图的遍历与最小生成树

图论1——图的遍历与图的最小生成树一、图的遍历

图的遍历：从图的某顶点出发，访问图中所有顶点，并且每个顶点仅访问一次。在图中，访问部分顶点后，可能又沿着其他边回到已被访问过的顶点。为保证每一个顶点只被访问一次，必须对顶点进行标记，一般用一个辅助数组visit[n]作为对顶点的标记，当顶点vi未被访问，visit[i]值为0；当vi已被访问，则visit[i]值为1。

有两种遍历方法（它们对无向图，有向图都适用）

深度优先遍历

广度优先遍历

1、深度优先遍历

从图中某顶点v出发：

1）访问顶点v；

2）依次从v的未被访问的邻接点出发，继续对图进行深度优先遍历；

对于给定的图G=（V，E），首先将V中每一个顶点都标记为未被访问，然后，选取一个源点v V，将v标记为已被访问，再递归地用深度优先搜索方法，依次搜索v的所有邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，如果从v出发有路的顶点都已被访问过，则从v的搜索过程结束。此时，如果图中还有未被访问过的顶点（该图有多个连通分量或强连通分量），则再任选一个未被访问过的顶点，并从这个顶点开始做新的搜索。上述过程一直进行到V中所有顶点都已被访问过为止。

例：在下图中，从V0开始进行一次深度遍历的过程如图所示：

深度优先遍历得到的遍历序列为：

序列1：V0,V1,V3,V7,V4,V2,V5,V6

序列2：V0,V1,V4,V7,V3,V2,V5,V6

由于没有规定访问邻接点的顺序，深度优先序列不是唯一的。

但是，当采用邻接表存储结构并且存储结构已确定的情况下，遍历的结果将是确定的。例如：对下图（a）的邻接表存储（图b）的遍历过程如图（c）。

图a 图b

图c

DFS序列：c0 → c1→ c3→ c4→ c5→ c2

采用邻接表存储结构的深度优先遍历算法实现：

Pascal语言：

procedure dfs(g:adjgraph;i:integer);

var

p:edgenode;

begin

writeln('visit vertex:',g.adjlist[i]^.vertex);

visited[i]:=true;

p:=g.adjlist[i]^.firstedge;

while p<>nil do

begin

if not visited[p^.adjvex]then dfs(g,p^.adjvex);

p:=p^.next;

end;

end;

procedure dfstraverse(g:adjgraph);

var

i:integer;

begin

for i:=1to g.n do

visited[i]:=false;

for i:=1to g.n do

if not visited[i]then dfs(g,i);

end;

C语言：

/*********************************************************/

/* 图的深度优先遍历算法 */

/* 文件名：dfs.c 函数名：dfs()、dfstraverse() */

/********************************************************/

int visited[m];

void dfs(adjgraph g,int i)

{/*以vi为出发点深度优先遍历顶点vi所在的连通分量*/

edgenode*p;

printf("visit vertex: %c \n",g.adjlist[i].vertex);/*访问顶点i*/

visited[i]=1;

p=g.adjlist[i].firstedge;

while(p)/*从p的邻接点出发进行深度优先搜索*/

{if(!visited[p->adjvex])

dfs(g,p->adjvex);/*递归*/

p=p->next;

}

}

void dfstraverse(adjgraph g)

{/* 深度优先遍历图g */

int i;

for(i=0;i

visited[i]=0;/*初始化标志数组*/

for(i=0;i

if(!visited[i])/*vi未访问过*/

dfs(g,i);

}

图的深度优先遍历算法（邻接表表示法）

算法分析：

对于具有n个顶点和e条边的无向图或有向图，遍历算法dfstraverse对图中每个顶点至多调用一次dfs。从dfstraverse中调用dfs或dfs内部递归调用自己的最大次数为n。当访问某顶点v i时，dfs的时间主要耗费在从该顶点出发搜索它的所有邻接点上。用邻接表表示图时，需搜索第i个边表上的所有结点，因此，对所有n个顶点访问，在邻接表上需将边表中所有O（e）个结点检查一遍。所以，dfstraverse算法的时间复杂度为O（n+e）。

2、广度优先遍历

图中某未访问过的顶点v i出发：

1）访问顶点v i；

2）访问v i的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；

3）依次从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；

例如：求图G 的以V0起点的广度优先序列。

以V0起点的广度优先序列为：V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7

从C0出发的BFS序列为：c0→ c1→ c2→ c3→ c4→ c5

由于没有规定访问邻接点的顺序，广度优先序列不是唯一的。

广度优先算法：

从图中某顶点v i出发：

1）访问顶点v i ；（容易实现）；

2）访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；