北京市海淀区2015年高三二模数学(理)试卷及完美解析
经交换 M ， N 两段位置，变换为数列 T A ：
a1 ‚ … ‚ ai ‚ ai p 1 ‚ … ‚ ai p q ‚ ai 1 ‚ … ‚ ai p ‚ ai p q 1 ‚ … ‚ an ．
N M
设 A0 是有穷数列，令 Ak 1 T Ak k 0 ‚ 1 ‚ 2 ‚ … ． （Ⅰ）如果数列 A0 为 3，2，1，且 A2 为 1，2，3．写出数列 A1 ： （写出一个即可） （Ⅱ）如果数列 A0 为 9，8，7，6，5，4，3，2，1， A1 为 5，4，9，8，7，6，3，2， 1． A2 为 5，6，3，4，9，8，7，2，1， A5 为 1，2，3，4，5，6，7，8，9．写 出数列 A3 ， A4 ； （写出一组即可） （Ⅲ）如果数列 A0 为等差数列：2015，2014，…，1， An 为等差数列；1，2，…， 2015， 求 n 的最小值．
3 6 cos A 。 2
．
16． （本小题满分 13 分） 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各 20 名进行测 试，记录的数据如下：
男生投掷距离（单位：米） 女生投掷距离（单位：米）
9 7 8 7 8 5 7 6 5 3 3 2 1 2
7 6 6 0 1 0
5 6 7 8 9 10
2 PM ，求 的值。 3 PB
P
M
A
B
D
C
18． （本小题满分 13 分） 已知函数 f x
1 ln x ． x2
（Ⅰ）求函数 f x 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线 y
ln x 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标 y0 1 ． x
19． （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C :
海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理科） 2015.5
本试卷共 4 页，150 分．考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知全集 U Z ，集合 A 1， 2 ， A B 1， 2， 3， 4 ，那么 U A B （ A． C． 3, 4 B． x Z x ≥ 3 D． 1, 2 ） ）
3x 4 ≥ 0 ， 14． 设关于 x ，y 的不等式组 表示的平面区域为 D ， 已知点 O(0 ， 0) ， ( y 1)(3 x y 6) ≤ 0
A(1 ， 0) ，点 M 是 D 上的动点， OA OM OM ，则 的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15． （本小题满分 13 分） 在 △ ABC 中， c 5 ， b 2 6 ， a （1）求 a 的值； （2）求证： B 2A 。
C．等于 5
D．最大值为 8
9． 若等比数列 an 满足 a2 a6 64 ， a3a4 32 ，则公比 q
2 2 a12 a2 an
；
．
10．如图，在 △ ABC 中， ACB 120 ， AC BC 3 ，点 O 在 BC 边上，且圆 O 与 AB 相 切于点 D ， BC 与圆 O 相交于点 E ， C ，则 EDB ， BE ．
[7.6 ， )
10
注：满分 10 分，且得 9 分以上（含 9 分）定为“优秀”。 （1）求上述 20 名女生得分的中位数和众数； （2）从上述 20 名男生中，随机抽取 2 名，求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列； （3） 根据以上样本数据和你所学的统计知识， 试估计该年级学生实心球项目的整体情况 （写 出两个结论即可） 。
（2）D 【解析】
a 0.23 0 , 1 ， b log 2 0.3 0 ， c 2 0.3 1 ，
综上可知， b a c ，选 D. （3）D 【解析】
π 点 2 , 换算为直角坐标系坐标为点 6
3 , 1 ，
所以平行与极轴的直线方程即为 y 1 ，换算回极坐标系可得： sin 1 ，选 D （4）A 【解析】 “ p q 为真命题”即 p 和 q 都为真， “ p q 为真命题”即 p 和 q 中至少有一个为真， 因此“ p q 为真命题”能推出“ p q 为真命题”，反之不成立， 所以为充分不必要条件，选 A.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理）答案及评分参考
2015.5
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C 【解析】 依题意可求 U A 3 , 4 ， A 1 , 2 , A B 1 , 2 , 3 , 4 ， U A B ，
U A B U A 3 , 4 ，因此选 C.
2．设 a 0.23 ， b log 2 0.3 ， c 20.3 ，则（ A． b c a C． a b c
B． c b a D． b a c ）
π 3．在极坐标系中，过点 2 ， 且平行于极轴的直线的方程是（ 6
A． cos 3
20． （本小题满分 13 分） 对于数列 A : a1 ‚ a2 ‚ … ‚ an ，经过变换 T ：交换 A 中某相邻两段的位置（数列 A 的一 项或连续的几项称为一段） ，得到数列 T A ．例如，数列 A ：
a1 ‚ … ‚ ai ‚ ai1 ‚ … ‚ ai p ‚ ai p 1 ‚ … ‚ ai p q ‚ ai p q 1 ‚ … ‚ an p ≥ 1 ‚ q ≥ 1
2 2）Biblioteka B．0 D．12 2
6．已知函数 f x 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出 100 粒豆 子，记下落入阴影区域的豆子数，通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区 域的豆子的平均数约为 33，由此可估计 f x dx 的值约为（
0 1
）
A． C．
99 100 9 10
C O E A D B
11．右图表示的是求首项为 41 ，公差为 2 的等差数列 an 前 n 项和的最小值的程序框图， ①处可填写 ；②处可填写 ；
开始
a =-41，S=0
②
S=S+a
① 否 是 输出S 结束
12．若双曲线 M 上存在四个点 A ， B ， C ， D ，使得四边形 ABCD 是正方形，则双曲线 M 的离心率的取值范围是 ． 13． 用红、 黄、 蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色， 若要求每个小方格涂一种颜色， 且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ． （用数字作答）
B． D．
3 10 10 11
7． 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≤ 0 时， f ( x) ( x 1)3 e x 1 ，那么函数 f ( x) 的极 值点的个数是（ A．5 ） B．4
C．3
D．2
8． 若空间中有 n( n ≥ 5) 个点，满足任意四点都不共面，且任意两点的连线都与其余任意三 点确定的平面垂直，则这样的 n 值（ ） A．不存在 B．有无数个 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
x2 y2 1（ a b 0 ） 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4， 以椭圆 C a 2 b2 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点，点 A 、 B 分别是椭圆 C 的左、右顶点． （Ⅰ）求圆 O 和椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 P 、 Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点（ P 、 Q 位于 y 轴两侧） ，且直线 PQ 与 x 轴平行， 直线 AP 、BP 分别与 y 轴交于点 M 、N ． 求证：MQN 为定值．
2 3 2
AB 面 DEF ，
AC 面 DEF
必有 A , B , C 三点共线，则可知 A , B , C , D 四点共面，不满足题意，矛盾.
因此 n ≤ 5 . 综上， n 5 .
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分） 9. 2，
4 4 0 1
6 5 0
5 2
6 4
6 4
6 5
9 5 5 5 8
已知该项目评分标准为： 男生 [5.4 ， 6.0) [6.0 ， 6.6) [6.6 ， 7.4) [7.4 ， 7.8) [7.8 ， 8.6) [8.6 ， 10.0) [10.0 ， ) 投掷 … 距离 （米） 女生 [5.1， 5.4) [5.4 ， 5.6) [5.6 ， 6.4) [6.4 ， 6.8) [6.8 ， 7.2) [7.2 ， 7.6) 投掷 … 距离 （米） 个人 得分 … （分） 4 5 6 7 8 9
B． cos 3
D． sin 1 C． sin 1 4．已知命题 p ， q ，那么“ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的（ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
）
5．已知函数 f x cos 2 x （ 为常数）是奇函数，那么 cos （ A． C．
17． （本小题满分 14 分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB∥CD ， AB AD ， AB AD AP 2CD 2 ， M 是 棱 PB 上一点。 （1）若 BM 2MP ，求证： PD∥平面 MAC ； （2）若平面 PAB 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD ，求证： PA 平面 ABCD ； （3）在（2）的条件下，若二面角 B AC M 的余弦值为
2015年北京市海淀区高三二模数学(文)试题Word版带解析
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文） 2015.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【考点】复数综合运算 【难度】1 【答案】B 【解析】2i (1i)(1i)1i -=--=-+，在复平面上对应的点位于第二象限，选B（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x ∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< 【考点】全称量词与存在性量词 【难度】1 【答案】D 【解析】全称命题的否定是特称命题，所以:p ⌝为：10,2x x x∃>+<，选D （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ）（A ）(-（B ）（C ）(2,1),2-（D ）(2,1),2-【考点】圆的标准方程与一般方程 【难度】1 【答案】A 【解析】圆方程可转化为：22(2)(y 1)2x ++-=，所以圆心为(2,1)-，r =A（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S >（B ）0S <（C ）0a >（D ）0a =【考点】等差数列;算法和程序框图 【难度】2 【答案】C 【解析】因为10a <，0d >，所以n S 有最大值， 等差数列{}n a 前n 项和取得最小值的条件是10n n a a +≤⎧⎨>⎩，所以判断是否跳出循环的条件为：0a >，选C（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ） （A ）11(,)22- （B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22【考点】直线综合 【难度】1 【答案】D 【解析】点(,)A a a 所在直线方程为：y x =， 因为点C 在直线OA 上，所以设点(,)C c c ， 因为BC 与OA 垂直，所以1BC OA k k ⋅=-， 即011c c -=--，解得：12c =所以，点11(,)22C ，选D （6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D【考点】余弦定理 【难度】2 【答案】C 【解析】由余弦定理得：222cos 2b c a A b c +-=⋅⋅，即cos 3π=解得：b = C（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ） （A ）b a c << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<【考点】对数与对数函数 【难度】2 【答案】B 【解析】3000.20.21a <=<=，所以01a <<；22b log 0.3log 0.51=<=-，所以1b <-；0.3211c log 2log 0.3b===，所以10c -<<；（另解：10130.30.30.30.31log 0.3log log 2log 10c --==<=<=）综上，b c a <<，选B（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ） （A）2（B（C（D【考点】线性规划 【难度】2【答案】C 【解析】cos ,OA OM OA OMOA OM OM OA OM⋅⋅==<>⋅uu r uuu r uu r uuu ruu r uuu r uuu r uu r uuu r ，由图可知，最小值为：cos 10BOA ∠=二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015年北京海淀高考二模数学(理)
D.
������ < ������ < ������
3. 在极坐标系中，过点 2, − 6 且平行于极轴的直线的方程是 ( A. C.
������ cos������ = 3 ������ sin������ = 1
B. D.
������ cos������ = − 3 ������ sin������ = −1
2015 年北京海淀高考二模数学（理）
一、选择题（共 8 小题；共 40.0 分）
1. 已知全集 ������ = ������ ，集合 ������ = 1,2 ，������ ∪ ������ = 1,2,3,4 ，那么 ∁������ ������ ∩ ������ = ( A. C. )
∅
3,4 )
14. 设关于 ������ , ������ 的不等式组
3������ − 4 ≥ 0, 表示的平面区域为 ������ ，已知点 ������ 0,0 ， ������ − 1 3������ + ������ − 6 ≤ 0 ．
������ 1,0 ，点 ������ 是 ������ 上的动点，������������ ⋅ ������������ = ������ ������������ ，则 ������ 的取值范围是
D.
2
8. 若空间中有 ������ ������ ≥ 5 个点，满足任意四点都不共面，且任意两点的连线都与其余任意三点 确定的平面垂直，则这样的 ������ 值 ( A. 不存在 B. ) C. 等于 5 D. 最大值为 8
有无数个
二、填空题（共 6 小题；共 30.0 分）
9. 若等比数列 ������ ������ 满足 ������ 2 ������ 6 = 64，������ 3 ������ 4 = 32，则公比 ������ =
北京市海淀区高三二模数学理科含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A.32B. 36C. 42D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____。
2015北京海淀中考二模数学(含解析)
2015年北京海淀中考二模数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（）． A ．70.210⨯ B ．6210⨯C ．52010⨯D ．6102⨯2．若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是（）．A ．0x ≤B ．0x ≥C ．2x ≤D ．2x ≥3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为（）．古时子时丑时寅时卯时今时 23:00～1:00 1:00～3:00 3:00～5:00 5:00～7:00A ．13B ．14C ．16D ．1124．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540︒，则对应的是下列哪个图形（）．A． B ． C ． D ．5．如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）． A ．()2222a b a ab b+=++ B ．()2222a b a ab b -=-+ C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()2a a b a ab -=-6．甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是（）． A ．甲的方差比乙的方差小 B ．甲的方差比乙的方差大 C ．甲的平均数比乙的平均数小 D ．甲的平均数比乙的平均数大D CB A abab ab ba7．在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（）．A ．根据“边边边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A OB AOB '''∠=∠ B ．根据“边角边”可知，C OD '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠ C ．根据“角边角”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠ D ．根据“角角边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠8．小明家端午节聚会，需要12个粽子．小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子．已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱（）． A ．45元B ．50元C ．55元D ．60元9．如图，点A ，B 是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A ，B 两点间的距离为（）． A ．2 B ．5 C ．22 D ．1010．如图所示，点Q 表示蜜蜂，它从点P 出发，按照着箭头所示的方向沿P A B P C D P →→→→→→的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l 为对称轴的轴对称图形，在直线l 上的点O 处（点O 与点P 不重合）利用仪器测量了POQ ∠的大小．设蜜蜂飞行时间为x ，POQ ∠的大小为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．D BACPQO二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．将函数223y x x =-+写成()2y a x h k =-+的形式为__________．12．点A ，B 是一个反比例函数图象上的两个不同点．已知点()2,5A ，写出一个满足条件的B 点的坐标是__________．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，100BCD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，则BAC ∠的度数为__________．14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 观测放置于B ，C 两处的标志物，数据显示点B 在点A 北偏东75︒方向20米处，点C 在点A 南偏东15︒方向20米处，则点B 与点C 的距离为__________米．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，以B 为圆心，BA 为半径画弧交CB 的延长线与点D ，则»AD 的长为__________．16．五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为(7,5)，则白子B 的坐标为__________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为__________的位置处．BOCDA西东南北B CADACBAOB三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：13128tan 45+()3--+-+︒-．18．解不等式2(1)13x x -+≤，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，已知BAC BCA ∠=∠，90BAE BCD ∠=∠=︒，BE BD =．求证：E D ∠=∠．20．已知2410x x --=，求代数式314x x x---的值．D ACBE21．列方程或方程组解应用题：小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．22．已知关于x的方程24310x x a-+-=有两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若a为正整数，求方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知，ABC△中，D是BC上的一点，且30DAC∠=︒，过点D作ED AD⊥交AC于点E，4AE=，2EC=．（1）求证：AD CD=；（2）若tan3B=，求线段AB的长．BEACD24．小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：经过调查，他们得到了如下36个数据：BCBADACDBCBCDCDCECCABEADECBCBCEDEDDC（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；（2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？__________．（填“适中”或者“不适中”）调查问卷年月你觉得这种肉夹馍的口味__________（单选）A．太咸B．稍咸C．适中D．稍淡E．太淡25．如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上，CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．（1）求证：CE 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为3，4EF =，求BD 的长．26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kx x k +-=>成立的x 的个数．小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图象与函数y x =的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当1k =时，使得原等式成立的x 的个数为__________； （2）当01k <<时，使得原等式成立的x 的个数为__________； （3）当1k >时，使得原等式成立的x 的个数为__________． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式240x a x +-<（0a >）只有一个整数解，求a 的取值范围．DFB EAOCxyy = |x |()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oxy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345o五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）． （1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点(1,2)E --，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点(,0)P t ，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．28．如图1，在ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，D 是BC 边上一点，以AD 为边作ADE △，使A E A D =，180DAE BAC =∠+∠︒．（1）直接写出ADE ∠的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ， ①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD CD =； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD CF =．图1图2图3xy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oECAB DFEBCADFEB CA D29．如图1，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(1,0)A -，(1,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，记线段AB 为1T ，线段CD 为2T ，点P 是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与1T ，2T 都有公共点，则称点P 是12T T -联络点．例如，点P 1(0,)2是12T T -联络点．（1）以下各点中，__________是12T T -联络点（填出所有正确的序号）；①(0,2)；②(4,2)-；③(3,2)．图1备用图（2）直接在图1中画出所有12T T -联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点． ①若1r =，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123BAC D O2015年北京海淀中考二模数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCAAACBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11121314 15 16 答案2(1)2y x =-+(1,10)（答案不唯一）40︒2024π3(5,1)；(3,7)或(7,3)三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：原式2213=-+-24=-．18．解法一：去括号，得22133x x -+≤．移项，得22133x x -+≤．合并，得1533x -≤．系数化为1，得 5x -≥．不等式的解集在数轴上表示如下：．解法二：去分母，得2233x x -+≤． 移项，得2332x x -+≤． 合并，得5x -≤． 系数化为1，得5x -≥．不等式的解集在数轴上表示如下：．19．证明：在ABC △中，∵BAC BCA ∠=∠， ∴AB CB =．∵90BAE BCD ∠=∠=︒， 在Rt EAB △和Rt DCB △中， AB CBBE BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt EAB △≌Rt DCB △． ∴E D ∠=∠．-1-2-3-4-5-66543210-1-2-3-4-5-66543210DACBE20．解：原式()()()3444x x x x x x x --=---()2344x x x x x --+=-22444x x x x-+=-． ∵2410x x --=， ∴241x x -=． ∴原式1451+==．21．解：设小明家到学校的距离为x 米．由题意，得403025x x +=． 解得6000x =．答：小明家到学校的距离为6000米．22．解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥． 解得53a ≤．∴a 的取值范围为53a ≤．（2）∵53a ≤，且a 为正整数，∴1a =．∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=． ∴此方程的根为1222,22x x =+=-．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵ED AD ⊥，∴90ADE ∠=︒．在Rt ADE △中，30DAE ∠=︒，4AE =， ∴60DEA =o ∠，122DE AE ==． ∵2EC =， ∴DE EC =． ∴EDC C =∠∠．又∵60EDC C DEA +=∠=o ∠∠， ∴30C DAE ∠==∠o ． ∴AD DC =．（2）解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，如图．BEACD∴90AFC AFB ∠=∠=︒． ∵4AE =，2EC =， ∴6AC =．在Rt AFC △中，90AFC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴132AF AC ==． 在Rt AFB △中，90AFB ∠=︒，tan 3B =， ∴1tan AFBF B==． ∴2210AB AF FB =+=．24．解：（1）8m =；5n =；（2）如图所示：（3）适中．25．（1）证明：连接OE ，OC ．在OEC △与OAC △中， OE OAOC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴OEC △≌OAC △． ∴OEC OAC ∠=∠． ∵90OAC ∠=︒， ∴90OEC ∠=︒． ∴OE CF ⊥于E ． ∴CF 与⊙O 相切． （2）解：连接AD ． ∵90OEC ∠=︒， ∴90OEF ∠=︒．FBEACDDFB EAOCDFB EAOC∵⊙O 的半径为3， ∴3OE OA ==．在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，3OE =，4EF =， ∴225OF OE EF =+=，3tan 4OE F EF ==． 在Rt FAC △中，90FAC ∠=︒，8AF AO OF =+=，∴tan 6AC AF F =⋅=． ∵AB 为直径，∴6AB AC ==，90ADB ∠=︒． ∴2BD BC=． 在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒， ∴2262BC AB AC =+=．∴32BD =． 26．解：（1）当1k =时，使得原等式成立的x 的个数为1；（2）当01k <<时，使得原等式成立的x 的个数为2；（3）当1k >时，使得原等式成立的x 的个数为1．解决问题：将不等式240(0)x a a x +-<>转化为24(0)x a a x+<>， 研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=的图象的交点．∵函数4y x=的图象经过点(1,4)A ，(2,2)B ，函数2y x =的图象经过点(1,1)C ，(2,4)D ，若函数2(0)y x a a =+>经过点(1,4)A ，则3a =，结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解．也就是当03a <<时，关于x 的不等式240(0)x a a x+-<>只有一个整数解．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点(0,3)A ，∴43m +=． ∴1m =-．∴抛物线的表达式为232y x x =-++． ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即2320x x +-=+． 解得11x =-，23x =．又∵点B 在点C 左侧，∴点的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)． （2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，xy ()()()()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345CD BA o∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ， ∴点D 的坐标为(1,0)．∵直线y kx b =+经过点(1,0)D 和点(1,2)E --， ∴02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩,解得11k b =⎧⎨=-⎩．∴直线DE 的表达式为1y x =-． （3）1t <或3t >．28．解：（1）90ADE α∠︒-=．（2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB EF ∥．∴EDC ABC α∠=∠=． 由（1）知，90ADE α∠︒-=， ∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． ∴AD BC ⊥． ∵AB AC =， ∴BD CD =．②证明：∵AB AC =，ABC α∠=，∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE BF ∥，AE BF =． ∴EAC C α∠=∠=． 由（1）知，2DAE α∠=， ∴DAC α∠=． ∴DAC C ∠=∠． ∴AD CD =． ∵AD AE BF ==， ∴BF CD =． ∴BD CF =．29．解：（1）②，③是12T T -联络点．（2）所有12T T -联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．（3）①∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于(0,0)，xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D OFEBCADFEBCA D或与直线BD 相切于(0,1)，如图所示．又∵⊙M 的半径1r =，∴点M 的坐标为(0,1)-或(0,2)．经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，符合题意． ∴点M 的坐标为(0,1)-或(0,2)． ∴点M 的纵坐标为1-或2．②阴影部分关于直线12y =对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方． ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于(0,0)O ，且⊙M 与直线AD 相离． 作M E AD ⊥于E ，设AD 与BC 的交点为F ， ∴MO r =，ME r >，1(0,)2F ．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，1AO =，12OF =，∴2252AF AO OF =+=，25sin 5AO AFO AF ∠==．在Rt FEM △中，90FEM ∠=︒，12FM FO OM r =+=+，25sin sin 5EFM AFO ∠=∠=， ∴5(21)sin 5r ME FM EFM +=⋅∠=． ∴5(21)5r r +>． 又∵0r >， ∴052r <<+．xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123EF B A CD OM2015年北京海淀中考二模数学试卷部分答案解析一、选择题 1．【答案】B【解析】2000000用科学记数法为6210⨯． 2．【答案】D【解析】由题意，得20x -≥，解得2x ≥． 3．【答案】B【解析】一共8个小时，小明刚好在子时观测的概率为2184=． 4．【答案】C【解析】由多边形内角和公式可知，五边形的内角和为540︒，观察各个选项可知，C 选项正确． 5．【答案】A 【解析】正方形ABCD 的面积为2()a b +，分成4个小图形，可知正方形的面积为222a ab b ++． 故可以说明等式()2222a b a ab b +=++成立． 6．【答案】A【解析】甲的波动性较小，故甲的方差小； 通过计算可知，两者的平均数相同． 7．【答案】A【解析】由作图步骤可知，OC O C OD O D ''''===，CD C D ''=， 故根据“边边边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠． 8．【答案】C 【解析】小明只需买11个粽子，然后加上赠送的一个即可，故应付钱55元． 9．【答案】B 【解析】根据展开图的性质可知，B 点的位置如图所示， 根据勾股定理可知，5AB =．10．【答案】D【解析】随着点Q 的运动，POQ ∠先变大，再变小，之后再变大，再变小．排除A 、B ． 又知图形不是对称的，故选D ．二、填空题11．【答案】2(1)2y x =-+【解析】222(21)2(3122)x x x y x x -++=--=++=．12．【答案】(1,10)（答案不唯一）【解析】由()2,5A ，可知反比例函数为10y x=，故另一点只要横纵坐标的积为10即可，如(1,10)． 13．【答案】40︒【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，100BCD ∠=︒， ∴18010080BAD ∠=︒-︒=︒． ∵AC 平分BAD ∠， ∴BAC ∠的度数为40︒．14．【答案】202【解析】由图可知，90BAC ∠=︒，20AB AC ==，则202BC =．15．【答案】4π3【解析】∵90C ∠=︒，30BAC ∠=︒， ∴60ABC ∠=︒，∴120ABD ∠=︒． ∴»AD 的长为1204ππ11803⨯=．16．【答案】(5,1)；(3,7)或(7,3)【解析】由图可知，点B 的坐标为(5,1)．为了不让白方获胜，需要将白方3个连在一起的棋子堵住， 故此时黑方应该下在坐标为(3,7)或(7,3)的位置处．。
北京市海淀区2015年高三二模数学(文)试卷及解析(无水印)
B． b c a D． a b c
x y ≥ 4， 8．已知不等式式组 x y ≥ 2 ， 表示的平面区域为 D ，点 O 0 ，0 ， A 1，0 ．若点 M 是 x ≤ 2
OA OM D 上的动点，则 的最小值是 ( OM
男生投掷距离（单位：米） 女生投掷距离（单位：米）
9 7 8 7 8 5 7 6 5 3 3 2 1 2
7 6 6 0 1 0
5 6 7 8 9 10
4 4 0 1
6 5 0
5 2
6 4
6 4
6 5
9 5 5 5 8
பைடு நூலகம்
已知该项目评分标准为： 男生 [5.4 ， 6.0) [6.0 ， 6.6) [6.6 ， 7.4) [7.4 ， 7.8) [7.8 ， 8.6) [8.6 ， 10.0) [10.0 ， ) 投掷 … 距离 （米） 女生 [5.1， 5.4) [5.4 ， 5.6) [5.6 ， 6.4) [6.4 ， 6.8) [6.8 ， 7.2) [7.2 ， 7.6) 投掷 … 距离 （米） 个人 得分 … （分） 4 5 6 7 8 9
20． （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C ：
x2 y 2 1 ，点 D 为椭圆 C 的左顶点．对于正常数 ，如果存在过点 4
M ( x0 ，0) ( 2 x0 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，使得 S△ AOB S△ AOD ，则
称点 M 为椭圆 C 的“ 分点”． （Ⅰ）判断点 M (1，0) 是否为椭圆 C 的“1 分点”，并说明理由； （Ⅱ）证明：点 M (1，0) 不是椭圆 C 的“2 分点”； （Ⅲ）如果点 M 为椭圆 C 的“2 分点”，指出 x0 的取值范围． （直接写出结果）
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)
北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为 所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。
北京市2015届高三综合能力测试(二)数学(理)试题含答案
A．充分不必要条件 C．充要条件
6、已知数列 an 满足 a1 1 ，且 an an 1 2n ，则数列 an 的前 20 项的和为（ A． 3 211 3 B． 3 211 1 C． 3 210 2
7、已知向量 a ， b 是夹角为 60 的单位向量．当实数 1 时，向量 a 与向量 a b 的夹角范围是（ ） A． B． 0 , 60 60 ,120
3 210 3
-1-
C． 120 ,180
D． 60 ,180
8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 （ A． 2 D． 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． ） 9、双曲线 C : x 2
5
若直线 y x b 与 f x 在 x 1 处相切，求实数 a ， b 的值；
-3-
若 a 0 ，求证： f x 存在唯一极小值．
2 19、 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C1 过点 2 ,1 ，且其右顶点与椭圆 C2 : 2 2 x 2 y 4 的右焦点重合．
求证：平面 1AC 底面 AC ； 求 1C 与平面 A1A1 所成角的正弦值； 若 ， F 分别是线段 A1C1 ， C1C 的中点，问在线段 1F 上是否存在点 ，使
得 // 平面 A1A1 ．
18、 （本小题满分 13 分）已知函数 f x x a ln x ．
7 ，求边 C 的长．
-2-
16、 （本小题满分 13 分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组 的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场） ，并规定小组积分前两名 的队出线，其中胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分．由于某些特殊原 因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积 7 分，乙队积 1 分，丙和丁 1 队各积 0 分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为 ，乙队 4 1 胜、平、负丁队的概率均为 ，且四个队之间比赛结果相互独立． 3 求在整个小组赛中，乙队最后积 4 分的概率；
2015海淀区高三二模数学(理科)
2015海淀区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}2．（5分）设a=0.23，b=log20.3，c=20.3，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c3．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1D．ρsinθ=﹣14．（5分）已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ=（）A．﹣B．0 C．D．16．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x）dx的值约为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，那么函数f（x）的极值点的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）若空间中有n（n≥5）个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）A．不存在B．有无数个C．等于5 D．最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a6=64，a3a4=32，则公比q=；a12+a22+…+a n2=．10．（5分）如图，在△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC=3，点O在BC边上，且圆O与AB相切于点D，BC与圆O相交于点E，C，则∠EDB=，BE=．11．（5分）右图表示的是求首项为﹣41，公差为2的等差数列{a n}前n项和的最小值的程序框图．①处可填写；②处可填写．12．（5分）若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是．13．（5分）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）14．（5分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域为D，已知点O（0，0）、A（1，0），点M是D上的动点，=λ||，则λ的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，c=5，b=2，a=cosA．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．16．（13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：注：满分10分，且得9分以上（含9分）定为“优秀”．（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，求的值．18．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．19．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．20．（14分）对于数列A：a1，a2，…，a n，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T（A）．例如，数列A：a1，…，a i，（p≥1，q≥1）经交换M，N两段位置，变换为数列T（A）：a1，…，a i，．=T（A k）（k=0，1，2，…）．设A0是有穷数列，令A k+1（Ⅰ）如果数列A0为3，2，1，且A2为1，2，3．写出数列A1；（写出一个即可）（Ⅱ）如果数列A0为9，8，7，6，5，4，3，2，1，A1为5，4，9，8，7，6，3，2，1，A2为5，6，3，4，9，8，7，2，1，A5为1，2，3，4，5，6，7，8，9．写出数列A3，A4；（写出一组即可）（Ⅲ）如果数列A0为等差数列：2015，2014，…，1，A n为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．【解答】全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有3，4，∴∁U A也一定有3，4，∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：C．2．【解答】∵0＜0.23＜1，20.3＞1，log20.3＜0，∴b＜a＜c，故选：D．3．【解答】点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．【解答】若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p ∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】由于函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ=kπ+，k∈z，∴cosφ=0，故选：B．6．【解答】由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．7．【解答】当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，∴f′（x）=（x+4）（x+1）2e x+1，∴x＜﹣4时，f′（x）＜0，﹣4＜x≤0时，f′（x）＞0，∴x=﹣4是函数的极值点，∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴x=4是函数的极值点，又f（0）=e，x＞0递增，x＜0递减，即为极值点．故选：C．8．【解答】显然n=5时成立，若n≥6，空间中三个点确定一个平面，又任意四点都不共面，则其余点都在该平面外，而过平面外一点有且只有一条直线垂直平面，则其余各点共线，由公里3推论可知，存在四点共面，这与已知矛盾，故n≥6不成立，故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵a3a4=32，∴q＞0，且a n＞0，∵a2a6=64，∴a2a6=（a4）2=64，∴a4=8，则a3=，则公比q==2，则a n=a4q n﹣4=8×2n﹣4=2n﹣1，则a n2=（2n﹣1）2=4n﹣1，即数列{a n2}是公比q=4的等比数列，则a12+a22+…+a n2==，故答案为：2，10．【解答】连接OD，则OD⊥AB，∵△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠B=∠A=30°，∴∠DOB=60°，∴△ODE为等边三角形，∴∠EDB=30°，∴DE=EB=CE，∵BC=3，∴BE=1故答案为：30°；1．11．【解答】由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a+2，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故①处可填写：a＞0．故答案为：a＞0，a=a+2．12．【解答】∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，∴＞1，∴e=＞，即e∈．故答案为：．13．【解答】因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0，或2，3个格涂一种颜色，有2种，（全黄或全蓝）3个格涂2颜色且涂0个红色时，C21C32=6种，3格涂2颜色且涂2个红色时，C21C32=6种，根据分类计数原理，可得共有2+6+6=14种，故答案为：14．14．【解答】由不等式组得：，或；∴平面区域D如下图阴影部分所示：由得，λ=cos∠MOA；如图所示，若设直线x=和y=﹣3x+6的交点为B，则B点坐标为（，2），所以|OB|=，当M点从B点开始向x轴靠近的过程中，∠MOA不断减小，并减小到0，当∠MOA=0°时对应的λ的值达到最大值，而当M从x轴并在阴影部分远离x轴时，∠MOA又逐渐增大，可知∠MOA的最大值（极限值）一定在直线y=﹣3x+6上取得，比较此极限值和M在B点对应的λ值即可求出λ的最小值；当M点在B点时，cos∠MOA==；当M点在第四象限且在直线上时，设M（x，﹣3x+6），则cos∠MOA=，当x趋近于正无穷时，cos∠MOA=，∵＞；∴λ的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）因为，所以，因为c=5，，所以3a2+40a﹣49×3=0，解得：a=3或（舍）．…（6分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以，因为a=3，c=5，，所以，所以cos2A=cosB．…（12分）因为c＞b＞a，所以，因为B∈（0，π），所以∠B=2∠A．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．…（3分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．…（4分），，，所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为：…（10分）（Ⅲ）由茎叶图得20名男生掷实心球得分如下：4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10．所以中位数为8，众数为9．20名女生掷实心球得分的平均数为：=（5+6+7+7+7+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+10+10）=8，20名男生掷实心球得分的平均数为：=（4+4+4+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9+9+10+10+10）=7.55．∴该年级学生实心球项目的整体情况为：①男生和女生的得分的中位数和众数相等；②男生得分的平均数小于女生得分的平均数．…（13分）评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议．17．【解答】（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM．因为AB∥CD，AB=2CD，所以．因为BM=2MP，所以．所以．所以OM∥PD．…（2分）因为OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，所以PD∥平面MAC．…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．…（6分）因为PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA．同理可证：AD⊥PA．因为AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD．…（9分）解：（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB=AD=AP=2CD=2，得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），则，．由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．所以平面ABCD的一个法向量为．…（10分）设（0≤λ≤1），即．所以．设平面AMC的法向量为，则，即令x=λ﹣1，则y=2﹣2λ，z=﹣2λ．所以．因为二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，所以，解得．所以的值为．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（0，）（，+∞）所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．19．【解答】（Ⅰ）依题意得解得：a=2，．所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为．（Ⅱ）证法一：如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（x Q，y0），则即，又由得．由得．所以，．所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．（Ⅱ）证法二：如图所示，设P（x0，y0），AP：y=k（x+2）（k≠0）．由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0．所以，即．所以，即．所以直线BP的斜率为．所以．令x=0得：M（0，2k），．设Q（x Q，y0），则，．所以．因为，所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．20．【解答】（Ⅰ）A1：2，1，3或A1：1，3，2．（Ⅱ）A3：5，6，7，2，3，4，9，8，1；A4：5，6，7，8，1，2，3，4，9．（Ⅲ）考虑数列A：a1，a2，…，a n，满足a i＜a i+1的数对a i，a i+1的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列A0：2015，2004，…，1的顺序数为0，等差数列A n：1，2，…，2015的顺序数为2014．首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交换其相邻两段a，…，b和c，…，d的位置，变换为数列…，p，c，…，d，a，…，b，q，…．显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由p＞a，b＞c，d＞q变为p＜c，d＜a，b＜q．分别将三个不等式相加得p+b+d＞a+c+q与p+b+d＜a+c+q，矛盾．所以经过变换T，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，则2+2（x﹣2）≥2014，即x≥1008．最后，说明可以按下列步骤，使得数列A1008为1，2， (2015)对数列A0：2015，2014， (1)第1次交换1，2，…，1007和1008，1009位置上的两段，得到数列A1：1008，1007，2015，2014，…，1010，1009，1006，1005，…，2，1；第2次交换2，3，…，1008和1009，1010位置上的两段，得到数列A2：1008，1009，1006，1007，2015，2014，…，1011，1010，1005，1004，…，2，1；第3次交换3，4，…，1009和1010，1011位置上的两段，得到数列A3：1008，1009，1010，1005，1006，1007，2015，2014，…，1012，1011，1004，1003，…，2，1；…，以此类推第1007次交换1007，1008，…，2013和2014，2015位置上的两段，得到数列A1007：1008，1009，…，2013，2014，1，2，…，1006，1007，2015；最终再交换1，2，...，1007和1008，1009，...，2014位置上的两段，即得A1008：1，2， (2015)所以n的最小值为1008．。
2015海淀区高三二模数学(文)试题及答案(1)全解
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项圆C : x2 y2 4^2y 0的圆心坐标及半径分别是（(A ) (-2,1),、迈(B) (2,1),J(C) (-2,1),2 ( D) (2,-1),2（4）右图表示的是求首项为一41，公差为2的等差数列｛a n｝前n项和的最小值的程序框图•则①处可填写（）(A) S 0 (B) S ：： 0(C) a 0 (D) a = 0(5)已知点A(a,a)(a =0)，B（1,0），O为坐标原点.若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（）11 a a a a 11（A）（2，一2）（B）（2，一?）（C）（22）（D）（p?）(6)在=ABC 中，若a = 3,c = i 3,A ，则b 二( )2015.5（1）在复平面内，复数 2i （1-i）对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限(C) 第三象限（D ）第四象限(2) 已知命题p: -x 0, x - _ 2，则一p 为（）x(A) (B) 一x _0, x - ：： 2x(D) x 0,(3)uir uuur OA OM则 一uuur — 的取小值是()OM仆、晅45尿^10(A )( B )( C )(D )—2 5 10 10二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) ___________________________________________________ 以坐标原点为顶点，(-1,0)为焦点的抛物线的方程为 _____________________________________________________________ .(10) ____________________________________________________________________________ 已知数列｛a .｝的前 n 项和为 S n ，a^-0 (n • N *)，a n a . 1 = S n ，则 a 3 -a^ = _____________________________________________________________ .(11) ____________________________________________________________________________ 已知 f(x) =cosx In x ， f (x °) = f (X i ) =0(x ° 式 X i )，则《 — x i 的最小值是 _________________________________________ . (12) ______________________________________________________ 满足cos(> •：)二cos x ^cos ：的:/■的一组值是 ________________________________________________________________ .(写出一组值即可)3 x(13) 函数f(x) =x e 的极值点X o 二 ____________ ，曲线、二f (x)在点(x 0, f(x 0))处的切线方程是 __________ (14) 某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A, B 的信息：① 316人使用A ； ② 478人使用B ；③ 104人同时使用A 和B ；④ 567人只使用A,B 中的一种网络浏览器•则这条信息为 ____________ (填“真”或“假”)，理由是 _____________ . 三、 解答题共6小题，共80分。
北京市海淀区2015--2016学年度高三年级第二次模拟数学(理科)试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2016.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sin cos2444f =--⋅=2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=-…………………4分 因为 32>-,所以 ππ()()46f f >…………………6分 （Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =-- 令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以2132()22y t =--,…………………11分 因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分16解: (I)A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台…………………2分 （Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---=…………………4分60 32又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………5分 因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………7分 （Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2，…………………8分20255(0)304012P X ==⋅=, 1025201511(1)+=3040304024P X ==⋅⋅, 10151(2)30408P X ==⋅=, …………………11分 随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望511117()0121224824E X =⨯+⨯+⨯=.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG，…………………1分 又1CD 2EH , 所以 NG EH , …………………2分 所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH ,…………………3分又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分 所以GH 平面DEM . …………………5分（Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E =所以DE ⊥平面EFM ,所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分 所以33(3,1,0),(,,1)22EM CN ==--，…………………8分 所以0EM CN ⋅=，所以EM CN ⊥. …………………9分 方法二： 取EM 中点K ，连接,NK FK .又NK 为EMD ∆的中位线，所以NKDE 又DE CF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分 因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分 且NK FK K =，所以EM ⊥平面NKFC ，…………………8分而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥. …………………9分 （Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-,所以0EM CF ⋅=, 即EM CF ⊥,又CF CN C =, 所以EM ⊥平面NFC ， 所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分 又31(,1)22HG =，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有312sin |cos ,|2||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===13分 所以GH 与平面NFC 所成的角为π4.…………………14分18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .当1a =时，'()e (2)(1)x f x x x =++…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分 当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以此种情形不成立，…………………8分 当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分 若0a <，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立.则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -而22()e ()e 0e a a a f a a a a a -=-+=<≤，所以0a <.…………………11分综上，a 的取值范围是1(,]2-∞…………………12分法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解， 所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，…………………8分当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤.…………………11分 综上，1(,]2a ∈-∞.…………………12分 （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.…………………14分19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y代入24y x =，得到12y =，…………………1分又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =，…………………2分代入24y x =，得到1y =3分所以21211AD y y k x x -===-. …………………5分 （Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=,…………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以12124S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………13分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………7分1212|||||AD x x x x =-=-= …………………8分 点O 到直线AD的距离为d =, 所以11||||||2S AD d m m =⋅==………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=, …………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以1212=4S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<. …………………13分 法三：直线OD 的方程为22y y x x = , …………………6分 所以点A 到直线OD的距离为d =…………………7分又||OD = …………………8分 所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+，…………………9分 所以122111*********||||2()2()x y x y S x y x y S y y y y --==++22122112121212||||442()8()y y y y y y y y y y y y --==++…………………10分 因为21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-=…………………11分 代入得到，22112121212221212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+…………………12分因为12y y +≥ 当且仅当12y y =时取等号， 所以112212144S y y S y y <=. …………………13分20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W ==…………………2分（Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ， 显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1， 可得,'X X 不可能都在好子集S 中…………………4分又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=，…………………6分 这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半， 而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -；…………………8分 （Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀=，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,,,)n n n n XY x y x y x y x y --=，显然n XY ∈Ω. 我们证明:“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈ 此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾， 所以XY S ∈.因为S 中只有12n -个元素，我们记121(,,,,)n n Z z z z z -=为S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1…………………11分下面再证明k的唯一性：z=,即S中所有元素的t坐标分量都为1,若还有1t2n-个，矛盾.所以此时集合S中元素个数至多为2所以结论成立…………………13分。