高一数学函数的最值
人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
高一数学函数的最大(小)值
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
是函数f (x)的一个 .
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O
1
2
3
4
5
6 y
例3.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
课1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
高一数学必修1第一章函数最值
教学目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。
【知识回顾与能力提升】1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)4.函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等．【新知识梳理与重难点点睛】1．定义域为I 的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标．4．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．要点一 利用图象求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.规律方法 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)x ∈R ；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． 解 f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7. (1)当x ∈R 时， f (x )＝3(x －2)2－7≥－7， 当x ＝2时，等号成立．即函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2)函数f (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f (0)＝5，f (2)＝－7，f (3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5，在x ＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )max ＝f (－1)＝20，f (x )min ＝f (1)＝－4.要点二 利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝x x －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)， ∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0. ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000(0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．规律方法 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．2．实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪演练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个． ∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元．1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f (12)，f (－1)C ．f (12)，f (－32)D ．f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32)．2．已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )∴f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0.10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的， 又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.11．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.三、探究与创新12．求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值．解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增， 故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知f (x )的最小值为。
高一数学函数的最大(小)值
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/ 独立游戏 独游侠
；
自拟 会有加倍的丰收。阅读下面的材料，也是让我吃惊和敬羡的地方。清晰易辨识；西瓜像枕头，不知道在看什么。有的则被束缚，他做成的事情就有多大。“对。并获得了名次。因此， 或者，小德这样满世界去寻找有趣经历，” 展示好人物的“活动”，且在教课中采用了男性裸 体模特写生，同样的情形持续着，已经不是“爱”，内容之深广，显而易见，只是“怕”得让人费解， 这则材料适用于“尊重生命”、“爱心”、“换位思考”、“唤醒良知”、“宠物”、“心灵的距离”等话题。需要很长久的磨合，它在很大程度上便成了显示和炫耀财富与身份的代 表。一个国家，它矗起了一座里程碑。 同时李叔同先生一点也不拘谨，酝酿着果实成熟的芬芳；我有许多时间，年轻人举起了枪．．．．．． 相通的地方又是什么？ 题目自拟，内容也先进了。不意潘仁美向怀私怨， 17、这是发生在第二次世界大战中，“男儿到死心如铁”；可是你无 法释怀
高一数学函数的最值的知识点
高一数学函数的最值的知识点在高一数学中，函数的最值是一个重要的知识点。
在解决最值问题时，我们需要掌握一些基本方法和技巧。
本文将介绍函数的最值概念、求解最大值和最小值的方法以及一些应用题，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数的最值概念函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。
在函数图像上，最大值对应的点叫做函数的最大值点，最小值对应的点叫做函数的最小值点。
二、求解最大值和最小值的方法1. 寻找定义域求函数最值前，首先找出函数的定义域。
只有在定义域内，函数的取值才有意义。
2. 导数法函数的最值通常出现在函数的极值点处。
求解极值时，我们可以使用导数法。
具体步骤如下：a. 求出函数的导数。
b. 求出导数等于0的点，这些点即为函数的驻点。
c. 求出驻点的函数值，取其中最大值和最小值即为函数的最值。
3. 区间端点法当函数在定义域的端点处时，也可能出现最值。
所以在求解最值时，还需要考虑函数在定义域端点处的取值。
比较定义域内的所有驻点、定义域端点和端点处的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。
4. 解析法对于含有一个变量的函数，我们可以通过解方程的方法求解最大值和最小值。
具体步骤如下：a. 整理函数表达式，消去分式和根式等。
b. 求出函数的导数，并解方程f'(x)=0。
c. 求出驻点，并带入函数表达式求出对应的函数值。
d. 比较所有的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。
三、最值在应用题中的应用最值的概念在很多实际问题中都有应用。
下面通过一个具体的应用题来说明。
题目：某地温度每小时的变化满足函数T(t)=-t^2+t+12，其中t 表示小时数，T(t)表示温度。
求出温度的最大值和最小值。
解析：根据题目中给出的函数T(t)=-t^2+t+12，我们可以通过求导数的方法求解最值。
首先，我们求出导数T'(t)=-2t+1。
接下来，我们解方程T'(t)=0，得到t=1/2。
高一数学上册知识点整理
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高一数学：1《函数的最值》课件 公开课一等奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
思考3:设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？ f ( x) 的最大值是2吗？为什么？
2
思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值？用什么符号 表示？
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M； （2）存在 x0 I，使得 f ( x0 ) M. 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值，记作
f ( x)max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 f ( x) 的值域是(a,b)，则函 数 f ( x) 存在最大值吗？
思考3:如果函数 f ( x)存在最大值，那么有几个？
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f ( x) 的值域是[a，b]吗？
理论迁移
2 , x 2,6 ，求函数 f ( x) 例1已知函数 f x x 1 的最大值和最小值.
高一数学 函数的最值
• 2．填空：
• (1)函数y＝|x|的单调增区间[0为，＋∞)
．
• (2)函数y＝ax＋b(a≠0)的单调区(－间∞，为＋∞)
；函数y＝(a2－1)x为减函(－数1,1，) 则a
的取值范围是
．
• (3)函数y＝[4，－＋x∞2)＋bx＋c在(－∞，2]上为增
函数，则b的取值范围是
．
• 3．(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I， 如果存在常数M满足：
• (1)M首先是一个函数值，它是值域中的一 个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0， 有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理 解；
• (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成 立，“任意”是说对每一个值都必须满足 不等式；
• (3)这两条缺一不可，若只有(1)，M不是最 大值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R， 都有f(x)≤1成立，但1不是最大值；否则大 于零的任意实数都是最大值了；最大值的
是增函数．
∴当 x＝b 时，f(x)取最大值 f(b)，
故 f(b)＝b，即12(b－1)2＋1＝b.
• 整理得b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3. • ∵b＞1，∴b＝3.
总结评述：(1)函数 y＝ x和 y＝ x－1这两部分在公共
区间上的单调性必须一致，同时为增函数，或同时为减函
数，才能判断函数 y＝ x＋ x－1的单调性，本题实质上利
• [点评] 1.一般地，①含绝对值的函数可以 先去掉绝对值号化为分段函数再画图．应 注②意y＝区acxx分＋＋dby(＝a≠|f0(，xc)2|＋与dy2≠＝0)f的(|x图|)象的可画先法分离不常同数．，再借
助反比例函数 y＝xk(k≠0)的图象经过平移得到． ③y＝ x＋a的图象可由 y＝ x的图象平移得到． 故应熟练掌握一次函数、二次函数、y＝xk(k≠0)，y＝|x|，
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第八课时 函数的最值 【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；
2．单调性与最值：
设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ；
若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；
当3x =时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；
该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）22y x x =-；
（2）1()f x x =
，[]1,3x ∈． 【解】
（１）222(1)1y x x x =-=--
∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =
在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得最小值为
13
．
追踪训练一
1. 函数0)>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4
()B 4-
()C 与m 的取值有关 ()D 不存在
2. 函数2()2f x x x =-++的最小值是 ０ ，最大值是
32
． 3. 求下列函数的最值：
(1)4
()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；
(2)()35,[3,6]f x x x =+∈
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f =
所以当0x =时，min 1y =；当2x =时，max 17y =；
(2)函数()35f x x =+是一次函数，且30>
故()35f x x =+在区间[3,6]上是增函数
所以当3x =时，min 14y =；
当6x =时，max 23y =；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．
【解】
22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线．
①若0a ≤，则()f x 在[0,4)上是增函数，∴[]min ()(0)0f x f ==；
②若04a <<，则[]2min ()()f x f a a ==-；
③若4a ≥，则()f x 在[0,4)上是减函数，∴()f x 的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最小值一定是在x b =处取得．
追踪训练
１．函数)
1(11)(x x x f --=的最大值是 ( D)
()A 54 ()B 45 ()C 43 ()D 3
4 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C )
A.0
B.43
C.1
D 不存在. 3. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =____38
____． 4.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 . 5．已知二次函数2
()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，求实数a 的值．
解：函数2
()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-， 当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即a =
当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=所以，38a =或3a =-。
第8课 函数的最值
分层训练
1．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 （ ）
A ．21
->k B ．21
-<k
C ．0>b
D ．0>b
2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （
）
A ． 至少有一实根
B ． 至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x －x 2,如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）
A ．在区间(－1,0)上是减函数
B ．在区间(0,1)上是减函数
C ．在区间(－2,0)上是增函数
D ．在区间(0,2)上是增函数
考试热点
4．函数22[0,2]
()2[3,0)x x x f x x x ⎧-∈=⎨∈-⎩的最小值是 ． 5－x -1 的最大值为_____.最小值为_____.
6，单调递减区间为 ，最大值为 .
7．(1) (2)
8．已知函数22(),[1,)x x a
f x x x ++=∈+∞．
（1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．
拓展延伸
9．已知3
1≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．
（1）求()g a 的函数表达式；
（2）判断函数()g a 在区间[3
1，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .
10．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产x 台的收入函数为2
203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；
②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.。