常见的数学思想方法——转化思想

1
A F E
B
P C
图甲
D
D
（1） （2）
A B D
Q
C E A B
C D E M
常见的数学思想方法——转化思想
班级 姓名 学号
一、学习目标：了解转化思想的概念，能用转化思想解决有关问题． 二、内容解读：
1、遇到问题时，在作细微观察的基础上，展开联想，以唤起对有关旧知识的回忆，把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解决，将这种过程称为化归思想或转化思想．
2、转化思想的三个基本要求：（1）化归对象——把什么元素进行化归；（2）化归目标——化归到何处去；（3）化归途径——化归的方法．
3、转化思想的途径：（1）运用联想类比实现转化；（2）利用“换元”、“添线”进行构造变形实现转化；（3）数形结合实现转化；（4）简化条件实现转化；（5）把实际问题转化为数学问题． （6）、构造基本图形实现转化 三、例题分析：
（一）运用联想类比实现转化 例1、三个同学对问题“若方程组⎩⎨
⎧=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,4,
3y x 求方程组⎩⎨⎧=+=+2
22111523,523c y b x a c y b x a 的
解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是____________．
练习：关于x 和y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=---=+-=+9
)210(5108)8(965543y n m x y x m n y x y x 有解，求2
2n m +的值．
例2、如图甲，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ．
（1）说明：①AN=BM ； ②△CEF 是等边三角形；
（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第①、②两小题结论是否仍然成立（不要求说明理由）．
（3）把△ACM 和△CBN 改成等腰直角三角形，其中∠ACM=∠BCN=90°，其余条件不变，还有类似的结
论吗？
练习：（1）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC ． （2）如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD=120°，
说明：PA+PD+PC ≥BD ．
（二）利用“换元”、“添线”进行构造变形实现转化
例3、解方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=---=-+-01
21221136311
y x y x ．
例4、如图，在五边形ABCDE 中，∠B=∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点，
说明：AM ⊥CD ．
练习（1）、如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点D ，又在AC 的延长线上取一点E ，使CE=BD ，
连结DE 交BC 于Q ．试说明：DQ=QE ．
练习（2）、如图，在等腰Rt △ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角的两边分别与边AB ，AC 交于点E ，F ，连接EF ．当∠EPF 绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），△PEF 也始终是等腰直
角三角形，请你说明理由．
2
B O A D
E
C B E
F
N G D
C （三）数形结合实现转化
例5、电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的实始位置K 0点所表示的数．
练习：一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳到100次落下时，求落点处离O 点的距离．（用单位表示）
（四）简化条件，实现转化
例6、如图 l ，凸四边形 ABCD ，如果点P 满足∠APD ＝∠APB =α。

且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P 为四边形 ABCD 的一个半等角点．
⑴在图3四边形 ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法） .
⑵若四边形 ABCD 有两个半等角点P 1 、P 2，如图2，说明线段P 1 P 2上任一点也是它的半等角点 。

说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法可以更换已知条件，完成本题.． （五）把实际问题转化为数学问题
例7、据了解，火车票价格按“总里程数
实际乘车里程数全程参考价⨯”的方法来确定．已知A 站至H 站总里程
数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H 站的里程数：
例如，要确定从B 站至E 站火车票价，其票价为
8736.871500
≈=（元）
． （1）求A 站至F 站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说下一站就到了．请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）
练习：有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮为正五边形，白皮为正六边形（如图）．如果一个缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块． A ．16 B ．18 C ．20 D ．22 六、构造基本图形实现转化 例8、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上一点．PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，CF ⊥AB 于F ．试说明：PD 、PE 、CF 之间的大小关系．若P 为BC 延长线上一点，其余条件不变，试问PD 、PE 、CF 之间又存在什么样的大小关系
例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=
∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在A B A C
，上，且1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
练习：已知：AD 、BE 相交于C ，AB=AC ，EC=ED ，M 、F 、G 分别为AE 、BC 、CD 的中点，MN ⊥FG ， 说明：N 为FG 的中点．。