不等式、相反数、绝对值讲义
《绝对值与相反数》课件
实例演示
举例：|-3| 等于 3，|7| 等于 7。
绝对值的性质
1 非负性
绝对值始终大于等于零，即 |a| ≥ 0。
2 反对称性
如果 a ≠ 0，则有 |-a| = |a|。
3 三角不等式
对于任意两个数 a 和 b，有 |a + b| ≤ |a| + |b|。
绝对值的运算法则
绝对值加法法则
绝对值之和的绝对值等于原数 的绝对值之和，即 |a + b| = |a| + |b|。
重点回顾及解答疑问
回顾本课程的重点内容，并对学习者提出的问题进 行解答。
参考资料
书籍及文献
- 《数学家的艺术》 - J.E. 尼尔斯特伦德 - 《解读数学》 - I. 斯图尔特
课外拓展阅读推荐
- 《绝对值和相反数的应用》 - 数学世界杂志
网络资源
- 绝对值和相反数 - MathIsFun
《绝对值与相反数》PPT 课件
欢迎大家来到本次课程《绝对值与相反数》的PPT课件。通过本课程，我们将 深入探讨绝对值和相反数的概念、性质和运算法则，并展示它们在数学和实 际生活中的应用。
什么是绝对值
定义
绝对值是一个数离零点的距离，不论这个数是正数、负数还是零。
符号表示
用竖杠“|”括起来表示，例如 |5| 等于 5。
用，例如在财务管理、物流规划和工程
建设等领域。
3
数学公式和问题
通过理解绝对值和相反数的概念和运算 法则，我们可以解决各种数学公式和问 题。
更多应用
想要了解更多关于绝对值和相反数的应 用，请参考本课程提供的参考资料。
总结
绝对值和相反数的关系
绝对值和相反数是数学中重要的概念，它们互为补 充，相辅相成。
相反数、绝对值ppt课件
数学史导入
符号类型，并且也载入了书本中，成为表达绝对值的一种方式，这种 表达方式为“| |”，既简单也很直接，并且在计算机中使用也很直观， 当然在使用的时候也是有相关规定的。
自主探究
1．请同学们阅读教材27页，思考下列问题：
3与－3有什么关系？ 3与－ 2
32，5与－5呢？你还能列举一组
这样的数吗？你发现了什么？由此你能得到什么结论
典例精讲
【题型一】求一个数的相反数或绝对值 例1：－2 024的相反数是 2 024 ，绝对值是 2 024 。 变式1：如果a与100互为相反数，那么a＝ －100 。 变式2：已知一个数的绝对值是4，那么这个数是 ±4 。
【题型二】对绝对值性质的理解
例2：若a≥0，则|a|等于（ C ）
A．0
和－5米来表示，这两个量除了符号不同，还有什么特点吗？
成语导入 “南辕北辙”这个成语讲的是古代某人要去南方，却向北走了起来， 有人预言他无法到达目的地，他却说“我的马很快，车的质量也很 好”，请问他能到达目的地吗？
数学史导入 绝对值这个概念是七年级接触的第一个最具代数特征的数学概念， 这个概念的确立距今已经一百多年。绝对值概念的产生是基于解析 几何的需要，也就是说目的是表达数轴或坐标系条件下的距离概念， 而这个概念的产生距离正负数的出现足足晚了1 400多年，绝对值的 概念是由德国著名数学家魏尔斯特拉斯首先引用的。绝对值符号来 源于计算机，在计算机中为了能更好的进行表达，研究出了不少的 符号，而这种符号的应用就成为一大关键。在1841年魏尔斯特拉斯 首次使用了这种符号，至此之后该符号不仅成为计算机专用的
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识讲解
知识点1：相反数(重点) 符号不同，数量相等的两个数，我们称其中一个数为另一个数的 相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
绝对值和相反数讲义
第2 讲绝对值和相反数相反数1、定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别地，0的相反数是0.2、相反数的性质：若a,b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0,则a,b互为相反数注意点：①相反数是成对出现的，不能单独存在；单独的一个数不能说是相反数②要把“相反数”与“相反意义的量”区分开来，“相反数”不仅要求数的符号相反，而且要求符号后面的数相同③求一个数的相反数只需要在这个数前面加上一个负号就可以；绝对值内容符号表示定义一般地。
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值数a的绝对值记做|a|,读作a的绝对值绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0绝对值的代数意义用式子可表示为：或绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远；绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小如图所示，在数轴上表示-4的点与原点的距离是4，即-4的绝对值4，记做|-4|=4；在数轴上表示3的点与原点的距离是3，即3的绝对值是3，记做|3|=3;表示0的点与原点的距离是0，即|0|=0重点：相反数和绝对值的表示方法No. 2DateTimeName难点：数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质一、选择题1．一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ）． A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）． A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ②④ 3．满足|x|＝-x 的数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 4．已知1|3|a=-，则a 的值是( )． A ．3 B ．-3 C ．13 D ．13+或13- 5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．A ．b ＜-a ＜a ＜-bB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-b ＜a ＜-a ＜bD ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b ．其中正确的个数为( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=．8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ． 9．如果，则的取值范围是10． 绝对值不大于11的整数有 个． 11． 式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 ． 12．若1aa=-，则a 0；若a a ≥，则a ． 三、解答题13．已知a 和b 互为相反数，m 与n 互为倒数，(2)c =-+，求22mna b c++的值．14．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25，+10，-20，+30，+15． (1)写出每个足球的质量；(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．一、选择题1．下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2； ③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．02． 已知(－ab)·(－ab)·(－ab)＞0，则( )．（ ）A ．ab ＜0B ．ab ＞0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＜0 3．设234a =-⨯，2(34)b =-⨯，2(34)c =-⨯，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A ．a ＜c ＜b B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．a ＜b ＜c4．计算：31+1＝4，32+1＝10，33+1＝28，34+1＝82，35+1＝244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测200931+的个位数字是（ ）．A ．0B ．2C ．4D ．85．现规定一种新的运算“*”，a*b ＝a b ，如3*2＝32＝9，则1*32等于（ ）． A ．18 B ．8 C ．16 D ．326．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1 300 000 000度，这个数用科学记数法表示，正确的是( )． A ．1.30×109B ． 1.3×109C ． 0.13×1010D ． 1.3×10107．计算2223113(2)32⎛⎫⎛⎫-⨯---÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ）．A ．-33B ．-31C ．31D ．33二、填空题8． 对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是________________．9．为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 ． 10．若()2120a b ++-=，则()22003a b a++= ．11．当x= 时，()241x --有最大值是 ．12．如果有理数m 、n 满足0m ≠，且20m n +=，则2n m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13． 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第7个数据是 ，第n 个数据是 ．1．阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x 为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．1、2、3、年月日三、解答题14．计算：(1)19812(16)44⎛⎫-÷--÷-⎪⎝⎭(2)5115124(3)3521⎛⎫--+÷-⨯-⎪⎝⎭(3)233131(2)2422⎛⎫⎛⎫-⨯+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)(4)25221(1)31(2)33⎡⎤⎛⎫---⨯--÷-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦15．用简便方法计算：(1)317315606060 5212777⎛⎫⎛⎫--⨯⨯-⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2211131 1115 342163⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯---⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．16．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株(不考虑植株死亡、被打捞等其他因素)．(1)假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：第几天 5 10 15 …50 …5n总株数 2 4 ……(2)假定某流域内水葫芦维持在33万株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．(要求写出必需的尝试、估算!)。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学的广袤世界里，绝对值是一个非常基础且重要的概念。
简单来说，绝对值就是一个数在数轴上距离原点的距离。
无论这个数是正数还是负数，它的绝对值总是非负的。
例如，5 的绝对值是 5，－5 的绝对值也是 5。
这是因为 5 和－5 在数轴上到原点的距离都是 5 个单位长度。
用数学符号来表示，一个数 a 的绝对值记作｜a| 。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的首要性质就是非负性，即对于任意实数 a ，都有｜a| ≥ 0 。
这是因为距离不能是负数。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。
比如 3 和－3 ，它们的绝对值都是 3 。
3、若｜a| ＝ b （b ≥ 0 ），则 a ＝ ±b这意味着当我们知道一个数的绝对值，就可以推断出这个数可能的值。
例如，若｜x| ＝ 4 ，那么 x 可能是 4 或者－4 。
三、绝对值的计算1、正数的绝对值是其本身对于正数 a ，｜a| ＝ a 。
比如｜7| ＝ 7 。
2、 0 的绝对值是 0这是一个特殊情况，｜0| ＝ 0 。
3、负数的绝对值是它的相反数对于负数 a ，｜a| ＝ a 。
例如，｜－9| ＝（－9) ＝ 9 。
四、绝对值的几何意义从几何角度看，绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。
例如，｜a b| 表示数轴上 a 点和 b 点之间的距离。
如果我们要计算｜x 3| ，就可以理解为 x 这个点到 3 这个点的距离。
五、绝对值不等式1、当｜a| ＜ b （b ＞ 0 ）时， b ＜ a ＜ b比如，｜x| ＜ 5 ，那么－5 ＜ x ＜ 5 。
2、当｜a| ＞ b （b ＞ 0 ）时， a ＜ b 或 a ＞ b例如，｜x| ＞ 2 ，则 x ＜－2 或 x ＞ 2 。
六、绝对值在方程中的应用在方程中，绝对值的出现常常会使问题变得复杂，但只要掌握了正确的方法，也能迎刃而解。
例如，方程｜x 1| ＝ 2 ，根据绝对值的性质， x 1 ＝ 2 或 x 1 ＝－2 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
《相反数与绝对值》 讲义
《相反数与绝对值》讲义一、引入在数学的奇妙世界中，相反数和绝对值是两个非常基础且重要的概念。
它们就像是数学大厦中的基石，虽然看似简单，却在解决各种数学问题中发挥着关键的作用。
想象一下，我们在数轴上漫步，每一个数字都有它独特的位置和性质。
相反数和绝对值就是帮助我们更好地理解这些数字的特性和它们之间关系的工具。
二、相反数的定义与性质（一）定义相反数，简单来说，就是绝对值相等，符号相反的两个数。
例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。
（二）性质1、互为相反数的两个数之和为 0。
比如，2 和－2 互为相反数，2 ＋（－2) ＝ 0。
2、 0 的相反数是 0。
这是一个特殊的情况，因为 0 既不是正数也不是负数。
为了更直观地理解相反数，我们可以在数轴上观察。
数轴就像一个有方向的直尺，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。
一个数和它的相反数在数轴上关于 0 点对称。
三、绝对值的定义与性质（一）定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
用符号“｜｜”表示。
比如，｜3| ＝ 3，｜－3| ＝ 3。
（二）性质1、正数的绝对值是它本身。
例如，｜5| ＝ 5。
2、 0 的绝对值是 0。
3、负数的绝对值是它的相反数。
比如，｜－7| ＝ 7。
从几何意义上来看，绝对值表示的是一个数在数轴上的位置到原点的距离，所以绝对值总是非负的。
四、相反数与绝对值的计算（一）求相反数要找出一个数的相反数，只需要改变它的符号即可。
正数变为负数，负数变为正数。
例如：求－8 的相反数，就是 8；求 12 的相反数，就是－12。
（二）求绝对值对于正数和 0，绝对值就是它们本身；对于负数，绝对值是它的相反数。
比如：｜－15 ｜＝ 15，｜ 0 ｜＝ 0，｜ 20 ｜＝ 20。
五、相反数与绝对值在方程中的应用在方程求解中，相反数和绝对值经常会出现。
例如：方程｜x 3| ＝ 5，我们需要分两种情况来考虑。
当x 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3，方程变为 x 3 ＝ 5，解得 x ＝ 8。
《绝对值与相反数》课件
相反数的代数意义
总结词
相反数的代数意义主要体现在加减法运算中 ，即两数相加等于零的两个数互为相反数。
详细描述
在代数中，我们可以将相反数的概念应用于 加减法运算。具体来说，如果两个数的和为 零，那么这两个数互为相反数。例如，5和5相加等于零，所以5和-5是相反数。同样 地，我们可以将这个概念应用到其他数字上 ，例如6和-6、7和-7等等。
绝对值的几何意义
总结词
直观、形象
详细描述
绝对值在数轴上表示一个数到原点的距离，即数轴上任意一点P与原点O的距离 OP，记作|PO|。
绝对值的代数意义
总结词
严谨、深入
详细描述
绝对值在代数中表示一个数的正值，即不考虑正负号，只考虑数值大小。例如，|-5|=5，|5|=5。绝对值还可以用 于简化表达式的计算，如|x+1|+|x-3|的最小值是4。
在日常生活中的应用
总结词：实际应用
详细描述：在日常生活中，绝对值与相反数有着广泛的应用。例如，在路程计算中，绝对值可以表示 两点之间的距离；在温度比较中，相反数可以表示温度的高低。通过这些实际应用的例子，学生可以 更好地理解绝对值与相反数的意义。
04
绝对值与相反数的练习题
基础练习题
总结词
考察基本概念和运算规则
03
绝对值与相反数的应用
在数轴上的应用
总结词：直观理解
详细描述：在数轴上，绝对值表示一个数到原点的距离，而相反数则表示在数轴 上与原点距离相等但方向相反的数。通过数轴，学生可以直观地理解绝对值和相 反数的概念。
在代数运算中的应用
总结词：运算基础
详细描述：在代数运算中，绝对值可以用于简化表达式，如 |x| 可以表示 x 的正值。相反数则可以用于表达式的化简和计算， 如 a - (-b) = a + b。掌握绝 件
专题05 绝对值与绝对值不等式 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ．（3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-；（3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．（2）如图，化简22a b b c a c +------=_____________．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 （4）若x x >，那么x 是____ ____数． （5）已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______；（2）不等式1211<-x 的解是______________；（3）不等式830x -≤的解是______________．小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<；（2）3412x x ->+；（3）122x x x -+-<+．小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值； （2）求|a |+|b |+|c |的最小值．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．【解析】（1）424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．（2）1,2a b =-=．（3）由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ． （3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．【解析】（1）3或－3．（2）当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1； 当a 、b 、c 都是负数时，M = -3． 综上：M =1±或3±．（3）由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=； 当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 综上：a b c abca b c abc+++0=．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．【解析】（1）（ⅰ）33x -<<； （ⅱ）33x x <->或； （ⅲ）22x -≤≤．（2）（ⅰ）由题意，3103x -<-<，解得713x <<．（ⅱ）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <． （ⅲ）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤<．（3）（ⅰ）由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤①，由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<②， 由①②得原不等式的解集为：4233x -<<． （ⅱ）方法一：由215x -<，解得23x -<<①，由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥②，由①②得原不等式的解集为：2013x x -<<≤<或．方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．【解析】（1）法一：（零点讨论法）（ⅰ）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （ⅱ）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为123x x <>或．法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >．（2）（ⅰ）当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；（ⅱ）当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x ；（ⅲ）当1x >时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为32x -<<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-； （3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．【解析】（1）①关键点是1x =，此点又称为界点；②接着是要去绝对值：当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-． ③图象如右图所示． （2）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值： 当1x ≤时，53y x =-； 当12x <<时，3y x =-； 当2x ≥时，35y x =-． ③图象如右图所示． （3）①关键点是0x =；②接着是要去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++； 当0x <时，223y x x =--+． ③图象如右图所示． （4）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+； 当12x <<时，232y x x =-+- ③图象如右图所示．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=___3____．（2）如图，化简22a b b c a c +------=______-4_______．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ C ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（4）若x x >，那么x 是____负____数． （5）已知6a <-，化简26a -得( B )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______； 51x -<<（2）不等式1211<-x 的解是______________； 04x << （3）不等式830x -≤的解是______________．38小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<； 1124x x -<≤≤<或（2）3412x x ->+； 355x x <>或（3）122x x x -+-<+．153x <<小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象． 【解析】23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如右．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．【解析】 （1）如图所示： （2）如图所示：小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．【解析】∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ≥0且1﹣8x ≤0，即1187x ≤≤， 所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值；（2）求|a |+|b |+|c |的最小值．【解析】（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c ，由题设知a ＜0，且b +c ＝﹣2﹣a ，4bc a=-， 于是b ，c 是一元二次方程24(2)0x a x a----=的两实根， 即24(2)40a a∆=++⋅≥，a 3+4a 2+4a +16≤0，（a 2+4）（a +4）≤0， 所以a ≤﹣4；又当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题意．故a ，b ，c 中最小者的最大值﹣4．（2）因为abc ＜0，所以a ，b ，c 为全小于0或二正一负．①当a ，b ，c 为全小于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最小者不大于﹣4，这与a +b +c ＝﹣2矛盾．②若a ，b ，c 为二正一负，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |+|b |+|c |＝﹣a +b +c ＝﹣2a ﹣2≥8﹣2＝6，当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a |+|b |+|c |的最小值为6．。
绝对值不等式讲义
【知识点梳理】一、绝对值的相关概念与性质：绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．（5）.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤.（6）：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .（7）：||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+.绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．二、含绝对值方程（不等式、代数式）的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法1.||||x a a x a x a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或； 0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；2.利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3.反客为主4.分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴ |4x-3|<2x+1 ； ⑵ |3-4x|>2x+1 。
不等式和绝对值不等式归纳总结课件
专题五 ⇨放缩法
● 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简，并使它与不 等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法. 它是证明不等式的特殊方法.
典例试做 5 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证：
1＋a a，1＋b b，1＋c c也可以构成一个三角形. [解析] 设f(x)＝1＋x x，x∈(0，＋∞)，0<x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝1＋x2x2－1＋x1x1＝1＋xx22－1x＋1 x1>0，f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数.
②
又ax＋ay≥2a18 .
③
由于①、②等号不能同时成立，
所以③式等号不成立，即ax＋ay>2a1<18＋loga2成立.
专题四 ⇨反证法
● 运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反 的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论， 否定假设，从而证明原不等式成立.
典例试做 3
＋loga2.
设实数 x、y 满足 y＋x2＝0，且 0<a<1，求证：loga(ax＋ay)<18
1
[分析] 1.根据对数函数的单调性，将要证不等式转化为证明：ax＋ay>2a8 .
2. 利用综合法及基本不等式证明该不等式.
[解析] 由于0<a<1，则t＝logax(x>0)为减函数.
典例试做 2 已知 a、b、c 为△ABC 的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab
＋bc＋ca).
● [提示] 应用余弦定理解决.
[解析] 设a、b两边的夹角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝a2＋2ba2b－c2. ∵0<θ<π，∴cosθ<1，∴a2＋2ba2b－c2<1， 即a2＋b2－c2<2ab. 同理可证：b2＋c2－a2<2bc，c2＋a2－b2<2ac， 将上面三个同向不等式相加，即得 a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca).
不等式的性质及绝对值不等式讲义
不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么;如果b<a,那么,即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么,即a>b,b>c⇒.(3)如果a>b,那么a+c>,即a>b⇒a+c>.推论:如果a>b,c>d,那么,即a>b,c>d⇒.(4)如果a>b,c>0,那么ac>;如果a>b,c<0,那么ac<.(5)如果a>b>0,那么a n b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0,那么√a n√b n(n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立.,当且仅当时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么a+b2(3)如果a>0,b>0,那么a+b称为a,b的平均,√ab称为a,b的平均.2,当且仅当时,等号成立. (4)如果a>0,b>0,c>0,那么a+b+c3(5)对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 若对于实数x ,y ,有|x+y+1|≤13,|y -13|≤23,求证:|23x +1|≤79.[总结反思](1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便. 式题 若x ,y 满足|x-3y|<12,|x+2y|<16,求证:|x|<310.探究点二 绝对值不等式的解法 2 已知函数f (x )=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f (x )≥-2;(2)设g (x )=x-a ,若对任意x ∈[a ,+∞),都有 g (x )≥f (x ),求a 的取值范围.[总结反思]式题已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围.探究点三绝对值不等式的证明与应用|+|x-2m|(m>0).3]设函数f(x)=|x+8m(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.[总结反思]式题已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若f(x)+f(-x)<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.3参考答案【课前双基巩固】 知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c (3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d (4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥√ab a=b(3)算术 几何 (4)≥√abc 3a=b=c(5)a 1+a 2+⋯+a nn≥√a 1a 2…a n n3. (1)ab ≥0 (2)(a-b )(b-c )≥0 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明. 证明:|23x +1|=23|x +32|=23x+y+1-y+13+16≤23|x+y+1|+|y -13|+16≤23×(13+23+16)=79,所以|23x +1|≤79.变式题 证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=15|2(x-3y )+3(x+2y )|≤15[|2(x-3y )|+|3(x+2y )|]<15×(2×12+3×16)=310.例2 [思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f (x )≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f (x )的图像,数形结合求得满足x ∈[a ,+∞)时g (x )≥f (x )的a 的取值范围. 解:(1)f (x )={x -4,x ≤−2,3x,-2<x <1,-x +4,x ≥1,当x ≤-2时,x-4≥-2,即x ≥2,∴x ∈⌀; 当-2<x<1时,3x ≥-2,即x ≥-23,∴-23≤x<1; 当x ≥1时,-x+4≥-2,即x ≤6,∴1≤x ≤6.综上,f (x )≥-2的解集为{x|−23≤x ≤6}. (2)函数y=f (x )的图像如图所示.∵g (x )=x-a ,-a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a ≥2,即a ≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a ,得x=2+a2,∴a ≥2+a2,即a ≥4.综上,a ≤-2或a ≥4.变式题 解:(1)当a=-1时,不等式f (x )≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴{x <−12,-(2x +1)−(−x)-1≥0或{-12≤x <0,(2x +1)−(−x)-1≥0或{x ≥0,(2x +1)−x -1≥0,解得x ≤-2或x ≥0,∴不等式f (x )≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f (x )=2x 得a=2x+|x|-|2x+1|, 令g (x )=2x+|x|-|2x+1|,则g (x )={ 3x +1(x <−12),-x -1(-12≤x <0),x -1(x ≥0),作出函数y=g (x )的图像,如图所示,易知A -12,-12,B (0,-1),结合图像知,当-1<a<-12时,函数y=a 与y=g (x )的图像有三个不同的交点,即方程f (x )=2x 有三个不同的解,∴a 的取值范围为(-1,-12).例3 [思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得|x +8m |+|x-2m|≥|8m +2m|,再根据基本不等式可得8m +2m ≥2√16=8,即证f (x )≥8恒成立;(2)原问题等价于解|1+8m |+|1-2m|>10,分1-2m ≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f (x )=|x +8m |+|x-2m|≥|(x +8m )-(x -2m)|=|8m +2m|=8m +2m ≥2√8m ×2m =8,当且仅当8m =2m 且(x +8m )(x-2m )≤0,即m=2且-4≤x ≤4时取等号,所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)=|1+8m|+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>12时,f (1)=1+8m-(1-2m )=8m+2m ,由f (1)>10,得8m+2m>10,化简得m 2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以12<m<1或m>4.当1-2m ≥0,即0<m ≤12时,f (1)=1+8m +(1-2m )=2+8m -2m , 由f (1)>10,得2+8m -2m>10,此不等式在0<m ≤12时恒成立. 综上,实数m 的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题 解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4. 因为a>0,所以-2a ≤x ≤4a ,因为不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}, 所以{-2a =−1,4a =2,解得a=2.(2)因为f(x)+f(-x)3=|2x -1|+|2x+1|3≥|(2x -1)-(2x+1)|3=23,所以要使f(x)+f(-x)3<|k|存在实数解,只需|k|>23,解得k>23或k<-23,所以实数k的取值范围是(-∞,-23)∪(23,+∞).。
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初一数学―——―第1页（共2页）―——―9月14日
初二数学考点、题型
[中考题型]
例1 ．在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是10，则数=a ；
若在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是b ，则数=a 。
例2． a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（ ）
A ． a+b ＜0
B ． ab=0
C ．
b a ＜0 D ．0<-b a
例3． 下列说法正确的是（ ）
A ．若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数
B ．如果两个数互为相反数，则它们的商为－1
C ．如果a +b =0，则数a 和数b 互为相反数
D ．互为相反数的两个数一定不相等
例4．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是（ ）
A ．互为相反数
B ．相等
C ．积为0
D ．互为相反数或相等
例5 ． 求出下列各数的相反数
（1）
4a （2）1+a （3）b a - （4）23c
例6 ． 已知ab ＞0，试求ab
ab b b a a ||||||++的值。
例7．若│χ+3∣+∣y —2∣=0，则2015)y x +（ =
a 0 b
初一数学―——―第2页（共2页）―——―9月14日
初一数学考点、题型
一．选择题
1．下列数轴画正确的是（ ）
2．若21-++y x ，则y x +=（ ）
A ．– 1
B ． 1
C ．0
D ．3
3．（– 2）的相反数的倒数是（ ）
A ．21
B ．2
1- C ．2 D ．– 2 4．下列说法正确的是（ ）
A ．互为相反数的两个数一定不相等
B ．互为倒数的两个数一定不相等
C ．互为相反数的两个数的绝对值相等
D ．互为倒数的两个数的绝对值相等
5．有理数a ，b 如图所示位置，则正确的是（ ）
A ．a+b>0
B ．ab>0
C ．b-a<0
D ．|a|>|b|
二．填空题
6．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，则a+b=_______；cd=______；m=__________
7．如果a 的相反数是– 5，则a=_____，|a|=______，|– a – 3|=________
8．若|a|=4，|b|=6，且ab<0，则|a-b|=__________
三．化简与计算
9．化简下列各数的符号
①)5.4(-+ ②)5
31(-- ③[])2(+-- ④()[]{}2.0----
10．若|x|=-x ，则x 是_________数
11．将下列各数从大到小排列起来
0 6
5- 43- 0001.0
12．如果两个数a 和b 的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）
A ．b a =
B ．1-=b
a C ．0=+
b a D ．不能确定
0 A 1--2-。