试讨论下列无界区域上二重积分收敛性

1. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： （1）
⎰⎰≥++1
2222)(y x m y x d σ；（2）⎰⎰++D q p y x d )1)(1(σ
，D 为全平面； （3）
⎰⎰
≤≤++1
02
2
)
1()
,(y p
dxdy y x y x ϕ（M y x m ≤≤<),(0ϕ）.
解: (1) 显然m
y x y x f )
(1),(22+=
在}1),{(2
2≥+=y x y x D 的任何有限闭子区域D '上的二重积分存在,而
m m y x y x 22222)
(1
)(1+=+,
故当22>m ,即1>m 时,反常二重积分
σd y x f D
⎰⎰),(收敛(由柯西判别法).
(2)由于被积函数是正的,并且关于Ox 轴和Oy 轴都对称, 故
⎰⎰++D
q
p
y x
dxdy
)
1)(1(⎰
⎰
+∞
+∞
++=0
)
1)(1(4q
p
y x dxdy )1)(1(40
0⎰
⎰+∞
+∞++=q p y
dy
x dx . 由于111
lim =+⋅
∞
→p
p
x x x ,
故当1>p 时,发散; 当1=p 时,显然也发散 (
+∞=+⎰
+∞
1x
dx
). 因此
⎩⎨
⎧≤∞+>=+⎰
∞
+时
当时当，有理数1,110
p p x dx
p 同理有
⎩⎨⎧≤∞+>=+⎰
∞
+时
当时当，有理数1,110
q q y dy
q
由此知：
⎰⎰++D
q
p
y x
dxdy
)
1)(1(仅当1>p 且1>q 时收敛，其它情形均发散.
(3)由于
p
p p y x M
y x y x y x m )
1()1(),()1(222222++≤++≤++ϕ, 而广义重积分收敛必绝对收敛,即知积分
⎰⎰
≤≤++1
02
2
)
1()
,(y p
dxdy y x y x ϕ与积分
⎰⎰≤≤++1
022)1(1
y p dxdy y x 同时收敛同时发散.
由于后一积分的被积函数是正的, 故
⎰⎰⎰⎰+∞∞-≤≤++=++10221022)1()
1(p y p y x dx
dy y x dxdy ⎰⎰+∞++=10022)1(2p y x dx dy 由于10≤≤y 且0≥p 时,有
⎰⎰⎰
+∞+∞+∞
+≤++≤+020220
2)
1()1()2(p p p x dx
y x dx x dx 当10≤≤y 且0<p 时,
⎰⎰⎰
+∞+∞+∞
+≥++≥+020220
2)
1()1()2(p p p x dx y x dx x dx 所以⎰⎰⎰⎰
+∞≤≤+∞
+≤++≤+0210220
2)1(2)
1()2(2
p y p p x dx
y x dxdy x dx (若0≥p ) 若0<p ,则有相反的不等式. 对于0>a ,由于1)(1
lim 222=+⋅∞
→p
p
x x a x
,故积分⎰+∞+022)(p
x a dx ,当21>p 时收敛, 当2
1
<
p 时发散. 实际上,此积分当21=p 时也发散,因为+∞=++=+∞++∞⎰0
2202
2)
ln(x a x x a dx
.
由此可知, 积分
⎰⎰≤≤++1022)
1(y p y x dxdy
仅当21>p 时收敛. 从而积分
⎰⎰
≤≤++1
022)1()
,(y p
dxdy y x y x ϕ仅当2
1
>
p 时收敛. 2. 计算积分
⎰⎰
∞
∞
-+-∞
∞
-+dx y x e
dy y x )cos(22)
(22
解 由对称性知 ⎰⎰
∞
∞-+-∞
∞
-+=
dx y x e dy I y x
)cos(22)
(22
⎰⎰∞+-∞
+=0
22)
(0
)cos(422
dx y x e dy y x
⎰⎰∞
-=0
220
cos 42
dr r re d r πθ
⎰⎰∞
-=0
2220
cos 22
dr r e d r πθ
.
2
)]cos (sin 2
1
[220222
π
π=
-⋅=∞-r r e r
3．判别下列积分的收敛性： （1）
⎰⎰≤++1
2222)(y x m y x d σ
； （2）
⎰⎰≤+--1
2222)1(y x m y x d σ
. 解 (1)因m
y x y x f )
(1),(22+=
在有界区域}1|),{(2
2≤+=y x y x D 上除点)0,0(P 外处处有定义, )0,0(P 点为瑕点,且在点P 附近有
m
m y x y x y x f 22222))0()0((1
)(1),(-+-≤
+=
, 故有柯西判别发知:当22<m ,即 1<m 时,反常积分
⎰⎰≤++1
2222)(y x m y x d σ
收敛. (2)用极坐标,由于被积函数
m
y x )
1(1
22--是正的,故 ⎰⎰≤+--1
2222)1(y x m y x d σ
=⎰⎰⎰+-=-1020102)1()1(2)1(m m m r r rdr dr r r d πθπ 由于m
m
m m
r r r r r --→=+-⋅
-2)
1()1()1(lim 0
1故积分 ⎰+-1
0)1()1(m m r r rdr
当1<m 收敛,1>m 时发散;当1=m 时,有
+∞=--=-⎰1
021
02|)1ln(2
11r r rdr .故积分也发散.。