【新】人教版九年级数学下册 相似测试习题及答案
专项训练七 相似一、选择题1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( ) A ．1∶4 B ．1∶2 C ．1∶16 D ．无法确定2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE ＝5，则线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．20第2题图 第3题图 第4题图3．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( )A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC C ．AB 2＝AD ·AC D.AD AB ＝ABBC4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ，BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )A ．6.4mB ．7mC ．8mD ．9m5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C (1，2)、D (2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标为( )A ．(2，5)B ．(2.5，5)C ．(3，5)D ．(3，6)第5题图 第6题图 第7题图 第8题图6．(舟山中考)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A. 5B.136 C ．1 D.567．(丽水中考)如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．1.2 8．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 9．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为________．10．如图，直线l 1、l 2、…、l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F .若BC ＝2，则EF 的长是________．第10题图 第11题图11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO 等于________．12．(龙东中考)平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EF ∶FC 的值是________．三、解答题13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：AC ＝________，AB ＝________；(2)判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC 的高度．15．如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．(1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．16．★(南充中考)已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC ∽△P AM ，延长BP 交AD 于点N ，连接CM .(1)如图a ，若点M 在线段AB 上，求证：AP ⊥BN ，AM ＝AN ；(2)①如图b ，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△P AM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？(不需说明理由)②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由．参考答案与解析1．B 2.C 3.D 4.C 5.B6．D 解析：过F 作FH ⊥AE 于H .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD .∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∴DE ＝BF ，∴AF ＝3－DE .∵∠FHA ＝∠D ＝∠DAF＝90°，∴∠AFH ＋∠HAF ＝∠DAE ＋∠F AH ＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH ，∴△ADE ∽△FHA ，∴AEAF＝AD FH ，∴AE ＝AF .∵AE ＝4＋DE 2，∴4＋DE 2＝3－DE ，∴DE ＝56. 7．C 解析：∵等腰Rt △ABC 中BC ＝4，AB 为⊙O 的直径，∴AC ＝4，AB ＝42，∠D ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝45，AB ＝42，∴BD ＝285.∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE .∵AD ∶BC ＝45∶4＝1∶5，∴△ADE 和△BCE 的相似比为1∶5.设AE ＝x ，∴BE＝5x ，∴DE ＝285－5x ，∴CE ＝28－25x .∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得x ＝1.8．D 解析：由扇形相似的定义可得n πr 180n 1πr 1180＝rr 1，所以n ＝n 1，故①正确；因为∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，OA ∶O 1A 1＝k ，所以△AOB ∽△A 1O 1B 1，故②正确；因为△AOB ∽△A 1O 1B 1，所以AB A 1B 1＝OAO 1A 1＝k ，故③正确；由扇形面积公式n360·πr 2可得到④正确．9．5∶4 10.5 11.1212.23或43 解析：∵AE ＝13AD ，∴分两种情况：①当点E 在线段AD 上时，如图①所示．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝23AD ＝23BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3；②当点E 在线段DA 的延长线上时，如图②所示．同①得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶FC ＝4∶3.综上所述，EF ∶FC 的值是23或43.13．解：(1)25 210(2)相似．理由如下：△CAB 与△DEF 均为等腰直角三角形，故相似． 14．解：延长OD ，BC 交于点P .由题意得OB ＝11米，CD ＝2米，∠ODC ＝∠PDC ＝∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，∴∠P ＝30°，∴在直角△CPD 中，PD ＝CD ·tan60°＝23米，PC ＝CD ÷sin30°＝4米．∵∠P ＝∠P ，∠PDC ＝∠B ＝90°，∴△PDC ∽△PBO ，∴PD PB ＝CD OB ，∴PB ＝PD ·OB CD ＝23×112＝113(米)，∴BC ＝PB －PC ＝(113－4)米．答：路灯灯柱BC 的高度为(113－4)米．15．(1)证明：连接AD ，BC .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠P AD ＝∠PCB ，∠PDA ＝∠PBC ，∴△P AD ∽△PCB ，∴P A PC ＝PDPB，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；(2)解：连接OD ，作OE ⊥DC ，垂足为E .∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝16，PC ＝2DC ＋2.∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)，解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)，∴DE＝4.∵OD ＝5，∴OE ＝3，即点O 到PC 的距离为3.16．(1)证明：∵△PBC ∽△P AM ，∴∠PBC ＝∠P AM .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠ANP ，∴∠P AM ＝∠ANP .∵∠P AM ＋∠P AN ＝90°，∴∠ANP ＋∠P AN ＝90°，即AP ⊥BN .∵∠ABP ＝∠NBA ，∠APB ＝∠NAB ＝90°，∴△ABP ∽△NBA ，∴PB AB ＝P A AN ，∴PB P A ＝ABAN.又∵△PBC ∽△P AM ，∴PB P A ＝BC AM ，∴AB AN ＝BCAM.又∵AB ＝BC ，∴AM ＝AN ；(2)解：①点M 在AB 的延长线时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立．②选择图b ，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP .∵BC ＝1，OB ＝12，∴OC ＝52.∵AP ⊥BN ，∴点P 一定在以点O 为圆心，半径为12的半圆上(A ，B 两点除外)．如果存在点P ，那么OP ＋PC ≥OC ，则PC ≥5－12.∵5－12>12，∴不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12.。
最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A ．∠BAC ＝∠ADCB ．∠B ＝∠ACDC ．AC 2＝AD •BC D ．DC AB AC BC = 3．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm4．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EF EC CD =B ．BF EG CD AB =C ．AF BC FD GC = D ．CG AF BC AD = 5．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A．18013B．10 C．12613D．16．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN 并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：47．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D，若52BCBD，则△ABC的面积为（）A．12 B．10 C．9 D．88．如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1: 4 B．1:5 C．1:6 D．1: 79．如图，已知在ABC中，D为BC上一点，//EG BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则下列比例式正确的是（）A ．AE EF BE BD =B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC= 10．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠ 11．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1612．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．2.5B ．5C ．22D ．3二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，6,AD AE BD =⊥，垂足为,3E ED BE =，动点,P Q 分别在,BD AD 上，则AE 的值为__________，AP PQ +的最小值为_____________．14．如图，D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点，且//,DE AC AE CD 、相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =△△，则BE CE的值是________．15．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．16．在梯形ABCD 中，//AD BC ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，:1:9AOD COB S S =，那么BOC DOC S S =△△:__________．17．如图，在Rt ACB 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，N 是斜边AB 上方一点，连接BN ，点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN ，交AB 于点E ，连接DN ，交AB 于点F ，当ANF 为直角三角形时，线段AE 的长为________．18．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则CD =_________________．AF =_________________．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．20．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．三、解答题21．如图，在边长为1的55⨯的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．（1）ABC 与DEF 是否相似？请说明理由．（2）请在空白网格上画出MNP ABC △∽△，并指出相似比．（要求MNP △三个顶点都在格点上，并与ABC ，DEF 都不全等）MNP ABC △∽△，相似比为__________．22．已知：E 是矩形ABCD 的边AB 上一个动点，直线EF DE ⊥交BC 于点F ．（1）求证：ADE ∽BFE △；（2）若直线EF 经过C 点，且3AD =，10AB =，是否存在这样的点E ，使ADE 和BFE △相似？若存在，请求出AE 的长度；若不存在，请说明理由．（3）连结DF ，若3AD =，2AE =，当ADE 和EFD △相似时，则AB =______． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 如图放置，点P 是AB 边上的一点，过点P 的反比例函数(0,0)k y k x x=>>与OA 边交于点E ，连接OP ．（1）如图1，若点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,0)，且OPB △的面积为5，求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）如图2，若60AOB ︒∠=，过P 作//PC OA ，与OB 交于点C ，若12PC OE =，并且OPC 的面积为332，求OE 的长． （3）在（2）的条件下，过点P 作//PQ OB ，交OA 于点Q ，点M 是直线PQ 上的一个动点，若OEM △是以OE 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为______． 24．如图，ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点E ，交O 于点F ，连接AD ，并使AD BC ∥．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若5AC =，2BE =，求AD 的长．25．如图，在ABC 中，正方形EFGH 内接于ABC ，点E F 、在边AB 上，点G H 、分别在BC AC 、上，且2EF AE FB =⋅，（1）求证：90C ∠=︒（2）求证：AH CG AE FB ⋅=⋅．26．四边形ABCD 内接于,O AB 是直径，延长AD BC 、交于点E ；若AB BE =．（1）求证：DC DE = （2）若6,43DE CE ==AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由DE //BC 可得出53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出△ADE ∽△EFC ，根据相似三角形的性质可得出53AE DE EC FC ==，再根据CF ＝6,即可求出DE 的长度．【详解】解：∵DE //BC ， ∴53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ． 又∵∠ADE ＝∠EFC ，∴△ADE ∽△EFC ， ∴53AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6， ∴563DE =， ∴DE ＝10．故选C【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．2．D解析：D【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为AC ADBC AC=，则△ABC∽△DCA；D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当DC ABAC BC=时，不能判断△ABC∽△DCA．故选择：D．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．3．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．4．C解析：C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【详解】解：∵EF∥BC，∴AF AE=，FD EC∵EG∥AB，∴AE BG=，EC GC∴AF BC=，FD GC故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．5．A解析：A【分析】连结AM，AN，根据圆周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长；易证△AMN∽△ACD，根据相似三角形的性质即可求出MN的长．【详解】解：连结AM，AN，∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，∵AB=13，BM=5，∴22-，AB BM∵CM=9，∴AC=15，∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，∴∠MNA=∠CAD，∵∠AMN=∠ACN，∴∠AMN=∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN=CD：AC，∴12：MN=13：15，∴MN=180．13故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．6．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 7．B解析：B【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S．【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ，∴BMD CND ∽，又52BC BD =∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上， ∴2210223103k x x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：22m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为22y x =+，∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△又∵:2:5ABD ABC S S =△△， ∴55S 41022ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．8．B解析：B【分析】设△DEF 的面积为S ，分别用S 表示出△AEB ，△AOB ，△DOC 的面积，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，设△DEF的面积为S，∵DF∥AB，DE：EB=1：3，∴△ABE的面积为9S，∵EO：BO=1：2，∴△AOB的面积=△DOC的面积=6S，∴四边形FEOC的面积为6S-S=5S，∴15DEFSS EFOC=四边形=1:5，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．9．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定推出△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．【详解】A、∵EG∥BC，即EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴AE EFAB BD=，∵AB BE≠，故本选项不符合题意；B、∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴EF AFBD AD=，∵BD≠DC，故本选项不符合题意；C、∵EG∥BC，即FG∥DC，∴△AFG∽△ADC，∴AG FGAC DC=，∵AG ACAC CG≠，故本选项不符合题意；D 、∵EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ， ∴AE AG AB AC=， ∵FG ∥DC ， ∴△AFG ∽△ADC ， ∴AG FG AC DC =， ∴AE FG AB DC=，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能正确的识别图形、灵活运用定理进行推理是解此题的关键．10．C解析：C【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12AD AE AC AB ∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽ ∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 11．D解析：D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，45BAC EDA ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，B AC EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~， EF AE AE DE ∴=，即44EF DE=， 16EF DE ∴⋅=，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12．B解析：B【分析】如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得=OA OF BD BH，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt △ADH 中，226AH AD DH =-=， ∴HB=AB-AH=4，在Rt △BDH 中，2245BD DH BH +=， 设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF ⊥AB ，OJ ⊥AD ，OF=OJ ，∴OA 平分∠DAB ，∵AD=AB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ， ∴=OA OF BD BH ， ∴4OF ，∴故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．3【分析】在Rt △ABE 中利用三角形相似可求得AEDE 的长设A 点关于BD 的对称点A′连接A′D 可证明△ADA′为等边三角形当PQ ⊥AD 时则PQ 最小所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小从而可求得AP ＋P解析：3【分析】在Rt △ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ ⊥AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小，从而可求得AP ＋PQ 的最小值等于DE 的长．【详解】设BE x =，则3DE x =，∵四边形ABCD 为矩形，且AE BD ⊥， 90BAE ABE ︒∴∠+∠=，90BAE DAE ︒∠+∠=，ABE DAE ∴∠=∠，又AEB DEA ∠=∠，ABE DAE ∴∽，2AE BE DE ∴=⋅，即223AE x =，AE ∴=，在Rt ADE △中，由勾股定理可得222AD AE DE =+，即2226)(3)x =+，解得：x =3,AE DE ∴==，如图，设A 点关于BD 的对称点为A '，连接,A D PA ''， 则26,6A A AE AD AD A D ''=====，AA D '∴是等边三角形，PA PA '=,∴当A '、P Q 、三点在一条线上时，A P PQ '+最小，由垂线段最短可知当PQ AD ⊥时，A P PQ '+最小， 33AP PQ A P PQ A Q DE ''∴+=+===．故答案是：3；33．【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP ＋PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．14．【分析】先证明然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值继而可求的值最后可求的值【详解】解：又故答案是：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键 解析：14【分析】 先证明DOE COA ∽，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出DE AC 的值，继而可求BE BC 的值，最后可求BE EC 的值． 【详解】 解：//DE AC ，DOE COA ∴∽， 又:1:25DOE COA S S =△△，15DE AC ∴=，//DE AC ，BDE BAC ∴∽△△，15BE DE BC AC ∴==， 14BE EC ∴=． 故答案是：14． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．15．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】 BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；16．3：1【分析】根据在梯形ABCD 中AD ∥BC 易得△AOD ∽△COB 且S △COB ：S △AOD=9：1可求=3：1则S △BOC ：S △DOC=3：1【详解】解：根据题意AD ∥BC ∴△AOD ∽△COB ∵S △解析：3：1【分析】根据在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，易得△AOD ∽△COB ，且S △COB ：S △AOD =9：1，可求BO OD =3：1，则S △BOC ：S △DOC =3：1． 【详解】解：根据题意，AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∵S △AOD ：S △COB =1：9，∴BO OD=3：1， 则S △BOC ：S △DOC =3：1，故答案为：3：1．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．或【分析】（1）分别在中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得再根据垂直平分线的性质等边三角形的判定和性质等腰三角形的判定求得最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质全等三角形的判定 解析：6或285 【分析】（1）分别在Rt ACB ∆、Rt BDF ∆、Rt DEF ∆中应用含30角的直角三角形的性质以及勾股定理求得1EF =，2DE =，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得2BE =，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得//DM CN ，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得125BE =，最后利用线段的和差即可求得答案．【详解】解：①当90AFN ∠=︒时，如图1:∵在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC =，30ABC ∠=︒∴28AB AC ==∴2243BC AB AC∵90AFN DFB ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒∴60FDB ∠=︒ ∵23==CD DB∴132DF BD == ∴ 在Rt DEF △中，设EF x =，则22DE EF x == ∵222EF DF DE +=∴()()22223x x -= ∴1x =∴1EF =，2DE =∵DM 垂直平分线段BN∴DBDN ∵60FDB ∠=︒ ∴BDN 是等边三角形∴30FDM EDB EBD ∠=∠=∠=︒∴2BE DE ==∴826=-=-=AE AB BE ；②当90ANF ∠=︒时，连接AD 、CN 交于点O ，过点E 作⊥EH DB 于H ，如图2：设EH x =，则3BH x =，233DH x = ∵DM 垂直平分线段BN ，点D 是BC 的中点∴CD DN BD ==∵AD AD = ∴()Rt ACD Rt AND HL ≌∵AC AN =∵CD DN =∴AD 垂直平分线段CN∴90AON ∠=︒∵CD DB =，MN BM =∴//DM CN∴90ADM AON ∠=∠=︒∵90ACD EHD ∠=∠=︒∴90ADC EDH ∠+∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒∴∠=∠ADC DEH∴ACD DHE ∽ ∴AC CD DH EH =∴=x ∴65x = ∴1225==BE x ∴1228855=-=-=AE AB BE ． ∴综上所述，满足条件的AE 的值为6或285． 故答案是：6或285【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和判定、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．18．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC 的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD 的长然后连接OF 证明利用对应边成比例求出DE 和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长最终得到AF 的长解析：325【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC 的长，再用等面积法求出AD 长，在Rt ACD △用勾股定理求出CD 的长，然后连接OF ，证明ADE FOE ，利用对应边成比例求出DE 和OE 的长，再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长，最终得到AF 的长．【详解】解：∵BC 是O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∵6AB =，8AC =，∴10BC =， 利用等面积法，求出245AB AC AD BC ⋅==，在Rt ACD △中，22325CD AC AD =-=， 如图，连接OF ， ∵F 是弧BC 的中点，∴OF BC ⊥，∵AD BC ⊥， ∴//OF AD ， ∴ADE FOE ，∴AD DE FO OE=， ∵327555DO CD OC =-=-=， ∴设DE x =，75OE x =-， ∴245755x x =-，解得2435x =， ∴2435DE =，57OE =， 在Rt ADE △中，222427AE AD DE =+=， 在Rt EFO 中，222527EF EO FO =+=， ∴24225272AF AE EF =+=+=．故答案是：325；2． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．19．5或82【分析】求出BF和AO的长分为两种情况①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长再求出t即可【详解】∵AB是⊙O的直径∴∠C=90°解析：5或8.2【分析】求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长，再求出t即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，∴BF=1BC=6cm，2有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC∥EF，∵F为BC的中点，∴E为AB的中点，即E和O重合，∵AB=20cm，∴AE=AO=1AB=10cm，2∴105t==；2②当∠FEB=90°时，如图：∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB ∽△ACB ， ∴BE BF BC AB =， ∴61220BE =， 解得：BE=3.6（cm ），∵AB=20cm ，∴AE=AB-BE=16.4cm ，∴16.48.22t ==； 故答案为：5或8.2．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．20．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ∴当△ADE ∽△ABC ∴即解得：AD=3∴当△AED ∽△ABC ∴解析：163或3 【分析】 分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ，∴当△ADE ∽△ABC ，∴AB AD AC AE =， 即12164AD =， 解得：AD=3，∴当△AED ∽△ABC ，∴AB AE AC AD=， 即12416AD=， 解得：AD=163， 故答案为：163或3 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．三、解答题21．（1）ABC DEF ∽△，理由见解析；（221【分析】（1）先根据勾股定理求得每条边的长度，再根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）先画出MNP △，再根据似三角形的判定即可证明，由此可得答案．【详解】解：（1）ABC DEF ∽△，理由如下：∵在边长为1的55⨯的正方形网格上，有两个三角形，它们顶点都在格点上． ∴22112AB =+=2AC =，221310BC ，22125DE =+=221310DF =+=5EF =， ∴21055AB DE ==，10510AC DF ==10BC EF =， ∴AB AC BC DE DF EF ==， ∴ABC DEF ∽△；（2）如图，MNP ABC △∽△，理由如下：由题意可知：22222MP =+=2MN =，224225NP =+= ∴222MP AC ==，22MN AB ==25210NP BC == ∴2MP MN NP AC AB BC=== ∴MNP ABC △∽△， 2：1， 21．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）存在，1AE =或9；（3）4或132【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）设AE x =，则10BE x =-，利用相似三角形的性质，构建方程求解即可；（3）连接DF ．分两种情形：当ADE EDF ∽△时，当ADE △∽EFD △时，分别构建方程求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形∴90A B ∠=∠=︒，∵EF DE ⊥∴90DEF ∠=︒，∴AED BFE ∠=∠ ∴ADE ∽BFE △；（2）设AE x =，则10BE x =-， 由题意得：3BF BC AD ===∵ADE ∽BFE △ ∴AD AE BE BF=， ∴3103x x =- 解得：1x =或9经检验，1x =或9是分式方程的根，∴1AE =或9；（3）连接DF ．当ADE ∽EDF 时 则AD AE DE EF = ∴32DF AD EF AE == ∵ADE ∽BEF ∴32AD DE EB EF == ∵3AD =∴2BE =∴224AB AE BE =+=+=当ADE ∽EFD △时 则AD AE EF DE = ∴23DE AE EF AD == ∵ADE ∽BEF ∴23AD DE EB EF == ∵3AD = ∴92BE = ∴913222AB AE EB =+=+= 综上所述，满足条件的AB 的值为4或132 故答案为：4或132． 【点睛】 本题考查了相似三角形、矩形、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、矩形、分式方程的性质，从而完成求解．23．（1）210y x =-+，8y x =；（2）4OE =；（3）()3,3-或()53，． 【分析】 （1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，根据点B 的坐标为（5，0），且OPB △的面积为5求出PD 的长，求出直线AB 的解析式，故可得出P 点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）作EF ⊥OB 于F ，PD ⊥OB 于D ，则//EF PD ，先证明OEF CPD ∽，设OE=m ，根据相似三角形对应边成比例求得1133,,22OF OE m EF OE m ====13,,4CD m PD m ==进而求得P 的坐标，求得OC 的长，然后根据OPC 的面积为33，列出关于m 的方程，解方程求得即可． （3）先求得,E P 的坐标，再根据//,PQ OB 设(),3,M x 分两种情况讨论，当90MOE ∠=︒，90OEM ∠=︒， 再利用勾股定理列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）如图1，过点P 作PD ⊥OB 于点D ，∵点B 的坐标为（5，0）， OPB △的面积为 5，∴152OB PD =， 552PD ∴=， 解得：PD=2， 设直线AB 的解析式为 y=ax+b （a≠0），∵A （3，4），B （5，0），∴ 3450a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：210a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为210y x =-+，当y=2时，-2x+10=2，解得x=4，∴P （ 4，2），∵点P 的反比例函数k y x =（x ＞0）上， ∴2=4k ，解得：k=8， ∴反比例函数的解析式为：8y x =； （2）如图2，作EF ⊥OB 于F ，PD ⊥OB 于D ，则//EF PD ，∵//PC OA ， 12PC OE =∴OEF CPD ∽， ∴2OF EF OE CD PD CP===， 设OE=m ， ∵∠AOB=60°， ∴1133,,2222OF OE m EF m ==== ∴13,,44CD m PD m == ∴13,22E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，P 的纵坐标为34m ， ∵E 、P 都是反比例函数k y x =（k ＞0，x ＞0）上的点， ∴设P 的横坐标为x ，则 1332m m =， x m ∴=，∴OD=m ， ∴1344OC OD CD m m m =-=-=， ∵OPC 的面积为332， ∴13322OC PD =，即 13333,2442m m ⨯⨯= 解得：m=4，（负根舍去）∴OE=4．（3）∵()223E ，， ()43,P ， //,PQ OB 如图3，当∠EOM=90°时，设(),3,M x由222,OM OE ME += ()()()()22222232232323,x x ∴+++=-+- 412,x ∴-=3,x ∴=-()33,M ∴-，如图4，当∠OEM=90°时，由222,OE EM OM += (()222222232333,x x ∴++-+=+ 420,x ∴-=-5,x ∴=(53.M ∴，∴M 的坐标为(3-或(53，．故答案为：()3,3-或()53，．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）连接AO 后交DC 于点H ，交BC 于点G ，由垂径定理可知AG ⊥BC ，然后根据互余关系得到∠HAE=∠HCG ，然后利用平行关系得到∠ADE=∠HCG=∠HAE ，等量代换后可得∠HAE +∠EAD=90°；（2）根据AC 和BE 可算出AE ，然后在Rt △AEC 中算出EC ，然后证明△AED ∽△BEC ，然后利用比例关系算出DE ，在Rt △AED 中计算AD 即可．【详解】 解：（1）如图，连接AO 交DC 于点H ，交BC 于点G ，则AG ⊥BC∵AG ⊥BC ，AB ⊥DC ，∠AHE=∠CHG∴∠HAE=∠HCG∵AB ⊥DC∴∠ADE+∠EAD=90°∵AD ∥BC∴∠ADE=∠HCG=∠HAE∴∠HAE +∠EAD=90°∴AD 为O 的切线 （2）∵AC=AB ，AC=5，BE=2∴AE=3在Rt △AEC 由勾股定理可得：22=4EC AC AE -=∵AD ∥BC∴△AED ∽△BEC ∴BE EC AE DE= ∴DE=6 在Rt △AED 由勾股定理可得：22AD=35DE AE +=【点睛】本题主要考查圆的相关定理，掌握切线的证明方法，灵活转化角关系是证明切线的关键，在圆中计算线段长度，找准相似三角形，结合勾股定理，是解题的关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由已知可得RT △AEH ∽RT △GFB ，从而可得∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，进一步得到∠C=180°-90°=90°；（2）根据由（1）所得RT △AEH ∽RT △HCG 的性质和已知条件可以得到解答．【详解】（1）证明：由已知，EF=EH=GF ，∴由2EF AE FB =⋅可得：AE EF EF FB =，即AE EH GF FB=， 又四边形 EFGH 是正方形 ，∴∠AEH=∠GFB=90°,∴RT △AEH ∽RT △GFB ，∴∠A=∠FGB ，∴∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，∴∠C=180°-90°=90°； （2）∵四边形 EFGH 是正方形 ，∴HG ∥AB ，∴∠A=∠CHG ，又∠AEH=∠C=90°，∴RT △AEH ∽RT △HCG ， ∴,?·AH EH AH CG HG EH HG GC==， 由已知得：EF=EH=GH ，∴2··AH CG EF AE FB ==．【点睛】本题考查正方形与相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题关键．26．（1）见详解；（2）【分析】（1）根据四边形ABCD 内接于O ，∠BCD+∠ECD=180°，得出∠BAD=∠ECD ，再根据AB=EB ，可得∠BED=∠ECD ，即可得证； （2）连接OD ，先求出AE ，然后证明△BAE ∽△DCE ，根据CE AE =DE BE ，即CE AE =DE BC+CE，求出BC ，即可求出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD 内接于O ， ∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠ECD=180°，∴∠BAD=∠ECD ，∵AB=EB ，∴∠BAD=∠BED ，∴∠BED=∠ECD ，∴DC=DE；（2）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠BAE=∠E，∴∠ODA=∠E，∴OD∥BE，∵O是AB中点，∴D为AE中点，∴DA=DE=6，∴AE=12，∵∠BAD=∠ECD，∠E=∠E，∴△BAE∽△DCE，∴CEAE =DE BE，∴CEAE =DEBC+CE，即为312BC+43解得BC=23∴BE=BC+CE=63∴AB=BE=3【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．。
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。
(完整版)人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案,推荐文档
(第 3 题) 相似三角形与反比例函数 4．如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为
1 DE＝2BC.
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(第 3 题)
4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为 AB 的中点，CE∥AB，CE 交 DM 的延 长线于 E.
求证：AC＝2CE.
(第 4 题)
证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5．如图，已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上一点，连接 CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接 CE，AE.求证：AE∥BC.
k (2，3)，双曲线 y＝x(x>0)经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE.
(1)求 k 的值及点 E 的坐标； (2)若点 F 是 OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线 FB 对应的函数解析 式．
(第 4 题)
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
(第 1 题) 2．如图，一直线和△ABC 的边 AB，AC 分别交于点 D，E，和 BC 的延长线交 于点 F，且 AECE＝BFCF. 求证：AD＝DB.
(第 2 题) 类型2：证明两线段的倍分关系
我去人3也．如就图，有在人△AB！C 中为，BUD⊥R扼AC 于腕点入D，站CE⊥内AB 信于点不E，存∠A在＝6向0°，你求偶证：同意调剖沙
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人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A ．18013B ．10C ．12613D ．13．下列各组线段能成比例的是（ ）A ．1.5cm ，2.5cm ， 3.5cm ，4.5cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ， 6cm ， 4cm ， 8cmD ．2cm ，10cm ，5cm ，15cm 4．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（ ）A 23B 23C 63D 436．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 7．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+48．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ） A ．5(5-1) B ．5(5+1) C ．10(5-2) -D ．5(3-5) 9．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1610．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG = 11．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．2.5B ．5C ．22D ．312．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）A ．ADC ACB ∠=∠B ．ABC ACD ∠=∠ C ．AD AC AC AB= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅ 二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．14．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．15．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b 的值为_______． 16．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．17．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．18．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 19．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．20．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．22．如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？23．下图是由边长为1的小正方形组成的5×4网格，A 、B 、C 、D 、E 、F 、P 、Q 均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法. （1）在线段AB 上找到一点M ，使△AQM ≌△BPM.（2）在线段CD 上找点N ，使△ECN ∽△FDN.24．如图，ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点E ，交O 于点F ，连接AD ，并使AD BC ∥．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若5AC =，2BE =，求AD 的长．25．△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使其位似比为1：2．且△A 1B 1C 1位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C 2．26．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；（2）请证明你找到的点是黄金分割点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．2．A解析：A【分析】连结AM，AN，根据圆周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长；易证△AMN∽△ACD，根据相似三角形的性质即可求出MN的长．【详解】解：连结AM，AN，∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，∵AB=13，BM=5，∴22，AB BM∵CM=9，∴AC=15，∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，∴∠MNA=∠CAD，∵∠AMN=∠ACN，∴∠AMN=∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN=CD：AC，∴12：MN=13：15，∴MN=180．13故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D≠，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．D解析：D【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；D、无法判断三角形相似．故选：D．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．C解析：C【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到B DE AB DF F =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2， ∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23∵E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ，∴DE ∥AB ，∴BDE AB DF F =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴23DF FB =， 2332BF =-， 解得，BF 63 故选：C ．本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．6．C解析：C【分析】过D作DG∥AC交BE于G，易证△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G，则△BDG∽△BCE，∴DG BDCE BC=，∵1BD BCn=，∴1DG BDCE BC n==，∵1AE ACm=，∴1mCE ACm-=,∴DG=11mCE ACn mn-⋅=∵DG∥AC，∴△DGF∽△AEF，∴111mACDF DG mmnAF AE nACm--===，∴1AD m nAF n+-=，即1AF nAD m n=+-，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的定义得到AP=512-AB ，然后把AP=8代入后可求出AB 的长． 【详解】∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP=512-AB ， ∴AB=()845145451⨯=+=+-（cm ）， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=51-AB ．并且线段AB 的黄金分割点有两个． 8．C解析：C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知51PB AQ AB AB -== ∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =51105552⨯=， ∴PQ =AQ +PB －AB =555555101052010(52)+-==．故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．9．D解析：D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，45BAC EDA ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，B AC EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~，EF AE AE DE ∴=，即44EF DE=， 16EF DE ∴⋅=，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．D解析：D【分析】通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD，即可求解． 【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠BCD +∠ABC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ABC ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=， 故A 选项不合题意；∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD= 故B 选项不合题意；∵AF ⊥BG ，∴∠AFB ＝90°，∴∠FAB +∠GBA ＝90°，∵∠GDB ＝90°，∴∠G +∠GBA ＝90°，∴∠G ＝∠FAB ，又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD， ∴AD •BD ＝DE •DG ，∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∴CD 2＝AD •BD ，∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG=， 故C 选项不合题意；∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．11．B解析：B如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得=OA OF BD BH，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt △ADH 中，226AH AD DH =-=， ∴HB=AB-AH=4，在Rt △BDH 中，2245BD DH BH +=， 设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF ⊥AB ，OJ ⊥AD ，OF=OJ ， ∴OA 平分∠DAB ，∵AD=AB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴=OA OF BD BH ， ∴445OF ， ∴5故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应【详解】∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．二、填空题13．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定解析：3【分析】证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵21AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴===． ∴3BCF DGF S BF S DF==． 故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．14．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】 BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；15．6【分析】由等式可用a 表示出b 代入求值即可【详解】解：∵5a=6b （a≠0）∴b=a ∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b 是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a 表示出b ，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b （a≠0），∴b=56a ， ∴1651--66a ab a a a ===， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．16．【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB 由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积进而可求出△AOB 的面积则k 的值也可求出【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB解析：18【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积，进而可求出△AOB 的面积，则k 的值也可求出．【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点， ∴11,23AN AN AM AO ==， ∴14ANQ AMP SS =， ∵四边形MNQP 的面积为3， ∴314ANQ ANQ S S =+， ∴S △ANQ ＝1，∵2119AOB AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △ANQ ＝1是解题的关键．17．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE 的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ，∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE S AB S CE ==BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．18．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（ 解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．19．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴解析：163或3【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 20．或【分析】根据△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似∴△PDC 是直角三 解析：12a 或13a 【分析】 根据△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，∴△PDC 是直角三角形，当90DPC ∠=︒时，∴90APD BPC ∠+∠=︒，∵90BPC BCP ∠+∠=︒，∴APD BCP ∠=∠，∵90A B ∠=∠=︒，∴△△APD BCP ，当△△APD PDC 时，∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；当△△APD PCD 时，∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，∴PCD BCP ∠=∠，过点P 作PM CD ⊥于M ，∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，在△PAD 和△PMD 中，A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PAD PMD ≅，∴PA=PM ，在△PBC 和△PMC 中，B PMC BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PBC PMC ≅，∴PB=PM ， ∴12PA PB AB ==， ∵AB a ， ∴12AP a =； 当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADPDCP BCP 时，60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，∴30ADP ∠=︒， ∴12AP PD =， 在△DPC 和△BPC 中，PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△DPC BPC ≅，∴PD=PB ， ∴12AP PB =， ∴1133AP AB a ==； ∴AP 的长为12a 或13a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键．三、解答题21．（1）2722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．【详解】解：（1）令0x =，得1222y x =-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022x =-，解得4x =， 则()4,0A ，把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中， 得16402b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得722b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为：2722y x x =--． （2）∵//PM y 轴，∴90ADC ∠=︒，∵ACD BCP ∠=∠，∴以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当90CBP ∠=︒时，如图，过P 作PN y ⊥轴于N ，∵90ABO PBN ABO OAB ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBN OAB ∠=∠，∵90AOB BNP ∠=∠=︒，∴Rt PBNRt BAO △△， ∴PN BN BO AO=． 设27,22P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴2722224x xx⎛⎫----⎪⎝⎭=，化简得232x x-=．解得0x=（舍去）或32x=．当32x=时，2273732252222y x x⎛⎫=--=-⨯-=-⎪⎝⎭．∴3,52P⎛⎫-⎪⎝⎭；②当90CPB∠=︒时，如下图，则//PB x轴，所以B和P是对称点，所以当2y=-时，27222x x--=-，解得0x=（舍去）或72x=．∴7,22P⎛⎫-⎪⎝⎭．综上，点P的坐标是3,52⎛⎫-⎪⎝⎭或7,22⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）设点A关于y轴的对称点为'A，则'A B AB=．∴'BAO B AO∠=∠．直线'A B交抛物线于P．∴'2PBA BAO BA O BAO∠=∠+∠=∠．∵()4,0A，∴()'4,0A-．设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．∵()0,2B -．∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩． 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．∴直线'A B 的解析式为122y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．当3x =时，117232222y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．22．（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM ∽△ABD ，得到MP AP BD AB=再由它可以求出AB ； （2）设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F 则BF 即为此时他在路灯AC 的影子长，容易知道△EBF ∽△CAF ，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP ＝BQ ，设AP ＝BQ ＝x m ，∵MP ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴MP AP BD AB = ， ∴1.69.6＝212x x +， 解得x ＝3，∴AB ＝2x ＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F ，则BF 即为此时他在路灯AC 下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．23．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接PQ,AB 交点即为所求；（2）找到F 点关于CD 的对称点F’，连接CD,EF’，交点即为所求．【详解】（1）如图，M 点为所求；（2）如图，N 点为所求．【点睛】此题主要考查网格中作图，解题的关键是熟知熟知网格的特点、对称性、全等三角形与相似三角形的判定方法．24．（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）连接AO 后交DC 于点H ，交BC 于点G ，由垂径定理可知AG ⊥BC ，然后根据互余关系得到∠HAE=∠HCG，然后利用平行关系得到∠ADE=∠HCG=∠HAE，等量代换后可得∠HAE +∠EAD=90°；（2）根据AC和BE可算出AE，然后在Rt△AEC中算出EC，然后证明△AED∽△BEC，然后利用比例关系算出DE，在Rt△AED中计算AD即可．【详解】解：（1）如图，连接AO交DC于点H，交BC于点G，则AG⊥BC∵AG⊥BC，AB⊥DC，∠AHE=∠CHG∴∠HAE=∠HCG∵AB⊥DC∴∠ADE+∠EAD=90°∵AD∥BC∴∠ADE=∠HCG=∠HAE∴∠HAE +∠EAD=90°∴AD为O的切线（2）∵AC=AB，AC=5，BE=2∴AE=3在Rt△AEC由勾股定理可得：22-=EC AC AE=4∵AD∥BC∴△AED∽△BEC∴BE EC=AE DE∴DE=6在Rt△AED由勾股定理可得：22+=DE AEAD=35【点睛】本题主要考查圆的相关定理，掌握切线的证明方法，灵活转化角关系是证明切线的关键，在圆中计算线段长度，找准相似三角形，结合勾股定理，是解题的关键．25．（1）图见解析；（3，﹣3）；（2）图见解析．【分析】（1）首先找到A、B、C点对应点A1、B1、C1，然后连接即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1所作，点A 1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作．【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．26．（1）图见解析；（2）见解析【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，AC=225AB BC a +=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．【详解】（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，∴225AB BC a +=，∵CD=BC=a ，∴5a -a ，∵2222=-=-，222(2)6AB BE a a a a⋅=⋅+=-，aAE a6)∴2=⋅，AE BE AB∴点E是线段AB的黄金分割点．【点睛】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．。
人教版数学九年级下《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)
人教版数学九年级下《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题〔本大题共10小题，共30.0分〕1.如图，在△ABC中，点P在边AB上，那么在以下四个条件中：：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP⋅AB；④AB⋅CP=AP⋅CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是()A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③2.以下4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，那么在网格图中的三角形与△ABC相似的是()A. B. C. D.3.如下图，每个小正方形的边长均为1，那么以下A、B、C、D四个图中的三角形(阴影局部)与△EFG相似的是()A. B. C. D.4.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，假设要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE的长为()A. 83B. 32C. 3D. 83或325.如图，在正方形ABCD中，点E，F区分在BC，CD上，且∠EAF=45∘，将△ABE绕点A顺时针旋转90∘，使点E落在点处，那么以下判别不正确的选项是()A. △AEE′是等腰直角三角形B. AF垂直平分C. △E′EC∽△AFDD. △AE′F是等腰三角形6.如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，以下条件中不能判别△ABC∽△AED的是()A. ADAB =AEACB. ADAE =ACABC. ∠ADE=∠CD. ∠AED=∠B7.如图，点D，E区分在△ABC的AB，AC边上，添加以下条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③AEAB =DEBC，④ADAC=AEAB，⑤AC2=AD⋅AE，使△ADE与△ACB一定相似的有()A. ①②④B. ②④⑤C. ①②③④D. ①②③⑤8.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点动身到B点止，动点E从C点动身到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.假设两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()A. 4或4.8B. 3或4.8C. 2或4D. 1或69.如图，在△ABC中，∠A=78∘，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A. B.C. D.10.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，那么以下结论中错误的选项是()A. AF=12CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有4个D. tan∠CAD=√22二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕11.如图，△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为______ 时，△ADP和△ABC相似．12.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E区分为边AB、AC上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：______，可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)13.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=______时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．14.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点p在BD上移动，当PB=______ 时，△APB和△CPD相似．15.如图，在△ABC中，点E，F区分在AB，AC上，假定△AEF∽△ABC，那么需求添加的一个条件是______(写出一个即可)16.如图，△ABC中，D、E区分是AB、AC边上一点，衔接DE.请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，那么你添加的这一个条件可以是______(写出一个即可)．17.如下图，△ABC中，E，F区分是边AB，AC上的点，且满足AEEB =AFFC=12，那么△AEF与△ABC的面积比是______ ．18.在△ABC中，AB=3，AC=2，E是边AB上一点，且AE=1，假定F是AC边上的点，且以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF的长为______．19.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，那么MN=______ ．20.如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是______．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕21.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，衔接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．22.如图，在△ABC中，D、E区分是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．(1)请你直接写出图中一切的相似三角形；(2)求AG与GF的比．23.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足区分为B、D，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，试回答图中，△DEF∽△______ ，△BEF∽△______ ，△ABE∽△______ ．24.在图中，△ABC的外部任取一点O，衔接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延伸线上区分取点D、E、F，使ODOA =OEOB=OFOC=12，画出△DEF.你以为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你以为它们也具有位似形的特征吗？四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕25.如下图，∠C=90∘，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B动身，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C动身沿CA向点A以1cm/s的速度移动，假设P、Q 区分从B 、C 同时动身，过多少时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似？26. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AC 2=AB ⋅AD ，∠ADC =90∘，E 为AB的中点．(1)求证：△ADC∽△ACB ；(2)CE 与AD 有怎样的位置关系？试说明理由；(3)假定AD =4，AB =6，求ACAF 的值．答案和解析【答案】 1. D 2. B 3. B 4. D5. D6. A7. A8. B 9. C 10. C11. 4或912. DF//AC ，或∠BFD =∠A13. 125或5314. 8.4cm 或12cm 或2cm 15. EF//BC 16. ∠ADE =∠B 17. 1：9 18. 23或3219. 4或6 20. 321. 证明：①∵正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，∴∠ADC =∠EDF =90∘，AD =CD ，DE =DF ， ∴∠ADE +∠ADF =∠ADF +∠CDF ， ∴∠ADE =∠CDF ， 在△ADE 和△CDF 中， {DE =DF∠ADE =∠CDF DA =DC， ∴△ADE≌△CDF ；②延伸BA 到M ，交ED 于点M ， ∵△ADE≌△CDF ，∴∠EAD =∠FCD ，即∠EAM +∠MAD =∠BCD +∠BCF ， ∵∠MAD =∠BCD =90∘， ∴∠EAM =∠BCF ， ∵∠EAM =∠BAG ， ∴∠BAG =∠BCF ，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．22. 解：(1)△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；(2)∵AEAB =46=23，ADAC=23，∴AEAB =ADAC，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG∽△ACF，∴AGAF =ADAC=23，∴AGGF=2．23. DAB；BCD；DCE24. 解：相似.如图，∵ODOA =OEOB，∠AOE=∠BOD，∴△DOE∽△AOB，∴DEAB =ODOA=12，同理EFBC =FDCA=DEBA=12，∴△DEF∽△ABC，它们也具有位似形的特征．25. 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．∵CP=BC−BP=8−2y，CB=8，CQ=y，CA=6．∵△CPQ∽△CBA，∴CPCB =CQCA，∴8−2y8=y6∴y=2.4设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．∴CP=BC−BP=8−2y．∵△CPQ∽△CAB，∴CPCA=CQCB∴8−2y6=y8∴y=3211所以，经过2.4秒或许经事先3211两个三角形都相似26. 解：(1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，又∵AC2=AB⋅AD，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB；(2)CE//AD，理由：∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB=∠ADC=90∘，又∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAE，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD；(3)∵AD=4，AB=6，CE=12AB=AE=3，∵CE//AD，∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，∴△CEF∽△ADF，∴CFAF =CEAD=34，∴ACAF =74．【解析】1. 解：当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP⋅AB，即AC：AB=AP：AC，∵∠A=∠A所以△APC∽△ACB；当AB⋅CP=AP⋅CB，即PC：BC=AP：AB，而∠PAC=∠CAB，所以不能判别△APC和△ACB相似．应选D．依据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②停止判别；依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④停止判别．此题考察了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．2. 解：依据勾股定理，AB=√22+22=2√2，BC=√2，所以，夹直角的两边的比为√22=2，观各选项，只要B选项三角形契合，与所给图形的三角形相似．应选：B．可应用正方形的边把对应的线段表示出来，应用三边对应成比例两个三角形相似，区分计算各边的长度即可解题．此题考察了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，此题中依据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．3. 解：∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG=√2，FG=2，EF=√1+32=√10，A中，一边=3，一边=√2，一边=√1+22=√5，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故A 错误；B 中，一边=1，一边=√2，一边=√22+1=√5， 有√21=√2=√10√5，即三边与△EFG 中的三边对应成比例，故两三角形相似.故B 正确；C 中，一边=1，一边=√5，一边=2√2，三边与△EFG 中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故C 错误；D 中，一边=2，一边=√5，一边=√32+22=√13，三边与△EFG 中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故D 错误． 应选：B ．依据相似三角形的判定，易得出△EFG 的三边的边长，故只需区分求出各选项中三角形的边长，剖析两三角形对应边能否成比例即可．此题考察了相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要留意正确找出两三角形的对应边、对应角，可应用数形结合思想依据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.此题中把假定支线段的长度用同一线段来表示是求线段能否成比例时常用的方法．4. 解：∵∠A 是公共角， ∴当AEAB =ADAC，即AE 8=26时，△AED∽△ABC ， 解得：AE =83；当AEAC =ADAB ，即AE6=28时，△ADE∽△ABC ， 解得：AE =32， ∴AE 的长为：83或32． 应选D ．由∠A 是公共角，区分从当AEAB =ADAC ，即AE8=26时，△AED∽△ABC 与当AEAC =ADAB ，即AE6=28时，△ADE∽△ABC ，去剖析求解即可求得答案．此题考察了相似三角形的判定.留意分类讨论思想的运用．5. 解：∵将△ABE 绕点A 顺时针旋转90∘，使点E 落在点处， ∴AE′=AE ，∠E′AE =90∘，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A 正确；∵将△ABE 绕点A 顺时针旋转90∘，使点E 落在点处， ∴∠E′AD =∠BAE ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB =90∘， ∵∠EAF =45∘，∴∠BAE +∠DAF =45∘， ∴∠E′AD +∠FAD =45∘， ∴∠E′AF =∠EAF ， ∵AE′=AE ， ∴AF 垂直平分，故B 正确； ∵AF ⊥E′E ，∠ADF =90∘，∴∠FE′E +∠AFD =∠AFD +∠DAF ， ∴∠FE′E =∠DAF ，∴△E′EC∽△AFD ，故C 正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；应选D．由旋转的性质失掉AE′=AE，∠E′AE=90∘，于是失掉△AEE′是等腰直角三角形，故A 正确；由旋转的性质失掉∠E′AD=∠BAE，由正方形的性质失掉∠DAB=90∘，推出∠E′AF=∠EAF，于是失掉AF垂直平分，故B正确；依据余角的性质失掉∠FE′E=∠DAF，于是失掉△E′EC∽△AFD，故C正确；由于AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，于是失掉△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误．此题考察了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．6. 解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当ADAC =AEAB即ADAE=ACAB时，△ABC∽△AED．应选：A．依据相似三角形的判定定理停止判定即可．此题考察了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．7. 解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，①正确；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，②正确；∵∠A=∠A，ADAC =AEAB，∴△ADE∽△ACB，④正确；由AEAB =DEBC，或AC2=AD⋅AE不能证明△ADE与△ACB相似．应选：A．由两角相等的两个三角形相似得出①②正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出④正确；即可得出结果．此题考察了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)假设一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8. 解：依据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①假定△ADE∽△ABC，那么AD：AB=AE：AC，即x：6=(12−2x)：12，解得：x=3；②假定△ADE∽△ACB，那么AD：AC=AE：AB，即x：12=(12−2x)：6，解得：x=4.8；所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．应选B．依据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似方式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．此题考察了相似三角形的性质，解题时要留意此题有两种相似方式，别漏解；还要留意运用方程思想解题．9. 解：A、阴影局部的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影局部的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；应选：C．依据相似三角形的判定定理对各选项停止逐一判定即可．此题考察的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10. 解：A、∵AD//BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFFC，∵AE=12AD=12BC，∴AFFC =12，故A正确，不契合题意；B、过D作DM//BE交AC于N，∵DE//BM，BE//DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM//BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不契合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C错误．D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有ba =a2b．∵tan∠CAD=CDAD =ba=√22，故D正确，不契合题意．应选C．由AE=12AD=12BC，又AD//BC，所以AEBC=AFFC=12，故A正确，不契合题意；过D作DM//BE交AC于N，失掉四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，失掉CN=NF，依据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不契合题意；依据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不契合题意；由△BAE∽△ADC，失掉CD与AD的大小关系，依据正切函数可求tan∠CAD的值，故D 错误，契合题意．此题考察了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅佐线是解题的关键．11. 解：当△ADP∽△ACB 时，∴AP AB =AD AC ， ∴AP 12=68，解得：AP =9，当△ADP∽△ABC 时，∴AD AB=AP AC ， ∴612=AP 8，解得：AP =4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为：4或9．区分依据当△ADP∽△ACB 时，当△ADP∽△ABC 时，求出AP 的长即可．此题主要考察了相似三角形的判定与性质，应用倒推法以及分类讨论得出是解题关键． 12. 解：DF//AC ，或∠BFD =∠A ．理由：∵∠A =∠A ，AD AC =AE AB =13，∴△ADE∽△ACB ，∴①事先DF//AC ，△BDF∽△BAC ，∴△BDF∽△EAD ．②事先∠BFD =∠A ，∵∠B =∠AED ，∴△FBD∽△AED ．故答案为DF//AC ，或∠BFD =∠A ．结论：DF//AC ，或∠BFD =∠A.依据相似三角形的判定方法逐一证明即可．此题考察相似三角形的判定和性质.平行线的性质等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识处置效果，属于中考常考题型． 13. 解：事先AE AD =AB AC ，∵∠A =∠A ，∴△AED∽△ABC ，此时AE =AB⋅AD AC =6×25=125； 事先AD AE =AB AC ，∵∠A =∠A ，∴△ADE∽△ABC ，此时AE =AC⋅AD AB=5×26=53； 故答案为：125或53．假定A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，那么AE AD =AB AC 或AD AE =AB AC ，分状况停止讨论后即可求出AE 的长度．此题考察了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种状况停止讨论．14. 解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，设BP=xcm，那么PD=(14−x)cm，假定△ABP∽△PDC，那么ABPD =614−x，即614−x =x4，变形得：14x−x2=24，即x2−14x+24=0，因式分解得：(x−2)(x−12)=0，解得：x1=2，x2=12，所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；假定△ABP∽△CDP，那么ABCD =BPDP，即64=x14−x，解得：x=8.4，∴BP=8.4cm，综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．故答案为：8.4cm或12cm或2cm．设出BP=xcm，由BD−BP=PD表示出PD的长，假定△ABP∽△PDC，依据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可失掉x的值，即为PB的长．此题考察了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，此题属于条件开放型探求题，其解法：相似于剖析法，假定结论成立，逐渐探求其成立的条件．15. 解：事先EF//BC，△AEF∽△ABC．故答案为EF//BC．应用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似停止添加条件．此题考察了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．16. 解：∵∠DAE=∠BAC，∴事先∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．应用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．此题考察了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．17. 解：∵AEEB =AFFC=12，∴AEAB =AFAC=13，又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的面积比=1：9，故答案为：1：9．由条件易证△AEF∽△ABC ，依据相似三角形的性质即可求出△AEF 与△ABC 的面积比． 此题考察了相似三角形的判定和性质，熟习相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键．18. 解：∵∠A =∠A ，∴以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，有△ABC∽△AEF 和△ABC∽△AFE 两种状况：①如图1：事先AE AB =AF AC ，△ABC∽△AEF 时，即13=AF 2，解得：AF =23； ②如图2：事先AE AC =AF AB ，△ABC∽△AFE 时，即12=AF 3，解得：AF =32． 所以AF =23或32．故答案为23或32． 依据相似三角形的相似比求AF ，留意分状况思索．此题考察了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，分状况讨论是处置此题的关键．19. 解：如图1，事先MN//BC ，那么△AMN∽△ABC ，故AM AB =AN AC =MN BC ， 那么39=MN12，解得：MN =4，如图2所示：事先∠ANM =∠B ，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴AMAC =MNBC，即36=MN12，解得：MN=6，故答案为：4或6．区分应用事先MN//BC以及事先∠ANM=∠B，得出相似三角形，再应用相似三角形的性质得出答案．此题主要考察了相似三角形判定，正确应用分类讨论得出是解题关键．20. 解：AB=1，AC=√2，BC=√12+22=√5，CD=1，BD=2√2，DE=2，BF= EF=√5，BE=2√5，FH=2，EK=HG=√2，FG=√12+32=√10，BG=5，∵BCAB =√51，CDAC=2，BDBC=√2√5，∴△CDB与△ABC不相似；∵DEAB =21，DBAC=√2√2=2，BEBC=√55=2，∴△DEB∽△ABC；∵BFAB =√51，FGAC=√10√2=√5，BGBC=√5=√5，∵△FBG∽△ABC；∵HGAB =√21，HFAC=√2=√2，FGBC=√10√5=√2，∴△HGF∽△ABC；∵EKAB =√2，EFAC=√5√2=√102，FKBC=√5=3√55，∴△EKF与△ABC不相似．故答案为3．先应用勾股定理计算出BC=√5，BD=2√2，BF=EF=√5，BE=2√5，EK=HG=√2，FG=√10，然后应用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判别△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC能否相似．此题考察了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似.也考察了勾股定理．21. ①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，失掉两对边相等，一对直角相等，应用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，依据等量代换失掉∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，应用两对角相等的三角形相似即可得证．此题考察了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解此题的关键．22. (1)可失掉三组三角形相似；(2)先应用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB，那么∠ADG=∠C，再应用有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADG∽△ACF，然后应用相似比和比例的性质求AGGF的值．此题考察了相似三角形的判别：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．23. 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD+∠BDC=180∘，∴AB//CD，∵EF⊥BD，∴EF//AB//CD，∴∠EFD=∠ABD，∠DEF=∠DAB，∴△DEF∽△DAB；∵∠BFE=∠BDC，∠BEF=∠BCD，∴△BEF∽△BCD；∵∠A=∠EDC，∠ABE=∠C，∴△ABE∽△DEC，故答案为：DAB；BCD；DCE．由AB垂直于BD，CD垂直于BD，失掉一对同旁内角互补，应用同旁内角互补两直线平行失掉AB与CD平行，同理EF与AB平行，且与CD平行，依据EF与AB平行，应用两直线平行同位角相等失掉两对角相等，确定出三角形DEF与三角形DAB相似；同理失掉三角形BEF与三角形BCD相似；由两直线平行失掉两对内错角相等，失掉三角形ABE与三角形DEC相似．此题考察了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．24. 由ODOA =OEOB=OFOC=12，可得△DOE∽△AOB，再由相似得出对应边成比例，即可得出△DEF与△ABC相似，由于它们有位似中心点O，所以它们也具有位似形的特征．此题主要考察了相似三角形的判定以及位似图形的效果，应熟练掌握位似与相似之间的联络及区别．25. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种状况：△CPQ∽△CBA 与△CPQ∽△CAB此题考察相似三角形的判定，解题的关键是分两种状况停止讨论，此题属于中等题型．26. (1)依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似停止求解；(2)依据∠EAC=∠ECA，∠DAC=∠CAE，即可得出∠DAC=∠ECA，进而失掉CE//AD；(3)先依据∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出CFAF =CEAD=34，进而失掉ACAF =74．此题主要考察了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应留意应用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充沛发扬基本图形的作用，寻觅相似三角形的普通方法是经过作平行线结构相似三角形；或依据基本图形对图形停止分解、组合．。
人教新版数学九年级下册《相似》习题含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
人教版九年级数学下册相似复习测试(含答案)-
OA1 OA 2 OA 3 OA 4 OA 5 OA 6 OA 7 OA 8 OA 9
A5 1 A4 11Biblioteka A6A31A2
1
1
A7
O 1 A1
1
A8
1
A9
15. 如图。两种规格的钢板原料，图（ 1）的规格为 1m× 5m.图（ 2）是由 5 个 1m× 1m 的 小正方形组成。电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙 的正方形形状的工件（不计加工中的损耗） 。
（ 1）焊接后的正方形工件的边长是 （2）分别在图（ 1）和图（ 2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意 图（保留要焊接的痕迹） ； （ 3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？
图（ 1 ）
图（ 2）
答案 : 1．略； 2．A ；3．45 度； 4．C； 5．绘图略； 6．40；7．A ；8．20；9．0.5-cos20°； 10．9；
45
A
B
28
C
14. 在课本的阅读材料中 , 介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽
, 它的主体图案是
由一连串如图 1-15-7 所示的直角三角形演化而成的 . 设其中的第一个直角三角形
OA 1A 2 是等腰直角三角形 ,且 OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=, =A 8A 9=1, 请你先把图中其他 8 条线段的长计算出来 ,填在下面的表格中 ,然后再计算这 8 条线段的长的乘积 .
向有一个 D 村 , 测得∠ DAB=45° , ∠ DCB=28° , 今将△ ACD区域进行规划 , 除其中面积为 0.5km2 的水塘外 , 准备把剩余的一半作为绿化用地 , 试求绿化用地的面积 .( 结果精确到
新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90⁰，34 BCAB=，D是AB边上一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，过D作DF∥AC交BC于点F，连接BE交DF于H．若DH=DE，则DEHFBHSS∆∆为（）A．23B．34C．49D．9162．如图，在ABC中，//DE BC，6AD=，3DB=，4AE=，则AC的长为（）A．1 B．2 C．4 D．63．有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm5．如图，在ABC，AB AC a==，点D是边BC上的一点，且BD a=，1AD DC==，则a等于（）A ．512+B ．51-C ．1D ．2 6．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案7．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =，则AP 的长为（ ）． A ．2 B 51 C ．251D ．359．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG = 10．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（ ）A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定 11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，则AE EC=（ ）A ．13B ．12C ．23D ．32二、填空题13．如图，点D 是ABC 的边AB 上的一点，//DE BC 交AC 于点E ，作//DF AC 交BC 于点F ，分别记ADE ，BDF ，平行四边形DFCE ，ABC 的面积为1S ，2S ，3S ，S 有以下结论：①若12S S ，则DE 为ABC 的中位线；②若13S S =，则23BC DE =；③()212S S S =+； ④3122S S S =．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）14．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________15．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A ，在近岸取点D ，B ，使得A ，D ，B 在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得10m BD =，然后又在垂直AB 的直线上取点C ，并量得30m BC =．如果20m DE =，则河宽AD 为_________m ．16．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论中正确的是__________． （填序号）①67.5AGE ∠=︒；②四边形AEFG 是菱形；③2BE OF =；④:21DOG OGEF S S =四边形:△．17．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．18．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．19．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．20．若25x y =，则x y y+=____________． 三、解答题21．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =，求22BE DG +的值．22．如果一条线段可以将一个三角形分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相似，我们把这样的三角形叫做完美三角形，这条线段叫做这个完美三角形的完美分割线．（1）根据完美三角形的定义，老陆、栋栋、勇士分别提出如下命题：①等腰直角三角形是完美三角形； ②含30°的直角三角形是完美三角形；③等边三角形不是完美三角形．在上述三个命题中，是真命题的为______．（填序号）（2）如图1，在ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠=︒，60B ∠=︒．求证：CD 为ABC 的完美分割线．（3）如图2，在ABC 中，5AB =，6BC =，4AC =．求证：ABC 是完美三角形．23．如图，在ABC 中，BA BC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线与O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：2ABC CAF ∠=∠；（2）若210AC =，:1:4CE EB =，求AF 的长．24．如图1，点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数()0m y x x=>的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过点B 作BD y ⊥轴于D ．（1）求m 的值和直线AB 的函数关系式；（2）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC 向C 点运动，当动点P 运动到点D 时，点Q 也停止运动，设运动的时间为t 秒．如图2，当点P 运动时，如果作OPQ △关于直线PQ 的对称图形'O PQ △，是否存在某时刻t ，使得点'O 恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求'O 的坐标和t 的值﹔若不存在，请说明理由．25．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明；（2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM=，作直线HE ． ①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．26．()1如图1，四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为,a 则图中AG 与CE 的数量关系是__ ，AG 与CE 的位置关系是_ _ ；()2如图2，四边形ABCD和BEFG都是矩形，且2,2BC AB BE BG==，将矩形BEFG 绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为,a图中AG与CE的数量和位置关系分别是什么?请仅就图2的情况给出证明；参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】易证DE∥BC，可得34BC DEAB AD==，因为DH=DE，得35DE DHAE AE==，又因为DF∥AC，所以35BH DHBE AE==，所以32BHHE=，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得．【详解】∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠B=90°，∴∠ADE=∠B，∴DE ∥BC ∴34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35DE AE = 又∵DH=DE ∴35DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35BH DH BE AE == ∴32BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．2．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 3．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】解：如图所示，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴AE DE AC BC=， 设屏幕上的图形高是x cm ，则30790x=， 解得：x=21． 答：屏幕上图形的高度为21cm ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC =，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC∴AB BC DA AC= ∴11a a a +=解得，12a +=或152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．D解析：D【解析】 分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ，∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12DE BC =，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽，∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC214S ∆=，解得，8BOC S ∆=，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则12AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)111222AP AB ==⨯=；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 9．D解析：D【分析】通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD，即可求解． 【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠BCD +∠ABC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ABC ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=， 故A 选项不合题意；∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD= 故B 选项不合题意；∵AF ⊥BG ，∴∠AFB ＝90°，∴∠FAB +∠GBA ＝90°，∵∠GDB ＝90°，∴∠G +∠GBA ＝90°，∴∠G ＝∠FAB ，又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD， ∴AD •BD ＝DE •DG ，∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∴CD 2＝AD •BD ，∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG=， 故C 选项不合题意；∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．10．C解析：C根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，因此，另一个三角形的最小内角为45︒，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．11．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA ∴1,22=+a a 解得a=2，经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．12．B解析：B【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AE EC =12AD BD =． 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．二、填空题13．①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD 求出AE=CE 即可得出答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN 即可得出答案；③由平行线可得对应线段成比例再 解析：①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD ，求出AE=CE ，即可得出答案； ②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN ，即可得出答案； ③由平行线可得对应线段成比例，再由相似三角形的面积比等于对应边的平方比，进而代入求解即可；④先判断出△BFD ∽△DEA ，然后根据面积比等于相似比的平方得出△ABC 的面积，进而根据S 3=S ABC -S ADE -S DBF 可得出答案【详解】解：①、∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴△ADE ∽△ABC ，△BDF ∽△BAC ，∵S 1=S 2，22()()∴=AD BD AB AB∴AD=BD ，∵DE ∥BC ，∴AE=EC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴①正确；②、过A 作AN ⊥BC 于N ，交DE 于M ，∵DE ∥BC ，∴AN ⊥DE ，∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，∵S 1=S 3，12∴⨯⨯=⨯DE AM CF MN ∴AM=2MN ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∥△ABC ，2223∴===+DE AM MN BC AN MN MN ∴2BC=3DE ，∴②正确；③、∵DE ∥BC ，DF ∥AC∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，DF=CE ，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，12==S S AD BD AB AB S S 121+=+=S S AD BD AB ABS S 12S S S =∴212S S S =；∴③正确； ④∵由题意得：△BFD ∽△DEA ，∴可得：21=S BD ADS 21211∴=+s s BD AB S S=x ∵ABC S =S ，22()∴=S BD S AB∴可得122=++S S S S 又∵△ADE 、△DBF 的面积分别为S 1和S 2，32S =--==ABC ADE DBF S S S S ，∴④正确； 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了面积及等积变换、相似三角形的性质和判定等，难度适中，对于此类题目要先根据相似得出比例式，然后根据比例的性质得出要求图形的面积表达式，进而得出答案． 14．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN解析：【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心，∴AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==，23=，解得MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 15．20【分析】证出ADE 和ABC 相似然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】解：∵AB⊥DEBC⊥AB∴DE∥BC∴ADE∽ABC∴即解得：AD＝20m故答案为：20【点睛】本题考查了相似三解析：20【分析】证出ADE和ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴AD DEAB BC=，即201030 ADAD=+，解得：AD＝20m．故答案为：20．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．16．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正解析：①②③【分析】根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，∴∠1=∠2=12∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，∵∠4=90°-∠1=67.5°，∴∠3=∠4=∠5，∴AE=AG=EF，AG∥EF，∴四边形AEFG为菱形；故②正确，∴GF∥AB，EF=GF，∴∠6=∠7=45°，∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，∴，OF，∴；故③正确，设OF=a，则a，a，∴OB=+1）a，∴OD=+1）a，DF=DO+OF=（）a，∵∠DOG=∠DFE=90°，∴△DOG∽△DFE，221(),2DOGDFES DOS DF∆∆∴===∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1．故④错误．故答案为①②③【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．17．或【分析】先根据勾股定理得到AC＝5再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5设AD＝x则AE＝A′E＝xEC＝5﹣xA′B＝2x﹣4在Rt△A′BC中根据勾股定理得到A′C再根据△解析：78或258【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝54x，EC＝5﹣54x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD 长为78或258． 故答案为：78或258． 【点晴】本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．18．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】解析：5【分析】首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到AB AE CD CE=，进而列方程求解即可．【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，又//AB CD ，ABD BDC ∴∠=∠，DBC BDC ∴∠=∠，6BC CD ∴==，//AB CD ，∴~ABE CDE ∆∆，AB AE CD CE∴= 1068x x∴=- 解得5x =，5AE ∴=故答案为：5．【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．19．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE 等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ， ∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE SAB S CE ==BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．20．【分析】由根据比例的性质即可求得的值【详解】解：∵∴=故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单注意熟记比例变形 解析：75【分析】 由25x y =，根据比例的性质，即可求得x y y+的值． 【详解】 解：∵25x y = ∴x y y +=2+57=55． 故答案为：75． 【点睛】此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．三、解答题21．（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）654． 【分析】 （1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12k =代入，即可得到答案． 【详解】解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，延长BG 交DE 于O ，∵四边形ABCD 、CGFE 是正方形，∴BC=CD=AB ，CG=CE ，∠BCD=∠ECD=90°，∵在BCG 和DCE 中BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG DCE ≌△△，∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，∵∠CBG+∠BGC=90°，又∵∠DGO=∠BGC ，∴∠EDC+∠DGO=90°，∴∠DOG=1809090︒-︒=︒，∴BG ⊥DE ，即BG=DE ，BG ⊥DE ；②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．如图2，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，∴BCG DCE ∠=∠，∵在BCG 与DCE 中，,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCG DCE ≌△△，∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．如图5，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， ∴BC CG b DC CE a==，90BCD ECG ∠=∠=︒， ∴BCG DCE ∠=∠， ∴BCG DCE △∽△，∴CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，∴BG DE ⊥．显然：.BG DE ≠（3）如图5，连接,,BD GE∵BG DE ⊥，∴222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，又∵3a =，2b =，12k =，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ∴22222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭， ∴22654BE DG +=． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）①②③（2）证明见解析．（3）证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和完美三角形判定即可求证①；根据含30°的直角三角形的性质、角平分线的性质、完美三角形判定即可求证②；根据等边三角形的性质和完美三角形判定即可求证③；（2）由40A ∠=︒，60B ∠=︒．可得∠ACB ＝80°，继而判定△ABC 不是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，再由△BCD ∽△BAC 即可证明结论；（3）作CAD B ∠=∠，易知△CAD ∽△CBA ，继而根据相似三角形的性质可得CD 、AD 的长，继而判定△ABD 是等腰三角形，继而求证△ABC 是完美三角形．【详解】解：（1）①等腰直角三角形底边的中线将原三角形，分成两个等腰直角三角形，CD ∴为等腰直角ACB △的完美分割线，等腰直角ACB △是完美三角形，故①正确；②在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，当AD 平分CAB ∠时，30CAD DAB B ∠=∠=∠=︒，ACD BCA ∴∽，ADB △是等腰三角形，AD ∴是直角ACB △的完美分割线，∴含30°角的直角三角形是完美三角形，故②正确；③一条线段不可能将等边三角形分成一个等边三角形和一个等腰三角形，故等边三角形不可能是完美三角形，故③正确，∴真命题有①②③．（2）40A ∠=︒，60B ∠=︒，80ACB ∴∠=︒∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ， 1402ACD BCD ACB ∴∠=∠=∠=︒， 40ACD A ∴∠=∠=︒，∴△ACD 为等腰三角形，40DCB A ∠=∠=︒，CBD ABC ∠=∠，∴△BCD ∽△BAC ，CD ∴是△ABC 的完美分割线．（3）作CAD B ∠=∠，CAD B ∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∽△△，CA CD AD CB CA AB∴==， 4CA =，6CB =，5AB = 4645CD AD ==，83CD ∴=，103AD =， 810633BD BC CD =-=-=， BD AD ∴=，ABD ∴是等腰三角形，AD ∴是ABC 的完美分割线，ABC ∴是完美三角形．【点睛】本题考查新定义的理解，各类三角形的判断及性质，相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是熟练运用所学知识点．23．（1）见解析；（2）152【分析】（1）根据切线性质可知90CAB CAF ∠+∠=︒，所得等式两边同乘2可得22180CAB CAF ∠+∠=︒，在等腰三角形ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒，联立两个等式即可证明．（2）连接AE ，设CE x =，根据等腰三角形性质及勾股定理可得3AE x =，在Rt AEC 中运用勾股定理得出CE 、AE 的值，再根据AEF BEA ∽△△计算得出AF 的值．【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，AF 是O 的切线，∴AF AB ⊥，90CAB CAF ∠+∠=︒，等式两边同乘2可得：22180CAB CAF ∠+∠=︒①；∵BA=BC ，∴CAB ACB ∠=∠,∴在ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒②，联立①和②可得：222CAB CAF CAB ABC ∠+∠=∠+∠，∴2ABC CAF ∠=∠．（2）解：连接AE ，如图：∵:1:4CE EB =，BA=BC ，设CE x =，90AEB =︒∠（直径所对圆周角是直角）， ∴在Rt AEB 中，45AB CE EB x x x =+=+=，4BE x =，22=(5)(4)3AE x x x -=，∵在Rt AEC 中，222AE CE AC +=，即()(222321040x x +==，∴解得：2x =，AE=6，AB=10，∵AE ⊥BF ，FAE ABE ∠=∠（弦切角度数等于它所夹弧度所对圆周角度数），∴FAE ABE ∽， ∴FA AB AE BE =，即1068FA =， 解得：152FA =． 【点睛】本题考查切线性质的综合运用，用勾股定理解三角形，灵活运用切线性质和勾股定理是解题关键．24．（1）直线AB 的解析式为9y x =-+；（2）存在，()'4,2O ，52t =，见解析； 【分析】 （1）由于点A （8，1）、B （n ，8）都在反比例函数m y x=的图象上，根据反比例函数的意义求出m ，n ，再由待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）①由题意知：OP=2t ，OQ=t ，由三角形的面积公式可求出解析式；②通过三角形相似，用t 的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t 值．【详解】 解：（1）∵点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数m y x =的图象上， ∴818=⨯=m ， ∴8y x =， ∴88n=，即1n =．设AB 的解析式为y kx b =+，把()8,1、()1,8B 代入上式得：818k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的解析式为9y x =-+．（2）存在．当'O 在反比例函数的图象上时，作PE y ⊥轴，'O F x ⊥轴于F ，交PE 于E ，则90E ∠=︒，'2PO PO t ==，'QO QO t ==．由题意知：'PO Q POQ ∠=∠，'90'QO F PO E ∠=︒-∠，'90'EPO PO E ∠=︒-∠，∴''PEO O FQ △△， ∴''''PE EO PO O F QF QO ==， 设QF b =，'O F a =，则PE OF t b ==+，'2O E t a =-， ∴22t b t a a b+-==， 解得：45a t =，35b t =， ∴84',55O t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当'O 在反比例函数的图象上时，84855t t ⋅=， 解得：52t =±， ∵反比例函数的图形在第一象限，∴0t >，∴52t =， ∴()'4,2O ，当52t =秒时，'O 恰好落在反比例函数的图象上． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．25．（1）①见解析；②BH CE =，证明见解析；（2）①存在，点P 是边BC 的中点；②3【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P 为直线HE 与BC 的交点；②通过△BPM ∽△BAP 问题可解；【详解】（1）①如图； ②BH CE =证明ABH ACE ∆≅∆即可（2）①存在点P 是边BC 的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===，BM BP BP AB ∴=，B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ， 2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．26．（1）AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由见详解．【分析】（1）根据题意易得AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，则有∠ABG=∠CBE ，进而可证△ABG ≌△CBE ，然后问题可证，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，然后根据三角形全等的性质及直角三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠ABG=∠CBE ，则可证△ABG ∽△CBE ，进而问题可得证．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，∴AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠CBE+∠GBC=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，如图所示：∴∠GAB=∠ECB ，∵∠GAB+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHM ，∴∠ECB+∠CHM=90°，∴AM ⊥CE ，即AG ⊥CE ，故答案为AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由如下：∵四边形ABCD 和BEFG 都是矩形，∴∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠CBE=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∵2,2BC AB BE BG ==，∴△ABG ∽△CBE ， ∴2BC CE AB AG==， ∴CE=2AG ．【点睛】 本题主要考查矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。
2023年人教版九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷(一)附答案解析
2023年九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷（一）考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠AD .∠D ＝9∠A2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .74.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .108.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）第5题第3题第4题第6题第7题第9题第10题A .22B .23C .33D .3210.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE 交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为_________.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ＝2AB ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.第10题第11题第16题第12题第13题第15题19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)若BC＝3，AB＝5，求CD的长.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE.(1)请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE＝3，AB＝4，BC＝6，求EP的长.21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.22.(10分)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x(0＜x＜6)，CE＝y(0＜y＜8).(1)当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；(2)若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式.23.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB.过点A作AE⊥BD于点F，交BC于点E.(1)求证：EB2＝EF・EA；(2)若AB＝4，CE＝3BE，求AE的长.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.《相似》阶段检测卷(一)考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠A D .∠D ＝9∠A【答案】A .详解：依题意，△ABC 与△DEF 的三边成比例，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ，故选A .2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】C .详解：由两个角分别相等的两个三角形相似，知选项A 和B 中的阴影三角形与原三角形相似，选项D 中，阴影三角形的∠A 的两边分别为4－1＝3，6－4＝2，∵4623=，∠A ＝∠A ，∴选项D 中的阴影三角形与原三角形相似.而选项C 中，不能保证∠B 的两边成比例，故选C .3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .7【答案】C .详解：∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即8612DF=，解得DF ＝9，故选C . 4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=【答案】C .详解：∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，故C 对；AD AEAB AC=，故A 错；AG AE ADAF AC AB==，故D 错；选项B 中的4条线段不成比例，故D 错.故选C .5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°【答案】A .详解：∵△ABC 和△DEF 相似，观察角的大小，∠BAC ＝∠DEF ＝90°＋45°＝135°，故选A . 6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°【答案】B .详解：在△ACP 中，∵∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，∴∠APC ＝60°.∵△ACP ∽△ABC ，∴∠ACB ＝∠APC ＝60°，故选B .7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .10【答案】D .详解：∵EF ∥AB ，∴EF DEAB DA=，∵DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，∴4223AB =+，∴AB ＝10，则CD ＝AB ＝10，故选D .8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm【答案】C .详解：设所求的最长边为xcm ，则592.5x=，解得x ＝4.5，故选C .9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）A .B .C .D .【答案】C .详解：小矩形的边边分别为13a 和3，∵小矩形与矩形ABCD 相似，∴13a ∶3＝3∶a ，解得a ＝±(舍去负值)，∴a ＝C .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B .详解：∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，可证△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE CF=，设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，∴44x x CF =-，∴CF ＝14x (4－x )＝－14(x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取得最大值1，故选B .二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .【答案】答案不唯一，可以填下列中的一个：∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，AD AEAC AB=.12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD的值为_________.【答案】2.详解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD .∵E 为AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，由AD ∥BC ，得△BCF ∽DEF ，∴BF ∶FD ＝BC ∶DE ＝2.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.【答案】2.详解：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，即1138DE=+，∴DE ＝2.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.【答案】12.详解：∵654a b c==，故可设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x ，代入a ＋b －2c ＝6，得：6x ＋5x －2(4x )＝6，解得x ＝2，∴a ＝6x ＝12.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.【答案】y ＝2x .详解：设B (t ，k t )，则直线OA 的解析式为y ＝2ktx .∵B 为OA 的中点，∴A (2t ，2k t )，∴D (2t ，2k t )，OC ＝2t ，CD ＝2k t ，CA ＝2kt.∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD AC OC =，∴OC 2＝AC ·CD ，∴4t 2＝2k t ·2k t，∴k 2＝4t 4，∵k ＞0，∴k ＝2t 2，∴直线OA 的解析式为y ＝2x .16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.【答案】2213.F详解：过C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于D ，过C 作CF ⊥l 1于F ，交l 3于H ，过E 作ED ⊥FC 交延长线于D ，∵∠AFC ＝∠ACE＝∠CDE ＝90°，∴△ACF ∽△CED ，∴DE CD CECF AF AC==，∵△ABC 为等边△，∴CE ，AB ＝BC ＝BE ，则CD AF .依题意，FH ＝FC ＋CH ＝2＋1＝3，由AB ＝BE ，l 1∥l 3∥ED ，得DH ＝FH ＝3，CD ＝4，∴AF CD AC .三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∴∠C ′＝∠C ＝125°，∴∠α＝360°－80°－75°－125°＝80°，且AD AB BC A D A B B C ==''''''，即45316x y==，解得x ＝20，y ＝12.答：x ＝20，y ＝12，α＝80°.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.【答案】BF AE ，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM ＋∠ABM ＝90°，又∵∠ABM ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△BCF ，∴AE AB BF BC ==，∴BF AE .19.(8分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°.(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)若BC ＝3，AB ＝5，求CD 的长.【答案】(1)∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB=，∴AC 2＝AB ·AD .(2)在Rt △ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，由勾股定理，得AC ＝4.∵AC 2＝AB ·AD ，∴42＝5AD ，∴AD ＝165.在Rt △ADC 中，CD 125.20.(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE .(1)请用尺规在BE 上求作一点P ，使得△PCB ∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE ＝3，AB ＝4，BC ＝6，求EP 的长.【答案】(1)如图所示；(2)由勾股定理，得BE 5，由△PCB ∽△ABE ，得BP BC AE BE =，即635BP =，∴BP ＝185，∴EP ＝BE －BP ＝5－185＝75.21.(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1.(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请直接写出另一个与△ABD 相似的三角形，并求出DE 的长.【答案】(1)∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴AB BDBC AB=，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA .(2)如图，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∵△ABD ∽△CBA ，∴△CDE ∽△ABD ，∴DE CD BD AB =，即4112DE -=，∴DE ＝1.5.22.(10分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD ＝x (0＜x ＜6)，CE ＝y (0＜y ＜8).(1)当x ＝2，y ＝5时，求证：△AED ∽△ABC ；(2)若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式.【答案】(1)∵AB ＝6，BD ＝x ＝2，∴AD ＝4.∵AC ＝8，CE ＝y ＝5，∴AE ＝3.∴AD AEAC AB=.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△AED ∽△ABC .(2)分两种情况，1°当△ADE ∽△ABC 时，AD AE AB AC =，则6868x y --=，∴y ＝43x (0＜x ＜6).2°当△ADE ∽△ACB 时，AD AE AC AB =，则6886x y --=，∴y ＝34x ＋72(0＜x ＜6).23.(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是斜边AC 的中点，连接DB .过点A 作AE ⊥BD 于点F ，交BC 于点E .(1)求证：EB 2＝EF ・EA ；(2)若AB ＝4，CE ＝3BE ，求AE 的长.【答案】(1)∵AE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°＝∠ABC .又∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△EBF ∽△EAB ，∴BE EFAE BE=，∴EB 2＝EF ・EA .(2)在Rt △ABC 中，∵D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C .由(1)，得△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠EAB，∴∠C＝∠EAB.又∠ABE＝∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴AB BEBC AB=，∴AB2＝BE·BC.∵AB＝4，CE＝3BE，∴BC＝4BE，42＝BE(4BE)，∴BE＝2.∴AE＝.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.【答案】(1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.(2)AE＝2BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴BC AC CD CE=.由条件得∠ACB＝∠DCE，AC＝2BC，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴12BD BCAE AC==，∴AE＝2BD.(3)由(2)得，△BCD∽△ACE，∴AE ACBD BC=，∵43DE ABCD BC==，∴53ACBC=，∴53AE ACBD BC==设BD＝a，则AD＝3BD＝3a，AB＝4a，BC＝3a，CDa，AE＝53BD＝53a.∵△AFE∽△DFC ，∴53aAF AEDF CD=.。
最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为,AB BC的中点，则三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为（）A．1∶4 B．1∶5 C．1∶7 D．1∶82．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE=，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:53．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④16ODEADCSS=△△．其中结论正确的是（）．A．①②B．①③C．①②③D．①③④4．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A =∠D ，∠B =∠F B ．BC ACEF DF=且∠B =∠D C ．AB BC ACDE EF DF== D ．AB ACDE DF=且∠A =∠D 8．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b= B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a =9．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠10．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）．A ．2B ．51-C ．2或51-D ．35-11．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（ ） A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．14．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．15．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．16．如图，在正方形ABCD 中，15AB =，点,E F 分别为AB ，DC 上的点，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A '处，点D 落在D 处，FD '交BC 于点G ，A D ''交BC 于点H ，若10DF =，203CG =，则BH 的长为___________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．18．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．19．若()0a b a c b ck k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 20．若233a b c==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题21．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED △∽△；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF 与AED 相似，直接写出PA 的长____．22．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明； （2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM =，作直线HE ．①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由； ②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．23．如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =． （1）求证：ABE ACD ∆~∆； （2）若E 是线段AD 的中点，求BDCD的值．．24．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ； （3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．25．阅读下面材料 （问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．HL （2）由三角形三边的关系可求得AD 长的取值范围是（ ）A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD ≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD ≤7 （解后感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中． （灵活运用）如图②，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF 若EF =4，EC =3，求线段BF 的长．26．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．（1）求证：C ABD BA ∽△△． （2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEFS k =，则4BACSk =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点， ∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEFBAC ，∴221124BEF BAC S EF SAC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设BEFSk =，则4BACSk =， ∴3AEFC BACBEFS S Sk =-=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴4ACDBACSSk ==，∴7EFCDA AEFC ACDS S S k =+=，∴::71:7BEFEFCDA SS k k ==．故选：C ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．D解析：D 【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AEGC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =， ∴AFE △≌△()DFP AAS ， ∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =， ∴3AB CD k ==，5PC k =， ∵//AE BC ，∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．D解析：D 【分析】先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB S S =△△，则可对②进行判断；加上12AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断． 【详解】解：∵BE 、CD 为ABC 的中线， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴//DE BC ，12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ， ∴DOE △∽COB △，∴12OE DE OD OB BC OC ===，214DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵12AD AB =， ∴AD OEAB OB=，所以③正确；∵:1:2OD OC =，∴13ODE DCE S S =△△， ∵AE CE =，∴12DCE ADC S S =△△， ∴16ODE ADC S S =△△，所以④正确． 故选D ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．4．C解析：C 【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长． 【详解】 解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得： △ABD ∽△ACE ， 则AB ADAC AE=， 即628AC =， 解得：AC=24， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键．5．B解析：B 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OBOD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ， ∴∠AOB =∠DOC ， ∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OADC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.6．D解析：D 【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答． 【详解】 解：∵DE ∥BC ，∴AD AEDB EC =，即643EC =， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6； 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．7．B解析：B 【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC ACEF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C 、AB BC AC DE EF DF==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．A解析：A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】 解：由34a b =得，4a=3b ， A 、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；B 、由等式性质得到4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；C 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；D 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12ADAE AC AB∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．10．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，因此，另一个三角形的最小内角为45︒，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题13．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG解析：1：2【分析】设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．【详解】解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，∵DE 为三角形ABE 的中位线，∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴ 1184x y =-，所以有：141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1112126EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．【点睛】本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD ， ∴AB EF BC DE= 即：2 1.8=1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=解析：1:2【分析】由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.【详解】解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，∵2EFB EFD S S ∆∆=，∴DF ：FB=1:2，又∵DE ∥BC ，∴△DFE ∽△BFC ，∴DE:BC=DF:FB=1：2故答案为1:2【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 16．【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15∠A=∠D=∠C=∠B=90°根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°DF=DF´=10根据勾股定理可得FC 的长从而得到D´G 根据相似三角形的判 解析：254【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，根据勾股定理可得FC 的长，从而得到D´G ，根据相似三角形的判定得到△HGD´∽△FGC ，从而得到HG GD FG GC '=，可得HG 的长，由BH=BC-HG-CG 即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，由折叠的性质，得∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，在Rt △FCG 中，FC=DC-DF=15-10=5，CG=203，∴253==， ∴D´G=D´F-FG=10-253=53， ∵∠D´=∠C=90°，∠HGD´=∠FGC ，∴△HGD´∽△FGC ， ∴HG GD FG GC'=，∴HG=255·253320123FG GDGC=='⨯，∴BH=BC-HG-CG=15-2512-203=254．故答案为254．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质及正方形的性质．证得△HGD´和△FGC相似是解题的关键．17．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A解析：18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD，进而可判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．18．12【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD再证明△AGF∽△ADC 然后利用相似比求出CD的长从而得到BC的长【详解】解：∵ED为△ABC的中位线∴DE//ACDE=ADCE为△ABC的中解析：12．【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD，再证明△AGF∽△ADC，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC的长．【详解】解：∵ED为△ABC的中位线，∴DE//AC ，DE=12AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ADC ， ∴23GF AG CD AD ==， ∴CD=32GF=32×4=6， ∴BC=2CD=12．故答案为12．【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．19．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．20．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9解析：6.6【分析】设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．【详解】 解：由233a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，解得：k=3.3，∴a=6.6，b=c=9.9， ∴a b c -+=a =6.6，故答案为：6.6．【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）2或5【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，分别求解即可．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，90D ∠=︒，//CD AB ，∴DEA PAE ∠=∠．∵PF AE ⊥，∴D AFP ∠=∠．∴PAF AED △∽△．（2）当PA=PB=2时，∵DE=EC ，AP=PB ，∴PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，∵CD ∥AB ，∴∠AED=∠EAP=∠AEP，∴PA=PE，∵PF⊥AE，∴AF=FE，∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°，∴2222AE DE AD，2425=+=+=∴5AF=，∵△PAF∽△AED，∴PA AF=，AE DE∴5=，25∴PA=5，综上所述，满足条件的PA的值为2或5．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．=，证明见解析；（2）①存在，点P是边BC的中22．（1）①见解析；②BH CE点；②3【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P为直线HE与BC的交点；②通过△BPM∽△BAP问题可解；【详解】（1）①如图；=②BH CE∆≅∆即可证明ABH ACE（2）①存在点P是边BC的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB ∴=， B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．23．（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据△ABE ∽△ACD ，可得：AE BE AD CD =，再由等量代换即可求解. 【详解】（1）∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE ，∴∠AEB=180°－∠BED=180°－∠BDE=∠ADC ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ACD ；（2）∵△ABE ∽△ACD ， ∴AE BE AD CD =， ∵E 是线段AD 的中点，1=2AE BE AD CD = ∵BE=BD ，∴1=2BD CD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.24．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．25．(1)B ；（2）C ；应用：7．【分析】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS) 即可，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即则2<2AD<14即可，【灵活运用】延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7 ∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，由性质BG BF AE EF=． 【详解】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS)故选择：B ，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即AB-BE=8-6=2，AB+BE=14，则2<2AD<14，1<AD<7故选择：C ，灵活运用延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7，∠G=∠DAC ，BG ∥AC ，∠BFG=∠AFE ，ΔGBF ∽ΔAEF ，BG BF AE EF=， 744BF =， BF=7．【点睛】本题考查中线加倍问题，由中线加倍，利用SAS 推出三角形全等，把问题转化为三角形中的问题，用三角形的三边关系，确定取值范围，由△ADC ≌△GDB ，∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，用相似三角形的性质解决问题． 26．（1）证明见解析．（2）9．【分析】(1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．【详解】（1）如图所示：,BAD C B B ∠=∠∠=∠，∴C ABD BA ∽△△．（2）ABD CBA ∽，AB BD BC AB ∴=，即636BC =， 解得：12BC =，1239DC BC BD ∴=-=-=．【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．。