一只会下金蛋的鸡——费马大定理

一只会下金蛋的鸡

——费马大定理

学了勾股定理，我们都知道直角三角形的三边满足关系式

a2+b2=c2，

同时还知道，有无数组正整数满足这个关系式。如果a、b、c的次数不是2，而是大于2的正整数，能不能找到正整数满足这个关系式呢？

十七世纪，法国的一位法官、著名的业余数学大师费马，在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8个命题：“将一个平方数分解为两个平方数之和”时，在书的空白处写下了一段引人注目的文字：“要想把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地说，把任何高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法。可惜这里空白的地方太小，无法写下。”费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。这就是说，费马自称证明了定理：

x n+y n=z n，（n≥3）

无正整数解。人称费马大定理，也称费马最后定理。为什么叫这个名称呢？因为费马提出了数论方面许多引人注目的、富有洞察力的结论，这些结论一直到他去世后很久才被人证明大多是正确的，只有一个是错的。到1840年左右，其中只剩下上述这一个结论还没有被证明，因此称为费马的最后定理。把该定理称为费马大定理，是用以区别费马小定理。费马小定理是费马在1640年10月18日给他朋友的一封信中传出去的，这定理说，若p是一个素数而a与p互素，则a p-a能被p整除。

费马真的证明了自己的定理吗？人们普遍持怀疑的态度。费马逝世后，他的后人翻箱倒柜，也只找到了n=4的证明。他是用直角三角形三边长为整数，面积决不是平方数这一事实来证明的。后来，有人经过详实的考证，认为费马不可能完全证明了自己的定理。

三百多年来，上百名最优秀的数学家为了证明它付出了巨大的精力，其中有欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利赫勒、拉梅、柯西、库默等。问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作，有些数学家，如库默和近代的范迪维尔，为此献出了毕生的精力。林德曼在1882年证明了π是超越数后，也终身研究费马定理，而未获结果。

布鲁塞尔和巴黎科学院曾设奖金悬赏数次，但也未得到解决。1908年，数学家佛尔夫斯克尔在哥廷根皇家科学会又悬赏十万马克，征求正确的证明。一大批业余爱好者也进行了尝试，并寄去了自己的解答。据说，著名的数论专家朗道请人印了许多明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士：你对费马大定理的证明已经收到，现予退回。第一个错误出现在第 页，第 行”。朗道将这些明信片分发给他的学生们，吩咐他们将相应的数字填上去。

最初的证明是从n=3开始一个数一个数的进行的。后来，库默经过终生的努力，“成

批地”证明了定理的成立，人们视之为费马大定理证明的一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。

前人直接证明费马大定理的努力取得了许多成果，并促进了一些数学分支的发展，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。怎么办呢？按数学家解决问题的传统，就是要作变换——把问题转化为已知的或易于解决的领域的“新”问题。种种转化的方法既推进了所转化的领域的发展，也使费马大定理的证明得到进展。每一次对费马大定理证明的重大突破，都对许多数学分支产生重要的影响。有好多结论已十分接近费马大定理了，但它们毕竟不是原定理的证明，离原定理的证明尚有并非容易跨越的“一小步”。

三个世纪的历史表明，费马最后定理是有巨大价值的数学问题。要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的。因为最终的判断取决于科学从该问题得到的收益。希尔伯特在一次演讲中谈到费马大定理的价值时说：“证明这种不可能性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响。受费马问题的启发，库默引进了理想数，并发现了把一个循环域的数分解为理想素因子的唯一分解定理，这一定理今天已被狄德金和克朗奈克推广到任意代数域，在近代数论中占着中心地位，而且其意义已远远超出数论的范围而深入到代数的函数论的领域。”希尔伯特还评价说，“费马猜想（即费马大定理）是一只会下金蛋的鸡”。

【附录】

一、【费马简介】

彼埃尔 · 德 · 费马（1601年～1665年）法国数学家、物理学家。物理学中的费马最小时间原理是几何光学的基本定理。费马在数学中的贡献是多方面的。在数论中以他的名字命名的有费马小定理、费马大定理、费马数、费马二平方差定理等，几何学中有费马螺线和费马点，微积分学中有关于极值的费马定理。此外，费马还首创了无限下推法，他分别是概率论与解析几何的首创者之一。

费马1601年8月20日出生于法国南部土鲁斯附近的波蒙，1665年1月12日卒于土鲁斯（或卡斯特）。他出生于商人家庭，青年时期在土鲁斯攻读法律，后来成为著名的律师，曾任土鲁斯议会议员。他不但法律知识渊博，而且以严格的清廉为人称颂。

费马不是一位职业数学家，他近30岁才认真注意数学，只能利用公务之余通过自学研究。他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理；他是微积分学的杰出先驱者；他和帕斯卡一起奠定了古典概率论的基础；他振兴了数论的研究。因此，被称为“业余数学家之王”、“近代数论之父”。

费马谦逊、好静。生前只发表过很少的著作。他对数学的研究成果，主要是写在他阅读过的数学书的边缘和空白处或写在给朋友的信件中，也有一些是散放在旧纸堆里。他去世后，人们（包括他的儿子）才把这些资料汇编成书，共两卷，先后于1670年和1679年

在土鲁斯出版。

二、【证明费马大定理的小故事】

在数学史上，曾流传着这样一个掌故。据说，希尔伯特的一个学生，有一次写了一篇关于费马大定理的论文，一天晚上，他对希尔伯特说：“我已经证明了费马大定理，请老师看一看我的论文。”希尔伯特回答说：“哦！你可能太疲倦了，需要好好休息一下，明天再来找我吧。”第二天，这个学生又去找希尔伯特，他说：“我已经发觉昨天的证明是错误的。”

三、【费马大定理的最终证明】

1993年6月23日，星期三。英国剑桥大学新落成的牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告从上午8点整开始，报告人维尔斯用了两个半小时就他关于“模形式、椭圆曲线和伽罗华表示”的研究结果作了一个冗长的发言。10点30分，在他的报告结束时，他平静地宣布：“因此，我证明了费马大定理。”这一句话象一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手“定”在了空中，大厅里鸦雀无声。半分钟后，雷呜般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶，英国学者们顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢呼起来。很快，这一消息轰动了全世界，许多一流的大众传播媒体迅速地报道了这一消息，并一致称之为“世纪性的科学成就”。

维尔斯证明的实际上是另一个猜想：谷山—志村—韦伊猜想。为此，他写了200多页的证明，在1993年6月23日报告。但好事多磨，维尔斯长达200多页的论文送交审查时，却被发现其证明有漏洞。许多传媒又迅速地报道了这一“爆炸性”新闻。

数学界普遍认为，在数学命题证明中出现漏洞然后再加以补正，是不足为怪的，在数学发展的历史中时有发生。一些审阅过维尔斯论文的专家还指出，即使维尔斯没能证明出费马大定理，他的论文也已经包含有一项表现为重大突破的数学成就。

维尔斯在挫折面前没有止步，从1993年7月起，他就一直在修改论文，这是一项十分困难的工作，以致于他应邀在1994年8月在瑞士苏黎世召开的国际数学家大会上作报告时，对费马大定理只字未提。

1994年9月，维尔斯终于解决了困难，重新写出了一篇108页的论文，于1994年10月14日寄往美国《数学年刊》，论文顺利通过审查，1995年5月，《数学年刊》的41卷第3期只登载了他的这一篇论文！这一被认为是“二十世纪最重大的数学成就”使得维尔斯获得1995/1996年度的沃尔夫数学奖，并于1998年破格获得菲尔兹奖。