理论结合实践的动态研 究、多学科参与的定性与定量相结合研究, 对教育改革的深 化起到了很有力的推动作用
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分形理论及其在水处理工程中的应用凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。
但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。
即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。
尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。
而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。
作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。
1 分形理论的概述1.1 分形理论的产生1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。
分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。
体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。
它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。
自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。
分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。
1.2 絮凝体的分形特性絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。
若不考虑絮凝体的破碎, 常规的絮凝过程是由初始颗粒通过线形随机运动叠加形成小的集团, 小集团又碰撞聚集成较大集团, 再进一步聚集，一步一步成长为大的絮凝体。
这一过程决定了絮凝体在一定范围内具有自相似性和标度不变性, 这正是分形的两个重要特征[4], 即絮凝体的形成具有分形的特点。
2 絮凝体的模拟模型2.1 絮凝体的分形结构模型为了更好地了解絮凝体的形成过程并尽可能地加以预测, 经过大量的研究提出了众多的絮凝体结构模型。
2.1.1 早期的絮体结构模型最早的一个模型[5]是由Vold 通过计算机模拟提出的具有3 层结构的模式: (见图1[4])初始颗粒, 絮凝体与絮凝体聚集体。
该絮凝体结构由一中心核与一群向外延展的触须(突起) 形成的粗糙表面构成。
该絮凝体的形成是由初始颗粒随机运动叠加而成, 不考虑内部重组过程。
而絮凝的进一步聚集也即形成第三层次的聚集结构, 从而导致快速沉降与肉眼可见的悬浮颗粒。
进一步分析其结构特征表明絮凝体密度随着中心向外逐渐降低, 并由此推导出絮凝体密度随粒径变化的经验公式Stokes 定律。
Sutherland对Vold絮凝体模式颗粒聚集过程中的随机特征提出了批评[6]。
他认为絮凝体成长的主要机理不在于单独颗粒的碰撞而在于包含有不同数目颗粒的簇团之间的碰撞聚集, 这看起来更符合逻辑。
因为事实上初始颗粒的碰撞只是在较小的簇形成期间显得十分重要。
与Vold 模型相比, Sutherland 模型(见图2[4])形成更为多孔疏松的结构, 具有较低的密度。
随着粒度的增加其密度降低而孔隙度也随着增加。
当絮凝体成长过程中结构内部重整也将会发生。
在悬浮液搅拌过程中发生同向絮凝时, 絮凝体的聚集条件将会发生变化。
流体剪切力将会破坏絮凝体结构从而在一定条件下导致具有特征粒度的絮凝体形成。
Sutherland 模型仅仅适用于絮凝体粒度不大于数um。
絮体的复杂结构使得对其进行定量描述十分困难。
早期提出的模型从不同角度对絮体结构进行了定量分析与描述, 一定程度上涉及了分形特征,但因没有归纳出其中分型概念而没有得到广泛运用。
2.1.2 絮体结构模型的发展早期模型所考虑的初始颗粒均为单一粒度的均匀球体, 而通常所发生的情形不尽如此。
Good-arz-Nia 建立了新的模型[7], 其初始颗粒粒度分布基于一标准正态分布, 为具有不同轴半径比的椭圆形初始颗粒, 而结构由初始颗粒形成的链组成。
计算所得絮体颗粒粒径与具有单一粒度分布的情形并没有太大的区别。
絮体体积相对而言却变得较小。
这是由于小颗粒的存在得以填充粒间间隙并导致更为密实的絮体。
Vold模型和Sutherland模型中，颗粒和簇团的运动都是按线性路线进行的，并不包括布朗运动，这与实际情况不符Witten & Sander对此作出修正[8]，他们设置了多个种子颗粒作为生长点，其它颗粒在随机位置加入并作随机行走直至达到与种子颗粒相邻的位置，相互粘附成为成长中的集团，然后不断加入颗粒至形成足够大的絮体。
Francois &Van Haute提出了具有四层的絮凝体结构模型[7]: 初始颗粒、絮粒(flocculi)、絮凝体与絮凝体聚集体。
与先前模型不同的是, 该模型认为不同次絮凝体结合键属于弹性可变的。
在弹性模型中, 流体剪切力可以穿透絮体中所有颗粒。
多层絮体结构模式与絮体的分形结构特征相一致，只是絮体分维将随着不同簇团的形成而发生相应的变化。
2.2 絮凝体分形结构动力学生长模型[9]随着对分形生长过程研究的逐步深入, 提出了各种动力学生长模型, 基本上可以归纳为三类, 即：1)扩散控制聚集模型(Diffusion-Limited Aggregation ),简称为DLA模型;2)弹射聚集模型(Ballistic Aggregation),简称为BA模型;3)反应控制聚集模型(Reaction-limited Aggregation),简称为RLA模型。
这三类模型中的每一种又可分为两部分, 单体(Monomer)的聚集和集团(Cluster)的聚集。
在DLA模型中, 单体聚集被称为Witten-Sander模型, 集团聚集称为有限扩散集团凝聚模型(Diffusion-Limited Cluster Aggregation),简称为DLCA模型。
相应的, 在BA模型中有Vold 模型与Sutherland 模型之分；RLA 模型中有EDEN 模型与Reaction-Limited Cluster Aggregation (RLCA ) 模型之分。
3 絮凝体分形维数的计算方法表征分形体系特征的参数是分形维数(Fractal Dimension) ,它是对应于分形体的不规则性和复杂性或空间填充度量的程度。
由于研究对象的不同，存在多种不同的维数定义。
常用的颗粒形态分形维数有4种: D、D1、D2和Dk。
D、D1、D2和Dk 分别是从面积与周长、长度和周长、长度和面积、面积和阶数(rank)的关系得到。
数学关系式如下:P ∝AD/2; P ∝LD1; A ∝LD2 ; Nr (a > A ) ∝A –Dk/2。
其中P 为周长, A 为面积, L 是颗粒的最大长度，Nr 是具有面积a (a > A )的絮体数量或阶数。
D、Dk 和D2 的瞬时变化与观测到的颗粒形态变化相一致, 并可量化, D1 则不具有这一特点[10]。
目前分形维数的计算方法一般有两种途径:计算机模拟絮凝体成长过程和实验直接测定。
计算机模拟计算是基于絮凝体的形成机制,在20 世纪70 —80 年代运用较多；随着科学技术的发展,通过先进仪器直接测定分形维数已成为可能,目前采用较多的有图像法、粒径分布法、光散射法、沉降法等。
3.1 计算机模拟计算[8]计算机对絮凝体成长过程的模拟要根据实际情况选择合适的动力学模型和结构模型进行。
具体的模拟方法有两种：网格模拟和非网格模拟。
网格模拟是在一个具有周边界条件的网格平面（二维）或立方体网格空间（三维）进行。
所谓周期边界是指当颗粒在运动过程中溢出网格边界时，由对称的地方重新进入。
非网格模拟是在一个连续的有限空间内进行，与网格模拟义格子长度为单位不同，非网格模拟以颗粒粒径为单位度量，各颗粒或基团的位置由其质心决定。
两种方法由于所采用框架不同，得到的絮体形态有所差别，网格模拟得到的絮体中颗粒为正方形(二维)或立方体(三维)；非网格模拟得到的絮体中颗粒为圆形(二维)或球体(三维)，絮体圆滑度较网格模拟要好。
3.2 直接测定3.2.1 图像法[11,12]通过显微摄影技术,对水中絮凝体进行放大拍摄,运用计算机图像处理软件分析拍摄的絮凝体图像,可以测得絮凝体的投影面积A 、周长P 和在某一方向的最大长度L ,根据下述关系求得一维和二维分形维数:P∝L D1 (1)A ∝PD2或A ∝L D2 (2)三维分形维数一般不能通过图像法直接得到,需要进行一定的转换。
一种方法是根据投影面积求得等面积圆的直径dp (即当量直径) ,再将其换算成球体体积V ,根据下式推算D3 : V ∝PD3或V ∝L D3 (3)但有研究认为,这种方法计算的三维分形维数偏差较大,建议以与投影面积同等大小的椭圆换算成椭球体体积再用(3)式计算。
图像法是目前普遍运用的分形维数计算方法。
3.2.2 粒径分布法[13]此法又称为双斜率法,通过测定同等条件下以特征长度L (一般为某一方向最大长度)为参数的累积颗粒浓度分布曲线N (L)和以絮凝体体积为参数的分布曲线N (v ) 的斜率求得。
长度和体积分布函数分别如下:N (L ) = AL L SL (4)N (V) = A vvSv (5)式中SL 和Sv 分别为长度与体积颗粒分布曲线指数, AL 和Av 为常数。
由于是同等条件下的累积分布曲线,因此有:N (L ) = N (v) (6)则: ALL SL = A vvS v (7)一般认为絮凝体由初始颗粒( Primary Particle) 组成。
用初始颗粒长度L ,形状系数α, 密度ρ, 堆积系数β 表示出体积v 为:v = m/ρ=ψD/ 3αL3 - DL D (8)将(8) 式代入(7) 式有:ALL SL = A v (ψD/ 3αL3 - D) SvL DSv (9)(9) 式两边的L 项指数应该相等,则有:D = SL / S v如果知道颗粒以长度和体积为参数的分布曲线,根据曲线斜率按上式可计算出分形维数。
3.2.3 其它方法[14]沉降法是通过测定或计算絮凝体沉降速度u 与特征长度L 之间的关系u∝LD ,从而推算分形维数,该方法适用于絮凝体比较密实并且不易破碎的情况。
光散射法是通过小角度X 射线散射法,根据散射光强I ( q) 与光波矢量q 之间的关系I ( q) = | q|D 求得分形维数。