公开课-第六节 梁的弯曲变形 课件
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材料力学课件ppt-6弯曲变形 58页PPT文档
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w w w
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弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24EI
,
wC1
5ql4 384EI
w
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
wC3
3ql4 48EI
w
B2
(q)ll2 q3l
,
16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
目录
BB1B2B3
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx 2
0
M
M
因此
d2y dx2
M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EI z
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
1、确定静不定次数。 2、选择基本静定梁。
静定梁(基本静定基) — 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24EI
,
wC1
5ql4 384EI
w
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
wC3
3ql4 48EI
w
B2
(q)ll2 q3l
,
16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
目录
BB1B2B3
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx 2
0
M
M
因此
d2y dx2
M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EI z
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
1、确定静不定次数。 2、选择基本静定梁。
静定梁(基本静定基) — 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
第六章弯曲变形ppt课件
2.常见截面对中性轴的惯性矩Iz。
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
§6.3 用积分法 求弯曲变形
精品课件
d2w M（x） dx2 EI
挠度和转角是弯曲变形的标志，如何 根据挠曲线微分方程求解挠度和转角呢？
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程 d 2 w M ( x )
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例1已知：q、l、EI，
求：wC 和B
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
w
参见188页表6.1
w
w
精品课件
10 8、9
6
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 w
w
w
精品课件
B1
ql3 24EI
,
5ql4 wC1 384EI
B2
(ql)l2 16EI
q3l , 16EI
(ql)l3 wC2 48EI
B3
(q2l)l q3l , 3EI 3EI
wC3
ql 4 16EI
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
BB1B2B3
ql 3
ql 3
ql 3 11ql 3
24 EI 3 EI 16 EI 48 EI
w Cw C 1w C 2w C 3 5ql 4 384EI
3 ql 4 48 EI
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例2已知：F、L、a、EI，
求：wC
F
A
B
C
L
a
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 F 1）考虑AB段(BC段看作刚体)
A
F作用在支座上，不产生变形。
材料力学课件-6弯曲变形
对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力，源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力，测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小，弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础，广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力，测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力，测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形，需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用，需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理，讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响， 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性，介绍材料的 弯曲变形特性，并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后，我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
材料力学 弯曲变形ppt课件
由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
弯曲变形课件
其余部分被看作为刚体，因此又称为逐段刚化法或 逐段求和法。
注意
迭加法是利用载荷迭加；是分解载荷； 广义迭加法将梁各部份变形对所求截面的挠度和转
角的贡献量进行迭加；是分解梁。
例5. 图示悬臂梁左侧受均布载荷，用迭加法求
自由端的挠度和转角。已知EI为常数。 解：
f B fC θC L 2
2.用迭加法求解静不定梁
变形协调条件和补充方程
fB 0
f B f Bq f BR 0
qL4 RBR L3 0 8EI 3EI
3qL R B 8
当此段梁受到正弯矩时，挠曲轴
为凹曲线，其二阶导数也为正。
当此段梁受到负弯矩时，挠曲轴
为凸曲线，其二阶导数也为负。
挠曲轴近似微分方程
M( x ) v" EI z
6.3 用积分法求弯曲变形 (Beam deflection by integration )
1.挠曲轴近似微分方程的积分
挠度。已知抗弯刚度EI为常数。 解：
Pb RA L
" 1
Pa RB L
Pb AD : EIv x1 (0 x1 a) L
" DB : EIv2
( a x2 L )
Pb x2 P( x2 a) L
Pb EIv x1 (0 x1 a) L Pb 2 v1 ' x1 C 1 2 EIL Pb 3 v1 x1 C 1 x1 D1 6EIL
L 4 L 3 q ( ) q( ) 4 7 qL L 2 2 8EI 6EI 2 384EI
L q ( )3 3 qL θB θC 2 6EI 48EI
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1. 直梁弯曲的概念
只发生弯曲(或弯曲为主)变形的杆件，称为梁。
工程中常用的梁，其横截面通常至少具有一根对称轴，如图所示：
（1）平面弯曲
当作用在梁上的外力或力偶都在梁的纵向对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，梁则会产生弯曲变形。
（2）平面弯曲变形的受力特点与变形特点
①受力特点：外力或力偶垂直于杆件的轴线，且外力或力偶都作用在梁的纵向对称面内。
②变形特点：梁的轴线由直线变成在外力作用面内的一条曲线。
C’
2. 梁的弯曲变形相关概念：
（1）纵向对称面：横截面对称轴（y）与梁的轴线（x）构成的平面称为纵向对称面。
（2）纯弯曲：梁横截面的剪力为零，弯矩为常数的弯曲变形。
（3）中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维层。
（4）纯弯曲变形时的应力：横截面上只有正应力；正应力呈规律变化；中性轴处应力为零；宽度相同的截面处正应力相同；离中性轴最远处正应力最大。
中性轴
σ
tmax
3. 梁的支座
梁的支撑情况，要通过分析来确定在载荷作用平面内支座对梁的约束类型，以及相应的约束反力数目。
一般情况下，可将梁的支承简化为以下三种典型支座之一：
（1）活动铰链支座
（2）固定铰链支座
（3）固定端支座
4. 载荷的基本类型：
①集中力
②集中力偶
③均布载荷
5. 静定梁的基本类型
（1）简支梁一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。
（2）外伸梁一端或两端伸出支座外的简支梁，并在外伸端有载荷作用。
（3）悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端。
6.梁横截面上的内力——剪力和弯矩
当作用在梁上的所有外力（载荷和支座反力）都已知时，用截面法可求出任一横截面上的内力。
（1）剪力：力FQ（FQ′），其作用线平行于外力并通过截面形心（沿截面作用），故称为剪力。
（2）弯矩：力偶矩M（M′），其力偶面垂直于横截面，称为弯矩。
（3）确定剪力和弯矩的大小
梁任一截面上的内力FQ（FQ′）与M（M′）的大小，由该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，其公式为：
F Q（F Q′）=截面一侧所有外力的代数和
M（M′）=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
F
（4）与M的正负号规定：
Q
上压下拉
上拉下压
例题讲解：
1.如图所示的悬臂梁，试根据上述所学知识，判断截面n-n的弯矩和剪力大小及正负号。
同步练习：
1.如图所示的悬臂梁，试根据上述所学知识，判断截面n-n的弯矩和剪力大小及正负号。
F=12kN
n
n
3m1m
如图所示的简支梁，已知其受集中力F=5kN的作用，试根据上述所学知识，判断截面m-m的弯矩和剪力大小及正负号。
如图所示的简支梁，已知其受集中力F=5kN的作用，试根据上述所学知识，判断截面m-m的弯矩和剪力大小及正负号。
同步练习：
2.如图所示的外伸梁，试根据上述所学知识，判断截面m-m的弯矩和剪力大小及正负号。
课后习题
图中所示，简支梁AB在截面1和2上的剪力和弯矩。