第7讲第2篇第4节群同态
近世代数 第7讲
第7讲§4 群的同态与群的同构 （2课时）(Homomorphism and Isomorphism of the groups)本讲的教学目的和要求:对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构.通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同,着无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.由于在第一章中,对于一般代数体系的比较问题以有了说明,这里将具体的在群里讨论同态,同构,要求同学们掌握:1、对同态(构)这种代数现象有更透彻,深沉的了解.2、对群而言,同态在传递代数性质方面会有什么新的不同和补充.3、熟悉一批常量的同态(构)的群例.本讲的重点和难点:与第一章中代数体系同态(构)不同的是,群是一个更具体的对象,故具有特殊的性质.因此,熟悉群同态中代数性质 “传递”到同态 的有关问题是本讲的重点,掌握其定理的证明方法是其难点. 本讲的教法和教具 采用启发式教学法,并继续使投影仪.注意: 根据本讲知识结构的重要,增设了 “群同构”的内容.一,群同构定义1.设{}}{o G o G ,,和都是群.如果存在双G G →:ϕ使G b a ∈∀,在G 上,都有)()()(b a b a ϕϕϕ =（即ϕ保运算）则称ϕ是同构映射.同时称G 与G 同构,记为G ≅G ,也称G 是G 的同构象.明示:对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.结论 1. 设: G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射ϕ1-:G →G 也是群的同构映射.【证明】: 由第一章已知, ϕ1-:G→G 必是双射,现须证ϕ1-能保运算即可．事实上，注意到ϕ1-ϕ＝G 1，且 ∀ a ，b ∈G ，则必存在a ，b ∈G 使ϕ()a ＝a ，ϕ()b ＝b ，且ϕ1-()a ＝a ，ϕ1-()b ＝b ．于是ϕ1-()b a ＝ϕ1-()()(b a ϕϕ )=ϕ1-))((b a ϕ==-)(1b a ϕϕ G 1==b a b a )()()(11b a --ϕϕ ∴ ϕ1-()b a =)()(11b a --ϕϕ ⇒ϕ1-保运算.即ϕ1-是同构映射.结论2 设ϕ1:G 12G → 和 ϕ2:2G 3G →都是群同构映射,那么 ϕ1ϕ2: 也是群同构映射。
同态与不变子群
第15 讲§11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不G。
由此，我们变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。
而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。
该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。
在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。
群G的同态象G可以设想是G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。
都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有非单非同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样。
上述存在的关系就是本节的重点。
为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。
4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。
所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核定义1：设G G →:ϕ是一个群同态映射，（即G b a b a ab ∈∀=,)()()( ϕϕϕ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈ϕ叫做ϕ的核，记为)(ϕKer 。
即 })(|{)(e x G x Ker =∈=ϕϕ.结论1：设G G →:ϕ是群同态映射，那么G Ker )(ϕ. 证明：设)(ϕKer N =.N e e e ∈⇒=)(ϕ .∴∅≠N . N y x G N ∈∀≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(ϕϕϕ.∴N xy ∈.N x ∈∀.e e x x ===---111))(()(ϕϕ.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈∀,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111ϕϕϕϕϕϕϕϕ∴N gxg ∈-1由上知G N 结论2：设)(ϕKer N =是G G →:ϕ的群同态映射的核，那么ϕ是单同态 }{e N ⇔.证明：N x ∈∀⇒ )(. ∴e x =)(ϕ.而显然N e ∈且e e =)(ϕ.于是 )()(e x ϕϕ=.但ϕ是单射e x =⇒.由x 的任意性知}{e N =.)(⇐ 设G y x ∈,且有e y x y x =⇒=-1)()()()(ϕϕϕϕ,即e xy =-)(1ϕ ∴ e xy e N xy =⇒=∈--11}{.即y x =. ∴ϕ是单射.二、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射N G G →:ϕ，其中：xN x =)(ϕ.证明：显然xN x G x =∈∀)(.ϕ（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯一确定的） 又因为N G aN ∈∀ ，那么ϕϕ⇒=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ϕϕϕ===∈∀∴)()()(y x xy ϕϕϕ= 即N G G →:ϕ一个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。
群同态基本定理.
( Ng1 Ng 2 ) ( Ng1 g 2 ) N ( f ( g1 g 2 )) N ( f ( g1 ) f ( g 2 )) N f ( g1 ) N f ( g 2 ) ( Ng1 ) ( Ng 2 ) (3) 单射 ( Ng1 ) ( Ng 2 ) N f ( g1 ) N f ( g 2 )
则在 f 之下 (1) G的一个子群G1的像H1是H的子群 (2) G的一个不变子群G2的像H2是H的不变子群 (3) H的一个子群H3的逆像G3是G的子群
(4) H的一个不变子群H4的逆像G4是G的不变子群
证明：(1) h1, h2 H1, g1, g 2 G1 ，使h1=f(g1) h2=f(g2)
h H , h bl 则a l G且f (a l ) bl
满态
例4 如果G和H都是有限群，其阶互素， 则只存在一个G→H的同态映射 证明：设 f 是G→H的同态映射，令k=kerf 由同态基本定理知:
|G| G / k Im f , G / k | Im f | |k| Im f G
Im f 是H的子群， 由Lagrange 定理： Im f ( G , H ) 1 Im f 1 g G, f ( g ) eH
H
例5 设G与G 群同态， N 是G 的一个不变子群， N是N 的逆像， 则 : G / N G / N (群同态基本定理的推广 形式) 证明： 令 f 为 G G 的群同态满射， 由定理5知 : N是不变子群 定义 ： G / N G / N , ( Ng ) N f ( g ), 则是一一映射 (1) 映射 (2) 同态
D2-4群的同态ppt课件
现 须 证1保 持 运 算 即 可 。
事实上，注意 1到 IG, 且a,bG,
则 必 a ,b G 存 使 (a 在 )a ， (b )b ,
且 1(a)a ， 1(b)b,于是 , 1(a b) 1((a) (b))1((ab))
Z { , 3 , 2 , 1 ,,0 ,1 ,2 ,3 , } Z { 1 n |n 0 Z } { ,1 3 ,1 0 2 ,1 0 1 ,1 0 0 ,1 0 1 ,1 0 2 ,1 0 3 , 0 }
作映 ： 射 Z ： Z ，其 (n 中 )1： n 0
显 然 ，是 双 射 。
事实上， 且 a,bG1,
21 (a b )2 (1 (a )1 (b ) )21(a)2(1(b)
21保运,算 即21是同构映. 射
结论3：
在群之间的 ”同作构为“关 “ , ” 系必 时}是2模 的 剩 余 类 U2 加 {1， 群 1}是 ， 方x程 21的 全 部 单 位 W根 {偶， ， }， 又 奇设
其 中 这 三 个数 集运 合算 上表 的分 代别 为
[0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0]
• 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
偶 奇 偶偶 奇
奇奇 偶
作 映 ： Z 射 2 U 2 ， ： 其 [0 ]1 中 ,[1 ] ： 1 ， ： U 2 W ， 其 1偶 中 1 ， ： 奇
群的一种具体实现而已。 e a G {e,a},运算表为： e e a
aa e
因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G，°}， 前面的三个二阶群中，任何一个不外都是把这个模式用某 种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。这似乎有 点举一反三，触类旁通的意味吧。
有限群的另一定义--群同态--变换群
有限群的另一定义 群同态 变换群定理1 一个有乘法的有限集G 是群⇔1、关于乘法是半群；2、消去律成立. 证明：“⇐”设G=},,{1n a a ，G b a ∈∀,,构造},,(1'n aa aa G =，由半群的定义可知G G ⊆'，由消去律,当j i aa aa j i ≠≠时，所以'G G =，即'G b ∈,所以k aa b =,即方程b ax =在G 里有解,同理方程b ya =在G 里有解，所以G 是一个群。
因此也可用半群和消去律来定义有限群。
由有限集A 的代数运算可用一个运算表给出：nmn n m m mn d d d d d d d d d a a a a a a 2122221112112121 从表上可看出代数运算的许多性质,如1、 是代数运算⇔表中所有A d ij ∈；2、 适合交换律⇔表中关于主对角线对称的元相等；3、 适合左（右)消去律⇔A 中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次；4、i a 是A 的左（右)单位元⇔i a 所在的行(列）与顶行(左列)一致；5、i j a a 是的左(右)逆元⇔j a 所在的行与i a 所在的列相交处是单位元。
因此利用运算表可以帮助我们判断一个有限集合是否构成群,但结合律的检验比较麻烦，不能从表中看出。
在第一章中，我们讨论了集合的同态映射，这里我们要在两个群中讨论同态映射。
定义：若G ,G 1是两个群，若存在一个G 到G 1的同态满射，则称G 与G 1同态。
定理2 G 是一个群，群G 与G 1对它们的乘法运算同态，则G 1也是群. 证明：设ϕ是G 到G 1的同态满射，则G x x x G y y y ∈∃∈∀3211321,,,,,使332211)(,)(,)(y x y x y x ===ϕϕϕ,所以1212121)()()(G x x x x y y ∈==ϕϕϕ；又有321321321321321)())(()()())()()(()(y y y x x x x x x x x x y y y ===== ϕϕϕϕϕϕ；由G是一个群，x ex xe G x G e ==∈∀∈∃都有使,设1')(G e e ∈=ϕ，则1G y ∈∀有y x xe e x ye ====)()()()('ϕϕϕϕ，y x ex x e y e ====)()()()('ϕϕϕϕ，所以G 1有单位元；G x G y ∈∃∈∀,1使1'11)(,)(G y x G x y x ∈=∈∃=--ϕϕ使，使''e yy =，同理''e y y =,所以G 1中每一个元都有逆元。
离散数学第七讲群、环、域
17
三、子群
定义7: 设〈G , *〉是一个群, S是G的非空子集, 并满足以 下条件: (1) 对任意a、b∈S有a * b∈S ; (2) 对任意a∈S有a-1 ∈S; (3) e∈S, e是〈G ,*〉的么元, 则称〈S ,*〉是〈G ,*〉的子群。 如 〈I ,+〉是〈R ,+〉的子群， 〈N ,+〉不是。
的群同态如果g一个子集k的每一元素都被映入h再没有其它元素映入e的同态h的核kerh形成群g如果abkerh那么habkerh即kerh对运算1kerh四群同态24定义10的子群我们称集合ah为元素ag所确定的子群称为左陪集ah的表示元素
6.7
一、群的定义和性质
群
定义1：群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算* 满足: (1) 运算*是可结合的； (2) 存在么元e (3) 对每一a∈G, 存在一个元素a-1 , 使 a-1 * a = a * a-1 = e 如 〈Q, ×, 1〉 不是群（0无逆元） 〈Q+, ×, 1〉 是群
16
二、置换群和循环群
定理11：设〈G, *〉是由g∈G生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e, G = {g, g2, g3, …, gn = e} 且n是使gn =e 证: (2) 再证{g, g2, g3, …, gn}中的元素全不相同。 若有gi= gj, 不妨设i＜j, 于是gj-i=e。 但j-i＜n, 这与n是使gn =e 由于〈G , *〉是群, 所以G= {g, g2, g3, …, gn}, 又由(1)得gn =e。 证毕。
如 〈I, +〉是阿贝尔群。
2
一、群的定义和性质
例1：①〈Q+, ×, 1〉
19代数学基础(3)同态基本定理PPT课件
16
循环群的结构
定理: 设G是由a生成的循环群, 则 1.若ord(a)=∞, 则G≌(Z, +); 2.若ord(a)=n, 则G≌(Zn, +).
17
循环群的性质
• 循环群的子群为循环群; • 设G=<a>是一个m阶循环群, k是一个正整数,
则ord(ak) = m/(k,m).
提问与解答环节
1
群同态基本定理
2
群的同态与同构
• 如果存在群G到G’的映射f, 满足 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是G到G’的同态映射;
• 如果f是一个满射, 那么称G和G’同态, 记为G ～ G’;
• 如果f是一个双射, 那么称G和G’同构, 记为G ≌G’.
3
能否对一般的子群定义商群?
• H≤G • 定义: (aH)(bH) = (ab)H ?
19
• 群G/N称为G关于其正规子群N的商群.
9
群同态基本定理
• 定理: 设f: G1→G2是群的满同态映射, 记 Ker(f) = {a∈G1|f(a)=e, e为G2的单位元}, 那么:
1.Ker(f)⊳G1; 2.G1/Ker(f) ≌ G2.
10
例子
• f: Z →Zn, f(a) = a modn • ker(f)=nZ • Z/nZ≌ Zn
11
循环群
12
循环群
• 定义: 群G是称为一个循环群, 如果存在a∈G, 对任意的b ∈G, 都存在整数i , 使得b=ai. a称 为G的生成元. G称为由a生成的群.
• 记为G=<a>
13
例子(1)
• Zn • Zn=<1>
《群同态基本定理》课件
让我们一起探索群同态的基本定理，深入理解它的性质、定义和作用。
群同态的基本概念
什么是群？
群是一种代数结构，具有封 闭性、结合律、存在单位元 和逆元。
什么是同态？
同态是一种保持代数结构相 似性的映射。
群同态是什么？
群同态是一种满足特定条件 的群之间的同态映射。
群同态的性质
群同态基本定理
1
第一同构定理
如果f是G到H的一个满同态，那么同态核
第二同构定理
2
ker(f)为G的一个正规子群，而f(G)和 G/ker(f)同构。
如果N是G的一个正规子群，那么对于G的
任意子群H，NH/N和H/(N∩H)同构。
3
第三同构定理
如果N是G的一个正规子群，那么G/N的 子群全体与G的包含N的子群全体之间存 在一个一一对应。
电路设计
在电路设计中，群同态可用于设 计编码器和解码器。
群同态的定义
1 满性
2 保持运算
对于任何一个群H，同态f: G→H必须是一对一 的。
对于任何群元素x和y，同态f(x*y) = f(x) * f(y)。
3 保持单位元
4 保持逆元
f(e) = e'，其中e是G的单位元，e'是H的单位元。
f(x^-1) = f(x)^-1。
群同态基本定理的证明
第一同构定理证明
证明有三部分：
1. 证明f(G)是H的子群； 2. 证明核心ker(f)是G的正
规子群； 3. 证明f(G)和G/ker(f)同构。
第二同构定理证明
通过证明两个同态，使得它们 的核分别为N和H∩N，利用第一 同构定理即可得证。
第三同构定理证明
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定义1：设 G 对于代数运算 是一个群。G
对于代数运算 来说是一个群。若存在
一个 G 到 G 的满射（一一映射）是同态
映射，则称G和 G 是群同态（同构）。
定理2 群G 与 G 同态， 是G 到 G 的同态满射，则
(1) (e) e
(2) (a1 ) (a)1
（3）G中元 a 的阶为n，a 的象a的阶为m，有m|n。
近世 代数
(Abstract Algebra)
主讲教师 ： 蔡 炳 苓
（河北师范大学数学与信息科学学院)
第7讲
第4节 群的同态
第4节
群的同态
设 G 是一个非空集合， 是其上一个代数
运算。除用定义证明外，问是否有其它方
法证明G 对于 来说构成群？
定义：假定 是集合 A 到 A 的一个满射，s A ，称
而在同构映射下，两个单位元相互对应，互相对应 的元的逆元也相互对应。
注：群同构是群之间一种等价关系。
1G
(1)G G;
1
(2)G1 G2 G2 G1;
1
2
21
(3)G1 G2 ,G2 G3 G1 G3 .
证明：设
G~G
,由G
是群，有结合律，则
G
也满足结合律。因此群定义中的第1,2条成立。
下证G中左单位元e的象 e 是G 的左单位元。
a G ，因为 是同态满射，存在 a G,使得
(a) a (e) (a) (ea) (a),
e (e) 是 G 的左单位元；
任意给定 G 中元 a ，证明存在左逆元。 (a1) (a) (a1a) (e) e ,
(a) (b) 10 (a) (b)
G {a, b, c}关于运算﹡做成群，其中
证明：取 G ( Z, )，作映射 :G G,
x a a,如果x 0mod 3 x a b,如果x 1mod 3 x a c,如果x 2mod 3
﹡a b c
aa b c bb c a cc a b
则它是映射且为满射，而且 x, y G,(x y) (x)( y)
由于它们运算都适合交换律，则只需验证六种情况，如
(1)x 1mod 3, y 1mod 3 x y 2mod 3
(x y) c bb (x)( y)
因此 是同态满射， G ~ G ,G 是群.
注1：定理中的G 与 G 不能对调。
例如 G 为所有奇数构成的集合，对于普 通乘法不是群。G 为单元素构成的群。
但存在 G 到 G 的同态满射.
又例如 G {全体正负奇数}， G {1, 1}
代数运算均为数的普通乘法
: 正奇数
1 ，负奇数
-1
是 G 到 G 的同态满射，G ~ G.
G 是群，而 G 不是群.
注2:定理中的同态满射的条件也是必要的. 例： G 为所有n阶可逆方阵构成的集合，G 是所有n阶方阵构成的集合，两者对于矩阵 乘法而言，嵌入映射 i : G G, A a A,AG 是同态映射但它是单射。前一个是群而后一 个不是。
(a1 ) 是 a (a) 的左逆元
G 也是群.
定理的意义在于，要验证一个集合对所指 的代数运算作成群，可找一个已知群，并 通过同态来实现。
例1：设Z是整数集合，代数运算 ：任取整
数a，b，规定
a b a b 10
则Z对于上述代数运算构成一个群。
证明：设 Z, 是整数加群。
规定映射 : Z, Z, (a) a 10Байду номын сангаас则 是满射。 同态映射 (a b) a b 10 a 10 b 10 10
s (s) {(a) | a s}
为s 在 之下的象； s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
定理1：设 G 对于代数运算 是一个群。G
与 G 对于它们的运算来说同态，即存在
一个同态满射 : G G ，则 G 对于 来说
构成群。