第七章 曲线与曲面积分导学答案12-16(第一、二类曲面积分)

第七章 曲线与曲面积分7.2.5第一类曲面积分 7.2.6 第二类曲面积分（导学解答）一、相关知识1．物质曲面的质量问题?答：设∑为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量，把曲面分成n 个小块: ∆S 1, ∆S 2 , ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n (∆S i 也代表曲面的面积);求质量的近似值:i i i i ni S ∆=∑),,(1ζηξρ((ξi , ηi , ζi )是∆S i 上任意一点); 取极限求精确值: i i i i ni S M ∆==→∑),,(lim 10ζηξρλ(λ为各小块曲面直径的最大值).2.空间曲面在坐标面上的有向投影？答：空间面积为S ∆的有向平面在坐标面上的投影将有向平面S ∆投影到xoy 坐标面，所得投影记为xy S )(∆，投影区域的面积记为()xy σ∆；设平面S ∆的法向量n 与z 轴正向的夹角为γ，则()xy S ∆()c o s 00c o s 0()c o s 0xy xy σγγσγ⎧∆>⎪=≡⎨⎪-∆<⎩即()cos xy S S γ∆=∆；如果20πγ<≤，0cos >γ（上侧），则xy xy S )()(σ∆=∆；如果πγπ≤<2，0cos <γ（下侧），则xy xy S )()(σ∆-=∆；如果2πγ=，0cos =γ，则0cos )(=∆=∆S S xy γ。

同理可以定义S ∆在yoz 、zox 坐标面上的投影为()yz S ∆及()zx S ∆为：()cos 0()0cos 0()cos 0yzyz yz S σαασα⎧∆>⎪∆=≡⎨⎪-∆<⎩()c o s 0()0c o s 0()c o s 0zxzx zx S σββσβ∆>⎧⎪∆=≡⎨⎪-∆<⎩3．流向曲面一侧的流量？答：设空间有一稳定的（流速与时间无关）不可压缩的（密度为1）流体，流速为(,,)v v x y z =Pi Qj Rk =++，从曲面∑的一侧流向另一侧。

其中,,P Q R 在曲面∑上连续，用n 表示曲面∑上指向流动一侧的单位法向量。

若v 是常向量，∑是平面（则n 也是常向量），且∑的面积为S ，则流量为：||cos S v θΦ=⋅||||cos(,)S v n v n =⋅，即()v n S Φ=；对于一般的光滑曲面∑，采用分割、求和、取极限的方法，其流量为：1lim (,,)(,,)n i i i i i i i i v n S λξηζξηζ→=Φ=∆∑01lim ()ni i i i v n S λ→==∆∑；又因为：(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i v P i Q j R k ξηζξηζξηζξηζ=++，(,,)cos cos cos i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++，记cos ()i i i yz S S α∆=∆，cos ()i i i zx S S β∆=∆，cos ()i i i xy S S γ∆=∆则流量可以表示为：1lim {(,,)()(,,)()(,,)()}ni i i i yz i i i i zx i i i i xy i P S Q S R S λξηζξηζξηζ→=Φ=∆+∆+∆∑二、对面积曲面积分的有关问题1．对面积的曲面积分的实质是什么？答：其实质是将曲面积分中的曲面投影为平面，进而转化为二重积分. 2．对曲面的曲线积分过程中对称性的应用规则？答：(1)若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.曲面关于xoz yoz ,平面对称也有类似的结论.(2) 若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数(3) 若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．对曲面的所对应不同投影平面的公式演变？（1）如果曲面为∑：(,)y y x z =，在xoz 坐标面上的投影区域为D ，(,)y x z 在D 一阶偏导数连续，则对面积曲面积分计算公式为(,,)(,(,),Df x y z dS f x y x z z σ∑=⎰⎰⎰⎰（2）如果∑恰好是xoy 坐标面的平面区域，即D ∑=：0z =1=，从而(,,)(,,0)Df x y z dS f x y d σ∑=⎰⎰⎰⎰.4.曲面面积积分在实际应用中的定义 （1）曲面面积表达式？曲面的面积：S dS ∑=⎰⎰；（2）曲面质量的表达式？曲面的质量：(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰（3）曲面转动惯量的表达式？转动惯量：22()(,,)z I x y x y z dS ρ∑=+⎰⎰（4）曲面重心坐标的表达式？(,,)x x y z dSMx ρ∑⎰⎰=(,,)(,,)x x y z dSx y z dS ρρ∑∑⎰⎰=⎰⎰，y =，z =；特别当(,,)x y z ρ=常数时，重心在对称面上或对称轴上，此时重心也称为形心，且xdS xdSS dS x ∑∑∑⎰⎰⎰⎰==⎰⎰ y d S S y ∑⎰⎰= zdS S z ∑⎰⎰=三、练习题1. 计算积分1dS z∑⎰⎰，∑是球面2222x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部.解：∑：z =xoy 面上的投影区域D ：2222x y R h +=-，==1dS z ∑⎰⎰2σ=⎰⎰222D Rd R x y σ=--⎰⎰22D R rdrd R r θ=-⎰⎰22200r R d dr R r πθ=-⎰⎰2212(ln(2R R r π=⋅--(2ln 2ln )2ln R R R h R h ππ=⋅-=2. 计算积分xydS ∑⎰⎰，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的全表面.解：123∑=∑+∑+∑1∑：0z =，1D ：221x y +≤；1110D DxydS xyd σσ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2∑：2z x =-， 2D ：221x y +≤2220D D xydS xyd σσ∑==⎰⎰⎰⎰3∑：221x y +=，33132∑=∑+∑，31∑：y =32∑：y =，其中 31∑、32∑在xoz 面上的投影区域均为3D ，且3D 由2x z +=，1x =，1x =-，0z === xydS ∑⎰⎰123xydS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰33132xydS xydS xydS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰33(D D x σσ=+⎰⎰⎰⎰32D xd σ=⎰⎰1112x dx xdz --=⎰⎰11242(1)2()33x x dx -=-=-=-⎰3. 22222(),.I ax by cz d ds x y z R ∑=+++∑++=⎰⎰计算曲面积分其中是球面 解：2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰ 2222[()()()222222]ax by cz d abxy aczx bcyz adx bdy cdz ds∑=+++++++++⎰⎰根据曲面积分的对称性及被积函数的奇偶性可知：0xds yds zds xyds yzds xzds ∑∑∑∑∑∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222,,x y z R x y z x ds y ds z ds ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为球面关于具有对称性所以2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰因此222222221()()43a b c x y z ds R a π∑=+++++⎰⎰ 22222214[()]3R Ra b c a π=+++ 4.计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分.解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-5. 计算曲面积分()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，∑为锥面z =被圆柱面222x y ay+=（0a >）所截下的部分.解：因为锥面、圆柱面均关于yoz 面对称，故曲面∑关于yoz 面对称，而xy xz +关于x 恰好是奇函数，yz 关于x 是偶函数，从而()xy yz zx dS ∑++⎰⎰yzdS ∑=⎰⎰12yzdS ∑=⎰⎰1∑：z =，1D 如图所示。

()xy yz zx dS ∑++⎰⎰12yzdS ∑=⎰⎰12D σ=⎰⎰1D σ=1sin D r r rdrd θθ=⋅⋅22sin 3sin a d r d πθθθθ=⎰24(2sin )sin 4a d πθθθ=22y ay =sin a θ2508sin ad πθθ=44285315a a =⋅=四、思考题1.计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222xy z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性 ∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ==。