高三第一轮复习《不等式》综合检测试题
2021届高考数学一轮总复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法跟踪检测文含解析
第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ， 可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高三数学第一轮复习单元测试题—不等式
金太阳教育网 高三数学第一轮复习单元测试题—不等式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 （ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）Ａ．8 Ｂ．6 C ．4D ．23．（文）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而不必要条件； 命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)．则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真（理）设偶函数f (x )=log a |x －b |在(－∞，0)上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是（ ） A ．f (a +1)=f (b +2) B ．f (a +1)>f (b +2)C ．f (a +1)<f (b +2)D ．不确定4．（文）若011<<ba ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b a a b中，正确的不等式有 （ ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个（理）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为 （ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 5 6．函数f (x1x + （ ）.A 25.B 12.C 2.D 17． 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa aa 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138．（文）实数满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值为（ ）A ．8B ．-8C ．8或-8D ．与θ无关（理）已知y x c c y c c x c ,,1,1,1则且--=-+=>之间的大小关系是（ ）A ．y x >B ．y x =C ．y x <D ．y x ,的关系随c 而定9．（文）若函数)(x f 是奇函数，且在（+∞,0），内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ） A ．}303|{><<-x x x 或 B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或（理）若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（ ） A ．（－1，0） B ．（－∞，0）∪（1，2）C ．（1，2）D ．（0，2）10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0B ． –2C ．-52D ．-311．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 （ ）A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件12．不等式,011<-+-+-ac cb ba λ对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．(]0,∞-B ． ()1,∞-C ．(]4,∞-D ．()+∞,4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．（文）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 . （理）已知三个不等式①ab >0 ② ac >bd ③bc >ad 以其中两个作条件余下一个作结论，则可组 个正确命题.14．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =2b a +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_________. 15．设a ＞0，n ≠1，函数f (x ) =alg(x 2-2n +1)有最大值.则不等式log n （x 2-5x +7）＞0的解集 为__ _.16．设集合{()||2|},A x y y x =-1，≥2{()|||}B x y y x b =-+，≤，A B ≠∅ ．（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文科做）比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 （理科做）已知：[]1,0...∈d c b a()()()()d c b a N d c b a M ----=----=1,1111，试比较M ，N 的大小：你能得出一个一般结论吗？18．（本小题满分12分）已知实数P 满足不等式,0212<++x x 判断方程05222=-+-Pz z有无实根,并给出证明.19．（本小题满分12分）（文科做）关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实质数k 的取值范围.（理科做）若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()x f f x f y y=-. （1）求)1(f 的值;（2）若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<--x f x f .20．（本小题满分12分）某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？21．（本小题满分12分）（文科做）设(),1433221+++⨯+⨯+⨯=n n s求证：()()221121+<<+n n s n n（理科做）设1,,131211>∈++++=n N n nA（1）证明A>n ;（2）n A n 2212<<-+22． （本小题满分14分）（2006年广东卷）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ （1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ;（2）设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; （3）设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,成立不等式||1||121x x LLx x k k l k --≤-++.参考答案（5）1．A. 本小题主要考查充要条件的判定。
高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。
第二章 一元二次函数、方程和不等式(综合检测)【一轮复习讲义】2024
第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求. 1．设集合01x M x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭ 1,02x N y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则M N ⋂=（ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,12．设x ∈R 则“()50x x -<”是“11x -<”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件3．不等式2420x x a ---≤有解 则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}2a a ≥-B ．{}2a a ≤-C ．{}6a a ≥-D ．{}6a a ≤- 4．已知22a b k += 若224911a b +≥+恒成立 则k 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．24 D ．255．设圆柱的体积为V 当其表面积最小时 圆柱的母线长为（ ）A ．3232πVB ．32π3V C ．32πV D ．34πV 6．已知3log 2x = 4log 3y = 2334z ⎛⎫= ⎪⎝⎭则x 、y 、z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．z y x >> D ．y z x >>7．在ABC 中 角A B C 的对边分别为a b c 且2cos 2c B a b =+ 若ABC 的面积312S c = 则ab 的最小值为（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．168．已知抛物线2:2(0)C y px p => 过坐标原点O 作两条相互垂直的直线分别与抛物线C 相交于()()1122,,,M x y N x y 两点（M N 均与点O 不重合）．若直线MN 恒过点(8,0) 则122x x +的最小值为（ ）A ．162B ．122C ．102D ．62对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分. 9．已知a b c ∈R 下列叙述正确的是（ ）A ．若a b > 0c > 则ac bc >B ．若0a b >> 则11a b >C ．若01a << 则2a a >D ．()221222a b a b ++≥--10．已知幂函数()f x 的图象经过点4,2 则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+ D ．若210x x >> 则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭11．已知236a b == 则a b 满足（ ）A ．a b <B ．111a b +<C ．4ab >D ．4a b +>12．若0a b << 且222a b += 则（ ）A ．2b 1<<B ．1b a ->C ．3ab a b ++≤D ．2a b +≤第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分13．已知函数248y mx mx m =-++的定义域为R 则实数m 的范围________.14．已知P 是ABC 的边BC 上任一点 且满足AP xAB y AC =+ x y R +∈、 则14x y+的最小值为___________. 15．已知正数,x y 满足221x y += 则11x y+的最小值为__________．16．平面向量a b 满足1a = 2b = 7a b -= 对于任意实数k 不等式1ka tb +>恒成立 则实数t 的取值范围是________．程或演算步骤. 17． 已知a b c 、、均为正数 证明：2222111()63a b c a b c+++++≥ 并确定a b c 、、为何值时 等号成立．18．设()()212f x ax a x a =+-+-．(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立 求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．19．水培植物需要一种植物专用营养液 已知每投放(04a a <≤且R)a ∈个单位的营养液 它在水中释放的浓度(y 克/升)随着时间(x 天)变化的函数关系式近似为()y af x = 其中()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，， 若多次投放 则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和 根据经验 当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时 它才能有效．(1)若只投放一次4个单位的营养液 则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液 6天后再投放m 个单位的营养液 要使接下来的4天中 营养液能够持续有效 试求m 的最小值．20．已知函数()2f x x ax a =++ x ∈R(1)若方程()0f x =有两根 且两根为12,x x 求2212x x +的取值范围；(2)已知[]0,1P = 关于x 的不等式()0f x >的解为Q 若P Q =∅ 求实数a 的取值范围.21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源 节省时间和劳动力 提高灌溉质量和灌溉效率 提高农作物产量和质量 实现增产增效.如图 等腰梯形ABCD 是一片农田 为了实现节水灌溉 BC 为农田与河流分界的部分河坝 BC 长为800米 ∠B =75°.现在边界BC 上选择一点Q 修建两条小水渠QE QF 其中E F 分别在边界AB DC 上 且小水渠QE QF 与边界BC 的夹角都是60°.(1)探究小水渠QE QF 的长度之和是否为定值？若是 求出该定值；若不是 请说明理由.(2)为实现高效灌溉 现准备在区域AEQFD 内再修建一条小水渠EF 试问当点Q 在何处时 三条小水渠（QE QF EF ）的长度之和最小 最小值为多少？22．设0a > 0b > 函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a - 求b a的取值范围； (3)当[0,]x m ∈时 对任意的正实数a b 不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立 求m 的最大值.。
届高三数学一轮复习：不等式基本不等式练习题
2A . 8B . 16 C. 32 D . 64一、选择题1 •在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）i i （ nA . y = x +一B . y = cosx + 0<x<x cosx 2x2 + 34 门C 「2+ 2D .y =曲ex - 21 ------- 42 .已知正项等比数列｛a n ｝满足：a 7= a 6+ 2a §，若存在两项 a m ,外使得、a m * a n = 4a i ，则石+后的最小 值为（）3 5 ^25 ― A.2B.3 C.6 D .不存在 ［答案］A 3.“a 4堤对任意的正数X ,均有x + 1的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C.充要条件D .既非充分也非必要条件 ［答案］A4. 设 a , b € R ,贝U “a b = 1 ”是 “4ab w 的” ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件 ［答案］A1 1 15. 若a>0, b>0, a , b 的等差中项是；，且a= a +-，3= b +匚，贝V a+ B 的最小值为（）2 a b A . 2 B .3 C.4 D .5 ［答案］D6 .半径为4的球面上有 A 、B 、C 、D 四点，AB , AC, AD 两两互相垂直，则△ ABG A ACD A ADB 面 积之和S^ABC + Sx ACD + S^ADB 的最大值为（）基本不等式测试卷7 .已知F 1、F 2分别为双曲线x 2二、填空题••• tan 3= sin a cos—sin2 a tan , ［答案］C爲二1 （a>0, b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意b22PF1点，若——L的值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是（）PF2A. (1,+ a) B (1,2］C. (1 , , 3］D. (1,3］［答案］D8.已知a, b € R+, a+ b= 1, M = 2a+ 2b,贝V M的整数部分是()A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］B9 .已知全集R,集合E= {x|b<x<0^-b}, F= {x| , ab<x<a}, M = {x|b<x w ab}，若a>b>0,则集合M 等于()A. E n F B E U FC. E Q?RF） D. （?RE）PF［答案］C10.如图在等腰直角△ ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB= mAM , AC= nAN,贝U mn的最大值为（）1A尹1C. 2D. 3［答案］B二、填空题••• tan 3= sin a cos—sin2 a tan ,［答案］—213、已知三个函数y= 2x, y = x2, y= £的图象都过点A,且点A在直线mm +无=1(m>0, n>0)上，则log2m + log 2n的最小值为________ .［答案］414 .已知x>0, y>0, lg2x+ lg8y= lg2，则xy 的最大值是__________ .1［答案］1215、设M 是厶ABC内一点，且A B A C= 2寸3，/ BAC= 30° 定义f(M) = (m, n, p)，其中m, n, p 分别{1 \ 1 4是厶MBC,A MCA,A MAB的面积.若f(M) = k, x, y丿；则~ + -的最小值是.____________ _ .X2jx y［答案］18三、解答题16 .已知a、B都是锐角，且sin = sin a cos十a )n(1) 当a+ 3= 4,求tan B的值；⑵当tan報最大值时，求tan(水3的值.V2 fn J'［解读］(1)：由条件知，sin = 2 sin諂—3丿；3 1整理得qcos = o,13为锐角，二tan 3= 3. (2) 由已知得sin = sin a cos a cos>in2 a sin 3此时，tan( a3= J:代怡：3=32.1 —tan a tan 3^217、设实数a使得方程x + (a-1) x+1=0有两个实根X1, X2.(1)求a的取值范围；(2)当a取何值时， \ 丄取得最小值，并求出这个最小值x1x2解读：(1) a w-1或a>3 (2) a=-1或3，最小值为2.18 .某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)3x+ 1之间的函数关系为Q=~xO7 (x》0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为年平均每件生产成本的150%与年平均每件所占广告费的50%”之和.(1) 试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？一32Q + 3 x ［解读］(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q + 3)万元，每万件销售价为厂X 150%F~QX 50%•年销售收入为(32Q+ 3X 10%+Q X 50%Q・2 2 _ r .11.已知b>0，直线b x+ y+ 1 = 0与ax—(b + 4)y+ 2= 0互相垂直，则ab的最小值为_______________ ［答案］4Sin a cos a Sin a cos a • tan 3=1 + sin2 a 2sin2 水cos2 atan a2t _ 4t + 112 .已知t>0 ,则函数y= 的最小值为1 ___2tan2 a 1 1 '2tan a -------tan a1 _22 =齐. 当且仅当1tO1• tan a=,tan 3取得最大值;2,二、填空题••• tan 3= sin a cos—sin2 a tan ,3 1=2(32Q + 3) + ^x,3 1•••年利润W = 2(32Q + 3) + 2X - (32Q+ 3)—x1 —x2 + 98x+ 35=2(32Q + 3 —x) = ―(x》0)圆M 的方程为(x—a)2 + (y —b)2 = a2 + (b —2)2.令y= 0，则(x—a)2 + b2 = a2 + (b —2)2 ,整理得，x2 —2ax + 4b—4 = 0 ②⑵令x+ 1 = t(t >,1 则将①代入②得x2 —2ax+ a2 —4= 0,解得x= a±2-卜1 2+98 t-12t + 35=50 —不妨设A(a—2,0), B(a+ 2,0),t 32•- t • - + 丁=8，即W 42,t 32当且仅当2 = F，即t = 8时，W有最大值42,此时x= 7.••l1 = .~3— 2+4，l2= , ~3 +2~2+ 4• l1 +]2= 112 + 122 = 2a2+ 16…0 +亓=川2=—a4 + 64即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.19、(1)不等式(m -2)x2• 2(m -2)x -4 ：：： 0对一切实数x都成立，求实数m的取值范围⑵若关于x的不等式ax2「6x • a2 ::: 0的解集为{x |1 ：：： x ：：： m},求a，m的值16 1 +2X820 .已知点F(0,1)，直线I: y = —1 , P为平面上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为Q,且QPQF当且仅当a= ±2 2时，等号成立.=FPFQ(1) 求动点P的轨迹C的方程；⑵已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA| = l1 ,L l2|DB| = l2，求—+ —的最大值.l2 l1［解读］⑴设P(x, y)，则Q(x, —1),• QP QF=F P F Q,•••(0, y+ 1)(-x,2) = (x, y—1) (x,—2).即2(y+ 1) = x2 —2(y—1), 即卩x2 = 4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2= 4y.(2) 设圆M的圆心坐标为(a, b)，贝U a2 = 4b①圆M的半径为|MD| =a2 + b—2 1l1 l2当a= 0时，由③得，n +12 = 2.故当a=±2 2时，+ j2的最大值为2 2.1 1 1 111121、已知a,b,c - 0, abc = 1,证明：一3—3—a (b+c)b (c+a)c (a + b) 2 a b c证:3a (b c)abca (b c)bc~2a (b c)1~~2a111，1 1 1 1 1 1 111 12 -a (b c) 4 bc a 4 b c ab c,C a,b,c - 0 )同理得:1 111 1 1c (a b)1 1 1 111 1_—33 () a 3(bc) b 3(ca) c 3(ab) 2 ab c所以原不等式成立，证毕。
高三数学一轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数综合测试(一)
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数阶段质量评估（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知函数①()ln f x x =；②cos ()xf x e =；③()xf x e =；④()cos f x x =．其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在定义域内的唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x •=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4 5．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∀∈，2240x x -+≥ B ．2,240x R x x ∀∉-+≤C ．x R ∃∈,2240x x -+>D ．x R ∃∉,2240x x -+>6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．4x y -B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)8．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。
高考数学(理)一轮复习课后检测：选修《不等式的证明》
选修4－5－2 不等式的证明一、选择题1．ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件答案：B2．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6答案：B3．若a ，b ，c ∈R ，且满足|a －c |＜b ，给出下列结论①a ＋b ＞c ；②b ＋c ＞a ；③a ＋c ＞b ；④|a |＋|b |＞|c |.其中错误的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A4．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( ) A ．m ≥n ＞p B ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p答案：A5．设a 、b 、c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D6．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B二、填空题7．设两个不相等的正数a 、b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是__________．答案：⎝⎛⎭⎫1，43 8．用max{x ，y ，z }表示x ，y ，z 三个实数中的最大数，对于任意实数a ，b ，设max{|a |，|a ＋b ＋1|，|a －b ＋1|}＝M ，则M 的最小值是__________．答案：129．设m ＞n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x ＞1，则a 与b 的大小关系为__________．答案：a ≥b三、解答题10．已知a ＞b ＞c ＞0，求证：a ＋33(a －b )(b －c )c≥6.(并指出等号成立的条件) 证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a ＝(a －b )＋(b －c )＋c ≥33(a －b )(b －c )c ，当且仅当a －b ＝b －c ＝c 时，等号成立，所以a ＋33(a －b )(b －c )c≥33(a －b )(b －c )c ＋33(a －b )(b －c )c≥233(a －b )(b －c )c33(a －b )(b －c )c＝6， 当且仅当33(a －b )(b －c )c ＝33(a －b )(b －c )c时，等号成立，故可求得a ＝3，b ＝2，c ＝1时等号成立．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1,1]时，恒有|f (x )|≤1.(1)求证：|b |≤1；(2)f (0)＝－1，f (1)＝1，求f (x )的表达式．解析：(1)证明：∵f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，∴b ＝12[f (1)－f (－1)]． ∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1.∴|b |＝12|f (1)－f (－1)| ≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1，得c ＝－1，b ＝2－a .∴f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (－1)|≤1，即|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2.∴a －22a ＝12－1a∈[－1,1]． 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a 2＋(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a －1≤1， 整理，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －2)24a ＋1≤1. 又a ＞0，(a －2)24a ≥0，(a －2)24a＋1≥1. ∴(a －2)24a＝0，即a ＝2， 从而b ＝0，故f (x )＝2x 2－1.12．设正有理数x 是3的一个近似值，令y ＝1＋21＋x. (1)若x ＞3，求证：y ＜3；(2)求证：y 比x 更接近于 3.证明：(1)y －3＝1＋21＋x－ 3 ＝3－3＋x －3x 1＋x＝(1－3)(x －3)1＋x ，∵x ＞3，∴x －3＞0，而1－3＜0，∴y ＜ 3.(2)∵|y －3|－|x －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－3)(x －3)1＋x －|x －3| ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－11＋x －1 ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2－x 1＋x ∵x ＞0，3－2＜0，|x －3|＞0，∴|y －3|－|x －3|＜0，即|y －3|＜|x －3|，∴y 比x 更接近于 3.。
版高考数学一轮复习 核心素养测评三十 均值不等式(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题
核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于( )A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020·某某模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于( )A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为( )A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019·某某模拟)若ab>0,则的最小值为( )A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab>0,所以=+≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为( )A. B.2 C. D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则+的最小值是( )A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是世纪金榜导学号( )A. B.2C. D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数, 当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知a>b>0,则a2+的最小值是________. 世纪金榜导学号【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019·某某模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________. 世纪金榜导学号【解析】函数y===x+1+=(x-1)++2 (x<1),因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=的最大值为0.答案:0 0(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A 成立;因为a+b≥2>0,所以≤,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值X围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为 ( )A.3B.1C.D.【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=×=++≥+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=[(x+1)+(y+2)]+=≥=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020·某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC 的面积为c,则ab的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=-,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=, 代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,所以ab的最小值为48.答案:48。
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第二章 《不等式》检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．设,,R a b c ∈,且a b >,则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b >D ．33a b >2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a > D ．lg 0b a -<()3、若122=+yx ,则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞4、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ．1D ．25、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 18C. 4D. 86．已知向量a ＝(1，1－xx)，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( )A ．1 D ．27、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为.2 C8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___ m .10、已知01a <<，01x y <<≤，且·，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m12．定义在,,f Mm n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、MAB 的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ⋅=∠==若1,,2x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则14x y的最小值是⊿B.9二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若变量x,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x+y 的最大值为________14、已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__________.15、已知向量，其中x ，y 都是正实数，若，则y x t 2+=的最小值是_______.16、若21,x x 是函数)(2)(2R m mx x x f ∈-+=的两个零点，且21x x <，则12x x -的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分)已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x ax x x18、(本小题满分10分)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为多少元？19．(本小题满分12分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行.(1)求k 的值;ba ?? ? ? ?1 , ,2 , y b x a ? ? ?(2)求该轮船航行100海里的总费用W (燃料费+航行运作费用)的最小值.20．(本小题满分12分)记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.21．(本小题满分12分) 、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。
（2）若方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。
22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当x ∈(0,1]时，y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤π4，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1、【答案】D【解析】A ：由于c 的正负号不确定，若c 为零或负数，不成立，则错误；B ：若0=a ，无意义，错误；C ：1-=a ，1=b 就不满足，错误；答案只能为D.另外从函数的单调性的角度亦可快速判断，A 容易排除，BCD 四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次函数，只有三次函数y=x 3定义域为R 且在R 上单调递增.2、D3、【答案】D【解析】因为yxyx222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号．4、【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+.2x z +，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.5、【答案】B【解析】因为21x y +=≥18xy ≤，当且仅当122x y ==，即11,42x y ==取等号，所以选B.6、答案 B解析 a ＋b ＝(x ，1x)，|a ＋b |＝x 2＋1x 2≥2；|a ＋b |min ＝ 2.7、【答案】C【解析】因为a ⊥b ，所以a b ⋅，即2()0x z y z -++=，得2z x y =+，即2y x z =-+，做出可行域，作直线2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点F 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大.由325y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)F ,代入2z x y =+得3z =，所以z 的最大值为3，选C.8、【答案】B【解析】在直角坐标系中画出不等式组1,10,220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≤≤ 所表示的平面区域如图所示的阴影部分，x 2+y 2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的平方的最小值方，由图可知直线x ?y +1=0与直线x =1的交点(1，2)到原点最近，故x 2+y 2的最小值为12+22=5. 选B.9、【答案】20【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得:40,40,0,0,404040<<>>-=y x y x y x 且 .10、A11、答案 C解析 令一直角边长为a ，则另一直角边长为2a，斜边长为a 2＋4a 2，周长l ＝a ＋2a＋a 2＋4a2≥22＋2>，当且a ＝2a 时取等号．12、【答案】D【解析】由定义可知1,,,2NBC NCA NAB S S x S y ∆∆∆===由23AB AC ⋅=，得cos3023AB AC =，即4AB AC =，所以111sin 3041222ABC S AB AC ∆==⨯⨯=，所以12x y +=，即221x y +=。
所以， 当且仅当28y x x y ，即2y x =取等号，解得11,63x y ==，所以14x y的最小值为18，选 D.400 20 ,240取最大值时，矩形的面积仅当 xy S y x xy y x ? ? ? ? ? ? ?二、填空题13、【答案】6【解析 】设z x y =+，则y x z =-+。
作出可行域如图平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大.由284x y x +=⎧⎨=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，代入z x y =+,得426z =+=.14、【答案】36【解】x a x x f +=4)( (当且仅当xa x =4，即24x a =时取等号)，所以36342=⨯=a .15、【答案】4【解析】因为a b ⊥，所以()(),2,10a b x y ⋅=-⋅=，即2xy =.又2224t x y xy =+≥=，当且仅当x=2y=2时取等号.所以y x t 2+=的最小值是4.a x a x4 4 ?????16、【答案】22所以三、解答题17、解：原不等式可化为01x ax +≥-，即⎩⎨⎧≠≥-+10)1)((x x a x当1->a 时，原不等式的解集为，),1(],(+∞--∞ a当1-=a 时，原不等式的解集为当1-<a 时，原不等式的解集为18、解： 设A 、B 两种车辆的数量为,x y (),x y N ∈，则由题意知3660900217x y x y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，即35752170,0x y x y y x x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥≥⎩则所求的租金16002400z x y =+。
作出可行域如图，由16002400z x y =+得，232400zy x =-+，平移直线. ) , [ ) 1 , (?? ??? a} 1 | R x x x ? ? ， ｛232400z y x =-+，由图象可知当直线232400z y x =-+经过点C 时，232400zy x =-+的截距最小，此时z 最小。
由35757x y y x +=⎧⎨-=⎩，解得512x y =⎧⎨=⎩，即(5,12)C ,代入16002400z x y =+得1600524001236800z =⨯+⨯=，即租金最少为36800元.19、解:(1)由题意得每小时的燃料费21W kv =,把v =10,196W =代入得k =(2)21001001500.96W v v v⨯=⋅+,=15000962400v v+≥=,其中等号当且仅当1500096v v=时成立,解得12.515v ==<,所以,该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400 (元)20、解析 由题意知()()()()21321f x a x x a x ⎡⎤=--=--⎣⎦且0<a 故二次函数在区间),2[+∞上是减函数.又因为，故由二次函数的单调性知不等式)2()8|(|2t f t f +<+等价于22||8t t +>+即260t t --<故3||<t 即不等的解为：33<<-t .2 2 , 8 | | 82 ? ? ε ? t t21、解：（1）若φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解x x a 222+->∴ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u所以a>-4,即a 的取值范围是{}4->a a（2）方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解， 则0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解.2121122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴x x x a ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解22、解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，要使f (x )在(0,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，∵f ′(x )是开口向下的抛物线，∴⎩⎨⎧f ′?0?≥0f ′?2?＝－12＋4a ≥0，∴a ≥3.(2)∵0≤θ≤π4，∴tan θ＝－3x 2＋2ax ∈[0,1]．据题意0≤－3x 2＋2ax ≤1在[0,1]上恒成立，由－3x 2＋2ax ≥0，得a ≥32x ，a ≥32，由－3x2＋2ax≤1，得a≤32x＋1 2x.又32x＋12x≥3(当且仅当x＝33时取“＝”)，∴a≤ 3.综上，a的取值范围是32≤a≤ 3.。