图的最小生成树
图以及最小生成树和最短路径
图的连通 在无向图G中，若两个顶点vi和vj之间有
路径存在，则称vi 和vj 是连通的。若G中任意两 个顶点都是连通的，则称G为连通图。非连通图的 极大连通子图叫做连通分量。
强连通图与强连通分量 在有向图中, 若对于每一 对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通 子图叫做强连通分量。
顶点结点 Data firstin firstout 弧结点 tailvex headvex info hlink tlink
图9-12 十字链表结点结构
◆ data域：存储和顶点相关的信息；
◆ 指针域firstin：指向以该顶点为弧头的第一条弧 所对应的弧结点；
◆ 指针域firstout：指向以该顶点为弧尾的第一条 弧所对应的弧结点； ◆ 尾域tailvex：指示弧尾顶点在图中的位置；
a
2 6 3 1
b 3
4 5
e
c
d
(a) 带权无向图
vexs a b c d e
∞ 6 2 ∞ ∞
6 2 ∞ ∞ 3 4 3 ∞ 1 4 3 ∞ 3 ∞ 5
∞ 3 ∞ 5 ∞
(b) 顶点矩阵 (c) 邻接矩阵 图9-6 无向带权图的数组存储
(3) 无向图邻接矩阵的特性
◆ 邻接矩阵是对称方阵； ◆ 对于顶点vi，其度数是第i行的非0元素的个数；
(b) 顶点矩阵
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
(a) 无向图
(c) 邻接矩阵
图9-5 无向无权图的数组存储
(2) 带权图的邻接矩阵
无向带权图G=(V，E) 的邻接矩阵如图9-6所示。其 元素的定义如下： Wij 若(vi , vj)E，即vi , vj邻接，权值为wij A[i][j]= ∞ 若(vi , vj)E，即vi , vj不邻接时
最小生成树例子
最小生成树例子
最小生成树是一个在图论中常见的问题，通常在计算机网络和电路设计中出现。
它是指一个连通无环图，它的一棵生成树，如果再添加任何一条边都会产生环。
以下是一个简单的最小生成树的例子：
假设我们有一个由五个节点（A、B、C、D、E）和七条边组成的网络，每条边的权重表示连接两个节点所需的成本或距离。
节点 A - B: 3
节点 A - C: 5
节点 A - D: 6
节点 B - C: 4
节点 B - D: 7
节点 C - D: 8
节点 C - E: 2
节点 D - E: 9
节点 E - A: 10
我们可以使用Kruskal算法或Prim算法找到这个图的最小生成树。
在这个例子中，最小生成树可能是：A - B - C - D - E，总权重为18。
这是所有可能的生成树中权重最小的。
需要注意的是，这个结果可能会因图的结构和使用的算法而变化。
在实际应用中，可能还需要考虑其他因素，如网络的拓扑结构、流量需求等。
数据结构15--最小生成树PPT课件
proc Union(i,j,c:longint); /*合并i和j所在集合 */
Var x,y:longint;
{ x←top(i); y←top(j); 点j所在子树的根*/
/*分别取出顶点i和顶
if x<>y Then { inc(ans,c);f[y]←x;}; /*若i 和j分属于两棵子树，则该边权计入最小生成树的权和， 两棵子树合并*/
Writeln(ans);
显然, Kruskal算法的效率取决于边数m,因此适用与
稀疏图。
.
②、Prim算法
集合A中的边总是只形成单棵树，每次添加到 树中的边都是使树的权尽可能小的边。
.
设 d[i]—顶点i与生成树相连的最短边长； ba[i]—顶点i在生成树的标志； w[i,j]—（i,j）的边长。若图中不存在边 （i,j），则w[i,j]=∞ min—所有未在生成树的顶点的最小距离 值
top←f[i]; /*返回顶点i所在并查集的代表 顶点*/ };/*top*/
.
通过过程Union(i,j,c)合并顶点i和顶点j所 在的两棵树
现有边权为c的边（i，j）。若该边的两个端点 分属于两棵树，顶点i和顶点j所在子树的根分别 为x和v，则(i,j) 加入最小生成树，合并两棵树 （即顶点i和顶点j所在的并查集）。
for j←1 to n do
if not ba[j]and(d[j]<min) then { k←j；min←d[j] }； /*then*/
if min= maxint then { ans←-1；break；}；/*若这样的顶点不存 在，则无解退出*/
ans←ans+min；ba[k]←true；/*最小距离值min计入生成树的权和, 顶点k进入生成树*/
最小生成树和最短路径 -回复
最小生成树和最短路径-回复什么是最小生成树和最短路径？如何确定它们？这两个概念通常在计算机科学中被广泛应用于解决图论中的相关问题。
在这篇文章中，我们将一步一步地回答这些问题。
首先，让我们来了解最小生成树是什么。
在图论中，最小生成树是一个连通无向图的生成树，其所有边的权重之和最小，并且包含该图的所有顶点。
生成树是一种树状结构，它是由图中所有的顶点以及它们之间的一些边组成，并且这些边必须满足以下条件：它们连接图中的不同顶点，并且不形成环。
为了更好地理解这个定义，让我们通过一个简单的例子来说明最小生成树的概念。
假设我们有一个城市网络，城市之间的路径可以用边来表示，边上的权重表示两个城市之间的距离。
现在我们的目标是建设一条最小的路径，连接这些城市，使得整个网络的总距离最小。
这条路径就是最小生成树。
那么如何确定最小生成树呢？在解决这个问题时，我们可以使用一些经典的算法，其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法是一种贪心算法，在每一步中选择一个顶点并将其加入最小生成树中，然后选择一个连通该顶点的边权重最小的顶点，将其也加入最小生成树中。
这个过程会一直重复，直到所有的顶点都被添加到最小生成树中。
克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法，它首先将所有的边按权重进行排序，然后从最小权重的边开始，依次将边添加到最小生成树中，直到所有的顶点都被连接起来。
在添加每一条边时，需要判断是否会形成环，如果会形成环，则不选择该边。
当然，最小生成树不止有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法这两种求解方法，还有其他一些算法，例如克鲁斯卡尔算法的变体Prim-Dijkstra算法和Boruvka算法等等。
每种算法都有其自身的特点和适用场景，根据具体的问题需求选择合适的算法进行求解。
接下来，让我们来了解最短路径是什么。
在一个加权有向图中，最短路径是指两个顶点之间的路径，其边的权重之和最小。
最短路径问题在计算机科学中有许多应用，例如导航系统、网络路由以及大规模数据处理等领域。
图的常用算法——最小生成树
TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7，
（V6，V3）2 ，（V3，V5）6 } LW= {（V4，V7）15
9
第六次 U={ V1，V4，V2 ，V6，V3 ，V5，V7 } TE= {（V1，V4）5，（V4，V2）3 ，（V4，V6）7， （V6，V3）2 ，（V3，V5）6}，（V4，V7）15 } LW= { }
3
5
7
20
所以最小生成树由GE数组中的1，2，3，5，7 边组成。 2012-1-10
2012-1-10
10
2012-1-10
11
（4）算法如下： Procedure Prim(GA,CT); begin for I:=1 to n-1 do { 给CT赋初值，对应第0次的LW值 } [ CT[I].from :=1 ; ct[I].end: =I+1 ; ct[I].w:=GA[1, i+1 ]; for k:=1 to n-1 do { 进行n-1次循环，求出最小生成树的第K条边 } ①[ min:=maxint ; m:=k ; for j:=k to n-1 do if ct[j].w < min then min:=ct[j].w ; m:=j; ] ② if m<> k then ct[k] 与ct[m] 的交换 { 将最短边调到第K单元 }
1. 从图“G”的选取一个顶点放到“G’” 中，因只有一个顶点，因此该图是连通 的； 2. 以后每加入一个顶点，都要加入以该点 为顶点与已连通的顶点之中的一个顶点 为端点的一条边，使其既连通而不产生 回路，进行n-1次后，就产生G’，在G’ 中有n个顶点，n-1条边且不产生回路。
二、图的最小生成树
最小生成树唯一的充要条件
最小生成树唯一的充要条件最小生成树是一种在图论中常见的概念，它是一个连通无向图中的一棵生成树，其所有边的权值之和最小。
在实际应用中，最小生成树有着广泛的应用，比如在通信网络、电力网络和交通运输等领域。
要确定一个图的最小生成树是否唯一，需要满足以下充要条件：图中的每条边的权值互不相同。
这个条件是非常重要的，因为只有当图中的每条边的权值都不相同时，才能确保最小生成树的唯一性。
如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么可能会有多个最小生成树。
为了更好地理解最小生成树唯一的充要条件，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个无向图，其中包含4个顶点A、B、C、D，以及4条边AB、AC、BC、BD。
如果这些边的权值分别为1、2、3、4，那么根据最小生成树的算法，我们可以得到唯一的最小生成树，即连接顶点A、B、C的边AB、AC。
因为在这种情况下，每条边的权值都不相同，所以最小生成树是唯一的。
相反，如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么就会出现多个最小生成树的情况。
比如，如果在上面的例子中，边AC的权值改为1，那么就会有两个最小生成树，一个是连接顶点A、B、C的边AB、AC，另一个是连接顶点A、C、D的边AC、CD。
这是因为存在两条权值相同的边AB和AC，所以会有多个最小生成树。
因此，最小生成树的唯一性与图中每条边的权值是否相同密切相关。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个充要条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
最小生成树唯一的充要条件是图中的每条边的权值互不相同。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解最小生成树的唯一性条件，为实际应用提供参考。
图论-最小生成树
图论算法二、最小生成树算法.什么是图的最小生成树（MST）？不知道大家还记不记得关于树的一个定理：N个点用N-1条边连接起来，形成的图形只可能是树，没有别的可能。
一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。
图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。
这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。
.最小生成树用来解决什么问题？就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。
例如：城市公交网建设问题[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？.1.Prim算法根据图的基本定义，一个有n个点的图，它的最小生成树必定含有n个点，（n-1）条边。
prime算法所采取的是每条向树中添加的边，都采取贪心算法选取权值最小的进行。
2).算法时间复杂度：O (N算法描述：假设从s点开始生成最小生成树（一般s都设为1），dis[v]表示从v点到已生成的树的最短路径,w[I,j]表示i到j的距离，如果i，j不相连就设为无穷大。
pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。
a)初始化：dis[v]=maxint(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; 起点s标记为未进入最小生成树; tot=0;b)For i:=1 to n1.在没有进入最小生成树的点中找一个到树的距离（dis[u]）最小的点u。
2.u标记为已经进入最小生成树3.tot = tot + dis[u];4.For 与u相连的每个未进入最小生成树的顶点v doif w[u,v]<dis[v] thenbegindis[v]:=w[u,v];pre[v]:=u;end；c)算法结束：tot为最小生成树的总权值；pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。
最小生成树算法详解
Kruskal算法的核心是使用并查集来维护连通性，当一条边的两个顶点属于不同的 连通分量时，将这条边加入到生成树中，同时将两个连通分量合并为一个连通分 量，直到所有的连通分量都被合并为一个连通分量，生成树构建完毕。
算法步骤
初始化
将所有的边按照权值从小到大排序，初始化并查集和生成树。
选择边
从最小的边开始，依次选择每一条边，如果这条边的两个顶点属于不同的连通分量，将这 条边加入到生成树中，并将两个连通分量合并为一个连通分量。
最小生成树算法详解
xx年xx月xx日
目 录
• 最小生成树概述 • 普里姆算法（Prim算法） • 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法） • 最小生成树算法比较 • 最小生成树算法实践
01
最小生成树概述
定义与性质
定义
最小生成树是一个图的所有顶点连接起来形成的树，其所有 边的权重之和最小。
性质
最小生成树是一种最优树，它代表了从图中所有顶点中选择 一些顶点，使得这些顶点之间连接的边的权重之和最小。
重复选择
重复以上步骤，直到所有的边都被考虑过，生成树构建完毕。
Kruskal算法的拓展与优化
拓展
Kruskal算法适用于任何连通的带权图，不仅限于树和森林。
优化
在实现Kruskal算法时，可以通过优化查找和排序算法来提高效率。例如，使 用并查集的路径压缩和按秩合并优化来减少查找和合并操作的时间复杂度。
01
图论
最小生成树算法是图论中的一个经典问题，需要使用图的数据结构来
表示和解决问题。
02
并查集
并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，可以高效地解决最小
生成树算法中的连通性问题。
03
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保证不形成回路
(2)TE=TE+（u0,v0), 边（u0,v0)并入TE (3)U=U+{v0}，顶点V0 并入U
特点: 以连通为主、选代价最小的邻接边
说明：Prim算法的起始点（可不写，默认为0）
翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节
奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，
【练习】请用kruskal算法找出下图最小生成树。
练习
利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 算出该最小生成树的代价
最
1
10
小
生
成
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
二
1
10
6 Prim算法
2
11
5
6
3
14 6
4
2
11
5
6
3
初始条件
点集合={u0}， TE={φ}。
5
18
4
普里姆（Prim）最小生成树算法
1
③
④
3
42
⑤
6
利用Prim演算法找最小生成树
以A点为起始点
L ：A D B C E F T ： h c d e a
A
B
C
9
8
11
8
3
9
5 3
6
11
Weight: 28 D
E
两种生成树算法比较
克鲁斯卡尔算法 ---------适合求边稀疏的网的最小生成树
普利姆算法 ---------适合求边稠密的网的最小生成树
在众多可选边中，如何选择n-1条边，使总代价最 小？这就是求该网络最小生成树问题。
32
A
54
B
36
45
16
C
21
69 47
D
40
E
32 A 16 D
B
36
C
21
E
如何构造图的最小生成树？
1
10
21 6
19
33
5
18
2
1
11
5
6 14
3 最小生成树
6
4 5
10
2
11
5
6
6
3
18
4
最
1
10
小
生
成
第五章 图
5.4 图的最小生成树
难点：生成树概念的理解 重点：普里姆算法、克鲁斯卡尔算法
图的生成树
•设无向连通图G=（V，{E}）， 其子图G’=（V，{T}）满 足： ① V(G’)=V(G) n个顶点 ② G’是连通的 ③ G’中无回路
则G’是G的生成树
•判断是否是生成树：具有n个顶点的无向连通图G （１） 必然包括n个顶点 （２） 含n-1条边 （３） 无回路/连通
本节重点
理解生成树概念 重点掌握prim算法和Kruskal算法构造网络的
的最小生成树 理解最小生成树的现实意义
【练习1】请对下图的无向带权图： （1） 按普里姆算法求其最小生成树； （2）按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树； （3）计算最小生成树的权值；
V0
6
6
V1
5
3
无向连通图的生成树举例
举例：有如下无向连通图
A
B
C
图G
D
E
F
思考题：
判断下列说法是否正确
（1）图的生成树是唯一的。
（2）在有n个顶点的无向图中，有n-1 条边的 图一定是生成树。
深度优先生成树和广度优先生成树P81
根据深度和广度优先搜索法进行遍历就可以得 到两种不同的生成树，并分别称为深度优先生 成树和广度优先生成树。
以以VV00为为起起始始点点,,广深度度优优先先遍遍历历
V0
V1
V2
VV00
VV11
VV22
V3
V4
V5
V6
VV33
VV44
VV55
VV66
V7
VV77
深广度度优优先先生生成成树树
5.4.2网络的最小生成树P82
如在果一连个通图图的是每一条个网边络或，弧称上该，网有络时中可所以有标生上成具树 中有权某值种总含和义最的小数的生值成，树这为种最边小或生弧成上树带(也权称的最图 小称代为价网生（成N树e)t。work）。
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，
V0
6
6
V1 1 V3
5 V2 5
3
2
64
V4
6
V5
V0
6
V1
V3
5 V2 5
V4 6 4V5
V0
V1 1 V3
5 V2
3
2
V4 4V5
V0
V1 1 V3
V2
3
V4
6
2
4V5
生成树的实际意义
例如：铺设煤气管道问题（图形结构） 假设要在某个城市的n个居民区之间铺设
煤气管道，则在这n个居民区之间只要铺设n-1 条管道即可。假设任意两个居民区之间都可以 架设管道，管道铺设方案。
练习 ---利用Prim算法构造最小生成树
算出该最小生成树的代价
V0
6
5
V1
5
3
1
V3
5
V2
2
6
4
V4 6 V5
利用Prim算法构造最小生成树步骤
①
6
5
1
② 5 ③5
④
36
42
⑤6 ⑥
初始化： ①
①
第1步： 1
③
①
第2步：
1
③
4
6
①
第3步：
1
③
④
42
6
①
第4步：②
5
1
③
④
42
第5步：
①6
②
5
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
一
1
10
Kruskal算法
6
2
11
5
6
3
14
1
10
2
6
起始条件：生成树只
包含图的所有11顶点。5
4
6
2
11
5
5
18
6
3
6 4
5
18
4 最小生成树不一定唯一
Kruskal算法（克鲁斯卡尔）总结
Kruskal算法步骤： 初始时，顶点={图中所有的顶点}，边={φ}。 重复下述操作：在图的边集中按权值自小至大依次选 择边，若选取的边使生成树不形成回路，则将该边加 入到生成树集合中；依次类推，直到将所有顶点都连 通（所有顶点都在同一连通分量上为止），这时产生 的具有n-1条边的一棵最小生成树。
1
V3
2
V2
2
6
4
V4
6
V5
【练习2】 所示的连通图，请分别用Prim 和Kruskal算法构造其最小生成树。
问答题
试着找出下图网G的最小生成树；
12
20
A
B
C
4
8
9
12
15
E
F
6
G
D
10
仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什