绝对值不等式的性质及其解法
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
不等式的绝对值不等式
不等式的绝对值不等式不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。
而绝对值不等式则是一种特殊类型的不等式，它以绝对值的形式出现。
本文将介绍绝对值不等式的定义、性质以及解决方法。
一、绝对值不等式的定义绝对值是指一个数与零的距离，用符号“|x|”表示。
对于任意实数x，有以下绝对值的定义：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值不等式则是在绝对值的基础上，将不等式引入。
形式上，绝对值不等式可表示为|f(x)|<g(x)、|f(x)|>g(x)、|f(x)|≤g(x)或|f(x)|≥g(x)四种情况。
二、绝对值不等式的性质1. 对于任意实数a和b，有|a|≥0和|a|=-a当且仅当a=0。
解释：绝对值的定义使得它的值要么为非负数，要么为零；同时，只有当a等于零时，|a|才能等于零。
2. 对于任意实数a，有|-a|=|a|。
解释：绝对值的定义中，当a为非负数时，|a|与|-a|的数值相等；当a为负数时，|-a|和|a|的数值同样相等。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式的求解过程相对复杂，需要根据不同的情况进行讨论。
下面将介绍几种常见的解法方法：1. 使用数轴法将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题，通过确定不等式在数轴上的位置关系，找出满足条件的解。
例如，对于不等式|3x-2|<5，我们可以通过将3x-2视为一个变量，利用数轴上的图形表示，找出满足条件的解。
2. 分析法将绝对值不等式拆解成两个简单的不等式，再分别求解。
主要包括以下两种情况：a) 当不等式中的绝对值没有含有变量时，直接求解即可。
b) 当不等式中的绝对值含有变量时，将不等式转化为一个简单的二次不等式，再进行求解。
3. 化简法对于一些特殊的绝对值不等式，可以通过化简的方法求解。
例如，对于不等式|a-b|<c，我们可以将其拆解为两个不等式，即a-b<c和a-b>-c，再求解。
总结：绝对值不等式是数学中重要的概念，它可以用来描述数值之间的大小关系。
绝对值不等式
绝对值不等式1、平均值不等式定理1：如果a,b∈R,那么a²+b²≥= 当且仅当当时，等号成立定理2：（基本不等式）如果a,b>0,那么2ba+≥，当且仅当当时，等号成立，即两个正数的算术平方根不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
定理3：如果a,b,c大于0，那么3cba++≥，当且仅当当时，等号成立，2、绝对值三角不等式：定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤ ,当且仅当当时，等号成立定理2：如果a,b，c是实数，那么 ,当且仅当当时，等号成立3．绝对值不等式的解法(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax+b|≤c⇔②|ax+b|≥c⇔(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：三种解法：思考感悟：1．|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？【提示】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？【提示】|x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差)．学情自测：1．(教材改编题)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是()C①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．2．(2012·韶关质检)不等式|x－2|＞x－2的解集是()AA．(－∞，2) B．(－∞，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】|x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.3．(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．【解析】因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，因此要使原不等式存在实数解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.【答案】(－∞，－3]∪[3，＋∞)4、（2012广州调研）不等式：|2||1|++x x ≥1的实数解为 |2||1|++x x ≥1⇔|x+1|≥|x+2|且x+2≠0,∴x ≤-23且x ≠-2 绝对值不等式性质的应用 ：例题1：(2011·江西高考)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为．【思路点拨】思路一: 将|x －2y ＋1|变形，设法用x －1与y －2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二: 由|x －1|≤1，|y －2|≤1分别求x 、y 的范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解．【尝试解答】法一 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值5.法二 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.规律与方法：1．(1)法一的关键是把|x －2y ＋1|变形为|(x －1)－2(y －2)－2|，进而利用绝对值不等式性质；(2)法二把求|x －2y ＋1|的最大值问题，转化为求x －2y ＋1的取值范围问题．2．(1)利用绝对值不等式性质定理求最值时，要指明取到等号的条件．(2)注意绝对值不等式性质在不等式证明中的放缩应用．变式训练：若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)．【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|＝|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|，∵|x －a |<1.∴|x －a ||(x －a )＋(2a －1)|<|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(1＋|a |)． ∴不等式|f (x )－f (a )|<2(1＋|a |)成立含绝对值不等式的解法 ：例题2：(1)(2011·江苏高考)解不等式：x ＋|2x －1|＜3.(2)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．【思路点拨】 (1)将不等式x ＋|2x －1|＜3化成|2x －1|＜3－x 的形式，然后用公式求解．(2)去|x ＋3|与|x －2|的绝对值，按零点分区间讨论．【尝试解答】1） 由x+|2x-1|<3,得|2x-1|<3-x,∴原不等式化为：⎩⎨⎧-<-≥-x x x 312012或⎩⎨⎧-<-<-x x x 321012， 解得：21≤x<34或-2<x<21,∴原不等式的解集是：{x|-2<x<34} 2） ①当x ≥2时，原不等式化为：x+3-(x-2)≥3,此时恒成立，∴x ≥2,②当x ≤-3时，原不等式化为-x-3-(2-x)≥3,无解，③当-3<x<2时，原不等式化为x+3-(2-x)≥3，解得：x ≥1,因此1≤x<2综合①②③可知，原不等式的解集为：{x|x ≥1}1．第(1)问利用绝对值定义，将其转化为与之等价的不等式组是求解的关键；也可利用|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )进行转化；第(2)问易错点：(1)分区间去绝对值时忽视零点的值；(2)误求不等式的解集为交集．2．含有两个或两个以上绝对值号的不等式，常用零点分段法脱去绝对值号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)．但一定注意，最终的不等式的解集是各类情形的并集．其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．变式训练：(2011·山东高考)求不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集．【解】法一：当x ≥5时，原不等式为x －5＋x ＋3≥10，∴x ≥6.不等式的解集为{x |x ≥6}． 当－3＜x ＜5时，原不等式化为－x ＋5＋x ＋3≥10,8≥10，此时原不等式无解；当x ≤－3时，原不等式化为－x ＋5－x －3≥10，x ≤－4.∴原不等式的解集为{x |x ≤－4}． 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．法二 由绝对值的几何意义，|x －5|＋|x ＋3|≥10表示数轴上的点到两点－3,5的距离之和大于等于10的所有的点集．易知点－4和6到两点－3,5的距离之和都等于10，结合数轴知原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤－4}．利用平均值不等式求最值 ：1）若x>0,求函数f(x)=x+24x的最小值； 2）已知x>0,y>0,且x+y=1,求x 4+y 9的最小值 【思路点拨】：1）将f(x)变形为2x +2x +24x，然后用定理3求解 2）注意x+y=1的应用，运用a+b ≥2ab 求最小值【尝试解答】1）∵x>0,∴f(x)= x+24x =2x +2x +24x ≥332422x x x ∙∙=3,当且仅当2x =24x ，即x=2时取等号，∴x=2时，f(x)min =32)∵x>0,y>0,x+y=1,∴x 4+y 9= (x+y)( x 4+y 9)=13+x y 4+y x 9≥13+2yx x y 94∙=25 当且仅当x y 4=yx 9时等号成立 由⎪⎩⎪⎨⎧==+y x x y y x 941且x>0,y>0,得⎪⎩⎪⎨⎧==5352y x ∴当x=52,y=53时取等号，所以x 4+y 9的最小值为25.1．利用平均值不等式求最值，应明确基本不等式成立的条件，“一正、二定、三相等”缺一不可．2．利用不等式求最值时，常利用添项、拆项、配系数，并注意“1”的代换，创造使用均值不等式的条件.变式训练：若0＜x ＜1，则函数f (x )＝x 2(1－x )的最大值是________．【解】∵0<x<1,∴0<1-x<1,f(x)=x ²(1-x)=4•2x •2x •(1-x)≤4•[3)1(22x x x -++]³=274 当且仅当2x =1-x,即x=32时，等号成立，因此f(x)的最大值f(x)max = 274绝对值不等式的综合问题 ：例题4：(2012·佛山质检)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】 (1)由|x －a |≤3求不等式的解集，与已知比较，求参数a 的值；(2)利用绝对值不等式的性质或函数的单调性，求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，得参数不等式求解．1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5} 所以5313=+-=-⎩⎨⎧a a 解得a=2.2)法一：由1）知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<-2,1223,53,12-x x x x x 利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]．法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5. 因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．, 规律方法4：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法1是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法2是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．变式训练：已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4.(1)若函数f (x )的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围．【解】 (1)依题意，f (x )≤1，即|x －3|≤3.∴－3≤x －3≤3，∴0≤x ≤6，因此实数x 的取值范围是[0,6]．(2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6≥|(x －3)－(x ＋1)|－6＝－2，∴f (x )－g (x )的最小值为－2， 要使f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R. 应有m ＋1≤－2，∴m ≤－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3].命题透视：从近两年新课标命题看，含绝对值不等式的解法是选考内容4－5考查的热点，难度为中等，2011年高考命题的突出特点是以函数为载体考查绝对值不等式的解法与证明，预计2013年高考将延续这一命题方向．规范解答之二十二 绝对值不等式中逆向问题的正向求解策略例题：(10分)(2011·新课标卷)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集．(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．规范解答：1） 当a=1时，f(x)≥3x+2,可化为|x-1|≥2,由此可得x ≥3或x ≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-2a },由题设可得-2a =-1，故a=2 【解题程序】 第一步：代入a ，求绝对值不等式|x －1|≥2的解集；第二步：化|x －a |＋3x ≤0为不含绝对值的不等式组，并求解集；第三步：与题设比较，得含a 的方程，求出a 值；第四步：检验，查易错点，规范结论．阅卷心悟：易错提示：(1)不知逆向问题求解方法是思维受阻的主要原因．(2)未注意条件a >0，造成两解．防范措施：(1)逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后．与已知不等式的解集作比较，便可建立关于a 的方程；(2)本题不等式f (x )≤0解集的端点－1是方程f (x )＝0的解，利用这一点可得一种巧妙解法． 自主体验：1．(2011·广东高考)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．【解析】 由|x ＋1|－|x －3|≥0，得|x ＋1|≥|x －3|，平方得(x ＋1)2≥(x －3)2，解之得x ≥1， ∴不等式的解集为{x |x ≥1}．2．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．1）证明：f(x)=|x-2|-|x-5|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤5352722,3-x x x x ,当2<x<5时，-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3 2)由1）可知：当x ≤2时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x<5}当X ≥5时，f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}综上所述：不等式f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x ≤6}。
绝对值函数和绝对值不等式
绝对值函数和绝对值不等式典型例题：【过关习题4】1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a=.3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为.4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=.5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|+的最小值为.6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤27.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为.8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则.A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，则a2+b2+c2<10010.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x，y，z满足则|x|+|y|+|z|的最大值为.11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f(x)=|2x－1|，若f(x)≥对任意的a≠0恒成立，则x的取值范围为.12.【2016年浙江样卷，☆】已知f(x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，记M(a，b，c)为|f(x)|在[0，1]上的最大值，则的最大值是.13.【☆☆】设函数f(x)=|x2+ax+b|，若对任意的实数a、b，总存在x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，则实数m的取值范围是.14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f(x)=－x3－3x2+x，记M(a，b)为函数g(x)=|ax+b－f(x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，则M(a，b)的最小值为.15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b，记M为函数y=|f(x)|在[－1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则.A.若M=，则N=3B.若M=，则N=3C.若M=2，则N=3D.若M=3，则N=316.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f(x)=|ax+2+b|，若对任意的x∈[0，4]，函数f(x)≤恒成立，则a+2b=.17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x都有|a cos2x+b sin x+c|≤1恒成立，则|a sin x+b|的最大值为.18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】设max{a，b}=，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max的最小值为．19.【☆☆】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若对任意的|x|≤1，都有|f(x)|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大值为.20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值为.21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f(x)=若方程f(x)+2+|f(x)－2|－2ax－4=0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，若x3－x2=2(x2－x1)，则a=.22.【2006年辽宁，☆】已知函数f(x)=(sin x+cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为.23.【2008年江西，☆】函数y=tan x+sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是.24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x∈(a，b)∪(c，d)(b≤c)时，函数f(x)=2x2+x+2的图像在函数g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，则b－a+d－c的取值范围为. 25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是.27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f(x)=g(x)=|x－k|+|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为.28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f(x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为.30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解为.31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x∈R，则函数f(x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值为.32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三个不同的实数根，则a=.33.【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.A.1B.2C.πD.434.【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值和最小值的差为.35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f(f(x))+1=0有个不同的解.36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|(|x|+3|y|－6)(3|x|+|y|－6)≤0}所对应的平面区域的面积为.37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1－x2|+|y1－y2|.若C(x，y)到点A(1，3)、B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为.38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积是.39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈R，下列不等式成立的是.A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B.1+2|x+y|≥|x|+|y|C.1+2|xy|≥|x|+|y|D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x，y}=设f(x)=min{x2，x3}，则.A.存在t>0，|f(t)+f(－t)|>f(t)－f(－t)B.存在t>0，|f(t)－f(－t)|≥f(t)－f(－t)C.存在t>0，|f(1+t)+f(1－t)|>f(1+t)+f(1－t)D.存在t>0，|f(1+t)－f(1－t)|>f(1+t)－f(1－t)41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f(x)|≤.(I)求|f(2)|的取值范围；(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤142.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f(x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．(I)若b=2，试求出M；(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f(x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数f(x)的单调性.。
绝对值不等式
绝对值不等式重点：形如|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)的不等式.难点:应用数形结合的思想解不等式,在解决含有字母系数的不等式时,如何进行分类讨论.例1.解下列关于x的不等式:<1>|x|<2<2>|x|<a<3>|x-3|<2<4>|2-3x|>4分析:解含有绝对值号的不等式关键问题是如何去掉绝对值号,从代数形式考虑可利用绝对值的定义,从几何意义入手可利用数轴上点的距离,如果再深入考虑还可利用函数图象去解决问题.解:<1>|x|<2可化为下面两个不等式组:①或②①的解为0≤x<2 ②的解为-2<x<0∴|x|<2的解为-2<x<2.或从绝对值的几何意义去考虑:|x|<2,即到原点距离小于2的所有点, ∴|x|<2的解为:-2<x<2.<2>当a>0时,|x|<a的解为:-a<x<a.当a=0时,|x|<a无解. 当a<0时,|x|<a无解. ∴原不等式的解当a>0时,为-a<x<a. 当a≤0时,为空集.<3>由原不等式可得:-2<x-3<2 同加3得:1<x<5.<4>由原不等式可得:2-3x>4或2-3x<-4. 解得原不等式的解为:x<-或x>2.小结:例1中从|x|<2到|x|<a,应注意|x|<2中2所能代表的一类数,将2换成a以后,右边变成了一个代数式,可代表任意实数,这时由|x|<2所得结论能否推广到|x|<a,是必须考虑的问题.有些学生认为a≤0时无解就只写a>0时的情况即可,应该认识到无解也是不等式的解的一种情况.另外由|x|<a到|x-3|<2,必须树立换元的思想,通过换元将复杂形式化为简单的形式,通过换元又可将未知的问题转化为已知问题去解决.例1中的几个问题若换个角度从函数图象去考虑也可得到如下解法.解:<1>欲解|x|<2. 作出y=|x|的图象,再作出直线y=2交y=|x|图象于点A,B.此时|x|<2的解即y=|x|的纵坐标小于2时的横坐标的取值范围.将y=2代入y=|x|可求出A(-2,2)B(2,2). ∴|x|<2的解为-2<x<2.<2><3>略. <4>欲解|2-3x|>4. 作出y=|2-3x|图象, 作出y=4交y=|2-3x|图象于A,B两点.要求|2-3x|>4的解即y=|2-3x|图象的纵坐标大于4时的横坐标的取值.将y=4代入y=|2-3x|求出A(-,4)B(2,4). ∴原不等式的解为:x<-或x>2.注:虽然初三学过一些函数及其图象的知识,但在解决新问题时能够应用这些函数及图象知识,对刚入高一的学生而言比较困难,但数形结合的思想,函数的思想是非常重要的数学思想方法,应逐步渗透.例2.解下列关于x的不等式:<1>|2x-1|<a<2>|ax-2|≤1解:<1>①当a>0时,原不等式化为：-a<2x-1<a 解得:<x<②当a=0时,无解. ③当a<0时,无解. ∴当a>0时,原不等式的解<x<. a≤0时,原不等式无解.<2>原不等式化为：-1≤ax-2≤1, 同加2得:1≤ax≤3. ①当a>0时,≤x≤②当a=0时,无解.③当a<0时, ≤x≤.小结:解含有字母系数的不等式需要分情况讨论,尤其要注意最后分情况表示解时,有些可以合并成一个形式表达,并且讨论时不要有遗漏,也不要有重复现象出现.思考:对于例2中两个问题应用数形结合的方法应如何解决.例3.解不等式:|x-3|+|x+2|>6.分析:<1>解绝对值不等式关键问题是去绝对值号,基本方法之一是应用定义化为同解的不等式组.<2>要去掉两个绝对值号,应分别考虑两个绝对值内式子的符号,其关键是两个绝对值号内式子取零时x的值,这两个值是两个分界点.<3>两个不同的分界点的x值,将实数轴上的点分为三段,在每一段上都可以去掉两个绝对值号.解:原不等式可化为下面三个不等式组: s①或②③不等式组①的解为:x<-. 不等式组②的解为:无解. 不等式组③的解为:x>.注:<1>原不等式的解是不等式组①②③三个解的并,即三个不等式组的解之间用“或”联系.<2>有时学生在分情况去绝对值号时常写成以下形式: 当x<-2时,-(x-3)-(x+2)>6,∴x<-.容易忽略x<-2这个条件,即两不等式之间用“且”来联系.<3>此不等式也可用数轴上的点的距离即绝对值几何意义去解.只需将|x-3|和|x+2|分别看到数轴上点到3和到-2两点的距离,所求|x-3|+|x+2|>6的解即到3和到-2两点距离之和大于6的点的x值范围.例4.如果关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-≤x≤,求a,b的取值.解:当b≤0时,|ax+1|≤b无解. 当b>0时, |ax+1|≤b化为-b≤ax+1≤b. 则有:-1-b≤ax≤b-1.<1>当a>0时,≤x≤. ∵原不等式解为-≤x≤.则有: 解得: 与b>0,a>0不符,舍去.<2>当a<0时, ≤x≤. 由已知则有: 解得:<3>当a=0时,|ax+1|≤b,只需b≥1时,x为任意实数与已知-≤x≤不符.∴a=-2,b=2.本周小结:本周主要内容是含绝对值的不等式,应掌握基本方法,注重数形结合.本周参考练习:解下列关于x的不等式:<1>3|2x-1|<|2x-1|+<2>(1+|x|)(|2x+1|-4)>0<3>≤0<4>≥8<5>|x-2|+|x+2|<10.本周练习参考答案:<1>分析：首先移项合并，然后求解。
高中数学绝对值不等式的解法
x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
绝对值不等式解法
绝对值不等式解法绝对值不等式是数学中常见的一种不等式类型，它在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将从绝对值不等式的定义、性质和解法等方面进行探讨。
一、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指形如|a| < b或|a| > b的不等式，其中a和b为实数。
绝对值不等式中的绝对值符号| |表示取绝对值的运算，即将其内部的数取绝对值。
二、绝对值不等式的性质1. 若a > 0，则|a| = a；2. 若a < 0，则|a| = -a；3. 对于任意实数a和b，有以下性质：a) |a| ≥ 0；b) |a| = 0的充分必要条件是a = 0；c) |ab| = |a| |b|；d) |a + b| ≤ |a| + |b|。
三、绝对值不等式的解法1. 绝对值不等式的解集可分为以下几种情况：a) 当|a| < b时，解集为(-b, b)；b) 当|a| > b时，解集为(-∞, -b)∪(b, +∞)；c) 当|a| = b时，解集为{-b, b}。
2. 对于复杂的绝对值不等式，可以通过以下几种方法进行求解：a) 利用绝对值的性质，将不等式转化为简单的形式；b) 通过分析绝对值函数的图像和性质，确定不等式的解集；c) 将不等式分解为多个简单的不等式，并求解其解集；d) 利用代数方法和推理，得出不等式的解集。
四、绝对值不等式的应用举例1. 绝对值不等式在求解方程、不等式和问题中具有广泛的应用，如求解含绝对值的方程、不等式的解集；2. 在实际问题中，绝对值不等式可以用来描述距离、误差等概念，如求解一段路程上的最大误差、最小误差等；3. 绝对值不等式也常用于优化问题的求解中，如求解目标函数的最大值、最小值等。
绝对值不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
通过对绝对值不等式的定义、性质和解法的探讨，我们可以更好地理解和运用这一概念，从而解决实际问题。
同时，我们也应该注意绝对值不等式的合理性和准确性，避免在解题过程中出现错误或误解。
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-a
O|x|<a-a NhomakorabeaO
精|x选|课>件a
a
x
a
x
16
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型 不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
4.若 关 x的于 不x 等 2x式 1a的 解 则 集 a
的 取 值 _a_范 _3 _围 __是 ___
5.若不等 x式 4x3a的解集为非 , 空
则实a的 数取值范 (C围 ) 是
A. a7
B.1a7
C.a1 D.a1
6.设 m ,0,xa,yb,am ,ym ,
2
2
求x证 yab m
精选课件
例:若xm, ym,下列不等式中的一是 (B定)
Ax. -y
B.xy2
C.xy2
D.xy 精选课件
10
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？
y
b
ab
当向量a, b共线时， 有怎样的结论？
a
x
O
精选课件
6
定理1的代数证明：
证 明 ： 当 a b 0 时 ， a b |a b |,|a b |(a b )2 a 2 2 a b b 2|a |2 2 |a b | |b |2(|a | |b |)2 |a | |b |
当ab 0时，ab ab,| ab| (ab)2
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
精选课件
9
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
|a-b|
x
A(a)
精选课件B(b)
3
问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具 有怎样的关系？
分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
O
ab
a+b
x
a+b b a
O
x
精选课件
4
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
精选课件
8
例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证： |2x+3y-2a-3b|<5ε.
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
大小关系 ( D 是 ) A.mn B.mn C.mn D.mn
2.如 果 实 x,y满 数足 coxscoyscoxscoys,且x(,),
2 则(coxscoys)2可 写(D成 )
A.co-csoxsy Bc. osxcoys
C.c oysc oxs
D.c oysc oxs
精选课件
13
3.若r1,r2是方x2程 px80的两个不,则 等 r1r2的取值_范 (_4 _2,围 _)____
绝对值不等式性质及解法
精选课件
1
考纲要求
22．不等式的基本性质和证明的基本方法 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何
意义证明以下不等式：
① ab a b . ② ab ac cb .
（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax b c ; ax b c ; x a x b c.
a2 2abb2 | a |2 2| ab| | b|2
| a|2 2| ab| | b|2 (| a| | b|)2 | a| | b|,
所以 | ab|| a| | b|,
当且仅当ab 0时，等号成立。
精选课件
7
问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|，|b|，|a-b|，|a+b|,之间的关系吗？
②分段讨论法：
|a x b | c (c 0 ) a a x x b b 0 c或 a x (a x b b ) 0 c
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的 最小值，可用绝对值三角不等式求解。
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练习：课本P20第1、2、3、4、5题
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补充练: 习
1.已知a b,m ab,n ab,则m,n之间的 ab ab
（3）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 反证法,放缩法
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二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴
上坐标为a的点A到原点的距离：
|a|=-a(a<0)
|a|=a(a>0)
A(a)
O
x A(a)
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B， 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
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小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成
立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
作业：课本P20第3、4、5题
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2、绝对值不等式的解法
b
a+b O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a
O
a+b b x
（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：
|a+b|=|a|+|b|
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定理1 如果a, b是实数，对这则值个三不角等式不称等为式绝。 |a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究： 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？